专题五 直线 圆锥曲线 平面向量
专题五 直线 圆锥曲线 平面向量
一 能力培养
1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨
问题1设坐标原点为O,抛物线2
2y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ?
的值.
问题2已知直线L 与椭圆22
221x y a b
+=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为
OP k ,OQ k ,如果2
2OP OQ
b k k a
?=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.
问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.
(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB
夹角的大小;
(II)设FB AF λ=
,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.
问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:
①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;
③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为
三 习题探 选择题
1已知椭圆2215x y k +=的离心率e =,则实数k 的值为
A,3 B,3或
253 3
2一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线
3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =±
B,925x =± C,1225y =± D,12
25
x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1
(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)22
5已知点F 1(,0)4,直线l :1
4
x =-
,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是
A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题
6椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离
为
10
3
,则此椭圆的方程为 . 7与方程3
x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 .
8设P 是抛物线2
440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,
且分PA
所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .
9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题
10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,
且满足0HP PM ?= ,32
PM MQ =-
.
(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;
(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ?是等边三角形,求0x 的值.
11已知双曲线C:22
221x y a b
-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,
O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF
成等比数列,过点F 作双曲
线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.
(I)求证:PA OP ?= PA FP ?
; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分
支分别相交于点D,E,求DF
DE
的值.
12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线2
4y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.
(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.
四 参考答案
问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令1
2
x =
,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113
(,1)(,1)224
OA OB ?=?-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2
y k x =-
由21()22
y k x y ?
=-???=?
,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.
设1122(,),(,)A x y B x y ,则212122
21
,4
k x x x x k ++=?=,得 OA OB ?= 1122(,)(,)x y x y ?=12x x ?+1y 2y =12x x ?+11(2k x -21
()2
k x ?-
=22
212121
(1)()24
k k x x x x k +?-++ =222
22121(1)424
k k k k k ++-
?+=34-. 综(1),(2)所述,有3
4
OA OB ?=- .
问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y
由条件知2211221x y a b += ①22
22221x y a b += ②
122x x x +=,122y y y += ③2
12212y y b x x a
=- ④
①+②得2222
121222
2x x y y a b
+++= 即
22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b
+=, 于是点M 的轨迹方程为22
22122
x y a b +=.
问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-,
把它代入24y x =,整理得2
610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.
112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ?=?=+=-+
+1=3-
.
OA OB =
cos ,41OA OB OA OB OA OB
?<>==-
, 所以OA 与OB
夹角的大小为arccos
41
π-. (II)由题设FB AF λ= 得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即2121
1(1)
x x y y λλ-=-??=-?.
得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得
B (λ
或(,λ-,又F(1,0),得直线l 的方程为
(1)1)y x λ-=-
或(1)1)y x λ-=--,
当[4,9]λ∈时,l 在y
由211
λλ=+
--,可知
[4,9]上是递减的,
于是3443≤≤
,43
34
-≤≤-, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34-
-]34
[,]43
. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得
e =,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)
设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222
(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii), 可知2
2e =不合题意,有2
20e -≠,
设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.
21222()2m e x x e ++=--,212122
2()
()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-
+- 2120222x x m e x e ++==-,21202
(1)22
y y m e m
y e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上, 有222m e e +-+22
(1)2
m e m
e +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ?=->,得22e >.
21222(2)22e x x e -++=-=-,2122
42e x x e
-?=-
由12AB x =-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+
即2
2
222
4(24)(11)2e e
-=-?+-,得242e =>,将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:2
24()314493x y --=.
1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得25
3
k =,选B.
2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'
O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.
3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得
22
0916y x -=,于是所求双曲线方程为 22
(2)(2)1916
y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A.
4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得22
2(1)0x m x m +-+=,
由2
2
4(1)40m m ?=--=,得12
m =
,这时得切点(1
2,1),选B.
5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.
6可得28
10
3a c a a c
+=???-=
??,消去c ,整理得2
37400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =,
高中数学竞赛_直线 圆锥曲线 平面向量
专题五 直线 圆锥曲线 平面向量 一 能力培养 1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨 问题1设坐标原点为O,抛物线2 2y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ? 的值. 问题2已知直线L 与椭圆22 221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为 OP k ,OQ k ,如果22OP OQ b k k a ?=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程. 问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点. (I)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小; (II)设FB AF λ= ,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围. 问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程: ①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线; ③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为
三 习题探 选择题 1已知椭圆2215x y k +=的离心率e =,则实数k 的值为 A,3 B,3或 253 3 2一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线 3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =± B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)22 5已知点F 1 (,0)4,直线l :14 x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题 6椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离 为103 ,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2 440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题 10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上, 且满足0HP PM ?= ,32 PM MQ =- .
专题12向量与圆锥曲线教师版
专题12 向量与圆锥曲线 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．点P(-3,1)在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的 光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A ) 33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2 1 2．已知双曲线22 12 y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=则点M 到x 轴的距离为（C ） （A ） 43 （B ）5 3 （C 23 （D 3 3．设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程 是（ D ） A ．22331(0,0)2x y x y + =>> B ．223 31(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．223 31(0,0)2 x y x y +=>> 4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足 0=?+?MP MN ，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ B ） （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 5．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．0,(1,1)k b =∈- 6．已知两定点()( ) 12 2,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹 是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和?ABC 的面积S 。 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E 是以 ()) 122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支， 且2,1c a ==，易知1b =， 故曲线E 的方程为()2 2 10x y x -=< 设()()1122,,,A x y B x y ，由方程组22 1 1 y kx x y =-?? -=?
直线圆锥曲线有关向量的问题
直线圆锥曲线有关向量的问题 咼考考什么 知识要点: 1直线与圆锥曲线的公共点的情况 直线：ax by c 0 曲线：f (x, y) 0 2?连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系 3?以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4. 几何与向量综合时可能出现的向量内容 (3)给出，等于已知是的中点； (5) 给出以下情形之一：①；② 存在实数；③若存在实数 ，等于已知三点共线 (6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 (7) 给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角。 (9) 在平行四边形中，给出，等于已知是菱形 ； (10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩 形 ； (11) 在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角 形三边垂直平分线的交点)； (1)没有公共点 方程组无解 (2) 一个公共点 i) 相交 A 0 ii) 相切 A 0, (3)两个公共点 A 0, 0 2 (或A'y 2 B'y C' 0) Ax Bx C 0 来计算弦长，常用的弦长公式: AB 41 ―k 2 x 1 x 2
(12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点)；
(13) 在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)； (16)在中，给出，等于已知是中边的中线 高考怎么考 主要题型： 1 ?三点共线问题； 2 ?公共点个数问题； 3 ?弦长问题； 4.中点问题；5 .定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 (1) 考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 (2) 考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方 程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 关于y 轴对称，0 (1) 求椭圆C 2的方程； (2) 设O 为坐标原点，点 A, B 分别在椭圆G 和C 2上，O B= 2OA 求直线AB 的方程. 2 2 y x 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为—+ = 1(a >2), a 4 其离心率为 ,故 —-= ，贝U a = 4,故椭圆C2的方程为鲁+x = 1. 2 a 2 16 4 (2)解法一：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y s ), 由O B= 2了及(1)知，0 A B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 为 y = kx . x 2 4 将 y = kx 代入匚 + y 2 = 1 中，得(1 + 4k 2)x 2 = 4，所以 x A = 2, 4 1 + 4k 2 2 例1.过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点Q 与点P 为坐标原点，若 uu r BP uuu 且 UULT UUU 2PA OQ ? AB 则点P 的轨迹方程是(D ) A. 3x 2 1(x 0,y 0) 3x 2 3 y 2 1(x 0,y 0) 2 c. 3y 2 1(x 0,y 0) -x 2 3y 2 1(x 0, y 0) 2 例2. 已知椭圆C : 椭圆 C 2以C 的长轴为短轴，且与 C 有相同的离心率.
专题12向量与圆锥曲线教师版
专题12向量与圆锥曲线 ★★★高考在考什么 【考题回 放】 2 占 1(a b 0)的左准线上?过点P 且方向为a=(2,-5)的 b 光线，经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 (C) 3 2 x i .点P(-3,i)在椭圆弋 a (A ) 占 八、、 2.已知双曲线X 2 M 到x 轴的距离为( 2 y 2 C ) 1的焦点为 F i 、 F 2, 点M 在双曲线上且 uuu ur MF i 1 (D )- 2 UUULT MF 2 0,则 (A ) 4 3 3.设过点P(x,y)的直线分别与 (B ) 5 3 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 UUU UUU UULT UUU (D ) .3 点P 关于y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP 2PA 且 OQgAB 1，则点 是 (D ) A . 3x 2 3 2 2y 1(x 0,y 0) B . 3x 2 3 2 尹 1(x 0,y 0) 3 2 C . - x 2 3y 2 1(x 0,y 0) D . 3 2 x 3y 2 1(x 0,y 0) uu r 为坐标平面内的动点，满足 (-2 , 0)、 N 0)，点 P 4 .已知两点 M A,B 两点，点Q 与 P 的轨迹方程 (2, MN MP (A ) y 2 5.若曲线 MN NP 0,则动点 P (x , y )的轨迹方程为(B ) 2 2 2 8x (B ) y 8x (C ) y 4x (D ) y 4x y 2 = |x|+ 1与直线y = kx + b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 _ .k 0,b ( 1,1) 2的点P 的轨迹 6 ?已知两定点F i 12,0 ,F 2 .2,0 ，满足条件 UU UU PF 2 PF i 是曲线E ,直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。如果 AB UUU uuu UULT C ,使OA OB mOC ，求m 的值和 ABC 的面积 S 。 E 是以 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线 F 1 .2,0 ,F 2 . 2,0为焦点的双曲线的左支, 且c -、2, a 1，易知 故曲线E 的方程为x 2 b 1, y 2 1 x 设 A x i ,y i ,B X 2,y 2 ，由方程组 kx 1 y 2 i 6、, 3，且曲线E 上存在点
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
高三数学教案 平面向量与圆锥曲线的综合问题
平面向量与圆锥曲线的综合问题 例1 已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线的斜率的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，， ∴，．设．则 ，又， 联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设 的方程为，设，． 联立 ∴，由 ，，得．①又为锐角，∴ 又 ∴ 2 214 x y +=125 4 PF PF ?=- l k 2a =1b =c = 1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >> 2 2 125(,,)34PF PF x y x y x y ?=---=+-= -2 214 x y +=22 227414 x y x y ?+=????+=??221134x x y y =??=?????==????P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 2 222221 4(2)4(14)161204 2x y x kx k x kx y kx ?+=??++=?+++=??=+? 1221214x x k = +1221614k x x k +=-+22(16)4(14)120k k ?=-?+?>22163(14)0k k -+>2430k ->23 4 k > AOB ∠cos 00AOB OA OB ?∠>??>12120OA OB x x y y ?=+>2 12121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212 x x y y +21212(1)2()4 k x x k x x =++++222 1216(1)2()41414k k k k k =+? +?-+++
高考数学圆锥曲线及解题技巧
椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
高考圆锥曲线解题技巧总结
第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
平面向量的解题技巧
第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3
浙江省鄞州高级中学高三数学复习讲义平面向量与圆锥曲线的综合问题
平面向量与圆锥曲线的综合问题 例１ 已知F １、F ２分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，125 4 PF PF ?=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，２）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b = ，c = ∴1(F ，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则 2 2 125 (,,)34 PF PF x y x y x y ?=---=+-=-，又2214x y +=， 联立222274 14 x y x y ?+=???? +=??，解得2 211342x x y y =??=?????= =????，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 联立22 222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ?+=??++=?+++=??=+? ∴1221214x x k = +，122 1614k x x k +=-+由22 (16)4(14)120k k ?=-?+?> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得23 4 k >．１又AOB ∠为锐角 cos 00AOB OA OB ?∠>??>，∴12120OA OB x x y y ?=+> 又2 12121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +2 1212(1)2()4k x x k x x =++++222 1216(1)2()41414k k k k k =+? +?-+++
直线与圆锥曲线有关向量的问题
直线圆锥曲线有关向量的问题 高考考什么 知识要点： 1．直线与圆锥曲线的公共点的情况 00 ),(0 2=++??? ?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0 ,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交 （3）两个公共点 → 0,0>?≠A 2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：2 121221 11AB k x x y y k =+-=+ - 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容 （1） 给出直线的方向向量或； （2）给出与 相交,等于已知过的中点; （3）给出,等于已知 是 的中点; （4）给出 ,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：① ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知 三点共线. （6） 给出 ，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知 ,即 是直角,给出,等 于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角。 （8）给出,等于已知是的平分线。 （9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在中，给出等于已知通过的内心； （15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在中，给出,等于已知是中边的中线; 高考怎么考 主要题型： 1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题； 4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 高考真题 1. [2012·上海卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2[解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k×1 －2 ＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2. 2.[2012·重庆卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B24的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
直线圆锥曲线与向量的综合问题
直线圆锥曲线与向量的综合问题 高考考什么 知识要点： 1．直线与圆锥曲线的公共点的情况 00 ),(0 2=++??? ?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0 ,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交 （3）两个公共点 → 0,0>?≠A 2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常 用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容 （1） 给出直线的方向向量或； （2）给出与相交,等于已知过的中点; （3）给出,等于已知是的中点; （4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。 （8）给出,等于已知是的平分线。 （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在中，给出等于已知通过的心； （15）在中，给出等于已知是的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在中，给出,等于已知是中边的中线; 高考怎么考 主要题型： 1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题； 4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 高考真题 1.[2012·卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k× 1 －2 ＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2. 2.[2012·卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 图1－3
圆锥曲线与平面向量交汇问题
圆锥曲线与平面向量交汇问题热点透视 由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何（有向线段）表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一，这类问题往往与向量、函数、方程、不等式、数列等知识相融合，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力。下面结合近几年的部分高考题，介绍高考对这类问题考查的六大热点，供复习参考。 热点1——求圆锥曲线的方程 例1如图1，A,B,C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，AC ⊥BC ，|BC|=2|AC|，求椭圆的方程。 思路：建系，设点C 的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转 化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。 解：建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0) 椭圆方程为 1422 2=+b y x 。设点C 的坐标 为(m,n)，则点B 的坐标为(－m,－n). ∵AC ⊥BC ，∴AC .BC=0， 即(m －2, n) (2m,2n)=0， 图1 ∴m 2－2m+n 2=0 (*) ∵|BC|=2|AC|，∴|CO|=|AC|，即1,)2(2222=∴+-=+m n m n m 将m=1代入(*)得，n=1，∴C(1,1). 将x=1，y=1代入椭圆方程得， 3 411412 2=∴=+b b ，. 故椭圆方程为143422=+y x 例2已知△OFQ 的面积S=26, 且m =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14 6 ( ,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双
圆锥曲线与平面向量的综合.docx
圆锥曲线与平面向量的综合 （ 1） 解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。 在 2004 年的试卷中 , 向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽宁卷等. 在 2005 年的试卷中 , 向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理）， 重庆卷（文，理），湖南卷（文，理），辽宁卷等 . 这表明在全国2004 年的 25 套试卷中有9 套占36%，在 2005 年的 29 套试卷中 , 就有 13 套 , 占45% . (一 )解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容： 1. 给出直线的方向向量u1, k或 u m, n，等于已知直线的斜率k 或n ；m 2. 给出OA OB 与 3. 给出PM PN 4. 给出AP AQ AB 相交,等于已知OA 0 ,等于已知P是MN BP BQ ,等于已知 OB 过 的中点 ; P,Q 与 AB 的中点; AB 的中点三点共线; 5.给出以下情形之一 ①AB // AC , ②存在实数, 使 AB AC , ③若存在实数 , ,且1, 使O C O A O B 等于已知 A, B, C 三点共线 . , 6. OA OB 为定比，即 AP PB 给出 OP，等于已知 P 是AB的定比分点， 1 7.给出 MA MB0 ,等于已知MA MB ,即AMB 是直角,给出MA MB m0 ,等于已知AMB 是钝角,给出MA MB m0 ,等于已知AMB 是锐角, 8.给出MA MB MP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线/ MA MB 9.在平行四边形 ABCD 中，给出 ( AB AD) ( AB AD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形; 10.在平行四边形ABCD 中，给出AB AD AB AD ，等于已知ABCD是矩形; 2 OB 22 ABC 的外心； 11.在ABC 中，给出 OA OC ，等于已知 O 是 12.在ABC 中，给出OA OB OC0 ，等于已知O是ABC 的重心； 13.在ABC 中，给出OA OB OB OC OC OA ，等于已知O是ABC 的垂心； 14.在ABC 中，给出OP OA( AB AC )(R) 等于已知AP 通过ABC 的 AB AC
(完整word)高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
平面向量与圆锥曲线复习资料
平面向量与圆锥曲线 湖南师大附中朱海棠 平面向量与圆锥曲线是高考数学试题中的两个基本板块，二者相互渗透，联系密切?深 入研究三年来湖南高考数学试卷在这两方面的命题特点，对把握2007年高考方向具有积极 的意义? 一、平面向量 平面向量融数、形于一体，不仅其自身有一个完整的理论体系，而且还能够与函数、不等式、数列、复数、三角、解析几何等各个数学分支有机结合，因而在高中数学及高考中都有其特定的地位与作用? 1、高考命题特点 平面向量作为高考的一个必考内容，已形成了在小题中为主体，在大题中为客体的命题 格局，并显示出如下主要特点： （1）题量保持稳定 三年来，湖南高考数学卷每年都有两道与平面向量有关的试题，分值保持在10分左右， 平面向量的基本运算包括几何运算、字符运算和坐标运算三大类，高考试题都立足于这 些基本运算，其中有关数量积的运算是考试的重点，并与平行、垂直、夹角、距离相关联?（3）强调综合应用 以平面向量为载体，结合代数、三角、几何等知识设计试题，是向量试题的一个命题特 色，理科试卷尤为突出?这是基于“在知识网络交汇点设计试题”的命题理念，能使试题达到一定的广度和深度? r r 例1（2004年理13题）已知向量a（cos ,sin ），向量b （??. 3, 1），则 最大值是 4 ? 本题考查向量与三角函数的综合应用 2 2 例2（2005年理13题）已知直线ax by c 0与圆O：x y 1相交于A、B两 uuu uuu 1 点，且I AB I 、、3，则OA OB —? 2 本题考查向量与直线、圆的综合应用?
r r 2 r r r 例3（2006年理5题）已知| a | 2 | b | 0，且关于x的方程x | a | x a b 0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是
高中数学圆锥曲线结论最完美版本(供参考)
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞
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2013高考数学专项突破：圆锥曲线专题 目录 一、知识考点讲解...................................... 错误!未定义书签。 第一部分了解基本题型 (4) 第二部分掌握基本知识 (7) 第三部分掌握基本方法 (10) 二、知识考点深入透析 (19) 三、圆锥曲线之高考链接 (23) 四、基础知识专项训练 (26) 五、解答题专项训练 (35) 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案...... 错误!未定义书签。 附录：基础知识专项训练参考答案.......... 错误!未定义书签。 附录：解答题专项训练参考答案.............. 错误!未定义书签。
1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 （1）求圆锥曲线的轨迹方程： 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。 （2）求直线方程、斜率、线段长度相关问题： 此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还考查学生的综合处理问题的能力，还要