2012线性代数复习题

复习题

1. 设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ,则111,,A B C ---=

=

=

2. 3阶行列式1

211

011

3

1

ij a -=-中元素a 12的代数余子式A 12= 3. 设3阶矩阵A =101011000?? ?

? ???

,则A 2的秩为

4. 设A ,B 为可逆方阵,则0

0A C B ??

=

???

的逆矩阵为( ) A. 11

00A B --?? ??? B. 1

100A B --??

??? C. 11

0B A --??

???

错误!未找到引用源。 D. 1100

B A --??

???

5.设向量组1σ,2σ, 3σ,4σ线性相关,则向量组中( ) A .必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B .必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C .必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D .每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

6.1α=(1,1,1,1), 2α=(1,1,-1,-1), 3α=(1,-1,1,-1), 4α=(1,-1,-1,1), 5α=(2,0,1,-1)的极大线性无关组为( ) A. 1α B. 1α, 2α

C. 1α, 2α, 3α

D. 1α, 2α, 3α, 4α

7. 设矩阵A =????

??2221

1211a a a a ,B =???

? ??++1211122211

21a a a a a a ,P 1=???? ??0110,P 2=????

??1101,则必有( ) A .P 1P 2A =B B .P 2P 1A =B C .AP 1P 2=B D .AP 2P 1=B

8. 设1σ, 2σ, 3σ, 4σ是一个4维向量组,若已知4σ可以表为1σ, 2σ, 3σ的线性组合,且向量组1σ, 2σ, 3σ, 4σ的秩为3,则( ) A .4σ表示法惟一

B .4σ表示法不惟一

C .1σ, 2σ, 3σ线性相关

D .R (1σ, 2σ, 3σ)=2

9. 设1σ, 2σ, 3σ是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系,则下列解向量组中,可以作为该方程组基础解系的是( ) A .1σ, 2σ, 12k σσ+

B .12σσ+, 23σσ+, 13σσ+

C .12σσ+, 23σσ+, 13σσ-

D .12σσ-, 23σσ-, 31σσ-

10. 若0A =,则对A 中,以下正确的是: ( ) A .必定有一行元素全为零 B .必定有两行互成比例

C .任一列向量是其余列向量的线性组合

D .必有一列向量是其余列向量的线性组合 11. 设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1,2-,3,对应的代数余子式分别为3-,2,1,

则3D =___________。

12. 已知3阶行列式11

1213

21

22233132

331a a a a a a a a a =,则11

1213

21222331

32

33

23246369a a a a a a a a a =___________。 13.设A 为3阶矩阵,A *是A 的伴随矩阵,且1

2

A =

,则132A A -*-= 。 14.设1210A ??= ?-??

,则2

2A A E -+=___________。

15.设3阶矩阵001022333A ?? ?

= ? ???

,则1A -=___________。

16.行列式

350

1

346

9

109022222

---第一行各元素的代数余子式之和为 。 17.设向量组()1,1,1a a =,()21,2,1a =-,()31,1,2a =-线性相关,则数a =___________。

18. 三元齐次线性方程组1223

0x x x x -=??+=?的基础解系中所含解向量的个数为___________。

19. 设()123A =,123B ?? ?

= ? ???

,则AB =___________。

20.计算1)n x a a a x a

D a a x

=

2)

542123123103121

4

---

21.已知矩阵方程XA=B ,其中A 1214-??= ?-??,B 0110??

= ???

,求矩阵X 。

22.设三元齐次线性方程组1231

2312

30

0,0

x x x x x x x x x λλλ+-=??

+-=??+-=?

(1)确定当λ为何值时,方程组有非零解;

(2)当方程组有非零解时,求出它的基础解系和全部解.

23.求齐次方程组1234512345

123451234520

2230322025220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=??+-+-=??--+-=??-+-+=?的解空间(作为5C 的子空间).

24.设有非齐次线性方程组 1312341

2340

22142223

x x x x x x x x x x +=??

+++=??+++=?

(1)求该方程组的一个特解;(2)求对应齐次方程组的一个基础解系。 25.设矩阵A 可逆,证明其伴随矩阵*A 也可逆,并且*11*()()A A --=。

26.求向量组()11,1,1,3T

σ=,()20,2,6,4T

σ=-,()32,1,2,1T

σ=-,()42,6,10,2T

σ=--的一个极大无关组,并将向量组中的其余向量由该极大无关组线性表示.

27.设矩阵1

23000

000

a A a a ??

?

= ? ??

?

,其中123,,a a a 互不相同,求与A 可交换的全部矩阵.

28.线性方程组为 ???

??=++=++=++b

x x x x a x x x x x 321

3213214231202,问a ,b 各取何值时,线性方程组无解,有唯一解,

有无穷多解?在有无穷多解时求出其通解。

29. 设A 、B 是3阶矩阵,且|A |=25,B =3A -1-(2A )-1,求|B |。

30. λ为何值时,方程组???

??=+-=-λ+=-+λ0

x x x 20x x x 0x x x 321

321321只有零解?

31. P81-18;20

32. A 为n 阶实矩阵,若1,T A A -=则A =

33. 证明()()()()*,1,10,1n R A n R A R A n R A n =??

==-??<-?

34. 设A 为n m ?矩阵,B 为s n ?矩阵,证明:若O AB =的,则()()r A r B n +≤。

1122112212112212, ()()()(,,,)

(,,,), (,,,),(),,,,,,,,, (),

, n n n n n n n n A B m n rank A B rank A rank B A B A B rank A r rank B t αααβαβαβαβαβαβαβαααβββββ?+≤++=++++=+=+== 34.设都是矩阵,证明:

则向量组可由向量组,线性表示设,证设不妨1122121211221212121212121212,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,n r n t n n n r t n n r t ααααααββββββαααβββαααβαβαβαααβββαβαβααββββ++++++ 设向量组的最大无关组为设向量组的最大无关组为则向量组,可由向量组

,线性表示;

因此,则rank 向量组可由向量组,线性表示,(1212,,,,,,()()

n r t r t

A B r t rank A rank B αααβββ≤≤++≤+=+ )rank()即,:rank()

1111111,,1,10;0,,,,,,A X B m n n m B AX B AX ηξξξηξξξηξξξξξξξξξξηξξξ???≠== 222222n-r n-r n-r n-n-n-r r r 35.设分别是,矩阵,

是方程的一个解;对应的齐次方程的一个基础解系为,,,r=rank(A),证明:,,,线性无关。

:反证法。假定,,,线性相关;

由于,,为基础解系,所以可由,,惟一线性表,,线性无关证示;则。

由于1,00 (0),AX AX AX B B ξξηηηξξξ===≠ 22n-r n-r ,,为方程基础解系,则是方程的解,这与是方程的解矛盾。所以,,,线性无关。

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