线代第六章课件
线性代数第六章二次型试的题目及问题详解
第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =
线性代数第六章练习题
第六章练习题 一、 填空题 1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ????????????????====???????????????????????? ， 在,,B C D 中， 与A 等价的有 ； 与A 相似的有 ；与A 合同的有 . 2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ?? ?= ? ??? ，它的矩阵是 ，它是 定二次型. 3. 设112 3 32000000,000000a a A a B a a a ????????==???????????? , 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时，二次型 222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型. 二、计算与证明题 1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+- 1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵; 2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型? 3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换. 2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++, (1) 写出二次型的矩阵A ; (2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形; (3) 求实对称矩阵B , 使得3 .A B = 3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2， 1）写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示； 2）求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值；
线代答案
第六章 线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1; 解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为 (A +B )∈S 1, kA ∈S 1, 所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=0100 3ε, ?? ? ??=1000 4ε 是S 1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2; 解 设??? ??-=a c b a A , ?? ? ??-=d f e d B , A , B ∈S 2 . 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈?? ? ??-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ?? ? ? ?-=10011ε, ??? ??=00102ε, ?? ? ??=0100 3ε 是S 2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,
(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3, 所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间. ??? ??=00 011ε, ??? ??=01102ε, ?? ? ??=1000 3ε 是S 3的一个基. 2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间. 3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V . 证明 设ε1, ε2, ???, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ???, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ??? +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ?U , 而由已知知U ?V , 有U =V . 4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ???, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ???, a n , 使a 1, a 2, ???, a r , a r +1, ???, a n 成为V n 的一个基. 证明 设r 习题6.1 1． 解 (1) A = ????? ? ?--011102120 (2) A = ??? ????? ??---0000012310233 10111 (3) A = ???????? ? ?57674256251 (4) A = ? ??????? ?? ??0111110111110111110111110 2． 解 (1) 3231212 3213218622),,(x x x x x x x x x x x f ++--= (2) 2 3222132153),,(x x x x x x f +-= 3．解 二次型f 的矩阵 ?? ??? ??----=c A 33351315 因f 的秩为2 , 故R(A) = 2. 所以 A = 0, 由此解得c = 3. 4．证明 设 ?? ??? ??=321x x x X 作变换 ??? ??===23 1231y x y x y x , 即 X=CY 其中 ?? ??? ??=????? ??=321,010001100y y y Y C , C 为非奇异矩阵. 则 Y AC C Y CY A CY y a y a y a x a x a x a AX X T T T T )() ()(22 3212231233222211==++=++= 又 BY Y y a y a y a AX X T T =++=2 3 1223212 于是有 B AC C T =, 故A 与B 合同. 习题6.2 1．解 23232232132232223213 1212 2213212)()( 2)( 222),,( )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+=+-+-+=-++= 令 ?????=+=-+=333223211 x y x x y x x x y 即?????=-=+-=33 3223211 2y x y y x y y y x 则 2 322212y y y f -+= 为标准形。 23223213 2232223213231212 221321)2 1 (4)( 44)( 6223),,( )2( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + -+-=---+-=-+--= 令 ? ????=+=+-=333223211 21 x y x x y x x x y 即????????? =-=-+=333223211 21 2 3y x y y x y y y x 则 2 2214y y f -= 为标准形。 ),,,().3(44332 122 114342324131214321?????? ?==-=+=+++++=y x y x y y x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x f 令 4 342132142132121214321)()()()())((),,,(y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x f +-+-+++++-+= * * 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ? ???? ?? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++= 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X = *第六章 线性空间与线性变换 在第三章中，我们把n 元有序数组叫做n 维向量，讨论了向量的许多性质，并介绍过向量空间的概念.在这里，我们把这些概念推广，使向量及向量的概念更具一般性、更加抽象化. §１ 线性空间的定义与性质 定义1 设V 是一个非空集合，R 为实数域，如果对于任意两个元素,αβ∈V ，总有惟一的一个元素γ∈V 与之对应，称为αβ与的和，记作γαβ=+；对于任一数k ∈R 与任一元素α∈V ，总有惟一的一个元素δ∈V 与之对应，称为k 与α的积，记为δ＝k α；并且这两种运算满足以下八条运算规律(对任意,,αβγ∈V ;k ,λ∈R )： (1) αββα+=+; (2) ()()αβγαβγ++=++； (3) 在V 中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何α∈V ，都有α+0＝α； (4) 对任何α∈V ，都有V 中的元素β，使αβ+=0(β称为α的负元素)； (5) 1α＝α； (6) k (λα)＝（k λ）α； (7) (k +λ)α＝k α＋λα； (8) k (αβ+)＝k α+k β. 那么，V 就称为R 上的向量空间(或线性空间)，V 中的元素称为(实)向量(上面的实数域R 也可为一般数域). 简言之，凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间(或线性空间). 注意：向量不一定是有序数组； 向量空间V 对加法与数量乘法(数乘)封闭； 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算. 例1 实数域R 上次数不超过n 的多项式的全体，我们记作P ［x ］n ，即 P ［x ］n ＝｛a n x n +…+a 1x ０ ＋a 0｜a n ,a n -1,…，a １，a ０∈R ｝. 对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R 上的向量空间. 例2 实数域R 上n 次多项式的全体，记作W ，即 W ＝｛a n x n +a n -1x n -1+…+a 1x +a ０｜a n ,a n -1，…，a １，a ０∈R ，且a n ≠0｝. W 对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R 上的向量空间. 因为0(a n x n +a n -1x n -1+…+a １x ０ ＋a ０)＝0?W ，即W 对数乘不封闭. 第六章 二次型 1. 用矩阵记号表示下列二次型． 1) 32212322 21321643),,(x x x x x x x x x x f -++-= 2) 322322 213214332),,(x x x x x x x x f +++= 3) 43423241212423 214321462242),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x f +--++++= 2. 已知二次型312322 21321)2(22),,(x x b bx x bx x x x f -+++=的秩为2． 1) 求参数b ； 2) 用正交变换将),,(321x x x f 化为标准型；(要求写出正交变换的矩阵) 3) 求方程0),,(321=x x x f 的全体解向量． 3. 已知二次型Ax x T 321),,(=x x x f 在正交变换Qy x =下的标准型为2221y y +，且 Q 的第3列为T 22,0,22??? ? ??． 1) 求矩阵A ； 2) 证明E A +为正定矩阵． 4. 判别下列二次型的正定性． 1) 3231212322 213211022203),,(x x x x x x x x x x x x f ---++= 2) 32212322 213214252),,(x x x x x x x x x x f +----= 5. 若n 维非零列向量m x x x ,,,21 满足条件)(0T j i i ≠=Ax x ，其中A 是n 阶正定 矩阵．证明向量组m x x x ,,,21 线性无关． 第六章 习题6-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取 2 ,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n n ξξ---=+ ==++, 于是 21 1 22 2 21 222()[()1]1 ()[()2()1] 111(1)1 ()[()(1)(21)2()]62Δ n n i i i i n i b a b a f x a i n n i i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n n ξ===--=+ +=-+-+-++=-+-??+++-??+? ∑ ∑∑ 故面积 2 22 11(1)l i m ()()[()()1]3d Δn b i i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞== +==-+-+-+∑? 331 ()()3 b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2d x x ? ; (2) x ? （a ＞0）. 解 (1)根据定然积分的几何意义知, 1 2d x x ?表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形 的面积,而此三角形面积为1,所以 1 2d x x ?=1. (2)根据定积分的几何意义知 ,0 x ? 表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的 14圆的面积,而此14圆面积为2 14 πa , 所以2014πx a =?. 3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 d x x ? 与1 3 d x x ?； (2) 1 e d x x ?与1 (1)d x x +?. 解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232 (1)0x x x x -=-≥,即2 3 x x ≥, 又2 x 3x ,所以11 230 d d x x x x >??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围： 1、已知二次型222123123 1213(,,)5524f x x x x x x x x x x =+++- （1）写出二次型f 的矩阵表达式。 （2）用正交变换把二次型f 化成标准型，并写出相应的正交矩阵. （3）当2T x x =时，求()123,.f x x x 的极大值。 2、已知二次型 222123123 121323(,,)222T f x x x x Ax ax ax ax x x x x x x ==++++- 的规范形是2 212y y + (1)求a 的值。 (2)利用正交变换将二次型f 化为标准型，并写出所用的正交变换。 (3)计算行列式||A E +的值。 3.（2011，3）设二次型123(,,)T f x x x x Ax =的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy =下的标准型为_______. 4、设三元二次型123(,,)T f x x x x Ax =的矩阵A 满足22A A O +=，且 1(0,1,1)T α=是其次方程组0Ax =的基础解系. (1)求二次型123(,,)f x x x 的表达式。 (2)若二次型()T x A kE x +的规范型是222 123y y y --，求 k 。 1、判断 111300 111,000 111000 A B ???? ???? == ???? ???? ???? 是否等价，相似，合同. 1、用配方法化二次型为标准型 2 22123123 121323(,,)564210f x x x x x x x x x x x x =++-+- 第六章习题课 一、利用特征值定义及性质的求矩阵的特征值 (1) λ1+λ２+…+λn = tr(A )， λ1λ２…λn = |A |, (2)λ→ A 的特征值，则g (λ) g (A )＝a →t A t +a t-1A t-1 +…+a 1A +a 0I (3) A 可逆iff A 的特征值均不为零. (|A|=0 iff 零是A 的一个特征值) （4）A 与A T 有相同的特征值，但特征向量一般不同；可逆矩阵A 与A -1之间的特征值成倒数关系，且对应的特征向量相同。 （5）相似矩阵的特征值相同 例1 填空题 （1）设矩阵A 满足等式A 2-3A +2E =0, 则A 的特征值取值范围为 。 （2）设A 是三阶矩阵，0)(,0||,0||==+=A tr E A A ，则A 的特征值为 。 （3）设P 是n 阶可逆矩阵，B=P -1AP- P AP -1, 则B 的特征值之和 。 （4）已知|A |=E A B b a 2,01 1121 3 3=+=????, 则B 的一个特征值是 。 例2 选择题 （5）设C=, 则C 的特征值是（ ） ???? ??????110101011 (A) 1，0，1； (B) 1，1，2； （C ） -1，1，2； （D ）-1，1，1. （6）设A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵A *的特征值之一是（ ） (A) λ-1|A |; (B) λ|A |-1 ; (C) λ|A | ; (D) λn A ||. 二、相似对角化 （1） n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.（即A 的k 重特征根有k 个线性无关的特征向量） （2） （充分条件）如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 相似于对角矩阵。 例3 填空题 （1）设A 是三阶奇异矩阵，|E +A |=|2E -A |=0, 则A 相似于 。 （2）若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关特征向量，则A = .线代第六章答案
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