§3-4角动量定理 角动量守恒定律 教学设计

§3-4角动量定理角动量守恒定律

【教学设计思想】

刚体转动的动力学，学生在中学基本上没学过，以往我的做法是用质点的动量或动量守恒来类比，重点在于定量的解题，对于非定轴刚体往往是以图片或简单的动画模拟，一点而过，学生看似听懂了，其实印象并不深，其中质点与刚体碰撞中，经常易写成质点的动量与刚体的角动量相等。通过本次培训，收获了我们课堂教学中应以物理思想和方法的训练为主，教会学生思考。因此，对于本部分内容，对于角动量概念的引入，可通过一段行星绕太阳运动的视频引入，通过分析加深学生印象。对于非定轴转动的实例如跳芭蕾舞、花样滑冰，跳水运动员跳水可给出视频材料，提出问题，再用其中一个实例的动画模拟启发学生分析，即对学生进行了美的教育，又使学生觉得所学知识在生活中有用，激发学生学习的热情。

【教学目标】

1、理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动转动情况下的角动量守恒问题.

2、能运用以角动量守恒定律定性分析实际中非定轴转动问题。

【教学重点】

概念：角动量，角冲量；

规律：角动量定理，角动量守恒定律。

【教学难点】

角动量概念；角动量守恒定律的应用

【学时】2课时

【教学方法、手段】讲授、启发、类比；多媒体。

【教学过程】

一、引入课题

1、类比：质点：力的时间累积效应→冲量、动量、动量定理.

刚体：力矩的时间累积效应→冲量矩、角动量、角动量定理.

2、给出行星绕太阳运动视频，提出问题：动量是否守恒？能量是否守恒？引力的作用，太阳系为什么不会塌缩到一块？自然界还存在另一种守恒量，即角动量守恒。

一、质点的角动量

设质量为m的质点以速度v运动，它的动量p＝m v.它对惯性参考系中某一固定点O的角动量L定义为Array L＝r×p＝r×m v

大小：

L＝rp sinφ＝mrv sinφ

方向：垂直于r和p所决定的平面，符合右手螺旋法则。

若质点作圆周运动，则相对圆心的角动量：

L＝mvr＝mr2ω＝Jω

L方向与ω相同，即

L＝Jω

单位、量纲：千克·米2·秒－1(kg·m2·s－1) 、ML2T－1

二、刚体定轴转动的角动量

三、刚体的角动量定理

由转动定律可知

M ＝J β＝J

d ω

d t

刚体定轴转动J 不变，则：

M ＝

d(J ω)d t ＝d L

d t

或

M d t ＝d L

从t 0→t 内积分，得

??t t 0M d t ＝?

?L

L 0d L ＝J ω－J ω0

式中??t

t 0M d t 称为冲量矩，又叫角冲量.它表示了合外力矩在t 0→t 时间内的累积作用，冲量矩的单位是牛顿·米·秒(N ·m ·s )。

角动量定理：作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。

非刚体定轴转动的角动量定理：

四、角动量守恒定律及其应用

守恒条件：M=0，则

J ω＝常矢量

或

J 2 ω2＝J 1ω1

角动量守恒定律：当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。 角动量守恒定律已远远超出了力学的适用范围，它适用于所有物理领域，是自然界普遍适用的守恒定律之一。

讨论：

1.转动惯量保持不变的单个刚体，当M ＝0时，J ω＝J ω0，则ω＝ω0。这时物体绕定轴作匀角速转动，且角速度方向保持不变。如行星绕太阳的转动，电子绕原子核的旋转等。

2.转动惯量可变的物体，若转动物体由于内力作用而改变其对转轴的转动惯量，则当J 增大时，ω就减小，J 减小时，ω就增大，从而保持J ω不变。

给出实例跳芭蕾舞、花样滑冰，跳水运动员跳水视频，引导学生分析：跳芭蕾舞和花样滑冰时，演员和运动员总是先张开两臂旋转，然后收拢双臂和腿，减小转动惯量以加快旋转速度。跳水运动员站在跳板上起跳时，总是向上伸直手臂，跳到空中时又收拢腿和臂，以减小转动惯量，获得较大的空翻速度.当快到水面时，则又把手、腿伸直以增大转动惯量以减小角速度，以便竖直地进入水中。

五、碰撞

ω

∑∑==

i i i i i i i r m r m L )(2v

112221

d ω

ωJ J t M t t

-=?

物体在相对很短的时间内发生较强相互作用的过程。如锻铁、打桩等。 弹性碰撞：碰撞前后动能不变。

非弹性碰撞：碰撞后的动能小于碰撞前的动能。

完全非弹性碰撞：物体进行完全非弹性碰撞后粘在一起运动，动能损失量最大。 碰撞过程的分析：质点与质点碰撞应用动量守恒；质点与刚体，刚体与刚体的碰撞则一般需应用角动量守恒。

【例 7】 一匀质转台质量为M ，半径为R ，可绕竖直的中心轴转动，初角速度为ω0，一人立在台中心，质量为m .若他以恒定的速度u 相对转台沿半径方向走向边缘，如图所示。试计算人到达转台边缘时，(1)转台的角速度；(2)转台转过的圈数。 解： (1) 在人走动过程中，人和转台系统沿竖直轴方向的外力矩为零，故对该轴的角动量守恒.取人立于台心为初状态，t 时刻人到达距台心ut 处，由系统角动量守恒：

2

222

0(

)2

2

t M M R R m u t ωω=+

式中ωt 是t 时刻转台的角速度.由上式可得

22

2

21t m u t M R ωω=+ 到达转台边缘时刻为 R t u

=

，故相应的角速度ω为

12

m M

ωω=

+

(2) R t u

=

时间内转台转过的角度可由 d dt

θω=

通过积分求得

22

221R

t u dt dt m u t M R

ωθω=

=

+

?

?

1/2

01/2

2arctan(

)

2(

)

R m m M

u M ω=

故转台转过的圈数为

1/21/2

022()arctan()22R m m N u M M

ωθ

π

π-=

=

【例8】 如图所示，一长为l ，质量为M 的均匀细杆可绕支点O 自由转动。 当它自由下垂时，一质量为m ，速度为v 的子弹沿水平方向射入并嵌在距支点为a 处的棒内，若杆的偏转角为30°，子弹的初速率为多少？ 解：可分为两个运动过程来分析：

冲击过程：子弹与棒发生完全非弹性碰撞，时间极短，

认为杆的位置仍竖直，取子弹和杆为系统，合外力矩等于零，有

mva ＝(13

Ml 2＋ma 2

)ω (1)

摆动过程：摆动过程中力矩不为零，故系统的角动量不守恒， 但系统只受到重力的作用，故取子弹、杆和地球为系统， 机械能守恒：

1 2(

1

3

Ml2＋ma2)ω2＝mga(1－cos30°)＋Mg

l

2

(1－cos30°) (2)

解(1)，(2)得：

v＝1

ma g

6

(2－3)(Ml＋2ma)(Ml2＋3ma2)

课堂练习：P112 3-13、3-19 布置作业：P112 3-14、3-20