第十四章整式乘法与因式分解
第十四章整式乘法与因式分解
14.1 整式的乘法 14.1.1 同底数幂乘法
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
⒈在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力.
⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心.
学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数幂的乘法的法则的应用. 学习过程： 一、 导学
1、 表示几个2相乘？表示什么？
表示什么？呢？
2、把表示成的形式. 。
二、研学
1、请同学们通过计算探索规律. （1）
(2)
（3）
（4）
（5）
问题：（1）这几道题目有什么共同特点？
3
2235a m a 22222????n a ()())(222222222243=?????=?35?4
5=)(5=7)3(-?6
)3(-=())(3-=)
(?
?
? ??=??? ?????? ??1011011013
3
a ?4a ==()a
（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？
2、请同学们根据以上规律推算一下的结果？（m 、n 都是正整数）
同底数幂的乘法法则： 。 3、例题：
（1）x 2?x 5 (2)a ?a 6 (3)(?2)×(?2)4×(?2)3 （4）x m ?x 3m+1 解：
4、课堂总结：
同底数幂的乘法法则
三、检学
计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）-
（9） （10） （11） （12）
教学反思：
m
a ?n a 310?4103a a ?53a a a ??x x x x ?+?2
211010+?m n 57x x ?97m m m ??4
444?()392
2-?12222+?n n y y y y ???425532333??
14.1.2幂的乘方
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
⒈理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.
⒉经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力.
学习重点：幂的乘方法则.
学习难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 学习过程： 一、 导学
1、填空：
② 底数幂相乘 不变，指数 。 ③
④ ④
2、计算：① ② ③ ④
二、研学
1、探究：
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）（32
）3
=32×32×32=3（ ） （2）（a 2)3=a 2?a 2?a 2=a ( )
（3）(a m )3=a m ?a m ?a m =a ( )（m 是正整数） 问题：①上述几道题目有什么共同特点？
。
=?32a a =?n m 1010()()=-?-6
733=??32a a a 23a a ?55x x +()63a a -?()33x
②观察计算结果，你能发现什么规律？
。
③你能推导一下的结果吗？请试一试（m 、n 都是正整数）
。
幂的乘方法则： 2、例题：
（1）(103)5 (2)(a 4)4 (3)(a m )2 (4)?(x 4)3 解：
3、课堂总结： 幂的乘方法则
三、检学
1计算：① ② ③
2下面计算是否正确，如果有误请改正. ① ②
3选择题： ①计算
（A ） （B ） （C ） （D ） ②可以写成（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
教学反思：
)
(n
m
a ()
3
510()
3
n x ()
7
7x -()
63
3
x x =2446a a a =?()[]
)(=-5
2
x 7x 7x -10x 10x -16a 88a a +28a a ?()
8
8a ()
2
8a
14.1.3积的乘方
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
1、探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质.
2、探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力.
学习重点：积的乘方的运算.
学习难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 学习过程： 一、 导学
填空：①幂的乘方，底数 ，指数
②计算：
③ ；
二、研学
1、探究：
填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ （1）(ab)2= ab ? ab = a ?a ? b ?b =a ( )b ( )
（2）(ab)3= = =a ( )b ( )
一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，
(ab)n = = = 因此，我们有
（n 为正整数）
()
=3
210()
=5
5
b ()
=-m
x 2
)(
)(5315==x )()(n m m n x ==()=n ab
积的乘方法则：
2、例题：
（1）(2a)3 (2)(?5b)3 (3)(xy 2)2 (4)(?2x 3)4 解：
课堂小练：
① ② ③ ④ 解：
3、法则逆应用：a n b n = （n 为正整数） 注：指数相同时才可以运用
例：(1) (45
)20×(54
)20 (2)(?9)5×(?23
)5×(13
)5 (3)82014×(?1
8
)2015
解：
课堂小练：
(1)3999×4999×(?1
12)999 (2)2100×0.5100 (3)(2
3)2013×(?1.5)2014×(?1)2015 解：
4、课堂总结：
积的乘方法则、公式、逆应用公式
()
3
24y x ?()32b ()
2
32a ()43x -
三、检学
1、下列计算正确的是（ ）. （A ） （B ）
（C ） （D ） 2、计算：
(1)(?2ab 2c)3 (2)(x m y n )2 (3)22018×(?0.5)2017×(?1)2019
(4)(?3×102)3 (5)(?3x 3)2? (?2x)2 3 (6)x ?x 5+(?2x 2)2?x 2+(?2x 2)3
3、已知2x+3?3x+3=62x ?4，求x 的值.
4、已知a =5，b =?1
5，n 为正整数，求a 2n+2?b 2n ?b 4的值
教学反思：
()
42
2
ab ab =()
42
2
22a a -=-()333y x xy =-()333273y x xy =
14.1.4整式的乘法 单项式乘以单项式
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
1、理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算.
2、经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力.
学习重点：单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习难点：单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习过程： 2、
导学
1、什么是单项式？次数？系数？
2、现有一长方形的相框知道长为50厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？若长为厘米，宽为厘米，你能知道它的面积吗？请试一试？
二、研学
1、利用乘法结合律和交换律完成下列计算.
① ② ③ ⑤ ⑤
a 3
b 2(
)()2
3
43p p --()??
?
?
?--3
21
1
7a a b a c ab 2
227?()()y xz z xy 2243???
?
??-?z y x y x 6235
343
2
2、观察上式计算你能发现什么规律吗？说说看.
。
3、单项式乘以单项式的法则： 。
4、例题：
(1) ?5a 2b (?3a) (2) 2x 3(?5xy 2)
解：
5、课堂总结： 单项式乘以单项式法则
三、 检学
计算：
（1） （2） （3）(?2a)3(?3a)2
(4) 1.3×105 (3.8×103) (5)4x 2y ?(?xy 2)3 (6)2ab 2?(?3ab)
()3223xy x -?()()
c b b a 23245-?-
教学反思：
14.1.4整式的乘法 单项式乘以多相式
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
1、让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.
2、经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力.
学习重点：单项式与多项式相乘的法则. 学习难点：整式乘法法则的推导与应用. 学习过程： 3、
导学
1、叙述去括号法则？
2、单项式乘以单项式的法则是：
3、计算：
① ② ③ ④
二、研学
1、写出乘法分配律？
()()
235x x -()()x x --3??
? ????? ??xy xy 5231???
??-?-mn m 3152
2、利用乘法分配律计算：
① ②
3、有三家超市以相同的价格（单位：元/台）销售A 牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是： ， ，请你用不同的方法计算他们在这一年内销售这钟空调的总收入？你发现了什么规律？
单项式乘以多项式的法则： 。 4、例题：
(1) ?4x 2 (3x +1) (2)(2
3ab 2?2ab)?1
2ab 解：
5、课堂总结： 单项式乘以多项式法则
三、检学
1、计算：
（1） （2） x ?3y (?6x) (3)3a(5a ?2b)
(4)5ab(2a ?b +0.2) (5) 2a 2?2
3a ?4
9 (?9a)
??
?
??+-1323233x x x ()1326-+n m mn n x y z ()()
322532ab ab a --
2、化简：
3、解方程：
4、求值：x 2 x ?1 ?x(x 2+x ?1)，其中x =1
2
教学反思：
()222210313xy y x x y xy x -?-??
?
??-?-()()3421958--=-x x x x
14.1.4整式的乘法 多项式乘以多项式
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
1、让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.
2、历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养学生计算能力.
学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 学习难点：多项式与多项式的乘法法则的应用. 学习过程： 4、
导学
1、叙述单项式乘以单项式的法则？
2、计算：
① ②
二、研学
1、在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如图所示的四部分标上字母，则面积为多少？ （如教材100页所示）
2、请把矩形沿竖线剪开分成如图所示的两部分。则前部分的面积为多少？后部分的面积是多少？两部分面积的和为多少？
3、观察图①和图②的结果你能得到一个等式吗？说说你的发现?
()
12+-x x x ()y x xy xy 225351+??
?
??-
4、如果把矩形剪成四块，如图所示，则：
图①的面积是多少？
② 图②的面积是多少？
图③的面积是多少？ ③ ④ 图④的面积是多少？ 四部分面积的和是多少？
观察上面的计算结果：原图形的面积；第一次分割后面积之和；第二次分割后面积之和相等吗?用式子表示？你能发现什么规律吗?试一试 （观察等式左边是什么形式？观察等式的右边有什么特点？）
5、多项式乘以多项式的法则： 。
6、例题：
(1) 3x +1 (x +2) (2) x ?8y (x ?y) (3) x +y (x 2?xy +y 2) 解：
7、课堂总结： 多项式乘以多项式法则
三、检学
1、计算：
（1） （2） m +2n (3n ?m) (3)(a ?1)2
(4) a +3b (a ?3b) (5) 2x 2?1 (x ?4) (6) x 2+2x +3 (2x ?5)
n a m b ()()y x y x 2352-+
2、化简：
（1） x ?3 x ?3 ?6(x 2+x ?1)
(2)(2x +1)2?(x +3)2?(x ?1)2+1
（3）先化简，再求值：其中：；
教学反思：
()()()()y x y x y x y x 4232---+-1-=x 2=y
14.1.4整式的乘法
同底数幂的除法
备课教师：课时：时间：
学习目标：
经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算．学习重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.
学习难点：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则. 学习过程：
5、导学
1、叙述同底数幂的乘法运算法则
2、计算：
（1）28×28（2）52×53 （3）102×105（4）a3·a3
二、研学
1、填空：
（1）（）·28=216 （2）（）·53=55 （3）（）·105=107
（4）（）·a3=a6
2、思考：
（1）216÷28=（）（2）55÷53=（）
（3）107÷105=（）（4）a6÷a3=（）
上面的式子有何特点？观察指数间的关系，你的发现是：
语言叙述：．符号表示：．
讨论：为什么这里规定a ≠0 ?
3、同底数幂除法法则： 公式表示：a m ÷a n = （a ≠0，m 、n 都是正整数，并且m >n ）
4、规定：a 0= （a ≠0）
这就是说任何不等于0的数的0次幂都等于 5、例题：
（1）x 8÷x 2 (2)(ab)5÷(ab)2 解：
6、课堂总结： 同底数幂除法法则
三、检学
1、计算：
（1） 7x ÷5x （2） 8m ÷7m (3) 10)(a -÷7)(a - (4) 5)(xy ÷3)(xy
2、下面的计算对不对？如果不对，说明理由并改正． （1）6x ÷2x =3x （2）46÷46=6
（3）3a ÷a =3a (4 ) 4)(c -÷2)(c -= －2c
(5) 10x ÷2x ÷x =10x x ÷=10x （6）426)()(z z z -=-÷- 3.计算：
（1）131533÷ （2）4
73
434）（）（-÷- （3）214y y ÷
（4）)()(5a a -÷- （5）25)()(xy xy -÷- （6）n n a a 210÷（n 是正整数）
（6）25)a a ÷-（ （7）252
323）（）（-÷ (8)23927÷
（9）25)()m n n m -÷-（ （10）)()(224y x xy -÷-
4、写出下列幂的运算公式的逆向形式，完成后面的题目.
=+n m a =-n m a =mn a =n n b a
教学反思：
14.1.4整式的乘法 单项式除以单项式
备课教师： 课时： 时间： 学习目标：
掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则并熟练运用
学习重点：单项式与单项式相除、多项式与单项式相除的运算法则及其应用. 学习难点：探索单项式与单项式相除、多项式与单项式相除的运算法则的过程。 学习过程： 6、
导学
1、同底数幂除法法则
2、计算：
（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（ab ）5÷（ab ）2
（4）（x+y ）7÷(x+y)3 (5) －a 6÷3)(－a (6) 710÷102?310
二、研学
1、“嫦娥一号”成功奔月，实现了中国人登月的千年梦想。月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距离约为3.8×千米。如果宇宙飞船以11.2米/秒的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？ 你是怎样计算的？
2、由上述计算，你能找到计算：（3）（2）的方法吗？
810?4108a ÷4a
试一下：（3）（2）=_______________________
再试：（1） （6）（3）=__________________________
（2）（14）（4）=_______________________
3、单项式除以单项式：________________________________________
4、例题：
(1)28x 4y 2÷7x 3y (2)?5a 5b 3c ÷15a 4b (3)(12a 3?6a 2+3a)÷3a 解：
5、探究： 请同学们解决下面的问题：
(1)__________)(=÷+m mb ma ; ________=÷+÷m mb m ma (2)()________=÷++m mc mb ma ;
通过计算、讨论、归纳，得出多项式除单项式的法则
多项式除单项式的法则:_____________________________ 用式子表示运算法则 6、思考：
m mc m mb m ma m mc mb ma ÷+÷+÷=÷++)(，如果式子中的“＋”换成“－”，计
算仍成立吗?
7、例题：
(1)(6ab +5a)÷a (2)(15x 2y ?10xy 2)÷5xy 解：
8、课堂总结：
（1）单项式除以单项式法则
8a ÷4a 3a 4b ÷2a b 3a 2b x ÷a 2b
《-整式乘除与因式分解》知识点归纳及经典例题
第十五章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
整式的乘法与因式分解培优
第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。 7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形： （a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ， a 2+ b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B ， 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？ 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ； （2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ． 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
整式的乘法与因式分解专题训练
整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +13x 1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004 ＝________。 7、如果(x +q )(3x 4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m 1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，x y y x 2、符号变化，x y x y 3、指数变化，x 2y 2x 2y 24 4、系数变化，2a b 2a b 5、换式变化，xy z m xy z m 6、增项变化，x y z x y z 7、连用公式变化，x y x y x 2y 2
8、逆用公式变化，x y z 2 x y z 2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）a b c 2 （2）3x y z 2 3、计算 （1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）2 2007 200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧 1、已知a 2b 213，ab 6，求a b 2，a b 2的值。 变式练习：已知a b 27，a b 24，求a 2b 2，ab 的值。 2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
整式的乘法与因式分解能力培优
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 专题一 幂的性质 1．【2012·湛江】下列运算中，正确的是（ ） A ．3a 2－a 2＝2 B ．(a 2)3＝a 9 C ．a 3?a 6＝a 9 D ．(2a 2)2＝2a 4 2．【2012·泰州】下列计算正确的是（ ） A ．3x · 622x x = B ．4x ·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x = 3．【2012·衢州】下列计算正确的是（ ） A ．2a 2＋a 2＝3a 4 B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．a 6·a 2＝a 12 D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用 4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．108 5．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值． 6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015； (2)(－19 )2015×811007． 专题三 整式的乘法 7．下列运算中正确的是（ ） A ．2325a a a += B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=-- C ．23622a a a ?= D ．222(2)4a b a b +=+ 8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．
9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30． （1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________． 专题四 整式的除法 10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：2362743 19132 ）（）（ab b a b a -÷-． 12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4． 状元笔记 【知识要点】 1．幂的性质 (1)同底数幂的乘法：n m n m a a a +=? (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (2)幂的乘方：()m n mn a a =(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n n ab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(完整版)整式的乘法与因式分解知识点
整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 练习： （1）y x x 2325? （2）)4(32 b ab -?- （3）a ab 23? （4）222z y yz ? （5）)4()2(2 32xy y x -? （6）22253)(63 1ac c b a b a -?? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1 (n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2?- （3）)32()5(-2 2 n m n n m -+? （4）xyz z xy z y x ?++)(23 2 2 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3） 2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－ 1 2 xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是 5．－[－a 2(2a 3－a)]＝ 6．(－4x 2＋6x －8)·(－ 12 x 2 )＝ 7．2n(－1＋3mn 2 )＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－1 2 x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝ 11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为 ，体积为 。 12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是 ，若将长方 形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了 。
整式的乘法与因式分解知识点
整式乘除与因式分解 专项复习 一．知识点 （重点） 幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例1：(－2a )2(－3a 2)3=________. 2．()n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例2： (－a 5)5=____________. 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例3：(－a 2b )3=___________. 练习： （1）y x x 2325? （2）)4(32b ab -?- （3）a ab 23? （4）222z y yz ? （5）)4()2(232xy y x -? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ）5 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．
例4：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ??? ??=??? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例5：（1）223123abc abc b a ?? （2 423)2()n m n -? 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例6：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2?- 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例7：（1） )6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－12 xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为
整式乘法与因式分解专题复习
整式的乘法与因式分解专题复习 一、知识点总结： 1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、 整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、 同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：235()()()a b a b a b ++=+ 5、 幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 6、 积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5 101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 7、 同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3 334)()()(b a ab ab ab ==÷ 8、 零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
整式的乘除与因式分解知识点归纳
整 式 的 乘 除 及 因 式 分 解 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：________3=?a a ；________32=??a a a 532)()()(b a b a b a +=+?+，逆运算为： 6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a = 7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- ________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ ________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 9、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如：8 1)21(233==- 10、科学记数法：如：0.00000721=7.21610-?（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方） 11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：=?-xy z y x 3232
整式的乘法与因式分解
知识点的回顾 1、单项式： 都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字 母也是单项式）。 2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。 3、整式： 单项式和多项式统称整式。 4、一个单项式中，所有字母的指数 和叫做这个单项式的 次数 ；一个多项式 中， 次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数。 （单独一个非零数的次数是 0） 5、整式的加减运算法则 ： 练一练： 23 x y z 2、（ 1）单项式 的系数是 ，次数是 2 2）π的次数是 3） 3ab 2c 2a 2b ab 2是单项式 的和，次数最高的项是 它是 次 项式，二次项是 ，常数项是 3、一个多项式加上 -2x 3+4x 2y+5y 3 后，得 x 3-x 2y+3y 3，求这个多项式， 并求当 x=- 21 ，y= 12 时， 这个多项式的值。 整式的加减 去括号法则 合并同类项法 个，多项式共有 个。 12 2 3 2 1 － a , 5 a b , 2 ， ab ， (x y), 3 4 a x 2 1, x y 7 , π 1、下列代数式中，单项式共有 1 2(a b), a ,
提示： ①三个或三个以上的同底数幂相乘，法则也适用，即 a m a n a p a ( m,n, p 都是正整数）； ② 不要忽视指数为一的因数； ③ 底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式； ④ 注意法则的逆用，即 a m n a m a n 2、幂的乘方 3、积的乘方 1、同底数幂的乘法 第一讲 . 整式的乘法 同底数幂的乘法， 底数不变，指数相加。即：a m a n a m n ，（m , n 都是正整数） 例1 (1) 35 36 2)b 2m b m 1 23 (3)( y) y 2 ( y)3 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即： a m n a mn ， （m , n 都是正整数） 例2 1） 232 ＝ 2） b 5 3） 2n 1 3 x 4)(x 3x m ) 3=
专题 整式乘法与因式分解练习题
整式的乘法与因式分解练习（1） 一、选择题 1．下列计算中正确的是 （ ） A ．5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ．842a a a =? D ．()632 a a -=- 2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((23n m n m m mn m -+=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 3．（-3a 2）2·a 3的计算结果是（ ） A ．-6a 7 B ．6a 7 C ．9a 7 D ．-9a 7 4．一种计算机每秒可做8410?次运算,它工作3310?秒运算的次数为 （ ） (A)241210? (B)121.210? (C)121210? (D)81210? 5．下列各式中,计算结果是2718x x +-的是 （ ） （A ）(2)(9)x x -+ （B ）(2)(9)x x ++ （C ）(3)(6)x x -+ （D ）(1)(18)x x -+ 6．如图：矩形花园中,,,b AD a AB ABCD ==花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK ．若c RS LM ==，则花园中可绿化部分的面积为（ ） A.2b ac ab bc ++- B.ac bc ab a -++2 C.2c ac bc ab +-- D.ab a bc b -+-22 7．把-x 3y 2+x 4y 3分解因式，正确的是（ ） A ．-xy （x 2y+x 3y 2） B ．-x 3y 2（1+xy ） C ．-x 3y 2（1-xy ） D ．-x 3y （y+xy 2） 8．下列分解因式正确的是 （ ） A ．() 123-=-x x x x B ．()()2362-+=-+m m m m C ．()()16442-=-+a a a D ．()()y x y x y x -+=+22 9．下列各式是完全平方式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 10．一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边
整式的乘法与因式分解所有知识点总结
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结 知识点： 1.基本运算： （1）同底数幂的乘法：a m a n=a m+n （2）幂的乘方：(a m)n=a mn （3）积的乘方：(ab)n=a n b n 2.整式的乘法： （1）单项式×单项式：系数×系数，同字母×同字母，不同字母为积的因式。 （2）单项式×多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加。 （3）多项式×多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加。 3.计算公式 （1）平方差公式：（a-b）×（a+b）=a2-b2 （2）完全平方差公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2 4.整式的除法： （1）同底数幂的除法：a m÷a n=a(m-n) （2）单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式。 （3）多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加。 （4）多项式÷多项式：用竖式。 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这
个式子因式分解。 6.因式分解方法： （1）提公因式法：找出最大公因式. （2）公式法： ①平方差公式：a2-b2=（a-b）×（a+b） ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 ③立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ④立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （3）十字相乘法x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) （4）拆项法 （5）添项法 1.下列运算中，结果正确的是（） A．x3·x3=x6 B. 3x2+2x2=5x4 C. (x2)3=x5 D. (x+y)2=x2+y2 2.计算(ab2)3的结果是（） A．ab5 B. ab6 C. a3b5 D. a3b6 3.计算2x2·(-3x3)的结果是（） A．-6x5 B. 6x5 C. -2x6 D. 2x6 4.下列各式由左到右的变形种，是分解因式的为（） A．a（x+y）=ax+ay B. x2- 4x+4=x（x-4）+4 C. 10x2- 5x=5x（2x-1） D. x2- 16+3x=（x-4）（x+4）+3x 5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
(人教版初中数学)整式乘法与因式分解单元备课
第十五章整式的乘除与因式分解单元备课 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构框图 （二）教科书内容 本章共包括4节15.1 整式的乘法15.2 乘法公式本节分为两个小节,分别介绍平方差公式与完全平方公式. 15.3 整式的除法15.4 因式分解 （三）课程学习目标 通过本章教学要求达到以下的教学目标： 1.使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算. 2.使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式）,了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算. 3.使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 4.使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 二、本章教学建议 1.强调重要数学思想方法的渗透 2.根据数学知识的逻辑关系循序渐进安排教学内容 三、本章教学中几个值得关注的问题
1.重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学 2．重视发挥学生的主观能动性 3．注意把握教学要求 4．抓住教学重点和关键,突破教学难点 5．注意安排学生对选学内容的学习 四、课时分配 本章共安排了4个小节,教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法7课时15.2 乘法公式6课时15.3 整式的除法3课时15.4 因式分解5课时小结与复习2课时数学测试与试卷讲评2课时
整式的乘除和因式分解计算题(精选、经典)
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）． （3）[（﹣2x2y）2]3?3xy4．（4）（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3． 6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2．
整式乘法与因式分解难题汇总
1.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2013= 2.若n2+n-1=0,则n3+2n2+2008= 3.多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，则符合条件单项式是 4.多项式16x2+4加上一个单项式后能成为一个完全平方式，则符合条件单项式是 5.(4×2n)(4×2n)= 6.一种电子计算机每秒可进行1010次运算，它工作108小时，可进行次运算。 7.（1 81 ）30×2740 8.一个正方体的棱长为2acm，若将正方体的棱长增加2倍，则变化后的正方体的体积是原正方体体积的几倍？ 9.已知正整数n满足5n+2·2n+1-5n+1·2n+2=3000,求n的值。 10.1 4x4+kx2+9=(1 2 x2+h),则k= ,h= . 11.若（2x-3）0有意义，则x取值范围为 12.已知：2x-y=10,则[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y的值为
13.已知x(x-1)-(x 2-y)=-2,则x 2+y 22-xy= 14.计算（a 1+a 2+…+a n-1）(a 2+a 3+…+a n-1+a n )-(a 2+a 3+…a n-1)(a 1+a 2+…+a n ) 15.(1-2-3-...-2013)×(2+3+4+...+2014)-(1-2-3-...-2014)×(2+3+ (2013) 16.若一个圆的半径增加3cm ，它的面积就增加57πcm 2,求此圆半径。 17.若10m =20,10n =15,求9m ÷32n 的值？ 18.因式分解：（a+b-c ）(a-b+c)+(b-a+c)(b-a-c) 19.已知2n =a,5n =b,20n =c,探究a 、b 、c 之间的关系并说明理由。
2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义
2018-2019学年八年级（上）数学-专属教案 整式的乘法与因式分解 知识点 平方差公式:(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算 ) A ．(x ＋y )(x ＋y ) B ．(－x ＋y )(x －y ) C ．(－x －y )(y －x ) D ．(x ＋y )(－x －y ) 解析：A 中含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B 中(－x ＋y )(x －y )＝－(x －y )(x －y )，含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C 中(－x －y )(y －x )＝(x ＋y )(x －y )，含x 的项符号相同，含y 的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D 中(x ＋y )(－x －y )＝－(x ＋y )(x ＋y )，含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C. 方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【类型二】 直接应用平方差公式进行计算 (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 【类型三】 平方差公式的连续使用 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值． 解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果． 解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋ 1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1. 方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止． 【类型四】 应用平方差公式进行简便运算 (1)2013×1923 ；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解 第一节：整式的乘法 1．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。 在应用法则运算时，要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）； ⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。 2．幂的乘方 一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。 另有：（m、n都是正整数）。 当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将(-a)3化成-a3。 底数有时形式不同，但可以化成相同。 要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。 3.积的乘方法则 一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 4.整式的乘法 1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解知识点总结 一、同底数幂的乘法 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：m n m n a a a +?=（m 、n 为正整数） 注：（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式。 （2）当幂的指数为1时，计算不要遗漏，也可以省略不写，即a a =1 。 2. 在幂的运算中，经常用到以下变形： 二、幂的乘方 1. 幂的乘方：底数不变，指数相乘。 即：()n m mn a a =（m 、n 为正整数） 注：（1）公式的推广： （，均为正整数) （2）逆用公式： 三、积的乘方 1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：()n n n ab a b = （n 为正整数） 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式： 四、单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 五、单项式与多项式相乘 1. 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 公式：mc mb ma c b a m ++=++)(，其中m 为单项式，c b a ++为多项式。 ()()(),n n n a n a a n ??-=?-??为偶数,为奇数()()()()()n n n b a n a b b a n ?-?-=?--??为偶数为奇数(())=m n p mnp a a 0≠a ,,m n p ()()n m mn m n a a a ==()=??n n n n abc a b c n ()n n n a b ab =
整式的乘法和因式分解压轴题解析
整式的乘法与因式分解 【知识脉络】 【基础知识】 1．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2×abc）=6 a3 b3c 2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． ②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 5．因式分解（难点） 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 一、掌握因式分解的定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个
要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． （3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号的第一项的系数是正的． 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【典例解析】 例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m ．（结果要化简） 【考点】整式的混合运算． 【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m， 则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m． 故答案为：﹣m2+2m 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例题2：乘法公式的探究与应用：