高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

二．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点

,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。

()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③

题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若AB

a =，AD

b =，1AA

c =，则下列向量中与BM 相等的

向量是（ ）

()A 1122a b c -++ ()B 1122a b c ++ ()C 1122a b c --+ ()

D c b a +-2121 例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a

+++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b

,求y x ,的值.

C1

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若，求x －y 的值.

2、

在平行六面体中，M 为AC 与BD 的交点，若a ，b ，c ，则下列向量中

与相等的向量是 ( )。A ．-a ＋b ＋c

B ．a ＋b ＋c

C ．a -b ＋c

D ．-a -b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大是 。

第二课时 空间向量的坐标运算

（一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标

例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a ：|a |=b ：|b |

B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3

C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0

D.存在非零实数k ，使a =k b

（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ）

A. －3或1

B.3或－1

C. －3

D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）

A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)

B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)

C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)

D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)

例2、已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k +与k －2互相垂直，求k 的值.

1AA y x ++=1111D C B A ABCD -=11B A =11D A =A 1B 12

12

12121212

1212

1111ABC A B C -M 1CC 1AB BM 和AC θ

题型2：数量积

例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·

=_____. （2）设空间两个不同的单位向量=(x 1，y 1，0)，=(x 2，y 2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。

(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π)。

题型3：空间向量的应用

例4、（1）已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。

（2）已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功。

（三）、强化巩固训练

1、(07天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2

－4||2

中，是真命题的有（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

2、已知为原点，向量∥，求．

4π

113+a 113+b 113+c 3O ()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥OA AC

第三课时 空间向量及其运算强化训练

（一）、基础自测 1.有4个命题：

①若p =x a +y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p =x a +y b ；

③若=x +y ，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则=x +y . 其中真命题的个数是（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( )。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B.若|a |=|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反

C.若向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，则AB ＞CD

D.若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0，则AB ∥CD 3.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a ∥b ，则（ ）。

A.x=1,y=1

B.x=2

1，y=-2

1

C.x=6

1，y=-2

3

D.x=-6

1，y=2

3

4.已知A （1，2，3），B （2，1，2），P （1，1，2），点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q

的坐标是 . 5.在四面体O-ABC 中，=a ,=b , =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则= (用a ,b ,c 表示).

（二）、典例探析

例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1AA =a ，

AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，

试用a ，b ，c 表示以下各向量： （1）；（2）A 1；（3）+1NC .

例2、如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.

（1）求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；（2）求MN 的长； （3）求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值.

例3、 （1）求与向量a =(2,-1,2)共线且满足方程a ·x =-18的向量x 的坐标；

（2）已知A 、B 、C 三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P 的坐标使得AP =2

1

（AB -）；

（3）已知a =（3，5，-4），b =（2，1，8），求：①a ·b ；②a 与b 夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得λa +μb 与z 轴垂直，且（λa +μb ）·（a +b ）=53.

（三）、强化训练：如图所示，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. （1）求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； （2）求〈,〉.

补充：1、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE ·AF 的值为（ C ）A.a 2

B.221a

C.241a

D.

24

3a 2、已知A （4，1，3），B （2，-5，1），C 为线段AB 上一点，且AB AC =3

1

，则C 点的坐标为( C ) A.)2

5212

7

(，，-

B. )233

8(，

，- C.)3

7

1310(

，，- D. )2

32725

(，，-

3、如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两 两夹角为60°. (1)求AC 1的长；（2）求BD 1与AC 夹角的余弦值.

立体几何中的向量方法

-------空间夹角和距离

（三）、基础巩固导练

1、在平行六面体ABCD —'D 'C 'B 'A 中，设'CC z 3BC y 2AB x 'AC ++=，则x+y+z=（A ）

A.

611 B. 65 C. 32 D. 6

7

2、在正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱DD 1的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则异面直线OP 与AM 所成角的大小为（ C ）

A. 4π

B. 3π

C. 2

π

D. 与P 点位置无关

3、如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，E 、F 分别是AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值为（ B ）

A.

33 B. 32 C. 31 D. 6

1 4、 如图所示，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。

（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求二面角B －AC －E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离。10、（1）略（2

）arcsin 3 （3）

3

第二课时 用向量法求空间夹角

——热点考点题型探析

（一）热点考点题型探析

题型1：异面直线所成的角

例1、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点。

求：D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小（用余弦值表示）

E

F

O

题型2：直线与平面所成的角

例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90?，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；

题型3：二面角

例3、（08年高考）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，E 为BC 中点。

（1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小（用正切值表示）； （2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

第三课时 用向量法求空间的距离 （一）热点考点题型探析 题型1：异面直线间的距离

例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，

底边长AB =BD 和SC 之间的距离？

题型2：点面距离

例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形， Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到 平面ＥＦＧ的距离。

题型6：线面距离

例3、已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8， 对角线101=C B ，D 是AC 的中点。（1）求点1B 到 直线AC 的距离。（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离。

例4、如图，

已知边长为的正三角形ABC 中， E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且2PA =，

设平面α过PF 且与AE 平行。 求AE 与平面α间的距离？

（二）、强化巩固训练

长方体ABCD —1111D C B A 中，AB=4，AD=6，4AA 1=，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP|=2，Q 是DD 1的中点，求：（1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值；（2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ Ｇ

Ｅ

O '

Ｆ

Ｏ Ｈ

B A

C

D

1A

1B

1C

立体几何空间向量知识点总结

知识网络：

【典型例题】

例1. 已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心。求证：E 、F 、G 、H 四点共面。

例2. 如图所示，在平行六面体中，，，，P 是CA'的中点，

M 是CD'的中点，N 是C'D'的中点，点Q 是CA'上的点，且CQ ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：

（1）；（2）；（3）；（4）。

例3. 已知空间四边形OABC 中，∠AOB=∠BOC=∠AOC ，且OA=OB=OC 。M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点。求证：OG ⊥BC 。

'D 'C 'B 'A ABCD -→=→a AB →=→b AD →

=→c AA }

c b a {→→→，，→AP →

AM →AN →AQ

例4. 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。

（1）求以为邻边的平行四边形面积；

（2）若

，且垂直，求向量的坐标。 解：（1）由题中条件可知

∴ ∴以为邻边的平行四边形面积：

（2）设由题意得

解得

∴

第二讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用

一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

→

→AC AB 和3|a |=→→→→AC AB a 、

分别与→a ），，（），，，（231AC 312AB -=→--=→21

1414632|AC ||AB |AC AB AC AB cos =

?++-=→?→→

?→>=→→<∴，23AC AB sin >=

→→<，→

→AC AB 、

3

72314AC AB sin |AC ||AB |S =?>=→→

??=+-=+--=++0z 2y 3x 0z 3y x 23z y x 222???

??-=-=-=?????===1

z 1y 1x 1z 1y 1x 或），，＝（）或，，（111a 111a ---→=→

2、直线方向向量的应用

利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量是l 的方向向量，在直线l 上取，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得，这样，点A 和向量不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．

（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是和，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得，这样，点O 与方向向量、不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

二、平面的法向量

1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．

2、在空间中，给定一个点A 和一个向量，那么以向量为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是、

，则有l 1// l 2//

，l 1⊥l 2⊥

．

2、若两平面α、β的法向量分别是

、

，则有α//β//，α⊥β⊥．

若直线l 的方向向量是，平面的法向量是，则有l //α⊥，l ⊥α//

四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

1、设出平面的法向量为

．

2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标

3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系 （一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． 1、线线平行

设直线l 1、l 2的方向向量分别是、，则要证明l 1// l 2，只需证明//，即

2、线面平行

（1）设直线l 的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即. （2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．

（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这

a AB a =AP t AB =a a

b OP =

xa yb

+a b a a 1

u 2

u ?

1

u 2

u ?

1

u 2

u 1v 2

v ?1v 2v ?1v 2v

u v ?u v ?u v (,,)

n x y z =111222(,,),(,,)

a a

b

c b a b c ==00n a n b ??=??

?=??

a b a b ()

a k

b k R =∈a αn //l α⊥a n 0?=a n

两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3、面面平行

（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． （2）若能求出平面α、β的法向量、，则要证明α//β，只需证明// （二）用向量方法证明空间中的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． 1、线线垂直

设直线l 1、l 2的方向向量分别是、，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明⊥，即 2、线面垂直 （1）设直线l 的方向向量是，平面α的法向量是，则要证l ⊥α，只需证明// （2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 3、面面垂直

（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． （2）证明两个平面的法向量互相垂直．

六、用向量方法求空间的角 （一）两条异面直线所成的角

1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线

，则与所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．

2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是

3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为、，其夹角为，则有

4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （二）直线与平面所成的角

1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是

3、向量求法：设直线l 的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹

角为，则有

（三）二面角

1、二面角的取值范围：

2、二面角的向量求法

（1）若AB 、CD 分别是二面角

的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量

与的夹角（如图（a ）所示）．

（2）设

、

是二面角

的两个角α、β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就

u v u v a b a b 0a b ?=a u a u ////,//a a b b /a /b 02π

θ<≤

a b ?

cos |cos |a b a b

θ??==

?02π

θ≤≤

a u a u ?

sin |cos |cos sin a u a u

θ?θ?

?==

=?或[0,]πl αβ--AB CD 1

n 2

n l αβ--1n 2n

是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．

七、用向量的方法求空间的距离 （一）点面距离的求法

如图（a ）所示，BO ⊥平面α

，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，

cos ∠ABO=

。如果令平面α的法向量为，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距

离为

。

因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成： 1、求出该平面的一个法向量．

2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量．

3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．

由于

可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点

出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即．

另外，等积法也是点到面距离的常用求法．

（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。 （三）两异面直线距离的求法

如图（b ）所示，设l 1、l 2是两条异面直线，是l 1与l 2的公垂线段AB 的方向向量，又C 、D 分别是

BO BA

=cos cos BA BO ABO

ABO BO ??∠∠=

n AB n BO n

?=

n

n n

=0

d AB n =?n

【典型例题】

例1. 设分别是直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系。 （1）=（2，3，－1），=（－6，－9，3）； （2）=（5，0，2），=（0，4，0）； （3）=（－2，1，4），=（6，3，3）

解：（1）∵，=（－6，－9，3）

∴

，∴，∴l 1//l 2 （2）∵=（5，0，2），=（0，4，0） ∴，∴，∴l 1⊥l 2

（3）∵（－2，1，4，），=（6，3，3）

∴不共线，也不垂直

∴l 1与l 2的位置关系是相交或异面

例2. 设分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系： （1）=（1，－1，2），=（3，2，

）；

（2）=（0，3，0），=（0，－5，0）； （3）=（2，－3，4），=（4，－2，1）。 解：（1）∵=（1，－1，2），=（3，2，）

∴

∴α⊥β

（2）∵=（0，3，0），=（0，－5，0）

∴

CD n AB n

?=

→

→b a 、

→

a →

b →

a →

b →

a →

b ），，（132a -=→→

b →

→

-=b

31a →→b //a →a →

b 0b a =?→→→

→⊥b a =→a →

b →

→

b a 与→→v u 、

→

u →

v 21

-

→u →

v →

u →

v →

u →

v 21-

0v u =?→→→

→⊥∴v u →

u →

v β

α//v

//u v

53u ∴∴-=→

→→

→

（3）∵=（2，－3，4），=（4，－2，1） ∴既不共线、也不垂直，∴α与β相交 点评：应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。

例3. 已知点A （3，0，0），B （0，4，0），C （0，0，5），求平面ABC 的一个单位法向量。

解：由于A （3，0，0），B （0，4，0），C （0，0，5），∴=（－3，4，0），=（－3，0，5）

设平面ABC 的法向量为（x ，y ，z ）

则有

即 取z=1，得

， 于是=（），又

∴平面α的单位法向量是

例4. 若直线l 的方向向量是=（1，2，2），平面α的法向量是=（－1，3，0），试求直线l 与平面α所成角的余弦值。

分析：如图所示，直线l 与平面α所成的角就是直线l 与它在平面内的射影所成的角，即∠ABO ，而

在Rt △ABO 中，∠ABO=∠BAO ，又∠BAO 可以看作是直线l 与平面α的垂线所成的锐角，这样∠BAO 就

与直线l 的方向向量a 与平面α的法向量n 的夹角建立了联系，故可借助向量的运算求出∠BAO ，从而求

出∠ABO ，得到直线与平面所成的角。

解：∵=（1，2，2，），=（－1，3，0）

∴

，

，

∴

若设直线l 与平面α所成的角是θ

→u →

v →

→

v u 与→

AB →AC →

n 0AC n 0AB n =→

?→=→?→且???=+-=+-0z 5x 30y 4x 335x =45y =→n 14535，，12769|n |=

→)

769127691576920(n ，，=→→a →

n -2π→

a →

n 3

|a |=→

10

|n |=→

5n a =?→

→6

10|n ||a |n

a n ,a cos =

??>=

<→

→

→

→→

→

则有

∵

∴

因此

，即直线l 与平面α所成角的余弦值等于。 例5. 如图（a ）所示，在正方体中，M 、N 分别是、的中点。

求证：（1）MN//平面；

（2）平面。

（1）证法一：如图（b ）所示，以D 为原点，DA 、DC 、

所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空

间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M （0，1，），N （，1，1，），D （0，0，0），（1，

0，1），B （1，1，0），于是=（，0，）。

设平面

的法向量是（x ，y ，z ）

则，得 取x=1，得，，=（1，－1，－1）

又=（，0，）·（1，－1，－1）=0，∴ ∴MN//平面

证法二：∵

∴，∴

证法三：∵

><=→

→n ,a sin cos θ610n ,a cos >=

<→

→626n ,a sin >=

<→→626cos =

θ6261

111D C B A ABCD -C C 111C B BD

A 1C

D B //BD A 111

平面1

DD 2121

1A

→

MN 2121BD

A 1→

n 0

DB n 0DA n 1=?=?→→→→且??

?=+=+0y x 0

z x 1y -=1z -=→

∴n →

→?n MN 2121→⊥→n MN BD

A 1→=→-→=→-→=→-→=→1

11111111DA 21)D D A D (21C C 21B C 21M C N C MN →

→1

DA //MN BD A //MN 1平面→-→=→M C N C MN 11→

-→=D D 21A D 211

11

即

线性表示，故是共面向量 ∴//平面A 1BD ，即MN//平面A 1BD 。

（2）证明：由（1）求得平面的法向量为=（1，－1，－1）

同理可求平面B 1D 1C 的法向量=（1，－1，－1） ∴

∴平面A 1BD//平面B 1D 1C

例6. 如图，在正方体中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点。求证：A 1O ⊥平面

GBD 。

证明：设，则 而

∴

→-→-→+→=→+→

-→+→=D

A 21A D 21BA 21D

B 21)D A A D (21)BA DB (21111111)DA BA (21DA 21DB 211→-→+→+→=→?+→

=→+→+→=DB 0DA 21BD 2

1DA 21DB 2111→→→DB DA MN 1与可用→→→DB DA MN 1、与→

MN BD

A 1→

n →

m →→n //m 1

111D C B A ABCD

-→

=→→=→→=→c

A A b D A a

B A 11111，，0c a 0c b 0b a =→?→=→?→=→?→，，)

b a (21

c )AD AB (21A A AO A A O A 111→+→+→=→+→+→=→+→=→→-→=→-→=→a b AB AD BD →-→+→=→+→+→=→+→=→c

21)b a (21CC 21)AD AB (21CG OC OG 1)

a b ()b 21a 21c (BD O A 1→-→?→+→+→=→?→

同理

∴，

又，∴面GBD 。

例7. （2004年天津）如图（a ）所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点。

（1）证明：PA//平面EDB ；

（2）求EB 与底面ABCD 所成角的正切值。

（1）证明：如图（b ）所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点

设DC=a ，连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG

依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，，）

∵底面ABCD 是正方形 ∴G 是此正方形的中心

故点G 的坐标为（，，0）

∴=（a ，0，－a ），=（，0，）

∴，这表明PA//EG

)|a ||b (|21)

a b (2

1a c b c )

a b )(b a (2

1)a b (c 2

222=→-→=→-→+→?→-→?→=→-→→+→+→-→→=0OG O A 1

=→

?→BD O A 1⊥OG O A 1⊥O OG BD = ⊥

O A

12a 2a

2a 2a

→PA →EG 2a 2a -

→

=→EG 2PA

而EG 平面EDB ，且PA 平面EDB ∴PA//平面EDB

（2）解：依题意得B （a ，a ，0），C （0，a ，0）

如图（b ）取DC 的中点F （0，，0），连结EF 、BF

∵=（0，0， ），=（a ，，0），=（0，a ，0） ∴，

∴FE ⊥FB ，FE ⊥DC 。

∴tan ∠EBF

∴EB 与底面ABCD 所成角的正切值为

例8. 正方体中，E 、F 分别是、的中点，求： （1）异面直线AE 与CF 所成角的余弦值； （2）二面角C —AE —F 的余弦值的大小。

解：不妨设正方体棱长为2，分别取DA 、DC 、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A （2，0，0），C （0，2，0），E （1，0，2），F （1，1，2）

（1）由=（－1，0，2），=（1，－1，2），得，

∴=－1＋0＋4=3

又

∴

，∴所求值为

（2）∵=（0，1，0）

∴=（－1，0，2）·（0，1，0）=0

∴AE ⊥EF ，过C 作CM ⊥AE 于M

??2a

→FE 2a →

FB 2a →DC 0FB FE =→?→0DC FE =→

?→55

a 252a

|

FB ||FE |==→→=55

1

111D C B A ABCD -11D A 11C A 1

DD →

AE →CF 5|AE |=→6

|CF |=→→

?→CF AE >

→→<>=→→=

→→<10

30→

EF →

?→EF AE

则二面角C —AE —F 的大小等于

∵M 在AE 上，∴

则=（－m ，0，2m ），=（－2，2，0）－（－m ，0，2m ）=（m －2，2，－2m ） ∵MC ⊥AE ∴=（m －2，2，－2m ）·（－1，0，2）=0

∴

，∴， ∴=（0，1，0）·（，2，）=0＋2＋0=2

又

∴

∴二面角C —AE —F 的余弦值的大小为

例9. 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，H 是EF 与AC 的交点，CG ⊥面ABCD ，且CG=2。求BD 到面EFG 的距离。

分析：因BD//平面EFG ，故O 到面EFG 与BD 到面EFG 距离相等，证明OM 垂直于面EFG 即可。 解：如图所示，分别以CD 、CB 、CG 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系。

易证BD//面EFG ，设=O ，EF ⊥面CGH ，O 到面EFG 的距离等于BD 到面EFG 的距离，过O 作OM ⊥HG 于M ，易证OM ⊥面EFG ，可知OM 为所求距离。另易知H （3，3，0），G （0，0，2），O （2，2，0）。

设，=（3，3，－2）

则

又，∴

∴，∴ ∴

>→

→

=→AE m AM 设→

AM →-→=→AM AC MC →

?→AE MC 52m =)54

,2,58(MC --=→556|MC |=

→→?→MC EF 58-54-

>

→→<>=→→=

→→<3

5

BD AC →=→GH GM λ→

GH )22,23,23()2,2,2()2,3,3(GO GM OM +---=---=→

-→=→λλλλ0GH OM =→

?→0)22(2)23(3)23(3=---+-λλλ118=λ)

116

,112,112(OM =→11112)116()112(2|OM |22=

+?=→