概率论与数理统计期末试卷2[1]
卷号：（A） （2006 年 12月）
机密
湖北师范学院期末考试试卷
概率论与数理统计
考试范围第 1 至 5 章命题人江秉华院系数学系
考试形式闭卷课程类别必修学 期 20062专业会计
大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
满 分
得 分
阅卷人
班级
学号
姓名
总分
本题
得分
一、选择题（本题共5 小题,每小题 3 分，共 15 分)
(从下列备选答案中选择正确答案)
1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现 3 点的概率为（ ）。
(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6
2．设随机变量的概率密度 f(x)
= í
ìBx -2
x >1
，则 B=（ ）。
0
x ￡1
.
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2
3．对于任意随机变量 X
,Y ，若E(XY )
=E(X
)E(Y)，则（ ）。
(A) D(XY )
=D(X
)D(Y )
（B）D(X
+Y)
= D(X
)+D(Y)
(C) X
,Y 一定独立 （D） X
,Y 不独立
4．设c12
~ c2(n1),
c22
~ c2(n2)，c12,c22
独立，则c12
+c22
~（ ）。
(A) c12
+c22
~ c2(n)
（B）c12
+c22
~ c2(n
-1)
(C) c12
+c22
~t(n) （D）c12
+c22
~ c2(n1
+n2)
5．设 X~
N(1.5,4)，且 F(1.25)
=0.8944，F(1.75)
=0.9599，则 P{-2
本题
得分
二、填空题（本题共 5 空，每空 3 分，共 15 分）
（请将正确答案填入空格内）
1．设 A、B为互不相容的随机事件 P(A)
=0.2,P(B)
=0.5,则P(AèB)
=（ ）。
2．设有 9 件产品，其中有 1 件次品，今从中任取出1 件为次品的概率为（ ）。
ì1,
0￡ x ￡1
3．设随机变量 X 的概率密度
f (x)
=
.
í0,
其它
则P{X>0.3}= （ ）。
4．设 ()＝9,DY
=16, rxy
=0.5，则DX
+Y)
=（ 。
DX()(
）
5．设 X~ N(m,s2)，则
s
X
-
n
m~（ ）。
本题
得分
三、计算题（本题共___小题,每小题 分，共 分）
（要求写出主要计算步骤及结果）
1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的 30％，25％，45
％，又这三条流水线的次品率分别为 0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一
件，问恰好取到次品的概率是多少？
-5x
2．设连续型随机变量 X 的密度为 f
(x)
= í
ìMe , x >0
.0, x ￡0.
(1)确定常数M (2)求P{X
>0.2} (3)求分布函数 F(x).
3. 设二维随机变量 X与Y的联合分布密度 f(x, y)
= í
ì6, x2
< y < x, 0
< x <1
.0, 其它
分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。
4．保险公司为估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保人中每个人死
亡的概率为 0.005，现在此类投保人 10000 人，试求在未来一个中在这些投保人中死亡
人数不超过 70 人的概率。 (F(2.84)=0.9977
)。
x -q
5．设总体的分布函数为 f
(x,q)=
q e ,(
x =0
,1,
L.0 x!
似然估计法求 q的估计量q.
。(设样本容量为 n
)
6.设q服从[ ,
]上的均匀分布， X
=sin
,
=cos
q ，判断 X 与Y 是否不相关，是
-ppq Y
否独立。
本题
得分
四、证明题（本题共_1__题，共 10 分）
设t.是参数t的无偏估计，且 D(t.)
>0，证明: t.2不是t 2的无偏估计
量
A卷参考答案
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本
大题共 5小题，每小题 3分，总计 15分）
（1）A
（2）B （3）B （4）D （5）A
二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共 5小题，
每小题 3分，总计 15分）
（1）0.7
（2）1/9 （3）7/10 （4）13 （5）N(0,1) 三、计算题（本大题共 6小题，每小题 10分，总计 60 分）
1.全概率公式
P(A)
=.(3) P(Bi )P(A
Bi )
= 30 ′ 5 + 25 ′ 4 + 45 ′ 2 (6分)
i=1
100 100 100 100 100 100
=0.034
(4分)
2.①ò ()= ò+￥
-￥-￥
x dx j0005+ò+￥-Me dx xdx = 1M =1
(3分)
5
故M =5
。
+￥
②P(x >0.2)
=ò 510.25= -- edx e x.0.3679.
（3 分）
③当 x<0 时,F(x)=0;
（1 分）
x
x
当 x 30时，F(x)
=òx dx()
-￥-￥
=òj x edx0055 -+òdx （2分）
-5x
=1-e
-5x
故F(x)
=
í
ì1-
0
e
,
,
x
x
<
3
00
. （1 分）
.
3. fx (x)
= ò+￥
-￥
f
(x, y)dy
(2分）
. 2 6dy
=6(x -x ),
0 ￡ x ￡1
=
.
í
ìòx
x
0
2
其它
（3分）
.
f y (y)
=ò+￥
-￥
f (x,
y)dx
（2分）
. 6dx=6(
y
- y),
0￡ y
￡1 （3分）
=
.
í
.
ìò y
y
0 其它
4.把每位投保人看作一次试验，死亡的概率 p
=0.005
因此可看作是 n
=10000
次的
贝努利试验。把在未来一年中死亡的投保人数记为随机变量 X ，则
X
: b(10000,0.005)，从而 （3 分）
( ) =np
=′=50,
() =′ =49.75
EX
10000
0.005
DX
50
0.995
， 有 （2分）
ì 0
50
X
-50
ü
- 70
50 -
P{0￡ X
￡70}= P
í ￡ ￡ y .F (2.84
)-F - ( 7.09
)=0.997
. 49.75
49.75
49.75
.
（5 分）
5. (1)利用矩估计法
这个分布是泊松分布，所以服从这个分布的随机变量的数学期望为 q， （2 分）
因此用矩估计法得到估计量 q. = 1.(n ) Xi ； （3 分）
n
=
i 1
利用极大似然估计法
似然函数为L q= ，（2 分）
X1!X2 !
nXn
n
e
X-
L !
() q q
ln q...(n ) .
q !
)
L( ) = Xi
÷lnq-n
-ln
(Xi
!X2 LXn !
è i=1 .
又 d lnL = 1..(n ) Xi
.
-n ，令
d
ln
L =0,
得q= 1.n
Xi
.÷
dq qè i=1 . dq ni=1
即极大似然估计量 q. = 1.(n ) Xi 。 （3 分）
n
i=1
6.
EX
= 1
ò-
sin0,dEYppppqq-
==ò1 co
sqq d =0,
（ 分）3
2p 2p
由于DX
= 1
ò-
22sin,dDYEYppppqq-
===ò11
cos2 d = 1 ,
2
2p 22p
qq
2
（ 分）
EXY
=
21
pò-
ppsin
qcosqq d
=0，（ 分） 2
所以 EXY
=EXEY
从而 X 与Y 不相关，但由于 X 与Y 满足关系 X
2
+Y
2
=1
（3 分）
所以 X 与Y 不独立。
四．证明题（ 10分）
2
由公式 ( ) = Dx +[ ()]2
Ex () E x 有 （4 分）
22
22
() .
= () .
+ E t.
]= () .
+t
>
Et
Dt
[ ()Dt
t
（3 分）
故t.2不是t 2的无偏估计量. （3分）