SUT Journal of Mathematics Vol. 40, No. 2 (2004), 103–109 Hamiltonian cycles through a lin

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SUT Journal of Mathematics

Vol.40,No.2(2004),103–109

Hamiltonian cycles through a linear forest

Takeshi Sugiyama

(Received July 8,2004;Revised December 13,2004)

Abstract.Let G be a graph of order n .A graph is linear forest if every

component is a path.Let S be a set of m edges of G that induces a linear forest.

An edge xy ∈E (G )is called an S -edge if xy ∈S .An S -edge -length of a cycle

in G is de?ned as the number of S -edges that it contains.We prove that if the

degree sum in G of every pair of nonadjacent vertices of G is at least n +m ,

then G contains hamiltonian cycles of every S -edge-length between 0and |S |.

AMS 2000Mathematics Subject Classi?cation.05C38.

Key words and phrases.Hamiltonian cycle,Linear forest.

§1.Introduction

In this paper,we consider only ?nite undirected graphs without loops or mul-tiple edges.For standard graph-theoretic terminology not explained in this paper,we refer the reader to [3].For R ?V (G )and a vertex x ∈V (G ),we denote N R (x )=N G (x )∩R .We denote the degree of a vertex x in G by d G (x ).A path P connecting two vertices x and y is denoted by xP y ,and is called an x -y path .The distance d G (x,y )is the length of a shortest x -y path in G ;if there is no such path in G ,we de?ne d G (x,y )=∞.We write a cycle C with a given orientation by ?→C .For x,y ∈V (C ),we denote by x ?→C y a path from x to y on ?→C .The reverse sequence of x ?→C y is denoted by y ←?C x .For x ∈V (C ),we denote the successor of x on ?→C by x +.Let X be a subset of V (C ).The set X +(respectively,X ?)is the successors (predecessors,respectively )of the vertices of X in C and for x,y ∈C ,we de?ne C [x,y ](C [x,y ),C (x,y ),respectively)to be the subgraph of C from x to y (from x to y ?,from x +to y ?).A vertex v is called an R -vertex if v ∈R .The R -length of a cycle in G is de?ned as the number of R -vertices that it contains.A graph on n vertices is called pancyclic if it contains cycles of every length l ,3≤l ≤n .The graph G is said R -pancyclable if it contains cycles of all R -lengths from 3to |R |.A

103

104T.SUGIYAMA

linear forest is a graph each of whose component is a path.Let S be a set of edges of G that induces a linear forest.An edge xy∈E(G)is called an S-edge if xy∈S.An S-edge-length of a cycle in G is de?ned as the number of S-edges that it contains.

Among many su?cient conditions for a graph to be hamiltonian,the fol-lowing su?cient condition is well-known.

Theorem A(Ore[5]).Let G be a graph of order n≥3.If d G(x)+d G(y)≥n for every pair of nonadjacent vertices x and y in G,then G is hamiltonian.

Bondy[2]showed that the same condition as Theorem A implies the ex-istence of cycles of every length between3and|V(G)|(except for complete bipartite graphs).

Theorem B(Bondy[2]).Let G be a graph of order n.If d G(x)+d G(y)≥n for every pair of nonadjacent vertices x and y in G,then G is either pancyclic or the complete bipartite graph K n/2,n/2.

About the cycles passing through some speci?ed vertices,Bollob′a s and Brightwell[1]proved the following.

Theorem C(Bollob′a s and Brightwell[1]).Let G be a graph on n ver-tices and R a subset of V(G).If|R|≥3and d G(x)+d G(y)≥n for every pair of nonadjacent vertices x and y in R,then G has a cycle that includes every vertex of R.

Theorem C is generalized as follows,which shows the existence of a cycle through a speci?ed number of vertices of a vertex set.

Theorem D(Favaron et al.[4]and Stacho[7]).Let G be a graph of or-der n and R a subset of V(G)such that|R|≥3.If d G(x)+d G(y)≥n for every pair of nonadjacent vertices x and y of R,then either G is R-pancyclable or else n is even,R=V(G)and G=K n/2,n/2or G[R]=K2,2=C4=x1x2x3x4 and the structure of G is as follows:V(G)is partitioned into S∪V1∪V2∪V3∪V4; for any i,1≤i≤4,G[V i]is any graph on|V i|vertices with|V i|≥0,and

each vertex x i is adjacent to all the vertices of V i+1and V i where the index i is taken as modulo4.

On the other hand,on the existence of a cycle passing through a linear forest,the following theorem is known.

HAMILTONIAN CYCLES THROUGH A LINEAR FOREST 105

Theorem E (P′o sa [6]).Let m be a nonnegative integer,G a graph on n vertices,where n ≥3,and S a set of m edges of G that induces a linear forest.If d G (x )+d G (y )≥n +m for every pair of nonadjacent vertices x and y ,then G contains a hamiltonian cycle that includes every edge of S .

In this paper,we prove the following theorem,which shows the existence of a hamiltonian cycle which contains a speci?ed number of edges of a linear forest.

Theorem 1.Let m be a nonnegative integer,G a graph on n vertices,where n ≥5,and S a set of m edges of G that induces a linear forest.If d G (x )+d G (y )≥n +m for every pair of nonadjacent vertices x and y ,then G contains hamiltonian cycles of all the S -edge-lengths from 0to m .

§2.Proof of Theorem 1

Let G be a graph on n vertices which satis?es the hypothesis.Let S be a set of m edges of G that induces a linear forest.By Theorem E,G contains a hamiltonian cycle H of G such that S ?E (H ).We show that if G contains a hamiltonian cycle H of G such that |E (H )∩S |=l ,then there exists a hamiltonain cycle H of G such that |E (H )∩S |=l ?1.So we assume that G contains a hamiltonain cycle H of G such that |E (H )∩S |=l .Set H =x 1x 2...x n x 1and consider the subscripts as modulo n .Let Y ={x i |x i x i +1∈

S },Z ={x i |x i x i +1/∈

S }and q =|S \E (H )|.Note that q =m ?l .Lemma 1.If there exist x i ∈Y and x j ∈Z such that d H (x i ,x j )≥2,x i x j ∈

E (G )\S and x i +1x j +1/∈

S ,then there exists a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1and x i x i +1/∈

E (H ).Proof of Lemma 1.

We assume that G contains x i x j ∈E (G )such that x i ∈Y ,x j ∈Z and d H (x i ,x j )≥ 2.If x i +1x j +1∈E (G )\S ,then G contains a hamilto-nian cycle H =x i x j ←?H x i +1x j +1?→Hx i such that |E (H )∩S |=l ?1.So

we assume that x i +1x j +1/∈

E (G ).Then d G (x i +1)+d G (x j +1)≥n +m .Let G =(V (G ),E (G )\{S \E (H )}).Let p =min {q,3}.Then d G (x i +1)+d G (x j +1)≥n +m ?p .Let C 1=V (H [x i +1,x j ])and C 2=V (H [x j +1,x i ]).Let X 1=N ?G (x i +1)∩C 1,Y 1=N G (x j +1)∩C 1,X 2=N G (x i +1)∩C 2and Y 2=N ?G (x j +1)∩C 2.By q ≥p ,we have

|X 1∩Y 1|+|X 2∩Y 2|=|X 1|+|Y 1|+|X 2|+|Y 2|?(|X 1∪Y 1|+|X 2∪Y 2|)

≥n +m ?p ?n

=l +q ?p ≥l.

106T.SUGIYAMA

Since x i /∈{X 1∩Y 1}∪{X 2∩Y 2},there exists a vertex v ∈{X 1∩Y 1}∪{X 2∩Y 2}such that v /∈Y .If v ∈X 1∩Y 1,then there exists a hamiltonian cycle H =x i +1?→H vx j +1?→H x i x j ←?H v +x i +1such that |E (H )∩S |=l ?1.If v ∈X 2∩Y 2,then there exists a hamiltonian cycle H =x i +1?→H x j x i ←?H v +x j +1?→H vx i +1such

that |E (H )∩S |=l ?1.Since G is subgraph of G ,G contains H .

Lemma 2.If there exist z 1,z 2,z 3∈Z and y ∈Y such that d H (y,z i )≥2and yz i ∈E (G )for every i ,1≤i ≤3,then there exists a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1.

Proof of Lemma 2.

Assume that z 1,z 2,z 3∈Z and y ∈Y such that d H (y,z i )≥2for every i ,1≤i ≤3.Since edges of S induce a linear forest,without loss of generality,we may assume yz 1,yz 2/∈S and y +z +1/∈S .By Lemma 1,G contains a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1.

Case 1.m ≤n ?4.

If q =0,since |E (H )\S |≥4,there exist z ∈Z and y ∈Y such that d H (y,z )≥2.If yz,y +z +∈E (G ),then H =y +?→H zy ←?H z +is a hamiltonian cycle such that |E (H )∩S |=l ?1.Hence we may consider only the case yz or

y +z +/∈

E (G ).Concerning the reverse sequence of H in case of y +z +/∈E (G ),we obtain that there exist z ∈Z and y ∈Y such that yz /∈E (G ).If q >1,then |E (H )\S |≥5implies that,for any y ∈Y ,there exist z 1,z 2,z 3∈Z such that d H (y,z i )≥2(1≤i ≤3).If yz 1,yz 2,yz 3∈E (G ),by Lemma 2,G contains a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1.Hence we may consider only the case where at least one of yz 1,yz 2and yz 3is not in E (G ).Therefore,in both cases q =0and q ≥1,we may assume that there exists y ∈Y and z ∈Z such that yz /∈E (G )and d H (y,z )≥2.Clearly |{y +,y ?}∩Z |≤2.It follows from the facts |Y |=l and d H (y,z )≥2that |{z +,z ?}∩Y |≤min {l ?1,2}.Hence

|{y +,y ?}∩Z |+|{z +,z ?}∩Y |≤2+min {l ?1,2}

≤l +1.

(1)

By yz /∈E (G ),

|N Y (y )|+|N Z (y )|+|N Y (z )|+|N Z (z )|=d G (y )+d G (z )

≥n +m.

By |N Y (y )|+|N Z (z )|≤n ?2,

|N Z (y )|+|N Y (z )|≥m +2≥l +q +2.(2)

HAMILTONIAN CYCLES THROUGH A LINEAR FOREST 107

From (1)and (2),

|N Y (z )\{z +,z ?}|+|N Z (y )\{y +,y ?}|≥q +1.

Hence G contains a set of edges E of cardinality q +1such that for any uv ∈E ,

(i)|{u,v }∩{y,z }|=1,

(ii)|{u,v }∩Y |=1,|{u,v }∩Z |=1,

(iii)d H (u,v )≥2and

(iv)uv /∈E (H ).

Therefore,by pigeonhole principle,G contains x i ∈Y and x j ∈Z such that

d H (x i ,x j )≥2,x i x j ∈E (G )\S and x i +1x j +1/∈

S .By Lemma 1,G contains a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1.

Case 2.m ≥n ?3.

By the degree condition,G is complete.If l ≤n ?5,there exist y ∈Y and z 1,z 2,z 3∈Z such that d H (y,z i )≥2for every i ,1≤i ≤3.By Lemma 2,G contains a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1.Hence we assume n ?4≤l ≤n ?1.If q =0,immediately G contains a hamiltonian cycle H such that |E (H )∩S |=l ?1.Hence we may assume q ≥1,then we have n ?4≤l ≤n ?2.

Subcase 2.1.l =n ?2.

In this case we have q =1.Let z 1,z 2∈Z .Since n ≥5,there exist y 1,y 2∈Y such that d H (y i ,z i )≥2(i =1and 2).It follows from q =1that y i z i ,y +i

z +i /∈S for i =1or 2,hence y i ←?H z +i y +i ?→H z i y i is a required cycle.Subcase 2.2.l =n ?3.

By l =n ?3,we have q ≤ 2.If n =5,then we may assume H =x 1x 2x 3x 4x 5x 1.If Y ={x 1,x 2}and Z ={x 3,x 4,x 5},since edges of S induce a

linear forest,we have x 1x 3,x 2x 4/∈

S .Hence H =x 1x 3x 2x 4x 5x 1is a required cycle.If Y ={x 1,x 3},then Z ={x 2,x 4,x 5}.First we suppose x 1x 4∈S .If x 2x 5,x 3x 5∈S ,then the edges of S do not induce linear forest.Hence,without

loss of generality,we may assume x 2x 5/∈S .Since the edges of S induce a linear forest,we have x 1x 3/∈

S .Then H =x 1x 4x 5x 2x 3x 1is a required cycle.Next,we suppose x 1x 4/∈

S .If x 3x 5/∈S ,then H =x 1x 2x 3x 5x 4x 1is a

108T.SUGIYAMA

required cycle.So we assume x 3x 5∈S .If x 2x 5/∈S ,then H =x 1x 4x 3x 2x 5x 1is a required cycle.If x 2x 5∈S ,then x 1x 3/∈S .Thus H =x 1x 3x 2x 5x 4x 1is a required cycle.We can prove the other case in n =5by the same argument as above,so we assume n ≥6.Let y 1,y 2,y 3∈Y ,then there exist z 1,z 2,z 3∈Z ,z i =z j (i =j,1≤i ≤3,1≤j ≤3)such that d H (y i ,z i )≥2,1≤i ≤3.Since q ≤2,y i z i /∈S and y +i z +i /∈S for some i with 1≤i ≤3.Hence y i ←?H z +i y +i ?→H z i y i is a required cycle.

Subcase 2.3.l =n ?4.

If n =5,without loss of generality we may assume Y ={x 1}and Z =

{x 2,x 3,x 4,x 5}.If x 1x 3,x 2x 4/∈

S ,then H =x 1x 3x 2x 4x 5x 1is a required cycle.If x 2x 4∈S ,since the edges of S induce a linear forest,we have x 1x 4,x 2x 5/∈S .

Hence H =x 1x 4x 3x 2x 5x 1is a required cycle.If x 1x 3∈S and x 2x 4/∈

S ,then we have x 1x 4/∈

S .If x 2x 5/∈S ,then H =x 1x 4x 3x 2x 5x 1is a required cycle.If x 2x 5∈S ,then we obtain x 3x 5/∈

S .Thus H =x 1x 4x 2x 3x 5x 1is a required cycle.Hence we may assume n ≥6.Let y 1,y 2∈Y ,then there exist z 1,z 1,z 2,z 2∈Z such that d H (z i ,y i )≥2and d H (z i ,y i )≥2for i =1,2.Since q ≤3,{y i z i ,y +i z +i }∩S =φor {y i z i ,y +i z +i }∩S =φholds for i =1or 2.Without loss of generality,we may assume that {y i z i ,y +i z +i }∩S =φ.Then y i ←?H z +i

y +i ?→H z i y i is a required cycle. Acknowledgments

I would like to thank Dr.Tomoki Yamashita for stimulating discussions and important suggestion.I am thankful to the referee for carefully reading the manuscript and many helpful suggestions.

References

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Department of Mathematics,Kobe University

Rokkodai1-1,Nada,Kobe657-8501,JAPAN

E-mail:sugiyama@math.sci.kobe-u.ac.jp

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勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 易错点8:科学记数法,精确度。这个知道就好! 一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石

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高中数学 选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题(整理含答案)

高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题 时间:90分钟满分:120分 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1.命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是() A.不存在x0∈R,2x0>0 B.存在x0∈R,2x0≥0 C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0 2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是() A.能被3整除的整数,一定能被6整除 B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除 C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除 D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除 4.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4是|a|=5”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题p:?x∈R,2x<3x;命题q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是() A.p∧q B.綈p∧q C.p∧綈q D.綈p∧綈q 6.在三角形ABC中,∠A>∠B,给出下列命题: ①sin∠A>sin∠B;②cos2∠A<cos2∠B;③tan ∠A 2>tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是() A.0个B.1个

C .2个 D .3个 7.下面说法正确的是( ) A .命题“?x 0∈R ,使得x 20+x 0+1≥0”的否定是“?x ∈R ,使得x 2 +x +1≥0” B .实数x >y 是x 2>y 2成立的充要条件 C .设p ,q 为简单命题,若“p ∨q ”为假命题,则“綈p ∧綈q ”也为假命题 D .命题“若α=0,则cos α=1”的逆否命题为真命题 8.已知命题p :?x 0∈R ,使tan x 0=1,命题q :?x ∈R ,x 2>0.下面结论正确的是( ) A .命题“p ∧q ”是真命题 B .命题“p ∧綈q ”是假命题 C .命题“綈p ∨q ”是真命题 D .命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9.下列结论错误的是( ) A .命题“若log 2(x 2-2x -1)=1,则x =-1”的逆否命题是“若x ≠-1,则log 2(x 2-2x -1)≠1” B .设α,β∈? ???? -π2,π2,则“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件 C .若“(綈p )∧q ”是假命题,则“p ∨q ”为假命题 D .“?α∈R ,使sin 2α+cos 2α≥1”为真命题 10.给出下列三个命题: ①若a ≥b >-1,则 a 1+a ≥ b 1+b ;②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则mn -m 2≤n 2;③设P (x 1,y 1)是圆O 1:x 2+y 2=9上的任意一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心,且半径为1.当(a -x 1)2+(b -y 1)2=1时,圆O 1与圆O 2相切. 其中假命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 第Ⅱ卷(非选择题,共70分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11.给出命题:“若函数y =f (x )是幂函数,则函数y =f (x )的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是__________.

高中数学 第五章第16课时《教学与测试》第74、75课教师专用教案 新人教A版

用心 爱心 专心 1 第十六教时 教材:续第十五教时 《教学与测试》第74、75课 目的:同第十五教时 过程: 一、 处理《教学与测试》第74、75课 (略) 二、 补充例题(视教学情况选用): 1. a 、b 为非零向量,当a + t b (t ∈R )的模取最小值时, 1?求t 的值 2?求证:b 与a + t b 垂直 解:1? |a + t b |2 = |a |2 + t 2|b |2 + 2t |a ||b | ∴当t =||||222 b b a b b a ?-=?-时, |a + t b |最小 2? ∵b ?(a + t b ) = a ?b - | || |2 b b a b ?= 0 ∴b 与a + t b 垂直 2. 如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高, 求证:AD 、BE 、CF 相交于一点。 证:设BE 、CF 交于一点H , = a , = b , = h , 则= h - a , = h - b , = b - a ∵⊥, ⊥ ∴0)()()(0)(0)(=-???-=?-?? ??=?-=?-a b h a b h b a h a a h b a h ∴⊥ 又∵点D 在AH 的延长线上,∴AD 、BE 、CF 相交于一点 3. 已知O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 ||2 + ||2 = ||2 + ||2 = || 求证:⊥ 证:设= a , = b , = c , 则= c - b , = a - c , AB = b - a 由题设:2 +2 =2 +2 =2 +2 , 化简:a 2 + (c - b )2 = b 2 + (a - c )2 = c 2 + (b - a )2 得: c ?b = a ?c = b ?a 从而?= (b - a )?c = b ?c - a ?c = 0 ∴⊥ 同理:⊥, ⊥ 三、 作业: 《教学与测试》P156 4—9 P158 4—7 B C B C

高三数学下学期教师工作计划4篇

高三数学下学期教师工作计划4篇 Teachers' work plan for the next semester of mathematics in se nior three 汇报人:JinTai College

高三数学下学期教师工作计划4篇 前言:工作计划是对一定时期的工作预先作出安排和打算时制定工作计划,有了工作计划,工作就有了明确的目标和具体的步骤,大家协调行动,使工作有条不紊地进行。工作计划对工作既有指导作用,又有推动作用,是提高工作效率的重要手段。本文档根据工作计划的书写内容要求,带有规划性、设想性、计划性、方案和安排的特点展开说明,具有实践指导意义。便于学习和使用,本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 本文简要目录如下:【下载该文档后使用Word打开,按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1:高三数学下学期教师工作计划 2、篇章2:高三数学下学期教师工作计划 3、篇章3:高三数学下学期教师工作计划 4、篇章4:高三数学下学期教师工作计划 篇章1:高三数学下学期教师工作计划 一、总的情况 执教高三189、191两个理科班,总人数115人。

189班学习习惯不好,边缘生特别多;优生少且普遍基础不好,习惯差,学习主动性不强;191班一些学生成绩极不稳定,191班培尖任务艰巨。 二、指导思想 研究新教材,了解新的信息,更新观念,倡导理性思维,重视多元联系,探求新的教学模式,加强教改力度,注重团结协作,全面贯彻党的教育方针,面向全体学生,因材施教,激发学生的数学学习兴趣,培养学生的数学素质,全力促进教学效果的提高。 三、教学设想 ㈠总的原则 1、认真研读20XX数学考试大纲及xx省考试说明的说明,做到宏观把握,微观掌握,注意高考热点,特别注意xx的信息。根据样卷把握第二、三轮复习的整体难度。 2、不孤立记忆和认识各个知识点,而要将其放到相应的体系结构中,在比较、辨析的过程中寻求其内在联系,达到理解层次,注意知识块的复习,构建知识网路。

高一数学必修一综合测试题(含答案)

满分:120分 考试时间:90分钟 一、选择题(每题5分,共50分) 1、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N =( ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 2、若()lg f x x =,则()3f = ( ) A 、lg 3 B 、3 C 、3 10 D 、103 3、函数2 1 )(--= x x x f 的定义域为( ) A 、[1,2)∪(2,+∞) B 、(1,+∞) C 、[1,2) D 、[1,+∞) 4.设 12 log 3a =,0.2 13b =?? ???,1 32c =,则( ). A a b c << B c b a << C c a b << D b a c << 5、若210 25x =,则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 6.要使1 ()3 x g x t +=+的图象不经过第二象限,则t 的取值范围为 ( ) A. 1t ≤- B. 1t <- C.3t ≤- D. 3t ≥- 6、已知函数()2 13f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、 21x x -+ 7、函数2,0 2,0 x x x y x -?????≥=< 的图像为( )

8.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ). A .(-∞,-3) B .(0,+∞) C .(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(3,+∞) 9、若() 2 log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是 ( ) A 、01a << B 、1 12 a << C 、 102a << D 、1a > 10.定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-,且当x ∈[1,0]-时()12x f x ?? = ??? , 则2(log 8)f 等于 ( ) A . 3 B . 18 C . 2- D . 2 二、填空题(每题4分,共20分) 11.当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3必过定点 . 12.函数y =-(x -3)|x |的递减区间为________. 13 、在2 2 1,2,,y y x y x x y x ===+=四个函数中,幂函数有 个. 14、已知 ()()2 212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减,则a 的取值的集合是 . 15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, 2 ()2f x x x =-,则()y f x =在x<0时的解析式为 .

2020年中考数学必须掌握的28个考点及60个易错点试题及答案-最新推荐

中考数学必须掌握的28个考点及60个易错点 中考进入最后的倒计时了,老师整理了中考的28个考点以及60个易错点,同学们再自查一下哈,以免遗漏! 1相似三角形(7个考点) 考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求: (1)理解相似形的概念; (2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义,能将已知图形按照要求放大和缩小。考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。考点3:相似三角形的概念考核要求:以相似三角形的概念为基础,抓住相似三角形的特征,理解相似三角形的定义。 考点4:相似三角形的判定和性质及其应用考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质,并能较好地应用。考点5:三角形的重心考核要求:知道重心的定义并初步应用。考点6:向量的有关概念考点7:向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求:掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 2锐角三角比(2个考点) 考点8:锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念,30度、45度、60度角的三角比值。考点9:解直角三角形及其应用考核要求: (1)理解解直角三角形的意义; (2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题,尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。 3二次函数(4个考点) 考点10:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数考核要求: (1)通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念; (2)知道常值函数; (3)知道函数的表示方法,知道符号的意义。考点11:用待定系数法求二次函数的解析式考核要求: (1)掌握求函数解析式的方法; (2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原。考点12:画二次函数的图像考核要求: (1)知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像 (2)理解二次函数的图像,体会数形结合思想; (3)会画二次函数的大致图像。考点13:二次函数的图像及其基本性质考核要求: (1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质,建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系; (2)会用配方法求二次函数的顶点坐标,并说出二次函数的有关性质。注意: (1)解题时要数形结合; (2)二次函数的平移要化成顶点式。 4圆的相关概念(6个考点)

2019-2020年高中数学 3.5.2:等比数列《教学与测试》第40、41课 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 3.5.2:等比数列《教学与测试》第40、41 课 新人教A 版必修1 目的:通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。 过程: 一、复习:等比数列的有关概念,等比数列前n 项和的公式 二、处理《教学与测试》第40课: 例一、(P83)先要求x ,还要检验(等比数列中任一项a n 0, q 0) 例二、(P83)注意讲: 1“设”的技巧 2 区别“计划增产台数”与“实际生产台数” 例三、(P83)涉及字母比较多(5个),要注意消去a 2, a 4 例四、(备用题)已知等比数列{a n }的通项公式且:,求证:{b n }成GP 证:∵ ∴132********)2 1 (3)21(3) 21(3-----++=++=n n n n n n n a a a b 3333)2 1 (421)41211()21(3--=++=n n ∴ ∴{b n }成GP 三、处理《教学与测试》第41课: 例1、(P85)可利用等比数列性质a 1a n = a 2 a n 1, 再结合韦达定理求出a 1与a n (两解),再求解。 例2、(P85)考虑由前项求通项,得出数列{a n },再得出数列{},再求和—— 注意:从第二项起.... 是公比为的GP 例3、(P85)应用题:先弄清:资金数=上年资金×(1+50%)消费基金。然后逐一推算,用数列观点写出a 5,再用求和公式代入求解。 例4、 (备用题)已知数列{a n }中,a 1=2且a n+1=S n ,求a n ,S n 解:∵a n+1=S n 又∵a n+1=S n+1 S n ∴S n+1=2S n ∴{S n }是公比为2的等比数列,其首项为S 1= a 1=2, ∴S 1= a 1×2n 1 = 2n ∴当n ≥2时, a n =S n S n 1=2n 1 ∴ 例5、 (备用题)是否存在数列{a n },其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数 列,且公比相同? 解:设等比数列{a n }的公比为q ,如果{S n }是公比为q 的等比数列,则: ??? ??≠--====--1 1) 1(1111 111q q q a q na S q a q S S n n n n n 而 ∴

高三数学教学的工作计划5篇

高三数学教学的工作计划5篇 计划本身是对工作进度和质量的考核标准,对大家有较强的约束和督促作用。所以计划对工作既有指导作用,又有推动作用,搞好工作计划,是建立正常的工作秩序,提高工作效率的重要手段。下面是小编收集的高三数学教学的工作计划,欢迎阅读。 高三数学教学的工作计划1一、学生基本情况: 175班共有学生66人,176班共有学生60人。学生基本属于知识型,相当多的同学对基础知识掌握较差,学习习惯不太好,两班学习数学的气氛不太浓,学习不够刻苦,各班都有少数尖子生,但是每个班两极分化非常严重,差生面特别广,很多学生从基础知识到学习能力都有待培养,辅差任务非常重,目前形势非常严峻。 二、高考要求 1、高考对数学的考查以知识为载体,着重考察学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。 2、重视数学思想方法的考查,重点考查转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想。高考数学实体的设计是以考查数学思想为主线,在知识的交汇点设计试题。 3、高考试题注重区分度,同一试题,大多没有繁杂的运算,且解法较多,不同层次的学生有不同的解法。 4、注重应用题的考查,20xx年文科试题应用有3道题,共28分。 5、注重学生创新意识的考查,注重学生创造能力的考查。 三、教学措施 1、以能力为中心,以基础为依托,调整学生的学习习惯,调动学生学习的积极性,让学生多动手、多动脑,培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练,一般地,每一节课让学生练习20分钟左右,充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究,充分发挥备课组集体的力量,精心备好每一节课,努力提高上课效率。调整教学方法,采用新的教学模式。教学基本模式为:基础练习——典型例题——作业——课后检查。 (1)基础练习:一般5道题,主要复习基础知识,基本方法。要求所有的学生都过关,所有的学生都能做完。 (2)典型例题:一般4道题,例1为基础题,要直接运用课前练习的基础知识、基本方法,由学生上台演练。例2思路要广,让有生能想到多种方法,让中等生能想到12种方法,让中下生让能想到1种方法。例3题目要新,能转化为前面的典型类型求解。例4为综合题,培养学生运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。 (3)作业:本节课的基础问题,典型问题及下一节课的预习题。 (4)课后检查;重点检查改错本及复习资料上的作业。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容,当日消化,加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练,每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点,章考试一章的查漏补缺,章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考,切实把握试题的选取,切实把握高考的脉搏,注重基础知识的考查,注重能力的考查,注意思维的层次性(即解法的多样性),适时推出一些新题,加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究,努力提高考试的效率。 5、发挥集体的力量,共同培养尖子学生。

高中数学选修1-1综合测试题及答案

选修1-1模拟测试题 一、选择题 1. 若p 、q 是两个简单命题,“p 或q ”的否定是真命题,则必有( ) A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真 2.“cos2α=- 2 3 ”是“α=k π+215π,k ∈Z ”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条 件 3. 设x x x f cos sin )(+=,那么( ) A .x x x f sin cos )(-=' B . x x x f sin cos )(+=' C .x x x f sin cos )(+-=' D .x x x f sin cos )(--=' 4.曲线f(x)=x 3+x -2在点P 0处的切线平行于直线y=4x -1,则点P 0的坐标为( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4) 5.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是 A.[1,4] B.[1,6] C.[2,6] D.[2,4] 6.已知2x+y=0是双曲线x 2-λy 2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.5 D.2 7.抛物线y 2=2px 的准线与对称轴相交于点S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦, 则∠PSQ 的大小是( ) A. 3 π B. 2 π C.3π2 D.与p 的大小有关 8.已知命题p: “|x -2|≥2”,命题“q:x ∈Z ”,如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的x 为( ) A.{x|x ≥3或x ≤-1,x ?Z} B.{x|-1≤x ≤3,x ?Z} C.{-1,0,1,2,3} D.{1,2,3} 9.函数f(x)=x 3+ax -2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.[3,+∞] B.[-3,+∞] C.(-3,+∞) D.(-∞,-3) 10.若△ABC 中A 为动点,B 、C 为定点,B(-2a ,0),C(2 a ,0),且满足条件sinC -sinB=21 sinA,则动 点A 的轨迹方程是( ) A.2216a x -22 316a y =1(y ≠0) B.2216a y +2 2 316a y =1(x ≠0)

高中数学单元测试试题

高中数学单元测试 试题 2019.09 1,复平面内的以点(01)-, 为圆心,1为半径的圆的方程是 . 2,我们把利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的 . 3, 2()2x f x x =+,11x =,1()(2)n n x f x n n -=∈N 且≥,计算234x x x ,,分别为212325,,,猜想n x = . 4,某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据: (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为10时,销售收入y 的值. 5,已知1a b c ++=,求证:1 3ab bc ca ++≤. 6,若复数 22(1)(483)()z m m m m i m =+-+-+∈R 的共轭复数z 对应的点在第一象限,求实数m 的集合. 7,求满足2101000x <<的所有正整数x 的值,用程序框图表示出来. 8,已知2()(1)1x x f x a a x -=+>+. (1)证明:函数()f x 在(1)-+,∞上为增函数;(2)用反证法证明:方程()0 f x =没有负数根. 9,一个公司共有240名员工,下设三部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本.已知甲部门有36名员工,那么从甲部门抽取的员工人数是 .

10,已知},......,,{321n x x x x 的平均数为a ,则23 ..., ,23 ,2321+++n x x x 的平均数是_____. 11,如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投中圆内,那么他投中正方形区域的概率为 . 12,在大小相同的6个球中,2个是红球,4个是白球。若从中任意选取3个,则所选的3个球至少有一个红球的概率是 .(结果用分数表示) 13,判断方程 220x x y y ++=所表示的曲线关于 对称(填x 轴或y 轴或原点). 14,双曲线218322 2-=-y x 的焦距等于 . 15,若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线22y x =的焦点,点P 在该抛物线上 移动,为使得PA PF +取得最小值,则P 点的坐标为 . 16,设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 . 17,P 为椭圆22 143x y +=上的一点,M 、N 分别是圆 22(1)4x y ++= 和 22(1)1x y -+=上的点,则|PM | + |PN |的最大值为 . 18,12-的相反数是 A .12 B . 12- C . -2 D . 2 19,下列运算中,正确的是 A .22223a a a --=- B .221 a a -=- C .235()a a -= D . 236a a a =

高中数学教材全套教案集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑 第一教时 教材:集合的概念 目的:要求学生初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。 过程: 一、引言:(实例)用到过的“正数的集合”、“负数的集合” 如:2x-1>3 x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 如:自然数的集合0,1,2,3,…… 如:高一(5)全体同学组成的集合。 结论:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 指出:“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。 二、集合的表示:{ …} 如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋} 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5} 常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 集合的三要素:1。元素的确定性;2。元素的互异性;3。元素的无序性 (例子略)三、关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集A 记作 a A ,相反,a不属于集A 记作 a A (或a A) 例:见P4—5中例 四、练习P5 略 五、集合的表示方法:列举法与描述法 列举法:把集合中的元素一一列举出来。 例:由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{ 1,1} 例;所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1,3,5,7,9} 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法:例{不是直角三角形的三角形}再见P6例 数学式子描述法:例不等式x-3>2的解集是{x R| x-3>2}或{x| x-3>2}或{x:x-3>2} 再见P6例 六、集合的分类 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合例题略 3.空集不含任何元素的集合 七、用图形表示集合P6略 八、练习P6 小结:概念、符号、分类、表示法 九、作业P7习题1.1

数学教师高三下学期工作计划4篇

数学教师高三下学期工作计划4篇Mathematics teacher's work plan for the next semester 汇报人:JinTai College

数学教师高三下学期工作计划4篇 前言:工作计划是对一定时期的工作预先作出安排和打算时制定工作计划,有了工 作计划,工作就有了明确的目标和具体的步骤,大家协调行动,使工作有条不紊地 进行。工作计划对工作既有指导作用,又有推动作用,是提高工作效率的重要手段。本文档根据工作计划的书写内容要求,带有规划性、设想性、计划性、方案和安排 的特点展开说明,具有实践指导意义。便于学习和使用,本文档下载后内容可按需 编辑修改及打印。 本文简要目录如下:【下载该文档后使用Word打开,按住键盘 Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1:数学教师高三下学期工作计划 2、篇章2:数学教师高三下学期工作计划 3、篇章3:数学教师高三下学期工作计划 4、篇章4:数学教师高三下学期工作计划 篇章1:数学教师高三下学期工作计划 一. 指导思想 今年是我省使用新教材的第七年,即进入了新课程标准 下高考的第五年。高三数学教学要以《数学课程标准》为依据,全面贯彻教育方针,积极实施素质教育。提高学生的学习能力

仍是我们的奋斗目标.近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化,坚持了稳中求改、稳中创新的原则。 高考试题不但坚持了考查全面,比例适当,布局合理的 特点,也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养,这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 二. 注意事项 1.高度重视基础知识,基本技能和基本方法的复习。 “基础知识,基本技能和基本方法”是高考复习的重点。我们希望在复习课中要认真落实“基础练习”,并注意蕴涵 在基础知识中的能力因素,注意基本问题中的能力培养. 特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析,应用。 2.高中的‘重点知识’在复习中要保持较大的比重和必 要的深度。 原来的重点内容函数、不等式、数列、向量、立体几何,平面三角及解析几何中的综合问题等. 在教学中,要避免重复及简单的操练.新增的内容:算法、概率等内容在复习时也应 引起我们的足够重视。总之高三的数学复习课要以培养逻辑 思维能力为核心,加强运算能力为主体进行复习。

高中数学选修1-2综合测试题(附答案)

高中新课标数学选修(1-2)综合测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.独立性检验,适用于检查______变量之间的关系 ( ) A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类 2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ???+=的关系( ) A.在直线上 B.在直线左上方 C. 在直线右下方 D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中,C B A 、、所对应的复数分别为i 32+、i 23+、i 32--,则D 点对应的复数是 ( ) A.i 32+- B.i 23-- C.i 32- D.i 23- 4.在复数集C 分解因式5422 +-x x 等于 ( ) A.)31)(31(i x i x --+- B.)322)(322(i x i x --+- C.)1)(1(2i x i x --+- D.)1)(1(2i x i x -+++ 5.已知数列 ,11,22,5,2,则52是这个数列的 ( ) A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项 6. 已知2()(1),(1)1()2 f x f x f f x +==+ *x N ∈() ,猜想(f x )的表达式为( ). A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21f x x =+ 7.2020 )1() 1(i i --+的值为 ( ) A.0 B.1024 C.1024- D.10241- 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为95℅时,则随机变量2 k 的观测值k 必须( ) A.大于828.10 B.大于841.3 C.小于635.6 D.大于706.2 9.已知复数z 满足||z z -=,则z 的实部 ( ) A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0 10.下面说确的有 ( ) (1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的结论一定是正确的; (3)演绎推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11. 命 题“ 任意 角 θ θθθ2cos sin cos ,44=-”的证明: “θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 2 2 2 2 2 2 4 4 =-=+-=-”过程应用了 ( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法结合使用 D.间接证法 12.如果复数z 满足633=-++i z i z ,那么i z ++1的最小值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。) 13.设复数z 满足i z i 23)1(+-=+,则z 的虚部是 。 14.从 ),4321(16941,321941),21(41,11+++-=-+-++=+-+-=-=,概括出 第n 个式子为___________。 15.指出三段论“自然数中没有最大的数(大前提),2是自然数(小前提),所以2不是最大的数(结论)”中的错误是___________。 16.已知 i a i i 31)1(3 +=+-,则__________=a 。

最新中考数学易错题、易混点、易错点、疑点分类汇编与解析 完整版 (9)

最新中考数学易错题、易混点、易错点、疑点 分类汇编与解析 一.选择题(共16小题) 1.用9根火柴棒(等长)拼成一个三角形,火柴棒不允许剩余重叠和折断,则能摆出不同的三角形的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个 2.设0<k<2,关于x的一次函数y=kx+2(1﹣x),当1≤x≤2时的最大值是() A.2k﹣2 B.k﹣1 C.k D.k +1 3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,CD=6cm,AD=2cm,动点P、Q同时从点B出发,点P沿BA,AD,DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到C点停止,两点运动时的速度都是1cm/s,而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设P点运动的时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2).下图中能正确表示整个运动中y关于t 的函数关系的大致图象是() A.B.C.D. 4.(牡丹江)一水池有甲、乙、丙三个水管,其中甲、丙两管为进水管,乙管为出水管.单位时间内,甲管水流量最大,丙管水流量最小.先开甲、乙两管,一段时间后,关闭乙管开丙管,又经过一段时间,关闭甲管开乙管.则能正确反映水池蓄水量y(立方米)随时间t(小时)变化的图象是() A.B.C.D. 5.(余姚市)一次函数y=ax+b,若a+b=1,则它的图象必经过点() A.(﹣1,﹣1)B.(﹣1,1)C.(1,﹣1)D.(1,1) 6.一些完全相同的小正方体搭成一个几何体,这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示,小正方体的块数可能有()

A.7种B.8种C.9种D.10种 7.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:①AE=2AC;②CE=2CD; ③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE,则以上结论正确的是() A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④ 8.(咸宁)如图,在Rt△ABC中,AB=AC.D,E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论:①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2.其中正确的是() A.②④B.①④C.②③D.①③ 9.(莱芜)如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图,则小立方体的个数不可能是() A.6个B.7个C.8个D.9个 10.(济宁)(课改)由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示,则搭成这个几何体的小立方体的个数是() A.3B.4C.5D.6 11.用若干个大小相同、棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型,其三视图如下所示.则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是()

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