第20届世奥赛地方复赛 数学 9年级

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第 20 届 WMO 数学创新讨论大会

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须知：

1.测试期间，不得使用计算工具或手机。

2.选择题每小题 4 分，填空题每小题 5 分，解答题共 4 小题，共 50 分。

3.请将答案写在答题卡上。测试结束时，本卷、答题卡及草稿纸会被收回。

4.若计算结果是分数，请化至最简。

九年级

（满分 120 分，时间 90 分钟）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．下列图形中是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．已知x＝+，y＝－，则 x2y＋xy2的值为（

3232）

A．2B．2C．10 + 2D．5 +

2366

3．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0 有一个解为x＝－1，则方程的另一个解为（）

A．x＝1B．x＝－3C．x＝3D．x＝4

4．一艘渔船从港口A沿北偏东 60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一

救援艇位于港口 A 正东方向20（－1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东 45°

3

方向以 30 海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）

222+ 2

323

A．小时B．小时C．小时D．小时

3333

第 4 题图第 7 题图第 9 题图

5．若x=

1

× 25m +

3

× 5m+

3

， y =

3

× 25m + 5m + 1 ，则x与y的大小关系是（）

2242

A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定

6．在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，

如果以点 D 为圆心 DG 为半径的圆和以点 C 为圆心半径为 r 的圆相交，那么 r 的取值范围是

（）

A．r＜5B．r＞5C．r＜10D．5＜r＜10

7．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，

分別交 AB、AC 于点 E、F，若 EF＝2DF，则 AB 的长为（）

A．4B．6C．8D．10

8．在等边△ABC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△ABC的 3 个顶点到直线m的距

离只取 2 个值，其中一个值是另一个值的 2 倍，这样的直线m的条数是（）

A．16B．18C．24D．27

9．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B、C的坐标分别为（1，0）和C（2，

0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着 x 轴向右滚动，则在滚动的过程中，

这个正三角形的顶点 A、B、C 中，会过点（2018，1）的是点（）

A．A和B B．B和C C．C和A D．C

x 2

10．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝4（x≥

0）交于A、B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作

EF∥x 轴分别与 y 轴和抛物线 C1交于点 E、F，则

s

△OFB

的值为（）

s

△EAD

A．

2

B．

2

C．

1

D．

1

6446

第 10 题图第 12 题图

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．若点M（3，a－2）与N（－3，a）关于原点对称，则a＝．

12．上表是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方

程 ax2＋bx＋c＝

3

（a≠0）的一个解 x 的取值范围是．

10

13．如图，点 A 为△PBC 的三边垂直平分线的交点，且∠P ＝72°，则∠BAC ＝

． （1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈 A 的概率 P 1；（4 分）

（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A 的概率 P 2，并指出她与嘉嘉落

回到圈 A 的可能性一样吗？（8 分）

第 13 题图

第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图

14．一辆客车和一辆货车沿着同一条线路以各自的速度匀速从甲地行驶到乙地，货车出发 3 小时后客车再出发，客车行驶一段时间后追上货车并继续向乙地行驶，客车到达乙地休息 1 小时后以原速按原路匀速返回甲地，途中与货车相遇．客车和货车之间的距离 y （千米）与客车出发的时间 x （小时）之间的关系的部分图象如图所示．则客车返回与货车相遇时，客车出发的时间是______小时．

15．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足

为 E ，AD 的垂直平分线交 AB 于点 F ，则△DEF 的面积为 ．

16．如图，四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝30°，∠E ＝45°，点 D 在 CE 上，且 CD ＝BC ，点 H 是 AC 上的一个动点，则 HD ＋HE 的最小值为 ．

三、解答题（共 4 小题，共 50 分）

17．先化简，再求值：1－ 2 ? [（

x 2

+ 4 －1）÷（ 1 － 1 ）]，其中 x ＝－3．（10 分） 2

4x 2x x －4

18．如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字 1，2，3，4．

如图②，正方形 ABCD 顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．

如：若从圈 A 起跳，第一次掷得 3，就顺时针连续跳 3 个边长，落到圈 D ；若第二次掷得2，就从 D 开始顺时针连续跳 2 个边长，落到圈 B ；…设游戏者从圈 A 起跳．

图①

图②

19．a 、b 为实数，关于 x 的方程|x 2

＋ax ＋b |＝2 有三个不等的实数根．

（1）求证：a 2

－4b －8＝0；（6 分）

（2）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求 a 和 b 的值．（6 分）

20．观察发现：如图（1），点 O 是△ADC 外接圆的圆心，点 B 是边 CD 上的一点，且△ABC

是等边三角形．OD 与 AB 交于点 E ，以 O 为圆心、OE 为半径的圆交 AB 于点 F ，连接 CF 、OF ．

（1）∠AOD ＝______；（3 分）

（2）线段 AE 、CF 有何大小关系？证明你的猜想．（6 分）

（3）拓展应用：如图（2），△HJI 是等边三角形，点 K 是 IH 延长线上的一点．点 O 是

△JKI 的外接圆圆心，OK 与 JH 相交于点 E ．如果等边三角形△JHI 的边长为 2，请直接写出 JE 的最小值和此时∠JEO 的度数． （7 分）

图（1） 图（2）

九年级复赛答案

一、选择题

1.C

2.B

3.C

4.C

5.B

6.D

7.B

8.C

9.A 10.D

5.令5m=t，则25m=（52）m=（5m）2=t2，

∴x=×25m+×5m+=，y=，

∴y﹣x==＞0，∴x＜y．

6.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，

∴AB==15，CD=AB=7.5，∵G是△ABC的重心，

∴DG=CD=2.5，∴CG=7.5﹣2.5=5，CE=7.5+2.5=10，

∵以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为r的圆相交，

∴r的取值范围是5＜r＜10．

7.如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，

∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，

∴E是AB的中点，F是AC的中点，

∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，

∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，

∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6．

8.可以分成两类，第一类：过一边的中点，其中过AB边中点的直线，

满足条件的有4条，那么，这一类共有12条；

第二类：与一边平行，这样的直线也有12条. 两类合计：12+12=24条． 9.由题意可知：第一次滚动：点A、B经过点（2，1），

第二次滚动：点B、C经过点（3，1），第三次滚动：点A、C经过点（4，1），第四次滚动：点A、B经过点（5，1），…

发现，每三次一循环，所以（2018﹣1）÷3=672……1，

∴这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2018，1）的是点A、B．

二、填空题

11. 1 12. 6.3＜x＜6.4 13. 144° 14. 21 15. 6﹣4 16.

13.∵A为△PBC三边垂直平分线的交点，

∴点A是△PBC的外心，由圆周角定理得，∠BAC=2∠BPC=144°．

14.设货车的速度为a千米/小时，客车的速度为b千米/小时，

则3a=270，（3+9）a=9b，得a=90，b=120，

∴甲乙两地的距离为19×120=2280，

设客车返回与货车相遇时，客车出发的时间为t小时，

则90（t+3）+（t﹣19﹣1）×120=2280，解得t=21.

15.∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，

∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，

∵AD的垂直平分线交AB于点F，∴AF=DF，

∴∠ADF=∠EAD，∴∠ADF=∠CAD，∴AC∥DF，

∴∠BDF=∠C=90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，

设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2﹣x，

在Rt△BED中，DE2+BE2=BD2，∴x2+x2=（2﹣x）2，

解得x1=﹣2﹣2（负值舍去），x2=﹣2+2，

∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2=6﹣4．

16.∵AB∥CD，CD=BC=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴B、D关于AC对称，

连接BE交AC于H′，连接DH′，此时DH′+EH′的值最小，最小值=BE，

作AM⊥EC于M，EN⊥BA交BA的延长线于N．

∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，

∴∠ADM=∠BCD=30°，∵AD=2，∴AM=AD=1，

∵∠AEC=45°，∴AM=EM=1，

∵AM⊥CE，EN⊥BN，CE∥NB，∴∠AME=∠N=∠MAN=90°，

∴四边形AMEN是正方形，∴AN=EM=AM=EN=1，

在Rt△BNE中，BE===．

三、解答题

17.解：1﹣?[（﹣1）÷（﹣）

]

=1﹣

=1﹣

=1﹣

= =

当x=﹣3时，原式==2

18.解：（1）共有4种等可能的结果，落回到圈A 的只有1种情况，∴落回到圈A 的概率P 1=4

1

；

3），（2，2），（3，1），（4，4）， ∴最后落回到圈A 的概率P 2=

4

1

164 ，∴她与嘉嘉落回到圈A 的可能性一样．

19.证明：（1）由原方程得：x 2+ax+b ﹣2=0①，x 2+ax+b+2=0②，

两方程的判别式分别为：△1=a 2﹣4b+8，△2=a 2﹣4b ﹣8， ∵原方程有三个根，

∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即△1，△2中必有一个大于0，一个等于0，比较△1，△2，显然△1＞△2， ∴△1＞0，△2=0，即a 2﹣4b ﹣8=0；

（2）方程①中的两根x 1，x 2必有一个大于方程②中的x 3，而另一个小于x 3， ∴可以设x 1＞x 3＞x 2，则由已知得：x 12﹣x 22=x 32，即（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=x 32．

∴﹣a?

=

整理得：a 2+4a =0 由（1）有：a 2

﹣4b=8代入上式得：a 2+16a=0，∴a 1=0，a 2=﹣16． 当a=0时，x 3=0，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾，

∴a=﹣16．把a=﹣16代入a 2﹣4b ﹣8=0中，得b=62．故a=﹣16，b=62．

20. （1）120°．

（2）结论：AE ＝CF ．

理由如下：∵∠AOD ＝120°， ∴∠OEF ＋∠OAF ＝60°，

∵∠OAC ＋∠OAF ＝60°， ∴∠OEF ＝∠OAC ， ∵OE ＝OF ，OA ＝OC ，

∴∠OEF ＝∠OFE ＝∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠EOF ＝∠AOC ，

∴∠EOF ＋∠AOF ＝∠AOC ＋∠AOF ， ∴∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF ， ∴AE ＝CF ．

（3）以O 为圆心，以OE 长为半径作圆，交JH 于F ，连结IF ，

则由以上结论可得：JE ＝IF ．

当IF ⊥JH 时IF 最小，IF ＝3， ∵∠FJO ＝∠OIF ，∠FGJ ＝∠OGI ， ∴∠JOI ＝∠JFI ＝90°， ∴∠OJI ＝45°，

∴∠JEO ＝∠OJI ＝45°， ∴JE 的最小值为3，此时∠JEO ＝45°．