高等数学知识要点整理

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第一章 函数、极限、连续

重要的等价无穷小量代换

2

2

01ln(1)1cos log (1+)(0,1)2

ln 1

111ln 1l (1n(1)2

)11x

a x a x x

x e x

x x x x a a a

x a x a

x x a x

x

n

x x x ββ→-+->≠--+-++--

当:

两个重要极限

0sin lim 1x x x

→= ()1

0lim 1x x x e →+=

各类无穷小的定义

()lim

0.lim lim 0lim 0,0k o c c k k ββαβααββααβ

βααβ

βαα

===∞=≠=≠>是比高阶的无穷小.记是比低阶的无穷小.与是同阶无穷小.是关于的阶无穷小. 幂指函数的相关结论

(1).lim ()0,lim ().lim ()()u x a v x b u x v x =>=设且存在

()

lim ()lim[()]

lim[()]v x b v x u x a u x ==则

(2)

lim ()0,lim (),lim ()()u x v x u x v x ==∞设且存在 则()

lim[()()]lim[1+()]

v x u x v x u x e =

当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度:ln ,

,(1),

!,

a x x

x x a a x x >????????→由慢到快

渐近线

(1) 水平渐近线

+-lim ()()x f x A

y A y f x →∞∞

===,若:则是曲线的水平渐近线。

(2) 垂直渐近线

()()00

0,lim ()+-x x x f x x x y f x +-

→=∞∞==若:或则是曲线的垂直渐近线。 (3) 斜渐近线 若()lim

0x f x a x

→+∞

=≠,()lim x f x ax b →+∞-=???? 或()lim 0x f x a x

→-∞

=≠,()lim x f x ax b →-∞-=???

? 则y ax b =+是曲线()y f x =的一条斜渐近线。(一般的n x

n x

y x e y x e -==和都有斜渐近线0y =)

极限的定理

设()lim f x A =,()lim g x B = 那么: (1)()()lim f x g x A B +=+???? (2)()()lim f x g x A B -=-???? (3)()()lim f x g x A B ?=????? (4)()()

lim

f x A

g x B

=

()0B ≠

①在()0

lim x x u x →与()0

lim x x v x →都存在的条件下才有()0

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x u x v x u x v x →→→+=+

②若()0

lim x x u x →与()0

lim x x v x →中一个存在一个不存在,则有结论()0

lim ()()x x u x v x →+不存在

③若()0

lim x x u x →与()0

lim x x v x →中两个都不存在,那么()0

lim ()()x x u x v x →+与()0

lim ()()x x u x v x →-可能两个都不存

在,或者一个存在一个不存在,但绝对不会两个都存在。不能将

()0

lim ()()lim ()lim ()x x x x x x u x v x u x v x →→→±???→±拆开成

关于间断点

第一间断点:可去间断点,跳跃间断点(左、右极限都存在)

第二间断点:无穷间断点,振荡间断点(左、右极限至少一个不存在)

相关性质:①设()f x 在0x x =处有跳跃间断点,则在任意一个包含0x x =在其内部的区间(,)a b 上,()f x

必不存在原函数

函数的性质

一切初等函数在其定义区间都是连续的。

有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界性且一定能取得它的最大值和最小值

第二章 一元函数微分学

导数的定义

'0000000()()()()()lim

lim lim

x x x x f x f x f x x f x y

f x x x x x

→?→?→-+?-?===-??

二阶导数

()()()()()232

1dy dy d d t t t t d y dx dx dx dx dx dt t dt

ψ?ψ??????????''''''-????=='???? =

复合函数的可导性判断

若()f x 在x a =处可导,()g x 在x a =处连续但不可导,则当()0f x ≠时()()f x g x 在x a =处不可导,当()=0f x 时,()()f x g x 在x a =处可导,且()()()|()().x a f x g x f x g x =''=

反函数的求导法则

设()y f x =的反函数()x g y =,两者皆可导,且()0f x '≠ 则 ()()()()()11

0g y f x f x f g y ''=

=≠''????

反函数的二阶求导

()()()1d d g y f x g y dy dy dx dx

????

''??????''== 1 ()()()(){}

()()33

0f g y f x f x f x f g y ''??''??'=-=-≠'??'??????

微分的定义

设函数()y f x =在某区间内有定义,0x 及0+x x 在这区间内, 如果增量0()()y f x x f x =+-

那可表示为:()y A x o x =+ 0x → ()

其中dy A x =

全微分的近似计算

Z=(,)(,)x y dz f x y x f x y y =+

若()y f x =在0x x =处可导且取极限,且取得极值,则0'()0f x =

如果函数()f x 满足 (1)在闭区间[,]a b 上连续 (2)在开区间(,)a b 内可导

(3)在区间端口处的函数值相等,即()()f a f b = 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得'()0f ξ=

设函数在闭区间[,]a b 上连续,且在这区间的端口取不同的函数值:()f a A =及()f b B = 那么对于A 与B 之间的任意一个数C ,在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=。

设函数()f x 在闭区间上连续,且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b < ),那么在开区间(,)a b 内 至少有一点ξ,使()f ξ=0

如果函数()f x 满足 (1)在闭区间[,]a b 上连续 (2)在开区间(,)a b 内可导

那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使等式()()'()()f b f a f b a ξ-=-

若函数()f x 及()F x 满足在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则对任一(,)x a b ∈,'()0F x ≠,

那么在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()

()()()

f b f a f F b F a F ξξ'-='- 函数的单调性与曲线的凹凸性

定理1:设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导

(1)如果在(,)a b 内'()0f x >,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调递增 (2)如果在(,)a b 内'()0f x <,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少

定理2:设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有一阶与二阶导数 (1)若如果在(,)a b 内''()0f x >,则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的。 (2)若如果在(,)a b 内''()0f x <,则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的。

定理3:(第二充分条件)设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且00'()0,''()0,f x f x =≠则 (1) 当0()0f x ''<,函数()f x 在0x 处取得极大值 (2) 当0()0f x ''>,函数()f x 在0x 处取得极小值

连续导数定理

设()f x 在0x x =处连续,在0x x =的某去心邻域内可导,并设()0

lim x x f x →'存在且等于A ,则()0f x '亦存在

且等于A

第三章 一元函数积分学

利用定积分的定义求极限

()11

1lim 0n n k k f f x dx n n →∞=??= ???

∑? ????如果存在 定积分的导数

()

()

=()=[()]()[()]()u x v x x f t dt x f u x u x f v x v x ??'''?-?

()()

牛顿-莱布尼兹公式

如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则 ()()()b

a

f x dx F b F a =-?

分部积分法

udv uv vdu =-??

积分的性质

(),f x a a 若在[-]上连续且为偶函数

()2()a

a

a

f x dx f x dx -=?

?

定积分的三角公式

2

2

2

2

0000

sin cos (sin )(cos )n

n

n I xdx xdx f x dx f x dx

π

π

π

π

==?=????(()f x 是[0,1]上的连续函数)

()()2111

1342

11253

133124222n n n I I n

n n n I n n n n n I n n ππ--=

--?=??-=?

--?=?-? …为大于的正奇数, …为正偶数, 0

1()[()()]2a

a

f x dx f x f a x dx =+-?

? ()t a x =-换元,令

()[()()]a

a

a

f x dx f x f x dx -=+-?

?

三角代换

常用代换sin.()2

2

x a t π

π

=-<<

常用代换tan .()2

2

x a t t π

π

=-

<<

(),f x a a 若在[-]上连续且为奇函数

()0a

a

f x dx -=?

常用代换sec .02x a t t π??

=<< ??

?

注:2

2

csc cot 1x =+ 2

2

sec =tan 1+ 原函数的奇偶性、周期性

定理1 若连续函数()f x 是[,]a a -上的奇(偶)函数,则

()()x

F x f t dt =?是偶(奇)函数()a x a -≤≤

推论1 奇函数的原函数是偶函数,注意:当()f x 为奇函数时,

00

()()()x

x

a

a

f t dt f t dt f t dt =+?

??也是偶函数

偶函数的原函数等于唯一的奇函数和一个任意常数之和。

定理2 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续周期函数,且周期为T ,()F x 是它在(,)-∞+∞上的一个原函数, 则下列条件等价:

(1) ()F x 是(,)-∞+∞上的周期函数; (2) ()F x 是(,)-∞+∞上有界; (3)对任意实数a ,有

()0a T

a

f t dt +=?

推论2 若()f x 是(,)-∞+∞上的连续周期函数,()F x 是它在(,)-∞+∞上的一个原函数,且()F x 也是周期

函数,则()F x 与()f x 有相同的周期

推论3 若()f x 是(,)-∞+∞上的连续周期函数, 其周期为T ,()F x 是它在(,)-∞+∞上的一个原函数,

1(),T

c f t dt T =?则()F x cx -是(,)-∞+∞上一个以T 为周期的周期函数,即()F x 可以表示为一个周期函

数与一个线性函数的和

定理3 设()f x 是以T 为周期的连续函数,则

20

2

()()()()()T a T

T

T a nT

T

f x dx f x dx f x dx

f x dx n f x dx

+-===?

??

?

?

()x

a

f t dt ?

以T 为周期的充要条件是0

()0T

f x dx =?

定积分中值定理

如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续,则在[,]a b 上至少有一点ξ,

使

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-?

[,]a b ξ∈

函数的平均值 1()b

a y f x dx

b a

=-? 旋转体的体积

由连续曲线()y f x =、直线x a =、x b =及x 轴所围成的曲边梯形,绕x 轴旋转一周而成的立体

2

[()]dV f x dx π= 故2[()]b

a

V f x dx π=?

由连续曲线()x y ?=、直线y c =、y d =与y 轴所围成的曲边梯形,绕y 轴旋转一周而成的立体

2[()]dV y dy π?= 故2[()]d c

V y dy π?=? 或 2[()]b

a

V x f x dx π=?

泰勒中值定理

如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到()1n +阶的导数,则对任一

(,)x a b ∈,存在:

2

0000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+

其中:(1)10()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=

-+ (ξ是0x 与x 之间的某个值) 佩亚诺型余项:()()

0n

n R x o x x ??=-?

? 拉格朗日型余项:(1)10()()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=-+

2(0)(0)()(0)(0)()2!!

n n

n f f f x f f x x x o x n '''=++++

()(1)21

(0)(0)()()(0)(0)012!!(1)!

n n n n f f f x f x f f x x x x

x n n θ++'''=+++++<<+

第四章 多元函数微分学

多元函数微分法—锁链公式 模型:设(,,),

(,)u f x y z z z x y ==

y z u z f f y y ??''=+?? x z u z f f x x

??''=+?? 模型:设(,,),

()()u f x y z y y x z z x ===

x y z du dy dz f f f dx dx dx

'''=++

全微分的定义

设函数(,)z f x y =在点(),x y 的某邻域内有定义,如果函数在(),x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y =++- 可表示为()z A x B y o ρ=++

其中A B 、不依赖于x y 、而仅以x 、y 有关,ρ=

则称(,)z f x y =在点(),x y 可微分,

而A x B y + 称为函数(,)z f x y =在点(),x y 的全微分,记作dz ,即A x B z y d =+

可微分的必要条件

如果函数(,,)u f x y z =在点(),,x y z 可微分,则该函数在(),,x y z 的偏导数

u u u

x y z

??????、、必定存在且函数的全微分公式为:z z z du dx dy dz x y z

???=

++???

用定义法判断是否可微

求出函数(0,0)(,)x y z f x f x y y ??-?-??? 的值,并考虑'(,)P x y ??沿直线y x =趋于()0,0时

(0,0)(,)z f x f x y y ??-??- 0ρ→而趋于0,即(0,0)(,)x y z f x f x y y ??-?-??? 是否是ρ的高阶无穷小

多元函数的极限存在、连续性、偏导数、可微分

函数的极限存在 连续

可微分

偏导数存在

偏导数连续

隐函数的微分法

22(,)0()()x x x y y y F F F dy d y dy F x y dx F dx x F y F dx

??

==-=--???隐函数, , +

设(,,)=0,

f x y z 确定(,)z x y =

若,,x y z F F F '''连续,且0z F '≠,则x z F z

x F '?=-

?'

y z F z y F '?=-?'

拉格朗日乘数法

要找函数(,)z f x y =在附加条件()0x ?=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数。 可以先作拉格朗日函数

(,)(,)(,)L x y f x y x y λ?=+ 其中:''''(,)0x x x y y y L f L f L x y λ

λ?λ??=+??

=+??==?

多元函数的极值及求法

定理一:(必要条件)设函数(,)z f x y =在点()00,x y 具有偏导数,且在点()00,x y 处有极值,则有

()00,0,x f x y = ()00,0y f x y =

定理二:(充分条件)设函数(,)z f x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又使

()00,0,x f x y = ()00,0y f x y =,令 ()00,,xx f x y A =()00,xy f x y B =,()00,yy f x y C =

则(,)f x y 在()00,x y 处能否取得的极值的条件如下:

()210AC B ->时具有极值;且当0A <时有极大值,0A >时有极小值。 ()220AC B -<时没有极值。

()23=0AC B -时,可能有极值,可能没有极值需讨论。

二重积分中值定理

设函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点(),ξη,使得

(,)(,)D

f x y d f σξησ=???

。通常把

1

(,)D

f x y d σσ

??称为(,)f x y 在D 上的积分平均值。

利用极坐标求二重积分的上下限

对称区域上奇偶函数的积分性质

定理一.设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,若D 关于x 轴对称,则

1

0(,)2(,)D

D f x y d f x y d σσ

?

?

=?????

??(){}(){},|(,)(,),|(,)(,)x y f x y f x y f y x y f x y f x y f y -=--=-即关于是奇函数即关于是偶函数

其中D1为D 在x 轴上半平面部分

定理二.设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,若D 关于y 轴对称,则

1

0(,)2(,)D

D f x y d f x y d σσ

?

?

=?????

??(){}(){},|(,)(,),|(,)(,)x y f x y f x y f x x y f x y f x y f x -=---=即关于是奇函数即关于是偶函数

其中D1为D 在y 轴右半平面部分

定理三.设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,若D 关于原点对称,则

3

0(,)2(,)D

D f x y d f x y d σσ

?

?

=?????

??(){}(){},|(,)(,),|(,)(,)x y f x y f x y f x y x y f x y f x y f x y --=---=即关于,的奇函数即关于,的偶函数

其中3D 为D 的上半轴部分或右半平面部分。

定理四.设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,若D 关于x 轴,y 轴均对称,则

1

0(,)4(,)D

D f x y d f x y d σσ

?

?

=?????

??(){}(){},|(,)(,),|(,)(,)x y f x y f x y f x y x y f x y f x y f x y --=---=即关于,的奇函数即关于,的偶函数

其中1D 是D 的第一象限部分

第五章 无穷级数

级数收敛的必要条件 如果级数

1

n

n u

=∑收敛,则它的一般项n u 趋于零,即lim 0n n u →∞

=

两个重要级数

1.几何级数 设a 和q 是常数,且0a ≠,则

n

n aq ∞=∑当1q <时收敛,且0

=

1n n a

aq q

=-∑;当1q ≥时发散 2.p 级数

1

1

p n n ∞

=∑当1p >时收敛;当1p ≤时发散

任意项级数判别法

若()1,2,,n n n U u W n ≤≤= 又

1

1

,n

n

n n U W

∞∞

==∑∑均收敛,则

1

n

n u

=∑收敛

.ps 比较判别法只适用于正项级数收敛的判别,但对任意项级数不适用

比值判别法(达朗贝尔判别法)

1

1110,lim

1lim 01n n n n n n x x n n

u u u u u u ∞

=∞

+→∞→∞

=?

?

>=>≠??

?=??

∑∑时,收敛,设则当时,发散,且,时,此判别法失效。

莱布尼茨定理 (1)1(1,2,3,)n n u u n +≥=

(2)lim 0n x u →∞

=

则级数收敛,且其和满足()

1

11

01,n n n u u ∞

-=<-<∑余项1n n r u +<

绝对收敛与条件收敛 如果正项级数

1

n

n u

=∑各项的绝对值所构成的正项级数

1

n

n u

=∑收敛,则称级数

1

n

n u

=∑绝对收敛;如果级数

1

n

n u

=∑收敛,而级数

1

n

n u

=∑发散,,则称级数

1

n

n u

=∑条件收敛.

关于绝对收敛与条件收敛的基本结论 1. 绝对收敛的级数一定收敛,即若

1

n

n u

=∑收敛,则

1

n

n u

=∑收敛

2. 条件收敛级数的全部正项与全部负项构成的级数分别发散,即若

1

n

n u

=∑条件收敛,则级数

11()2n n

n u u ∞

=+∑与11

()2

n n n u u ∞

=-∑均发散。 对于三个级数

1

1

1,,()n

n

n

n n n n U V U

V ∞

===?∑∑∑

1.若

1n n U ∞=∑,1n n V ∞

=∑都收敛,则1()n n n U V ∞

=?∑不一定收敛.如:(

)

1n

n n U V ==- 2.若

1n

n U

=∑,

1

n

n V

=∑都发散,则

1

()n

n n U

V ∞

=?∑不一定发散

3.若

1

n n U ∞

=∑收敛,1

n n V ∞

=∑发散,则1

()n n n U V ∞

=?∑不一定发散.如:2

11

,n n U V n n

=

= 4.若

1n n U ∞

=∑条件收敛,1

n n V ∞

=∑绝对收敛,则1

()n n n U V ∞

=?∑不一定条件收敛.如:()2

11

,n

n

n U V n

n -=

=

5.若

1

n

n U

=∑收敛,

1

n

n V

=∑绝对收敛,则

1

()n

n n U

V ∞

=?∑绝对收敛。证明:1

n n U ∞

=∑收敛,故lim 0n n U →∞

=,所以当

n →∞时,1,n U ≤即n n n U V V ≤,由比较判别法得证。

6.若

1

n

n U

=∑,

1

n

n V

=∑都绝对收敛,其和分别为s 和σ则它们的柯西乘积

1

()n

n n U

V ∞

=?∑也是绝对收敛的,且其

和为s σ?

部分特殊的收敛级数 1. 设

21

n n u ∞

=∑收敛,则级数1

n

n u n ∞

=∑

绝对收敛 对于三个级数

1

1

1

,,()n

n

n

n n n n U V U

V ∞

∞∞

===±∑∑∑

1.如果有两个收敛,则第三个收敛。

2.如果其中一个收敛,另一个发散,则第三个发散。

3.如果有连个发散,则第三个的敛散性不能确定

4.如果有两个绝对收敛,则第三个绝对收敛

5.如果其中一个绝对收敛,另一个条件收敛,则第三个条件收敛。

6.如果有两个条件收敛,则第三个收敛,但不能判定它是绝对收敛还是条件收敛。

阿贝尔(Abel )定理 如果级数

0n

n n a x

=∑当()000x x x =≠时收敛,则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛。反之,

如果级数

n

n n a x

=∑当0x x =时发散,适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散。

阿贝尔(Abel )定理推论 如果幂级数

n

n n a x

=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上收敛,则必有一个确定的正数R 存在使

当x R <时,幂级数绝对收敛 当x R <时,幂级数发散

当x R =与x R =-时,幂级数可能收敛,也可能发散

正数R 叫做幂级数的收敛半径,开区间(),R R -叫做幂级数的收敛区间

幂函数的分析性质 设幂函数

0n

n n a x

=∑的收敛半径为R ,则在(),R R -内有

1.

n

n n a x

=∑的和函数()f x 是连续的,

2.

0n

n n a x

=∑可逐项微分,且()10

1'()(

)'',(,).n

n

n n n n n n n f x a x

a x na x x R R ∞

∞∞

-======∈-∑∑∑

3.

n

n n a x ∞

=∑可逐项积分,且1

()()(),(,).1x

x x

n

n

n n n n n n n a f x dx a x dx a x dx x x R R n ∞

+======∈-+∑∑∑

??? 逐项积分和逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

第六章 常微分方程

化为可分离变量的微分方程 y ux =令,

=dy du u x dx dx + 或: 令,z x y =-+ 1dz dy

dx dx

=-

一阶线性微分方程 方程:

()()+dy

p x y Q x dx

= 通解: ()()(())p x dx p x dx y e Q x e dx C -??=+?

伯努力方程

()+()()0,1n dy

p x y Q x y n dx

=≠ 1n z y -=设 则(1)()(1)()dz

n p x z n Q x dx

+-=-

常系数线性微分方程

''()'()0y p x y Q x y ++=

表中()k R x 为系数待定的n 次多项式,(),()k k R x S x 为系数待定的m 次多项式,{}max ,.R n m = n 阶常系数非齐次线性微分方程的解

第六章 &差分方程

差分的概念

设函数(),t y y t =称改变量1t t y y +-为函数t y 的差分,也称为函数t y 的一阶差分,记为,t y ? 即:1t t t y y y +?=- 或()(1)()y t y t y t ?=+-

一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式:1()t t y ay f t ++= 当()0f t =时,齐次差分方程的通解:()t

t y C a =-

差分的性质

性质一:若a 为常数,则a ?=0。

性质二:若a b 、为常数,则()t t t t ay bz ay bz ?+=?+? 性质三:11()t t t t t t t t t t y z z y y z z y y z ++?=?+?=?+? 性质四:1(

)t t t t t t t t

y z y y z z z z +?-??= 常用推论:2

21t t t t y y y y ++?=-+

泰勒公式举例

当0x →时()212!!

n

x

n x x e x o x n =+++++ ()()()352121sin 13!5!21!

n n

n x x x x x o x n ++=-+++-++

()()()2422cos 112!4!2!

n n n x x x

x o x n =-+-+-+

()()()231ln 1123n

n n x x x

x x o x n ++=-+-+-+

()()352121arctan 13521

n n n x x x

x x o x n ++=-+-+-++

()

()

()()()2

111112!

!

n n n x x x x o x n α

αααααα---??-??

+=++

++

+ (α为实常数)

导数与微分表

()0c '= 

()0d c =

()()1

a

a x ax

a -'= 实常数

()1a a dx ax dx a -= 实常数

()sin cos x x '= sin cos d x xdx = ()cos sin x x '=- cos sin d x xdx =- ()2tan sec x x '= 2tan sec d x dx = ()2cot csc x x '= 2cot csc d x xdx =-

()sec sec tan x x x '= sec sec tan d x x xdx = ()csc csc cot x x x '=- csc csc cot d x x xdx =- ()()1

log 01ln a x a a x a

'=

>≠ , ()log 01ln a dx

d x a a x a

=>≠ , ()1ln x x

'= 1ln d x dx x

=

()()ln 01x

x

a a

a a a '=>≠ ,

()ln 01x x da a adx a a =>≠ ,

()x

x

e e

'=

x x de e dx =

()

arcsin x '=

arcsin d x =

()

arccos x '=

arccos d x =

()2

1

arctan 1x x

'=

+ 2

1

arctan 1d x dx x

=

+

(

ln x '??=????

(

ln d x +=

(

ln x '??=????

(

ln d x +=

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:

()

()()

()(1)(2)()()

()

()

(1)(1)(1)2!!

n

n k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++

++++∑

一些常用的初等函数的n 阶导数公式 (1)x

y e =

()n x y e = (2)(0,1)x y a a a => ()(ln )n x n y a a =

(3)sin y x =

()sin 2n n y x p 骣÷

?=+÷?÷?桫 (4)cos y x =

()cos 2n n y x p 骣÷

?=+÷?÷?桫 (5)ln y x =

()1(1)(1)!n n n y n x --=--

基本积分表

ln ln dx x x x C =-+?

2

22

2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc dx xdx x C x dx xdx x C

x x xdx x C x xdx x C

==+==-+?=+?=-+??????22tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan xdx x C xdx x C

xdx x x C xdx x x C

dx x

C a x a a =-+=+=++=-+=++????

?ln ln(x

x

a

a dx C a

dx C

x C

=+==++??

?22221ln 21ln 2arcsin dx x a

C x a a x a dx a x

C a x a a x x

C a

-=+-++=+--=+??

ln (1)1dt t

C t t t =+++?

2

t e d t +∞

-=

?

211arctan 11x x x '+??= ?-+?? 2

11arctan 11x x x '-?

?=- ?++??

2ln 2

a x C =+

2arcsin 2a x C a

=+

四则运算法则

()()()()f x g x f x g x '''±=±????

()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+???? ()()()()()()

()()()2

0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????

()()()()d f x g x df x dg x ±=±????

()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x =+????

()()()()()()()()()2

0f x g x df x f x dg x d g x g x g x ??-=≠????

三角函数基本公式

1.正弦定理:

A a

sin =B b sin =C

c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:2

2

2

2cos a b c bc A =+- bc

a c

b A 2cos 2

22-+=

3.S ⊿=

21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R

abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C

B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---

(其中)(2

1

c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)

大学微积分l知识点总结 二

【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称F (x )是f (x )的一个“原函数”。 (2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其中c 为常数) (3)基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1(α≠1,α为常数) (4)零函数的所有原函数都是c (5)C 代表所有的常数函数 (6)运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① (7)[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分: c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地, (9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。 (10)不定积分的计算方法 ①凑微分法(第一换元法),利用复合函数的求导法则 ②变量代换法(第二换元法),利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法: 【解释:一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 (8

释义:函数 对应:y=f(u) 说明: (11)c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 (12)分段函数的积分 例题说明:{} dx x ??2,1max (13)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一 (16)隐函数求不定积分 例题说明: (17)三角有理函数积分的万能变换公式 (18)某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 (19)其他形式的不定积分 2.补充知识(课外补充) ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 (1)定义:若函数f(x)在区间I 上连续,则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数),则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c (2)一般积分方法 值得注意的问题:

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域:设α与δ是两个实数,且δ>0.满足不等式│x-α│<δ的实数x的全体称为点α的δ邻域,点α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义:如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应,则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量,y 叫做函数值(或因变量),变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注:为了表明y是x的函数,我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a):解析法:用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆的方程是:x2+y2=r2 b):表格法:将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例:在实际应用中,我们经常会用到的平方表,三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c):图示法:用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量。例:直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为: 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性:如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立,其中M是一个与x无关的常数,那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。 注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数 例题:函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性:如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(a,b)内任意两点x1

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转))

大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学(通用复习) 师兄的忠告:记住我们只复习重点,不需要学得太多,这些是每年必须的重点,希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1.由n x ∴N 2.即对?∴x ∞ →lim ○x →1.由(f ∴δ=2.即对?∴x x →0 lim ○→x 1.由(f ∴X 2.即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★) 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★) (定理三)假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小,则()()lim 0f x g x ?=????

(定理四)在自变量的某个变化过程中,若()x f 为无穷大,则()1 f x -为无穷小;反之,若()x f 为无穷小,且 ()0f x ≠,则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算:()()0 lim x x f x g x →?????(或∞→x ) 1.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的; (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界;) 2. →x (→x 3(x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解:因为3→x ,从而可得3≠x ,所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 :A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37: 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之,无穷小的倒数是无穷大。 例如:lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则,

lim 0→x x x tan 1=,lim 0→x x x arctan 1=,lim 0→x x x arcsin 1=, lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =,lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时, x x ~sin ,x x ~tan , x x ~arcsin ,x x ~arctan ,x x ~)1ln(+, x e x ~,221 ~cos 1x x -,x x αα++1~)1(,≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限?P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =,)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式:00,∞∞ , 其它未定式 ∞?0,∞-∞,00,∞1,0∞(后三个皆为幂指函数) 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77: lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

高等数学下知识点总结

高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程

1、 一般式方程:?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量:),,(p n m s =ρ ,过点),,(000z y x 3、 两直线的夹角:),,(1111 p n m s =ρ ,),,(2222p n m s =ρ , ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ;?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、 直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角, ?∏//L 0=++Cp Bn Am ;?∏⊥L p C n B m A == 第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续: ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、 偏导数: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ;y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、 方向导数: βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、 梯度:),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、 全微分:设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y ??= +?? (一) 性质 1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:

大学高等数学知识点

大学高等数学知识点整理 公式,用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞ (含x →±∞);*0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、 向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、 两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、 二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222; (旋转抛物面: z a y x =+2 2 2(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面: 122 222=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转) )

高等数学考试知识点

《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容: 1.函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数简单应用问题的函数关系的建立; 2.数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限; 3.无穷小和无穷大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较; 4.极限的四则运算;极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限,; 5.函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理);考试要求: 1.理解函数的概念,掌握函数的表示方法; 2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性; 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念; 4.掌握基本初等函数的性质及其图形; 5.会建立简单应用问题中的函数关系式; 6.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系; 7.掌握极限的性质及四则运算法则; 8.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法; 9.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;

10.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型; 11.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质; 二、一元函数微分学 考试内容: 1.导数和微分的概念;导数的几何意义和物理意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的切线和法线;基本初等函数的导数; 2.导数和微分的四则运算;复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法; 3.高阶导数的概念;某些简单函数的n阶导数; 4.一阶微分形式的不变性; 5.罗尔(Roll)定理;拉格朗日(Lagrange)中值定理;柯西(Cauchy)中值定理;泰勒(Taylor)定理; 6.洛必达(L’Hospital)法则; 7.函数的极值及其求法;函数单调性函数;图形的凹凸性、拐点及渐近线;函数最大值和最小值的求法及简单应用; 8.弧微分、曲率的概念;曲率半径; 考试要求: 1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系; 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分; 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数; 4.会求分段函数的一阶、二阶导数;

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= , , ,  a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高等数学基本知识

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111 C B A n =ρ ,),,(2222C B A n =ρ , 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ;? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= (三) 空间直线及其方程

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 (一) 函数 1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、 反函数、复合函数、函数的运算; 3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、 函数的连续性与间断点; 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类:左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. (二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时,当 左极限:)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限:)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2) a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5) 无穷小代换:(0→x ) a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (1)数列极限的定义 给定数列{x n },若存在常数a ,对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x n-a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →a (n→∞). (2)函数极限的定义 设函数f (x)在点x 0的某一去心邻域内(或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,(或存在X ) 使得当x满足不等式0<|x -x0|<δ 时,(或当x X >时) 恒有 |f (x)-A |<ε , 那么常数A就叫做函数f (x)当0x x →(或x →∞)时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x0).( 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有:如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-)时,恒有()f x A ε-<,则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限)记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时,恒有()f x A ε-<,则称A 为()f x 当x →-∞(或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== 2、极限的性质 (1)唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =,则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=,则A B = (2)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ,则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

高等数学基本知识大全

高等数学

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说 A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学高数知识点总结

高数重点总结 1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(x a y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限:()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如:()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导: [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如:x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx 例如:y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若?? ?==) ()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin

高等数学 各章知识点总结——第9章

一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体,称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体,称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体,称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离: ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点, 是某一正数, 与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域,记为),(0 P U ,即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的 空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。 内点与边界点:设E 为n 维空间中的点集,n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ,使得E P U ),( ,则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点,则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界. 聚点:设E 为n 维空间中的点集,n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点,则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点,则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集,则称E 为闭集。 区域与闭区域:设D 为开集,如果对于D 内任意两点,都可以用D 内的折线(其上的点都属于D )连接起来, 则称开集D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域与其边界的并集称为闭区域. 有界集与无界集: 对于点集E ,若存在0 M ,使得(,)E U O M ,即E 中所有点到原点的距离都不超过M ,则称点集E 为有界集,否则称为无界集. 如果D 是区域而且有界,则称D 为有界区域. 有界闭区域的直径:设D 是n R 中的有界闭区域,则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。

高数重要知识点汇总

高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1.两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.★用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=

高等数学知识点(重点)

高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角; ②数量积(是个数)、向量积(是个向量);(填空选择题中考察) ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面;(重积分求体积时画图需要) ④平面的几种方程的表示方法(点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程),两平面的夹角;(一般必考) ⑤空间直线的几种表示方法(参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程), 两直线的夹角、直线与平面的夹角;(一般必考) 空间解析几何和向量代数: 。 代表平行六面体的体积为锐角时, 向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面: 同号) (、抛物面:、椭球面:二次曲面: 参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程: 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= , , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式: 时,,当 : 多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

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