江苏省2018年中考数学选择填空压轴题专题06 四边形的综合问题

专题06 四边形的综合问题

例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．

同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．

同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④

同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）

同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）

A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE

例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝

隙）．图乙中AB BC ＝ 67

，EF ＝4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．

同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．

同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．

同类题型2.3 如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1 ；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1 各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2 ；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2 各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3 ；按此规律继续下去…，则四边形A 2017B 2017C 2017D 2017 的周长是______________．

例3． 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，EF ⊥EC 交AD 于点F ，连接CF （AD ＞AE ），下列结论：

①∠AEF ＝∠BCE ；②S △CEF ＝S △EAF ＋S △CBE ；③AF ＋BC ＞CF ； ④若BC CD ＝ 32

，则△CEF ≌△CDF ．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）

同类题型3.1 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝ 2 AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：

①AED ＝∠CED ；②AB ＝HF ，③BH ＝HF ；④BC －CF ＝2HE ；⑤OE ＝OD ；

其中正确结论的序号是____________．

同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝ 2 AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交AB 边于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：

①AD ＝DE ②DH ＝2 2 EH ③△AEH ∽△CFB ④HO ＝12

AE 其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）

同类题型3.3 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是（ ）

A ．24

B ．14

C ．13

D ．23

例4．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线AP 交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 6 ，下列结论：

①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；

④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ．⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6．

其中正确结论的序号是___________________．

同类题型4.1 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止．点N 是正方形ABCD 内任一点，把N 点落在线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形内的概率记为P ，则P ＝（ ）

A ．4－π4

B ．π4

C ．14

D ．π－14

同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD 中，AE 平分∠DAC ，AE 交CD 于点F ，CE ⊥AE ，垂足为点E ，EG ⊥CD ，垂足为点G ，点H 在边BC 上，BH ＝DF ，连接AH 、FH ，FH 与AC 交于点M ，以下结论：

①FH ＝2BH ；②AC ⊥FH ；③S △ACF ＝1；④CE ＝ 12

AF ；⑤EG 2 ＝FG ﹒DG ，其中正确结论的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是 ______________．

（1）EF ＝ 2 OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；（3）BE ＋BF ＝ 2 OA ；（4）在旋转过程中，

当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝ 34；（5）OG ﹒BD ＝AE 2＋CF 2 ．

同类题型4.4 如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC ＝DB ＝1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，

E 、

F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为

G ，则当点P 从点C 运动到点D

时，点G 移动的路径长为 _____________．

参考答案

例1．如图，△APB 中，AB ＝2 2 ，∠APB ＝90°，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是__________．

解：如图，延长EP 交BC 于点F ，

∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，

∴∠EPC ＝150°， ∴∠CPF ＝180°－150°＝30°，

∴PF 平分∠BPC ，

又∵PB ＝PC ，

∴PF ⊥BC ，

设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF ＝12CP ＝12

b ，a 2＋b 2 ＝8， ∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，

∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，

∴∠EAD ＝∠PAB ，

∴△EAD ≌△PAB （SAS ），

∴ED ＝PB ＝CP ，

同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），

∴EP ＝AP ＝CD ，

∴四边形CDEP 是平行四边形，

∴四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b ＝12

ab ， 又∵（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 ≥0，

∴2ab ≤a 2＋b 2 ＝8，

∴12

ab ≤2， 即四边形PCDE 面积的最大值为2．

同类题型1.1 如图，△APB 中，AP ＝4，BP ＝3，在AB 的同侧作正△ABD 、正△APE 和正△BPC ，则四边形PCDE 面积的最大值是___________．

解：∵△APE 和△ABD 是等边三角形，

∴AE ＝AP ＝4，AB ＝AD ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，

∴∠EAD ＝∠PAB ＝60°－∠DAP ，

在△EAD 和△PAB 中

?????AE ＝AP

∠EAD ＝∠PAB AD ＝AB

∴△EAD ≌△PAB （SAS ），

∴DE ＝BP ，

同理△DBC ≌△ABP ，

∴DC ＝AP ，

∵△APE 和△BPC 是等边三角形，

∴EP ＝AP ，BP ＝CP ，

∴DE ＝CP ＝3，DC ＝PE ＝4，

∴四边形PCDE 是平行四边形，

当CP ⊥EP 时，四边形PCDE 的面积最大，最大面积是3×4＝12．

同类题型1.2 如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）

①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF ＝∠EAF ；③△ECF 是等边三角形；④CG ⊥AE ．

A ．只有①②

B ．只有①②③

C ．只有③④

D ．①②③④

解：∵△ABE 、△ADF 是等边三角形

∴FD ＝AD ，BE ＝AB

∵AD ＝BC ，AB ＝DC

∴FD ＝BC ，BE ＝DC

∵∠B ＝∠D ，∠FDA ＝∠ABE

∴∠CDF ＝∠EBC

∴△CDF ≌△EBC ，故①正确；

∵∠FAE ＝∠FAD ＋∠EAB ＋∠BAD ＝60°＋60°＋（180°－∠CDA ）＝300°－∠CDA ，

∠FDC ＝360°－∠FDA －∠ADC ＝300°－∠CDA ，

∴∠CDF ＝∠EAF ，故②正确；

同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，

∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，

∴△EAF≌△EBC，

∴∠AEF＝∠BEC，

∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，

∴∠FEC＝60°，

∵CF＝CE，

∴△ECF是等边三角形，故③正确；

在等边三角形ABE中，

∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段

∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．

选B．

同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）

解：证明：∵BC＝EC，

∴∠CEB＝∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠CEB＝∠EBF，

∴∠CBE＝∠EBF，

∴①BE平分∠CBF，正确；

∵BC＝EC，CF⊥BE，

∴∠ECF＝∠BCF，

∴②CF平分∠DCB，正确；

∵DC∥AB，

∴∠DCF＝∠CFB，

∵∠ECF＝∠BCF，

∴∠CFB＝∠BCF，

∴BF＝BC，

∴③正确；

∵FB＝BC，CF⊥BE，

∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，

∴PF＝PC，故④正确．

答案为①②③④．

同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线

交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）

A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AH∥BG，AD＝BC，

∴∠H＝∠HBG，

∵∠HBG＝∠HBA，

∴∠H＝∠HBA，

∴AH＝AB，同理可证BG＝AB，

∴AH＝BG，∵AD＝BC，

∴DH＝CG，故C正确，

∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，

∴OH＝OB，故A正确，

∵DF∥AB，

∴∠DFH＝∠ABH，

∵∠H＝∠ABH，

∴∠H＝∠DFH，

∴DF＝DH，同理可证EC＝CG，

∵DH＝CG，

∴DF＝CE，故B正确，

无法证明AE＝AB，

选D．

例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝

隙）．图乙中AB

BC ＝

6

7

，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm

2

，其内部菱形由两组距离相等

的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．

解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，

，

设AB ＝6a cm ，则BC ＝7a cm ，中间菱形的对角线HI 的长度为x cm ，

∵BC ＝7a cm ，MN ＝EF ＝4cm ，

∴CN ＝7a ＋42

， ∵GH ∥BC ，

∴GH CN ＝DG DC

， ∴

7a －x 27a ＋42

＝12

， ∴x ＝3.5a －2…（1）； ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2 ，

∴6a ﹒（7a －x ）÷2＝54，

∴a （7a －x ）＝18…（2）；

由（1）（2），可得

a ＝2，x ＝5，

∴CD ＝6×2＝12（cm ），CN ＝7a ＋42＝7×2＋42

＝9(cm) ， ∴DN ＝

122＋92 ＝15（cm ）， 又∵DH ＝DG 2＋GH 2＝62＋(7×2－52

)2 ＝7.5（cm ）， ∴HN ＝15－7.5＝7.5（cm ），

∵AM ∥FC ，

∴KN HK ＝MN CM ＝49－4＝45

， ∴HK ＝54＋5×7.5＝256

(cm) ， ∴该菱形的周长为：256×4＝503

（cm ）．

同类题型2.1 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/

s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为____________．

解：延长AB 至M ，使BM ＝AE ，连接FM ，

∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°

∴AB ＝AD ，∠A ＝60°，

∵BM ＝AE ，

∴AD ＝ME ，

∵△DEF 为等边三角形，

∴∠DAE ＝∠DFE ＝60°，DE ＝EF ＝FD ，

∴∠MEF ＋∠DEA ═120°，∠ADE ＋∠DEA ＝180°－∠A ＝120°，

∴∠MEF ＝∠ADE ，

∴在△DAE 和△EMF 中，

?????AD ＝ME

∠MEF ＝∠ADE DE ＝EF

∴△DAE ≌EMF （SAS ），

∴AE ＝MF ，∠M ＝∠A ＝60°，

又∵BM ＝AE ，

∴△BMF 是等边三角形，

∴BF ＝AE ，

∵AE ＝t ，CF ＝2t ，

∴BC ＝CF ＋BF ＝2t ＋t ＝3t ，

∵BC ＝4，

∴3t ＝4，

∴t ＝43

． 同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是____________．

解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，

过点M 作MF ⊥DC 于点F ，

∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 为AD 中点，

∴2MD ＝AD ＝CD ＝2，∠FDM ＝60°，

∴∠FMD ＝30°，

∴FD ＝12MD ＝12

，