湖南大学2005年高等代数考研真题

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是

()()n

f x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.

二．（20分）设120n a a a ≠ ，计算下面的行列式：

12

31111111111111111

1

1

1

1n

a a a a ++++

三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ?? ?- ?= ? ???，21

21Q ??

?- ?= ?- ?-??

，Q '，求矩阵2100,A A A 和。

四．（20分）给定线性方程组

23

11213123122232

23

132333

23142434

x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=?++=??++=??++=? （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()f

X X

A X '=

是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。

六．设W 是齐次线性方程组

12345123

5230

0x x x x x x x x x +-+-=??+- +=? （2）

的解空间。1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。求W 的一组标

准正交基。

七．（15分）求复矩阵131616576687?? ?

--- ? ?---??

的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。

八．（10分）设整系数线性方程组

1

n

ij j

i j a x

b ==∑，()1,2,,i n = 对任意整数12,,,n b b b 均

有整数解。证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。

九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与

,A B 交换。

1.证明C 的特征子空间是,A B 的不变子空间。

2.证明C 的特征值全为0。