2012线性代数复习题
复习题
1. 设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ,则111,,A B C ---=
=
=
2. 3阶行列式1
211
011
3
1
ij a -=-中元素a 12的代数余子式A 12= 3. 设3阶矩阵A =101011000?? ?
? ???
,则A 2的秩为
4. 设A ,B 为可逆方阵,则0
0A C B ??
=
???
的逆矩阵为( ) A. 11
00A B --?? ??? B. 1
100A B --??
??? C. 11
0B A --??
???
错误!未找到引用源。 D. 1100
B A --??
???
5.设向量组1σ,2σ, 3σ,4σ线性相关,则向量组中( ) A .必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B .必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C .必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D .每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
6.1α=(1,1,1,1), 2α=(1,1,-1,-1), 3α=(1,-1,1,-1), 4α=(1,-1,-1,1), 5α=(2,0,1,-1)的极大线性无关组为( ) A. 1α B. 1α, 2α
C. 1α, 2α, 3α
D. 1α, 2α, 3α, 4α
7. 设矩阵A =????
??2221
1211a a a a ,B =???
? ??++1211122211
21a a a a a a ,P 1=???? ??0110,P 2=????
??1101,则必有( ) A .P 1P 2A =B B .P 2P 1A =B C .AP 1P 2=B D .AP 2P 1=B
8. 设1σ, 2σ, 3σ, 4σ是一个4维向量组,若已知4σ可以表为1σ, 2σ, 3σ的线性组合,且向量组1σ, 2σ, 3σ, 4σ的秩为3,则( ) A .4σ表示法惟一
B .4σ表示法不惟一
C .1σ, 2σ, 3σ线性相关
D .R (1σ, 2σ, 3σ)=2
9. 设1σ, 2σ, 3σ是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系,则下列解向量组中,可以作为该方程组基础解系的是( ) A .1σ, 2σ, 12k σσ+
B .12σσ+, 23σσ+, 13σσ+
C .12σσ+, 23σσ+, 13σσ-
D .12σσ-, 23σσ-, 31σσ-
10. 若0A =,则对A 中,以下正确的是: ( ) A .必定有一行元素全为零 B .必定有两行互成比例
C .任一列向量是其余列向量的线性组合
D .必有一列向量是其余列向量的线性组合 11. 设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1,2-,3,对应的代数余子式分别为3-,2,1,
则3D =___________。
12. 已知3阶行列式11
1213
21
22233132
331a a a a a a a a a =,则11
1213
21222331
32
33
23246369a a a a a a a a a =___________。 13.设A 为3阶矩阵,A *是A 的伴随矩阵,且1
2
A =
,则132A A -*-= 。 14.设1210A ??= ?-??
,则2
2A A E -+=___________。
15.设3阶矩阵001022333A ?? ?
= ? ???
,则1A -=___________。
16.行列式
350
1
346
9
109022222
---第一行各元素的代数余子式之和为 。 17.设向量组()1,1,1a a =,()21,2,1a =-,()31,1,2a =-线性相关,则数a =___________。
18. 三元齐次线性方程组1223
0x x x x -=??+=?的基础解系中所含解向量的个数为___________。
19. 设()123A =,123B ?? ?
= ? ???
,则AB =___________。
20.计算1)n x a a a x a
D a a x
=
2)
542123123103121
4
---
21.已知矩阵方程XA=B ,其中A 1214-??= ?-??,B 0110??
= ???
,求矩阵X 。
22.设三元齐次线性方程组1231
2312
30
0,0
x x x x x x x x x λλλ+-=??
+-=??+-=?
(1)确定当λ为何值时,方程组有非零解;
(2)当方程组有非零解时,求出它的基础解系和全部解.
23.求齐次方程组1234512345
123451234520
2230322025220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=??+-+-=??--+-=??-+-+=?的解空间(作为5C 的子空间).
24.设有非齐次线性方程组 1312341
2340
22142223
x x x x x x x x x x +=??
+++=??+++=?
(1)求该方程组的一个特解;(2)求对应齐次方程组的一个基础解系。 25.设矩阵A 可逆,证明其伴随矩阵*A 也可逆,并且*11*()()A A --=。
26.求向量组()11,1,1,3T
σ=,()20,2,6,4T
σ=-,()32,1,2,1T
σ=-,()42,6,10,2T
σ=--的一个极大无关组,并将向量组中的其余向量由该极大无关组线性表示.
27.设矩阵1
23000
000
a A a a ??
?
= ? ??
?
,其中123,,a a a 互不相同,求与A 可交换的全部矩阵.
28.线性方程组为 ???
??=++=++=++b
x x x x a x x x x x 321
3213214231202,问a ,b 各取何值时,线性方程组无解,有唯一解,
有无穷多解?在有无穷多解时求出其通解。
29. 设A 、B 是3阶矩阵,且|A |=25,B =3A -1-(2A )-1,求|B |。
30. λ为何值时,方程组???
??=+-=-λ+=-+λ0
x x x 20x x x 0x x x 321
321321只有零解?
31. P81-18;20
32. A 为n 阶实矩阵,若1,T A A -=则A =
33. 证明()()()()*,1,10,1n R A n R A R A n R A n =??
==-??<-?
34. 设A 为n m ?矩阵,B 为s n ?矩阵,证明:若O AB =的,则()()r A r B n +≤。
1122112212112212, ()()()(,,,)
(,,,), (,,,),(),,,,,,,,, (),
, n n n n n n n n A B m n rank A B rank A rank B A B A B rank A r rank B t αααβαβαβαβαβαβαβαααβββββ?+≤++=++++=+=+== 34.设都是矩阵,证明:
:
则向量组可由向量组,线性表示设,证设不妨1122121211221212121212121212,,,,,,,,,,,,,;,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,n r n t n n n r t n n r t ααααααββββββαααβββαααβαβαβαααβββαβαβααββββ++++++ 设向量组的最大无关组为设向量组的最大无关组为则向量组,可由向量组
,线性表示;
因此,则rank 向量组可由向量组,线性表示,(1212,,,,,,()()
n r t r t
A B r t rank A rank B αααβββ≤≤++≤+=+ )rank()即,:rank()
1111111,,1,10;0,,,,,,A X B m n n m B AX B AX ηξξξηξξξηξξξξξξξξξξηξξξ???≠== 222222n-r n-r n-r n-n-n-r r r 35.设分别是,矩阵,
是方程的一个解;对应的齐次方程的一个基础解系为,,,r=rank(A),证明:,,,线性无关。
:反证法。假定,,,线性相关;
由于,,为基础解系,所以可由,,惟一线性表,,线性无关证示;则。
由于1,00 (0),AX AX AX B B ξξηηηξξξ===≠ 22n-r n-r ,,为方程基础解系,则是方程的解,这与是方程的解矛盾。所以,,,线性无关。