2005年高考理科数学试题及答案(北京)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理工农医类）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题共40分） 注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是 （A ）M ＝P （B ）P üM （C ）M üP （ D ）U M P =?e

（2）“m =

2

1

”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

（4）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π （5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)

（6）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC

（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4

2

人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A

（C ）1244141283

3

C C C A （

D ）12443

141283C C C A （8）函数f (x

（A ）在[0,

),(,]22π

ππ上递增，在33[,),(,2]22ππ

ππ上递减 （B ）在3[0,),[,

)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππ

ππ上递减 （C ）在3(,],(

,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22ππ

π上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22

ππ

π上递减

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）若 12z a i =+, 234z i =-，且

1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． （10）已知tan 2

α=2，则tanα的值为 ，tan ()4π

α+的值为 .

（11

）6

(x 的展开式中的常数项是 （用数字作答） （12）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． （13）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)； ③

1212

()()

f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 . （14）已知n 次多项式1

011()n

n n n n P x a x a x

a x a --=++

++,

如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的

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值共需要 次运算．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写

出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共13分）

已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；

（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

（16）（本小题共14分）

如图, 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，DC ＝23，AA 1＝3，AD ⊥DC ，AC ⊥BD , 垂足未E ，

（I ）求证：BD ⊥A 1C ；

（II ）求二面角A 1－BD －C 1的大小； （III ）求异面直线 AD 与 BC 1所成角的大小．

（17）（本小题共13分）

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

21

，乙每次击中目标的概率3

2， （I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； （II ）求乙至多击中目标2次的概率； （III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

（18）（本小题共14分）

如图，直线 l 1：y ＝kx （k >0）与直线l 2：y ＝－kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2．

（I ）分别用不等式组表示W 1和W 2；

4

（II ）若区域W 中的动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；

（III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．

（19）（本小题共12分）

设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11

为偶数

21

为奇数

4

n

n n a n a a n +???=?

?+??,

记211

4

n n b a -=-

，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()n n b b b b →∞

+++

+．

（20）（本小题共14分）

设f (x )是定义在[0, 1]上的函数，若存在x *∈(0，1)，使得f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *，1]上单调递减，则称f (x )为[0, 1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． 对任意的[0，l]上的单峰函数f (x )，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（I ）证明：对任意的x 1，x 2∈(0，1)，x 1＜x 2，若f (x 1)≥f (x 2)，则(0，x 2)为含峰区间；若f (x 1)≤f (x 2)，则(x *，1)为含峰区间；

（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x 1，x 2∈(0，1)，满足x 2－x 1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；

（III ）选取x 1，x 2∈(0, 1)，x 1＜x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或(x 1，1)，在所得的含峰区间内选取x 3，由x 3与x 1或x 3与x 2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定x 1，x 2，x 3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学

（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）

38 （10）－34；－7

1

（11）15 （12）(1, e )；e （13）②③ （14）2

1

n (n ＋3)；2n

三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，

所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．

故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．

（16）（共14分）

（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中，

∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射

影．

∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ； （II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．

与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，

∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°， 又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ，

∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝23，

在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，

即二面角A1－BD－C1的大小为90°．

（III）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，

则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，FC ＝2，BC＝DC，∴FC1=7，BC1

在△BFC1

中，

1

cos

5

C BF

∠==∴∠C1BF

=

即异面直线AD与BC1

所成角的大小为．

6

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（17）（共13分）

解：（I ）P (ξ＝0)＝0

3

31

1()2

8C =

，P (ξ＝1)＝13313()28C =，P (ξ＝2)＝23

313()28

C =，

8

P (ξ＝3)＝3

3

311()2

8

C =

， ξ的概率分布如下表：

E ξ＝1

3310123 1.5888

8?+?+?+?

=, （或E ξ=3·2

1

=1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927

； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件．

1231121

()()()8278924

P A P B P B =+=?+?=

所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为1

24

.

（18）（共14分）

解：（I ）W 1={(x , y )| k x 0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得

2

d =, 即22222

||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，

所以 222

22

1

k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=, 所以动点P 的轨迹C 的方程为22

2

2

2

(1)0k x y k d --+=；

（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（

3

2

a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．

由22222(1)0k x y k d y mx n ?--+=?=+?

，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=

由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且

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△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-?++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则1222

2mn

x x k m +=

-, 1212()2y y m x x n +=++,

设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kx

y kx y mx n y mx n

?==-??

?

=+=+??得34,n n

x x k m k m -==-+ 从而341222

2mn

x x x x k m +=

=+-，

所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合． （19）（共12分） 解：（I ）a 2＝a 1+

41=a +41，a 3=21a 2=21a +8

1

； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21

a 4=41a +316,

所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4

1

),

猜想：{b n }是公比为2

1

的等比数列·

证明如下：

因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2

1

b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2

1

的等比数列·

（III ）11121(1)

12lim()lim

2()1141122

n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---

. （20）（共14分）

（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．

当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *?(0, x 2)，则x 1f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间.

当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *?( x 2, 1)，则x *<≤x 1f (x 2)，

10

这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间. （II ）证明：由（I ）的结论可知：

当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1； 对于上述两种情况，由题意得 210.510.5x r

x r

+??

-+?≤≤ ①

由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r. 又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得

x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．

所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．

（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1

在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤ 由④与⑤可得21

31

112x x x x =-??

=-?,

当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．

由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取

x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．