高中数学经典错题深度剖析及针对训练 直线与方程

高中数学经典错题深度剖析及针对训练 直线与方程

【标题01】把直线的倾斜角和斜率的概念弄混淆了

【习题01】关于直线3x =的叙述正确的是（ ）

A.该直线没有倾斜角

B.该直线没有斜率

C.该直线的倾斜角为00

D.该直线有斜率

【经典错解】由于直线3x =垂直x 轴，所以直线没有倾斜角.所以选择A .

【详细正解】直线3x =表示垂直x 轴的直线，所以它的倾斜角是090，所以该直线没有斜率，所以选择B .

【习题01针对训练答案】下面关于直线的倾斜角和斜率的叙述中，正确的是（ ）

A ．直线3y =的倾斜角是0180 B. 直线的倾斜角的范围是00[0,180]

C ．直线40x +=的倾斜角是0120 D. 直线40x -=没有斜率

【标题02】不能正确利用正切函数的图像分析倾斜角凭想象解答

【习题02】已知R θ∈，则直线sin 10x θ+=的倾斜角的取值范围是 .

【经典错解】设直线的倾斜角为α，则 tan α=3

sin θ，∵1sin 1θ-≤≤，

∴﹣3≤tan α≤3

， 又α的范围为00[0,180) ∴ 0030150α≤≤.

【详细正解】设直线的倾斜角为α，则tan αsin θ，∵1sin 1θ-≤≤，

tan α 又α的范围为00[0,180)，∴由正切函数的图像可得00030α≤≤或00150180α≤<，故填0000[0,30][150,180) ．

【深度剖析】（1）经典错解错在不能正确利用正切函数的图像分析倾斜角凭想象解答.（2

tan α”后，要通过画正切函数00tan (0180)y a a =?得到00030α≤≤或00150180α≤<，此

处是解题的关键，也是易错处，不能凭自己的想象，直接写成0030150α≤≤.

【习题02针对训练答案】经过(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.

【标题03】利用直线方程的点斜式写直线方程时漏解了

【习题03】过点(1,2)P 的直线方程为 .

【经典错解】由题得直线方程为2(1)y k x -=-

【详细正解】由题得直线方程为12(1)x y k x =-=-或

【习题03针对训练答案】直线l 过点(4,0)且与圆22

(1)(2)25x y -+-=交于,A B 两点，如果||8AB =，那么直线l 的方程为 ．

【标题04】利用直线的截距式方程写直线的方程时漏解了

【习题04】过点(1,1)，且横、纵截距相等的直线方程为__________________. 【经典错解】设直线方程为

1x y a a

+=，把点(1,1)代入得2a =，所以直线方程为20x y +-=. 【详细正解】当直线经过原点时，易知直线方程为y x =；当直线不过原点时，设直线方程为1x y a a +=，把点(1,1)代入得2a =，所以直线方程为20x y +-=.所以直线的方程为0x y -=或20x y +-=.

【深度剖析】（1）经典错解错在利用直线的截距式方程写直线的方程时漏解了. （2）直线的斜截式、两点

式、截距式和点斜式方程，都是有局限性的，并不能表示所有直线，所以大家在利用这些直线的方程解答时，一定要先考虑直线的方程不能表示的直线是否满足题意，如果满足就要加上，不满足就舍去. （3）错解就漏掉了过原点的直线，直线过原点时，它的两个截距都是0，是相等的，是满足题意的.但是直线方程的截距式就是不能表示此直线.

【习题04针对训练答案】已知直线l 经过点(5,2)A -，且直线l 在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程.

【标题05】解方程时违背了等式的性质

【习题05】设直线l 的方程为(1)20a x y a +++-=．若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程. 【经典错解】由题得21

a a -+＝2a -，即11a +=.∴0a =，方程即为20x y ++=.综上，l 的方程为20x y ++=. 【详细正解】由题得21

a a -+＝2a -，即(2)(1a 1)0(2)0a a a ---=∴-=∴0a =或2a =，0a =时，方程为20x y ++=.2a =时，方程为30x y +=.

所以综上，l 的方程为30x y +=或20x y ++=.

【习题05针对训练答案】直线l ：20ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．－2或－1

D ．－2或1

【标题06】对直线方程的各种形式的局限性理解不够透彻全面

【习题06】下列说法的错误的是 .

（1）经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示；

（2）经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示；

（3）经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程

()()()()y y x x x x y y --=--121121表示；

(4)不经过原点的直线都可以用方程1=+b

y a x 表示. 【经典错解】由于（3）与直线方程的两点式112121

y y x x y y x x --=--形式不一样，所以填（3）. 【详细正解】(1)中的方程)(00x x k y y -=-表示有斜率的直线,但过定点的直线不一定有斜率,所以(1)错误；（2）中的方程表示过点A(0,b)且存在斜率的直线，但是过点A （0，b ）的直线不一定有斜率，所以（2）

错误；（4）中的方程

1=+b

y a x 表示在y x ,轴有截距的直线，如果直线不过原点，平行于坐标轴，这样的直线就没有截距，这些直线不能用1=+b y a x 表示,所以（4）错误；（3）是正确的，直线方程的两点式为112121

y y x x y y x x --=--，它不能表示与与坐标轴平行的直线，但是把它写成整式形式()()()()y y x x x x y y --=--121121后，它可以表示经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线了.所以（3）是正确的. 故填（1）（2）（4）.

【习题06针对训练答案】下列五个命题：

①方程2y kx =+可表示经过点(0,2)的所有直线；

②经过点00(,)x y 且与直线l ：0(0)Ax By C A B ++=?≠垂直的直线方程为：00()()0B x x A y y ---=； ③经过点00(,)x y 且与直线l ：0(0)Ax By C A B ++=?≠平行的直线方程为：00A()()0x x B y y -+-=； ④存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

⑤存在无穷多直线只经过一个整点．

其中真命题是 （把你认为正确的命题序号都填上）

【标题07】利用直线方程的点斜式时没有分类讨论解答过程不完整

【习题07】已知三条直线230x y --=,4350x y --=和310ax y a +-+=相交于同一点P ，

（1）求点P 的坐标和a 的值；

（2）求过点(2,3)-且与点P 的距离为.

【经典错解】(1)由2304350

x y x y --=??--=?解得21x y =??=?，所以点P 的坐标为(2,1).

将P 的坐标(2,1)代入直线013=+-+a y ax 中，可求得2a =.

(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为2x =-，

设直线l 的斜率为,k 则l 的方程为3(2)y k x -=+ 即230kx y k -++=

因此点P 到直线l 的距离

d ==解方程可得2k =.

所以直线l 的方程为270x y -+=.

【详细正解】(1)同上；

(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为2x =-，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意.

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为,k

则l 的方程为3(2)y k x -=+ 即230kx y k -++=

因此点P 到直线l 的距离

d ==解方程可得2k =.

所以直线l 的方程为270x y -+=.

【习题07针对训练】已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点，点(5,0)A 到l 的距离为3，求l 的方程.

【标题08】不等式的解中的逻辑联结词使用错误