2015-2016数学分析2复习
练习题一
第一大题 判断题（说明理由）
1、若
∑∞
=1
n n
a
收敛，则
∑∞
=1
n n
a
收敛。
2、0,()1,
x f x x ?=?
?为有理数为无理数
在]1,0[内可积。
3、级数
2
)1(4
11n n n
n n +∑∞
=是收敛的。 4、函数项级数
∑
∞
=+1
3
6
7sin n x
n nx
在实数集R 上一致收敛。
第二大题 计算题
1
、求。 2、求极限∑=∞→n
k n n k
1
2
3lim 。
3、求6
20
2)1ln(lim
x dt t x x ?
+→。
4、计算曲线)sin (2t t x -=，)cos 1(2t y -= )20(π≤≤t 的弧长。
第三大题 判敛题
1、判断级数21
cos 23n n n n π∞
=∑绝对收敛、条件收敛还是发散。 2、判断无穷积分
1
sin 2x
dx x
+∞?
的敛散性。 第四大题 求幂级数11
1
(1)n n n nx ∞
--=-∑的收敛域及和函数。
第五大题 计算题
1、把2
()cos f x x =展开成x 的幂级数。 2、把()f x x =在],(ππ-展开成傅里叶级数。
第六大题 证明：cos 2lim
0n p
n
n x
dx x
+→∞=?，其中p 为正整数。 第七大题 设函数20()cos 3
n
n n x f x n x π∞
==∑，求1
lim ()x f x →。
练习题二
第一大题 判断题（说明理由）
1、由于21
)1(x x ='-，所以1)1(12
2
222-=-=--?x dx x 。 2、若0lim =∞
→n n a ，则
∑∞
=1
n n
a
一定收敛。
3、若正项级数
∑∞
=1
n n a 收敛，则∑
∞
=1
n n n
a 一定收敛。
4、级数5cos 3
12π
n n n n ∑∞
=是绝对收敛的。
第二大题 计算题
1、求
?
-dx x x 421。 2、求极限∑=∞→+n k n k
n n 1223lim 。 3、求4
0211
lim x
dt t
e x t x ?
+-→。 4、求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
5、设
?-=x
t dt e x f 1
2
)(，求?1
)(dx x f 。
第三大题 判敛题
1、判别级数
311
1
131n
n n n n ?++-∑∞
=-）（的敛散性。 2、判断无穷积分
?
+∞
+?1
3
2
2sin x x xdx
的敛散性。
第四大题 求幂级数∑
∞
=1n n
n
x 的收敛域及和函数。
第五大题 计算题
1、把4
51
)(2+-=
x x x f 展开成x 的幂级数。
2、把??
?≤<≤<--=π
πx x x f 0,
20
,2)(在],(ππ-展开成傅里叶级数。
第六大题 证明：?20
sin π
xdx n
?=20cos π
xdx n （n 为正整数）。 第七大题 设函数∑
∞
==0sin 21
)(n n nx x f ，求?π20
)(dx x f 。
练习题一答案
第一大题 判断题
解：1.错误。=∑∞
=1n n a ∑∞
=-11
)1(n n
n 收敛，但∑∞
=1
n n a ∑∞==11n n 发散。 2.错误。将]1,0[用任意分法T 分为n 个小闭区间],[,],,[,],,[1110n n k k x x x x x x -- ，（其中1,00==n x x ）
，则在每一个小闭区间],[1k k x x -（n k ,,1 =）上，1=k M ，0=k m ，1=-=k k k m M ω。01lim
1
)(≠=?∑=→n
k k
k
T l x
ω，所以)(x f 在]1,0[上不可积。
3.正确。14
lim <=
∞
→e
u n n n ，原级数收敛。 4.正确。
3
73
6
73
6
7
11
sin n
x
n x
n nx ≤
+≤
+，而
∑
∞
=1
3
7
1n n
收敛，所以由M 判别法可知
∑
∞
=+1
3
6
7sin n x
n nx
在实数集R 上一致收敛。
第二大题 计算题
解：
1. )cos (sin cos sin 15
x x d x
x --=?C x +-=5
4
cos)(sin 45
2. =∑
=∞
→n
k n n
k 1
2
3lim
∑=∞→n
k n n k
n
11lim dx x ?=103
2
3210
2
3
=
=x 3.
6
20
2)1ln(lim
x dt t x x ?+→ = 5406)1ln(2lim x x x x +→=31
62lim 550=→x
x x
4. dt t t t s ?
'-+'-=
π20
2
2]))cos 1(2[(]))sin (2[(dt t ?
=π20
22
sin 42
π
20
)2cos (8t
-=16=
第三大题 判敛题
1.
3cos
21
2πn n n n ∑
∞
=3cos
2
12π
n n n n ∑∞==，而≤3cos 2
2π
n n n n n 22，
可由比值法的极限形式证明∑∞
=12
2n n n 收敛，
于是5cos 3
12π
n n n n
∑∞
=收敛，即5cos 31
2π
n n n n ∑∞
=绝对收敛。
2. 设x x f 1)(=
，x x g 2sin )(=。x
x f 1)(=在),1[+∞单调，且01
lim =+∞→x x ，
1
>?A ，
dx x A
?
1
2sin =
=
?
dx x A 1
2sin 2
1
≤-2cos 2cos 21A 1)2cos 2cos (2
1
≤+A 由狄里克雷判别法知
1
sin 2x
dx x
+∞
?
收敛。 第四大题 计算题
解：11
lim lim
1=+=∞→+∞→n n a a n n
n n ，所以收敛半径1=R 。
当1=x 时，级数为
n n n ∑∞
=--1
1
)
1(，发散； 当1-=x 时，级数为∑∞
=1
n n ，发散；
于是幂级数的收敛域为)1,1(-。
在)1,1(-内设幂级数的和函数为)(x S ， 即=
)(x S 111
(1)n n n nx ∞
--=-∑, 两边从0到x 积分，得
=
?
x dt t S 0
)(n n n x ∑∞
=--1
1
)
1(x
x
+=1,
两边对x 求导，得2
)
1(1
)111()1(
)(x x x x x S +='+-='+= )1,1(-∈x ． 第五大题 计算题
解：1. 2
2cos 1cos 2x x +=
∑
∞
=-=0
2)!2()1(cos n n
n n x x ，于是∑∞
=-=0
22)!2(2)1(2cos n n
n n n x x
+
=2
1
cos 2x =-∑∞
=-0212)!2(2)1(n n
n n n x ∑∞
=--+1
212)!2(2)1(1n n n n n x 。
2.)(x f 在),(ππ-为奇函数，所以
?-
=π
π
πdx x f a )(1
00=， ?-
=
π
ππ
nxdx x f a n cos )(1
0=，
?-
=
πππnxdx x f b n sin )(1
?=ππ
sin 2
nxdx x n
n 2)1(1?-=+ ，
所以，∑∞
=+?-==1
1sin 2
)1()(n n nx n x x f π 当π±=x 时，傅里叶级数收敛于 02 ) 0()0(=-++-ππf f 。 第六大题 证明题 证明： 由积分中值定理，存在],[p n n c +∈，使 c c p dx x x p n n 2cos 2cos =? + =? +∞ →p n n n dx x x cos lim 02cos lim 2cos lim ==+∞→∞→c c p c c p c n 。 第七大题 计算题 ]2,0[∈?x ，n n n x n x )32(cos 32 ≤π，n n )32(0∑∞=收敛，由M 判别法知∑∞ =02cos 3 n n n x n x π在] 2,0[一致收敛。 且函数2 cos 3 x n x n n π在]2,0[连续， 1lim ()x f x →==∑∞ =→021cos 3lim n n n x x n x π∑∞=→02 1cos 3lim n n n x x n x π01(-)3n n ∞ ===∑13141+ 3 =。 练习题二答案 第一大题 判断题 解：1.错误。因为∞=→201 lim x x ，0=x 为瑕点，不能用求定积分的牛顿-莱布尼茨公式来计 算。正确做法：dx x dx x dx x ???+=--202022222 1 11， 而∞=-=-==+++→→→??21 1lim )1(lim 1lim 10202020202εεεεεx dx x dx x ，于是dx x ?-2221发散。 2. 错误。反例： ∑∞ =11n n ，=∞→n n a lim 01 lim =∞→n n ，但是∑∞ =11n n 发散。 3.正确。=∞ →n n n a n a lim 01lim =∞ →n n ， 正项级数∑∞ =1 n n a 收敛，由比较法极限形式知 ∑ ∞ =1 n n n a 收敛。 4. 正确。 5cos 31 2πn n n n ∑ ∞ =5cos 3 12π n n n n ∑∞ ==，而≤5cos 3 2π n n n n n 32，可由比值法的 极限形式证明∑∞ =12 3n n n 收敛，于是5cos 312πn n n n ∑∞ =收敛，即5cos 31 2π n n n n ∑∞ =绝对收敛。 是绝对收敛的。 第二大题 计算题 解：1. 设]2 ,2[,sin π π- ∈=x t x ，tdt dx cos = tdt t dt t t dx x x 2 24242cot csc sin cos 1?==-??? C t t d t +-=-=?32 cot 31cot cot C x x +--=3 3 2)1(31 2. =+∑=∞→n k n k n n 1 223lim n n k n k n 1) (13lim 12?+∑=∞→dx x ?+=10211343arctan 31 0π==x 3. 32040 4112lim 11lim 2 2 x x e x x dt t e x x x t x +-=+-→→? 3302042lim 11lim x x x x x →→+=21 = 4. ? ? --=-=2 1 22 1 2 12)2 ()3(dx x dx x V V V x ππ ππ π3 14)339(2 12 13 2=++-=x x x x 5. )()()(10 1 010 x df x x xf dx x f ?? -=dx e x dx x f x x 2 1 1 )(0-??-='-= 2 1 2 1)(21110 102 22-==-=---?e e x d e x x . 第三大题 判敛题 1.设12113++=++= n n n a n ，311)1(n b n n --=。 }{n a 单调递减，且21< 由莱布尼茨判别法知=∑∞ =1n n b 3 1 1 11n n n ∑∞ =--）（收敛， 所以由阿贝尔判别法知级数 31 11 131n n n n n ?++-∑∞ =-）（收敛。 2. 3 4 3312 12 2sin x x x x x x ≤ +?≤ +?，由 dx x ? +∞1 3 4 1收敛知?+∞ +?1 3 2 2sin x x xdx 收敛。 第四大题 计算题 解：11 11 lim lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n ，所以收敛半径1=R 。 当1=x 时，级数为∑∞ =11 n n ，发散； 当1-=x 时，级数为 ∑∞ =-11 )1(n n n ，由莱布尼茨定理知其收敛； 于是幂级数的收敛域为)1,1[-。 在)1,1(-内设幂级数的和函数为)(x S ， 即∑∞ == 11)(n n x n x S , 于是 x x x S n n -= = '∑∞ =-11 )(1 1． 两边从0到x 积分，得 )1 l n (11 )0()(0x dx x S x S x --=-= -?， 注意到0)0(=S ，于是)1ln( )(x x S --=． 因为级数 处收敛，在111 -=∑∞ =x x n n n 和函数1)1ln(-=--x x 在处有定义且连续， 所以在)1,1[-内 ∑∞ =1 n n n x )11()1l n (<≤---=x x ． 第五大题 计算题 解：1. )4111(31)1141(314512x x x x x x ---=---=+-4 111211131x x -- -= 又 ∑∞ ==-0 11 n n x x ，)1,1(-∈x ∑∞ ==- 0)4(4 11 n n x x ，)4,4(-∈x 所以3 1 4512 =+-x x 1210 -∑∞ =n n x ∑∑∞ =+∞=-=010)411(31)4(n n n n n x x ， )1,1(-∈x 2.)(x f 在),0()0,(ππ -为奇函数，所以0=n a 。 ? = ππ sin )(2 nxdx x f b n ? = ππ sin 4 nxdx b n ])1(1[4 n n --= π 所以，∑∞ =--= 1sin ])1(1[4 )(n n nx n x f π 当0=x 时，傅里叶级数收敛于 02 ) 00()00(=-++f f 当π±=x 时，傅里叶级数收敛于 02 ) 0()0(=-++-ππf f 第六大题 证明：对 ? 20 sin π xdx n ，设t x -= 2 π ，dt dx -=，2 0π = ?=t x ；02 =?= t x π 。 =? 20 sin π xdx n = --?0 2 )2 ( sin ππ dt t n ? 20 cos π tdt n ?=20 cos π xdx n （定积分和积分变量无关） 第七大题 解：]2,0[π∈?x ，n n nx 21sin 21≤，∑∞=021n n 收敛，由M 判别法知∑∞ =0sin 2 1 n n nx 在]2,0[π一 致收敛。且函数 nx n sin 2 1 在]2,0[π连续，于是 = ? π20 )(dx x f 000sin 2 1 0120 20 =+=+∑? ? ∞ =n n nxdx dx ππ 。 【工资概念】劳动部《工资支付暂行规定》劳部发〈1994〉489号第三条规定：工资是指用人单位依据劳动合同的规定，以各种形式支付给劳动者的工资报酬。【工资总额组成】国家统计局《关于工资总额组成的规定》第1号令规定：工资总额组成由下列六部分组成： （一）计时工资包括：1．对已做工作按计时工资标准支付的工资；2．实行结构工资制的单位支付给职工的基础工资和职务（岗位）工资；3．新参加工作职工的见习工资；4．运动员体育津贴。 （二）计件工资包括：1．实行超额累进计件、直接无限计件、限额计件、超定额计件等工资制，按劳动部门或主管部门批准的定额和计件单价支付给个人的工资；2．按工作任务包干方法支付给个人的工资；3．按营业额提成或利润提成办法支付给个人的工资。 （三）奖金包括：1．生产奖；2．节约奖；3．劳动竞赛奖；4．机关、事业单位的奖励工资；5．其他奖金。 （四）津贴和补贴包括：1．补偿职工特殊或额外劳动消耗的津贴、保健性津贴、技术性津贴、年功性津贴及其他津贴：2．各种物价补贴。 （五）加班加点工资包括：按规定支付的加班工资和加点工资。 （六）特殊情况下支付的工资包括：1．根据法律法规规定因病、工伤、产假、计划生育假、婚丧假、事假、探亲假、定期休假、停工学习、执行国家和社会义务等原因按计时工资标准或计时工资标准的一定比例支付的工资：2．附加工资、保留工资。 国家统计局《关于工资总额组成的规定》(国家统计局第1号令) 第一章总则 第一条为了统一工资总额的计算范围，保证国家对工资进行统一的统计核算和会计核算，有利于编制、检查计划和进行工资管理以及正确地反映职工的工资收入，制定本规定。 第二条全民所有制和集体所有制企业、事业单位，各种合营单位，各级国家机关、党政机关和社会团体，在计划、统计、会计上有关工资总额范围的计算，均应遵守本规定。 第三条工资总额是指各单位在一定时期内直接支付给本单位全部职工的劳动 《高等数学A》教学大纲 （工学类高中生源本科） 课程名称：高等数学/Advanced Mathematics 课程编码：0702002106，0702002206 课程类型：公共基础课 总学时数/学分数： 192/ 12 实验(上机)学时：0 适用专业：汽车、电子、自动化、计算机、机械 先修课程：无制订日期：2005年11月 一、课程性质、任务和教学目标 高等数学A是高等职业技术师范院校各专业学生必修的重要基础理论课，是学习现代科学技术必不可少的基础知识，应用非常广泛，是为培养社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，学生能够达到以下目标： 1、使学生能掌握函数和极限的基本内容和思想精华； 2、使学生能掌握一元函数微积分学的基本内容、重要思想和简单计算； 3、使学生能学会向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学等的基本内容和计算； 4、学生通过学习能为后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础； 5、通过学习逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和基本运算能力。 三、学时分配表 内容学时习题课总学时 第一章函数与极限14-16 2 16-18 第二章导数与微分16 2 18 第三章中值定理及导数应用16 2 18 第四章不定积分12 2 14 第五章定积分14 2 16 第六章定积分应用6-8 2 8-10 第七章向量代数与空间解析几何16 2 18 第八章多元函数微分学及其应用16 2 18 第九章重积分12 2 14 第十章曲线积分与曲面积分16 2 18 第十一章无穷级数16-18 2 18-20 第十二章微分方程14 2 16 合计168-174 24 192-198 五、教学方法与手段 本门课采用完全课堂讲授的教学方式，并辅之以适当的习题课便于对基本概念和理论的理解和掌握，使学生能通过高等数学A的学习，具有一定的抽象推理能力、逻辑推理能力及基本运算能力。 2010工科数学分析基础（微积分）试题 一、填空题 (每题6分，共30分) 1．函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ，=- →)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。 2．=?? ? ??+∞→x x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线? ??==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。 4．1=-+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。 5．若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32= a ， （B ）3=a ， (C). 2 3 =a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ） （A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数； （D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数； 3．设x x x x f πsin )(3-=，则其（ ） （A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点； 4．设x x x x f 3 )(+=，则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为（ ） 。 （A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim 30=+→x x xf x x ， 则2 0) (1lim x x f x +→为（ ）。 （A ）。 0 （B ）6 1 ， (C) 1 （D ）∞ 《工科数学分析》试卷B 答案 一. （1）解：122lim )2(lim 2 2=++=-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x （2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 2 0000=-===++++→→→→x x x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α 且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0 =x 为第一类间断点; 当0 ≤α 时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点. 三. 解: 方程两边关于x 求导得 2 2 2 2 2221) /(11y x y y x x y y x x y +'+= -'+ 整理得 y x y x x y -+= d d 于是, 3 2 2 2 2 2 )()(2) () 1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+= -'-+--'+= . 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2 /1=-='x x x x f x , 得e /1=x . 则 在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而 3 3)/1(2< 9.3典型计算题3 试解下列微分方程. 1．222'xy xy y =+ 解：令1-=y z ，两端同乘2)1(--y 得，x xy dx dy y 2)1(2)1()1(12 -=-+--- 即 x xz dx dz 22-=-， )())2((22222c e e c dx e x e z x x xdx xdx +=+?-?=--? 即 211x ce y +=- 2．2322'3x y y xy =- 解：23132'-=-xy y x y ， 令 3y z =， 两端同乘 23y 得，x z x dx dz =-2 )(ln )(222 c x x c dx xe e z dx x dx x +=+??=?-， 即 )(ln 23c x x y += 3．222'x e y xy y =+ 解：令z y z -=1， 11-=-n ， 2)1(2)1('x e xz z -=-+ )())1((2222x c e c dx e e e z x xdx x xdx -=+?-?=-?， 即)(21x c e y x -=- 4．x x e y ye y 22'=- 解：设y z =，211=-n ，)2)2 11(()2(211(221?+?-?=---c dx e e e z dx e x dx e x x 1-=x e ce 即 x e ce y =+1 5．x y x y x y cos ln '21-=+ 解：1ln 2cos ln 21'-=+y x x y x x y ， 令21,2=-=n y z )ln cos (ln 1ln 1c dx e x x e z x x x x +??=?---)(sin ln 1c x x +=，即)(sin ln 12c x x y += 6．x y x y x y 23sin cos sin '2=+ 解：3sin 2 1sin 2cos 'y x y x x y ?=+， 令231--==y y z ))sin ((cot cot c dx e x e z xdx xdx +?-? =?－)(sin x c x -=， 即 )(sin 2x c x y -=- 教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983） （8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修 工科数学分析试题卷及答案 考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 % 一、填空题（每题2分，共20分） 1．---→x x x x sin 1 1lim 30 3- 2．若?? ???=≠-+=0,0,13sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则 a 3- 3．设01lim 23=??? ? ??--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ?∈=→)(,)(lim 0 x x A x f x x 的定义： ε δδε)()()(:00 0A x f x x ∈ →∈?>?>?U 5．若当)1(,02 3 +++-→cx bx ax e x x 是3 x 的高阶无穷小，则=a 6 1 =b 2 1 =c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f n x x ,1) () ()(lim 2000 ，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值 姓名: 班级： 学号： 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 7．设x x y +=，则dy dx x )211(+ ? 8．设x x y sin =，则=dy dx x x x x x x )sin ln (cos sin + 9． ?=+dx x x 2 1arctan C x +2 arctan 2 1 10．?=+dx e e x x 12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分） 1．设0,2) 1()1l n (2 s i n 2t a n l i m 222 2 ≠+=-+-+-→c a e d x c x b x a x x ，则必有（ D ） （A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9 3 20:0< <>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ） （A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）0 3．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ） （A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈?x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈?有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。 4．)(x f 二阶可导，1) (lim ,0)0(3 -=''='→x x f f x ，则（ A ） （A ）())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点； （B ）)0(f 是)(x f 的极大值； （C ）)0(f 是)(x f 的极小值； （D ） （A ），（B ），（C ）都不成 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 工科数学分析（下）期末考试模拟试题 姓名：___________ 得分: _________ 一、填空题（每小题3分，满分18分） 1、设()xz y x z y x f ++=2 ,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→ →→→+-=k j i l 22的方向导数为 _________. 2.,,,-__________. 22 2L L xdy ydx L x y =?+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分 1,()c c x y x y ds +=+=?3.设曲线为则曲线积分 ___________ 4、微分方程2 (3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________ 5、2 sin(xy) (y)______________.y y F dx x = ? 的导数为 6、 { ,01,0x (x),2x e x f x ππ ππ--≤<≤≤= =则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于 _____________. 二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim 0→→y x ()xy y x y x sin 1 12 3 2+- (2) 2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→ 2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求x v x u ?????（中间为乘号）. 3..222232V z x y x y z V =--+=设是由与所围成的立体,求的体积. 三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分） 1. ∑∞ =1!.2n n n n n 2.∑∞ =-1 !2)1(2 n n n n 工科数学分析基础 2019年工科数学分析基础（微积分）试题 一、填空题 (每题6分，共30分) 1．函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ，=-→)(lim 0 x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。 2．=?? ? ??+∞→x x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线???==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。 4．1=-+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。 5．若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32= a ， （B ）3=a ， (C). 2 3 =a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ） （A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数； （D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数； 3．设x x x x f πsin )(3-=，则其（ ） （A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点； 4．设x x x x f 3 )(+=，则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为（ ）。 （A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim 30=+→x x xf x x ， 则2 0) (1lim x x f x +→为（ ）。 高等数学 第一章函数、极限与连续 一、函数 1. 函数分类 隐函数 F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数= 类型分类｛ [y = y (O 积分上限函数 y = [/a )力y = J ：：/(/)d/ 抽象函数 y = /(兀) 歹=/(0(劝) 研究函数的主要问题： 初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。 分析性质：极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应) 引例 = 求 /(/(x)) I +X 解 = 77771 = —^ 1 + /(力 i +丄 1 + X 解?)Ty (:鳥 /(X)= < 兀v 0 x>0 ， 求 /(/(x)) o 初等函数 概念分类＜ 分段函数 /(-V ) sin 血 /(兀)=1 m ? x sin — x 兀HO 可积性 例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀)，并写出定义域。 解 f((p(x)) = (v) = 1 -x, (p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x 知到全套答案工科数学分析下提高版2020 章节测试答案 问：“一带一路”重大倡议首次写入联合国大会决议是在（） 答：2016年 问：具备（）素质的创业者往往能够在创业的过程中先拔头筹。 答：把握机遇 问：有一分数序列： 2/1 ， 3/2 ， 5/3 ， 8/5 ， 13/8 ， 21/13 ，…求出这个数列的前 20 项之和。 答：略 问：孔子主张“克己复礼”的修养方法，要求我们做到（） 答：非礼勿视非礼勿听非礼勿言非礼勿动 问：当气压降低时，水的沸点随之（）。 答：降低 问：毛泽东指出：“反对主观主义以整顿党风，反对宗派主义以整顿学风，反对党八股以整顿文风，这就是我们的任务。” 答：× 问：“一带一路”建设不是另起炉灶、推倒重来，而是实现战略对接、优势互补，以下属于“一带一路”建设中中国与其他国家实现规划对接的项目是（） 答：越南提出的“两廊一圈” 哈萨克斯坦提出的“光明之路” 波兰提出的“琥珀之路” 俄罗斯提出的欧亚经济联盟 问：X射线由德国物理学家（）于1895年发现。 答：伦琴 问：《红楼梦》模仿明清传奇用（）开场的惯例，开幕的时候，两个人物出来对话，预报整个剧情。 答：副末 问：以下体现为归因的一致性和共同性的是（）。 答：讲秩序的人通常是遵守规则的人 问：共建“一带一路”不仅是经济合作，而且是完善全球发展模式和全球治理、推进经济全球化健康发展的重要途径。 答：正确 问：()是社会主义核心价值体系的内核。 答：社会主义核心价值观 问：计算理论是研究用计算机解决计算问题的数学理论，有3个核心领域，但不包括（）。（5.0分） 答：抽象理论 问：1931年8月，鲁迅邀请谁从木刻的起稿、用刀、刻法、拓印、套版等问题做了深入讲授？（）。 答：内山嘉吉 问：社会学恢复重建后，费孝通说：“我认为社会学最根本的任务是要解决一个生活在社会里的人，怎样学会做人的问题。”这是指社会学的（） 答：教育功能 问：《红楼梦》的哪些设定体现了隐喻方法？ 答：人名地名正邪对比男女对比阴阳互转 问：细菌性食物中毒的特点? 高等数学（二）教案 高等数学（二）课程简介 一. 高等数学（二）(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从求变速直线运动的瞬时速度，曲边梯形的面积等问题引入. 2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算： 3. 高等数学（二）的基本内容：高等数学（二）以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 高等数学（二）基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 高等数学（二）与微积分(calculus)的区别. 二. 高等数学（二）的形成过程： 1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想. 2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3. 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期 4. 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期 三. 高等数学（二）课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头一章有一定的难度, 倘能努力学懂这一章的0080, 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为高等数学（二）技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是高等数学（二）课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是高等数学（二）教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四. 课堂讲授方法: 1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1] 王绵森，马知恩. 工科数学分析基础，高等教育出版社，1998。 [2] 复旦大学数学系. 数学分析. 高等教育出版社，1983； 第九讲无穷级数 9.1级数的知识框架 9.1.1级数的概念与性质 8 1. “[+"2+如+…=工知叫做无穷级数 n=l OO 称无穷级数为知收敛 /?=! 3?性质 1) 工知收敛到则工kun 收敛到上$. n=l n=l 8 8 OO 2) v “收敛到则级数工(知士儿J 收敛到s±(y. /:=! n=\ /:=! 3) 在级数屮去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 4)如果级数工知收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数 n=l (旳 +???+知)+ (叫+1 +???+%) + ??? + (%” +???+%)+??? ⑷ 仍收敛，且其和不变. 9.1.2数项级数 '大收=小收，小发n 大发 极限形式 1?正项级数< 比值法：恤经? = q,g v 1收，q>l 发 、” a n 根植法：lim 甄 ijvl 收，/>1发 积分法：『f(x)dx,Xf(n)同时敛散 2. 片=y w,称为部分和，若lim 片 5) Z n=\ 知收敛，则lim 血 口 T8 =0. 9.1.3函数项级数 收敛半径内绝对收敛 “t 也+』 1. 幕级数 求和 和函数在收敛域内连续，逐项可积, 函数展开成幕级数 2. 付氏级数狄利克雷收敛定理 要求总体理解概念，重点掌握幕级数 9. 2例题 例1判别下列说法正确与否 1） 数列｛%｝与级数工①同吋收敛或同吋发散； //=1 oo oo oo 2） ￡色收敛，￡仇发散，则￡（匕+仇）发散; n=l n=\ n=\ 8 8 OO 3） 丫色发散，工仇发散，则工g+仇）发散; n=l /?=! /?=! 4）工X 收敛，工乞收敛，则丫（色仇）收敛; 71=1 /； = ! 7? = 1 5）工色发散，工仇发散，则工（％仇）发散; n=l //=! ”=1 6）工色收敛’则工尤收敛; 71 = 1 ,1=1 7）工Q ；收敛，则工色收敛; n=l //=! 2. 任意项级数2 任意项级数 绝对收敛，条件收敛 柯西收敛准则 逐项可微 工科数学分析（下)期末考试模拟试题 姓名：_＿___＿_____ 得分： ＿＿_____＿_ 一、填空题（每小题３分，满分１8分) 1、设()xz y x z y x f ++=2 ,,,则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→ →→→+-=k j i l 22的方向导数为 ______＿＿_. 2.,,,-__________. 22 2L L xdy ydx L x y =?+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分 1,()c c x y x y ds +=+=?3.设曲线为则曲线积分＿_______＿_＿ 4、微分方程2 (3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___＿_______ 5、2 sin(xy) (y)______________.y y F dx x = ? 的导数为 6、 { ,01,0x (x),2x e x f x ππ ππ--≤<≤≤= =则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于 __＿＿____＿_＿_＿． 二、计算下列各题(每小题6分，满分１8分) 1． （1) 求极限lim 0→→y x () xy y x y x sin 1 12 3 2+- （2） 2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→ 2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=,()xy x g v +=，求 x v x u ?????(中间为乘号). 3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积. 三、判断积数收敛性（每小题4分，共８分） 1.∑∞ =1!.2n n n n n 2.∑∞ =-1 !2)1(2 n n n n 四、(本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑:222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分) 274 9.2典型计算题1 试解下列微分方程. 1．0)1(=++dy x xydx 解： dx x y dy )111(-+= ， c x x y +-+=1ln ln ，x e x c y -+=)1( 2．xydy dx y =+21 解： x dx y ydy =+21, dx x y d y 1)1()1(21221 2=++-, c x y +=+ln 12 3．02')1(22=+-xy y x 1)0(=y 解：02)1(22=+-dx xy dy x ， 1,1ln 1,121222=+-=-=c c x y dx x x dy y 4．2'y y xy =+ 21)1(= y 解： dx x y y dy 12=-， c x y y +=--ln ln 1ln 0,111>=-c x c y y ， cx y y =-1 ， 1-=c ， x y +=11 5．0)2(,3'32==y y y 解： 2,,3 131 32-=+==-c c x y dx dy y ， 3)2(-=x y 6．2cot '=+y x y 1)0(-=y 解：xdx y dy tan 2=-， c x y +-=-cos ln 2ln ，3ln =c ，x y cos 32-= 7．2)1(tan('π= =-y x y x y xy 解：tan(x y x y dx dy =- ，令 xu y = u u u dx du x tan =-+ 2751ln sin ln ,1tan c x u dx x u du +==， 1,arcsin ,sin ===c cx x y cx u 8．)sin()sin('x y y x x y xy =+ 解：令 u dx du x dx dy ux y +==, 01sin =+u dx du x c x x y c x u dx x udu +=+==-ln cos ,ln cos ,1sin 9．')2(2 2y xy x y xy +=+ 解：xy x y xy dx dy ++=222， 令 ux y =， dx x du u u u u dx du x 12,2=+-+-= c x x y x y c x u u +=--+=--ln ln ,ln ln 22 2 ， 00==y u 时， 10．x y y x x y xy ln )ln('+= 解：令ux y =， c x u x dx udu dx du xu +===ln 21,,12，c x x y +=ln 212 2 11．2 22'x y xyy += 解： 令ux y =，u dx du x u dx du x dx dy 2,=+=，c x x y c x u +=+=22222ln 21,ln 21 12．2)1(,(4'2=++=y x y x y y 解：令 ux y =得 dx x u du u dx du x 14,422=++= 8 ,ln 21arctan 21,ln 2arctan 21π=+=+=c c x x y c x u 1 哈尔滨工业大学（威海）2008/2009学年 秋季学期 工科数学分析 （A 班） 试题卷（A ）（答案） 考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 % 一、填空题（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理） 答案：1． e 31 2． 1- Ⅱ 3． 2 1 ,1 4． 2 2) 1(t t e t - 5． 632=-+z y x 6． 3 3 7． C x x x ++----13tan 2tan 3 1 8． 221211 23f f f ''+''+'' 9． 16 1 - 10． 1 1．=++++++∞ →3 2 3 1 323)1ln(lim n n e n n e n n n 2．1 15 +-=x x y 的间断点是=x ，且是 类间断点。 3．已知0]1[lim 2 =--+++∞ →b ax x x x ，则=a ，=b 4．已知：???=+=t e y t x 12，则=22dx y d 5．曲面6322 22=++z y x 在点)1,1,1(-M 处的切平面方程为 教研室主任签字： 第1 页（共 12 页） 姓名: 班级： 学号： 2 6．函数)0(>=z z u xy 沿2 1P P =l 的方向导数=??1 P u l ，其中 21,P P 分别为)1,1,1(与)2,2,2(。 7． ?=x x dx 24cos sin 8．设),(),2,(v u f y x y x f z ++=有二阶连续偏导数，则=???y x z 2 9．? == 1 3ln xdx x I 10．设R x xe y x ∈=-,1，则=∈y R x max 二、选择题：（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理） 答案： 1．设n n x x x f 211lim )(++=∞→ ，则（ ）成立。 （A ）有间断点1=x ； （B ）有间断点1-=x ； （C ）有间断点0=x ； （D ）无间断点 2．关于函数??? ??<≥=-1,11,)(2 2x e x e x x f x 在1±=x 两点处的连续性与可导性为（ ） （A ）在1±=x 处连续但不可导； （B ）在1±=x 处可导 ； （C ）在1=x 可导，在1-=x 处不可导 ； （D ）在1=x 不可导，在1-=x 处可导。 3．设)2()(x x x f -=，则（ ） （A ）0=x 是)(x f 的极值点，但)0,0(不是曲线)(x f y =的拐点； 第3 页（共 12 页） 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 工科数学分析期末试卷 （答案） 答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70% 一．选择答案（每题2分，本题满分10分） 1． )(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是 )(lim 0 x f x x →存在的（ B ）条件 (A)充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2．设)(x f 为连续函数，? =t s dx tx f t I 0 )(，其中0,0>>s t ，则I 的值（ A ） (A)依赖于s 不依赖于t （B ）依赖于t 不依赖于s （C ）依赖于s 和t （D ）依赖于t s ,和x 3．若?????=≠-=0 2 1 cos 1)(2 x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ A ） (A)连续且可导 （B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导 （D ）不可导且不连续 4．=+?→du u x x u x 0 1 0)2sin 1(1lim （ C ） (A) e 1 （B ）e （C ）2 e （D ）21e 5．设)(x f 在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)(")('00==x f x f ， 而0)('"0≠x f ，则（ C ） 姓名: 班级： 学号： 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 第 1 页（共7 页） （A)0x x =为)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 不是拐点 （B ）0x x =为)(x f 的极值点且))(,(00x f x 是拐点 （C ）0x x =不是)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 是拐点 （D ）0x x =不是)(x f 的极值点，))(,(00x f x 不是拐点 二．填空题（每题2分，本题满分10分） 1．???? ???>≤≤--<=0 10112x x x x x x y 的一切间断点为（（-1，-1），（0，0））， 其类型分别为（ 第一类间断点，第二类间断点 ）。 2． =→2 1 ) (cos lim x x x ( 2 1 - e )。 3．设1+=y xe y ，则0"|=x xx y =（ 2 2e ）。 4．曲线2 3) 1(+=x x y 的全部渐近线为 ：（1=x （水平渐近线）2-=x y （斜渐近线） ）。 5．设函数)(x f 在点0x 处导数存在，而且0)(0>x f ，则 n x x f n x f ????? ???????+∞→)()1(00lim =（)()('00x f x f e ） 1102002班工科数学分析（下）知识点 整理人：刘星斯维提 （1）：曲线积分： ?? ?==<'+'=≤≤? ? ?==? ?)()()()()](),([),(),(,)() (),(2 2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L ?βαψ?ψ?βαψ?β α 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧。 ，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！ 减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域； 、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为 和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()() (00 ) ,() ,(00==+= +????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+? ? ?==??????????????y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y P x Q y P x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L D L D L L L L βαβαψψ??ψ?ψ?β α 4.1练习 1设函数f 在点0x 处有导，试求下列极限。 1）00()()lim x o f x x f x x x ?→+?--?? 0000()()()()lim x o f x x f x f x x f x x ?→+?---?-=?000000()()()()()()lim lim lim x o x o x o f x x f x f x x f x f x x f x x x x ?→?→?→+?-+?--?-=++??? 02()f x '= 2）001lim [(()]n n f x f x n →∞+- 001()()lim 1 n f x f x n n →∞+-= 0()f x '= 3）001()lim()() n n f x n f x →∞+ 0000001()()()110()()()01(lim(11)() f x f x f x n f x f x f x n n n f x n f x +-?+-?→∞+=+- 00() ()f x f x e '= 4）00 ()()lim n n n f x f x x x →∞--0()f x '= 2证明：因为000 0()()lim x x f x f x A x x →+-=- 0000()()lim x x f x f x B x x →--=- 令00()()2()f x f x x A x x -=-- 00 ()()()f x f x x B x x β-=-- 则从而0000 0lim ()()lim ()x x x x f x f x f x →+→-== 即f 在xo 处连续 3解：()()()() f x f x f x f x ''=? 《工科数学分析II 》期末考试复习提纲 第16章 重积分 二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。 重点：1、正确交换积分顺序；2、灵活选择换元变量。第10、13题为典型题。 典型例题 1. 计算二重积分 (,)D f x y dxdy 蝌 ，其中2 [0,]D π=， cos() (,) 1 , x y x y f x y x y -≥?=? 7. 计算二重积分()sin()D x y x y dxdy -+??,其中{(,)|||||}D x y x y π=+≤. 提示：u=x-y, v=x+y 。 8. 计 算 二 重 积 分 2 2()D x y dxdy +??,其中D 由 22221,2,1,2x y x y xy xy -=-===所围而成。提示： 。 9. 设(,)f x y 为一连续函数, 求极限222 2 01 lim (,)r x y r f x y dxdy r π→++≤?? . 提示：216页积分中值定理。 10.计算三重积分V xyzdxdydz ???,其中V 由曲面222,0,,1z x y z y x y =+===所 围而成. 解：积分区域由如下不等式确定： 。称它为一个x-y-z 型区域，即先对z 积分，再对y ，最后对x 。以此顺序则表达式最为简洁。 11.计算三重积分2 z dxdydz Ω ???，其中Ω为椭球222 2221x y z a b c ++≤。参考第6题。 12.计算三重积分222 222 l n (1) 1z x y z d x d y d z x y z Ω ++++++???，其中Ω为椭球222 2221x y z a b c ++≤.提示：积分区间关于xy 平面对称，积分函数是z 的奇函数，因此积分为0。 13.计算三重积分22()I x y dxdydz Ω =+???，其中Ω 由曲面z =，1z =， 2z =所围而成。提示：积分区域及函数是xy-z 型区域，即先在圆盘上重积分（不妨用极坐标），再对z 积分。 14.计算三重积分2I z dxdydz Ω =???，其中Ω 由曲面z = 和曲面 z =围成。提示：同上，对z 积分时注意分段。 15.设密度为1的平面薄板由(sin )(1cos ) x a t t y a t =-??=-?,(02)t π≤≤与x 轴围成，求它绕 x 轴旋转的转动惯量。 16.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos ,cos r a r b θθ==之间的闭区域，求均匀薄片的重心. 17.求密度为1的均匀球锥体（即锥体被球面截下的部分）对于在其顶点为 以单位质量的质点的吸引力，设球的半径为R ，而轴截面的扇形的角等工资概念与组成部分
(整理)《中国近现代史纲要》教学大纲.
工科数学分析基础试题
华南理工大学 工科数学分析B解答
工科数学分析教程上册最新版习题解答9.3
数学分析教材和参考书-推荐下载
工科数学分析试卷+答案
工科数学分析下考试题带答案
工科数学分析基础
大连理工大学《工科数学分析基础》上学期复习.docx
知到全套答案工科数学分析下提高版2020章节测试答案.docx
工科数学分析教案 - 重庆邮电大学精品课程
大连理工大学《工科数学分析基础》级数复习.docx
工科数学分析(下)考试题(带答案)
工科数学分析教程上册最新版习题解答9.2
08-09工科数学分析试卷及答案
工科数学分析期末试卷 +答案
哈工大大一工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理
工科数学分析教程上册最新版习题解答4.1
(整理)工科数学分析ii期末复习提纲