2013年全国各地中考数学试卷分类汇编总汇免费打包 (43)

综合性问题

一．选择题

1．（2013湖北省鄂州市，5，3分）下列命题正确的个数是（）

①若代数式有意义，则x的取值范围为x≤1且x≠0．

②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03×108元．

③若反比例函数（m为常数），当x＞0时，y随x增大而增大，则一次函数y=﹣2x+m

的图象一定不经过第一象限．

④若函数的图象关于y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中

解：①若代数式

③若反比例函数

二．填空题

1．（2013·潍坊，18，3分）如图，直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F ．现将ADF ?沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E ．若11FA E ?∽BF E 1?，则AD ＝__________．

答案：3．2

解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，∴AC ＝ AB 2－BC 2 ＝ 102－62 ＝8，设AD ＝2x ， ∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1， ∴AE ＝DE ＝DE 1＝A 1E 1＝x ，

∵DF ⊥AB ，∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD ：AC ＝DF ：BC ， 即2x ：8 ＝DF ：6 ，解得DF ＝1．5x ，

在Rt △DE 1F 中，E 1F 2＝ DF 2＋DE 12 ＝ 3．25 x 2 ，

又∵BE 1＝AB －AE 1＝10－3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F ：A 1E 1 ＝BE 1 ：E 1F ，∴E 1F 2＝A 1E 1?BE 1，

过A 作'AB PP ⊥,则sin 45322

AB OA =?=?

=

∴阴影部分''PAA P 的面积为'122

S PP AB =?== 【答案】12

3．（2013山东德州，17，4分）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的

顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE ＝CF ②∠AEB ＝750

③BE+DF ＝EF ④S 正方形ABCD ＝2+3，其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）

【答案】①②④.

【解析】∵在正方形ABCD 与等边三角形AEF 中，∴AB=BC=CD=DA ，AE=EF=AF ，

∴△ABE ≌△ADF ，∴DF=BE ，有DC －DF=BC －BE ，即 CE ＝CF ，①正确；∵CE=CF ，∠C=90°，∴∠FEC=45°，而∠AEF=60°，∴∠AEB ＝180°－60°－45°=75°，②正确；根据分析BE+DF ≠EF ，③不正确；在等腰直角三角形CEF 中，CE=CF=EF ·sin45°=2.在Rt △ADF 中，设

AD=x ，则DF=x －2，根据勾股定理可得，2

2222=-+

）（x x ，解得，x 1=2

6

2+， 2622-=

x （舍去）. 所以正方形ABCD 面积为22

2

62）（+=x =2+3，④正确. 【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识，同时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运用相关知识逐一验证.

4．(2013四川成都，23，4分)若关于t 的不等式组0,

214t a t -??

+?

≥≤恰有三个整数解，则关于x 的

一次函数y ＝

14x －a 的图象与反比例函数y ＝32a x

+的图象的公共点的个数为______．

【答案】0或1．

【解析】解不等式组得a ≤t ≤32

．∵原不等式组恰有三个整数解，即－1，0，1，∴－2＜a

≤－1．一次函数y ＝

14x －a 的图象与反比例函数y ＝32a x

+的图象的交点坐标即是方程组1,

432

y x a a y x ?=-??

+?=?

的解．消去方程组中的y 得，14x －a ＝32a x +．即x 2－4ax －4(3a ＋2)＝0．其

判别式△＝(－4a )2＋16(3a ＋2)＝16(a 2＋3a ＋2)＝16(a ＋1)(a ＋2)．当－2＜a ≤－1时，(a ＋

1)(a ＋2)≤0，即△≤0．∴两个图象的公共点的个数为0或1．

【方法指导】此题有一定的综合性，解答时涉及的知识点有：不等式组的解及解不等式组、函数的图象、一元二次方程根的判别式等．

三．解答题

1．（（2013贵州毕节，27，16分）如图，抛物线y=ax 2

+b 与x 轴交于点A 、B ，且A 点的坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，1）． （1）求抛物线的解析式，并求出点B 坐标；

（2）过点B 作BD ∥CA 交抛物线于点D ，连接BC 、CA 、AD ，求四边形ABCD 的周长；（结果保留根号）

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，过点P 作PE 垂直于x 轴，垂足为点E ，使以B 、P 、E 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

，解得：

BD=

AD=

；

AC+BC+BD+AD=+=，即，∴

，即，∴

2．（2013·聊城，25，?分）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；

（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y＝48时代入解析式就可以求出其值；

（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．

（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10过点A作直线L 平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．

解答：解：（1）由题意，得y＝＝－x2＋10x，

当y＝48时，－x2＋10x＝48，

解得：x1＝12，x2＝8，∴面积为48时BC的长为12或8；

（2）∵y＝－x2＋10x，∴y＝－（x－10）2＋50，∴当x＝10时，y最大＝50；

（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC 的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，

过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，

连接B′C交直线L于点A′，再连接A′B，AB′

则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，

∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，

当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：

△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，

当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，

这时△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，

因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；

这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝＝10，∴△ABC的周长＝10＋10，因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10＋10．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．

3．（2013·济宁，22，?分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；

（2）求△AOB的面积；

（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．

求证：DO?OC=BO?OA．

考点：反比例函数综合题．

分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；

（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；

（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．

解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，

∴AB是⊙P的直径．

（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），

∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．

如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S△AOB=BO?OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，

参照（2），同理可得：S△COD=DO?CO=24，

则有：S△COD=S△AOB=24，即BO?OA=DO?CO，

∴DO?OC=BO?OA．

点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k ，则可以证明⊙P 在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k ；对于另外一点Q 所形成的⊙Q ，此结论依然成立．

4．（2013·潍坊，22，11分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至'''D F CE ，旋转角为α．

（1）当点'

D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；

（2）如图2，G 为BC 的中点，且0°＜α＜90°，求证：D E GD ''=；

（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，'DCD ?与'CBD ?能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．

答案：(1) ∵DC//EF ，∴∠DCD ′＝∠CD ′E ＝∠CD ′E ＝α． ∴sin α＝1

'2

CE CE CD CD ==，

∴α＝30°

(2) ∵G 为BC 中点，∴GC ＝CE ′＝CE ＝1， ∵∠D ′CG ＝∠DCG ＋∠DCD ′＝90°＋α， ∠DCE ′＝∠D ′CE ′＋∠DCD ′＝90°＋α，

∴∠D ′CG ＝∠DCE ′又∵CD ′＝CD ， ∴△GCD ′≌△E ′CD ， ∴GD ′＝E ′D (3) 能． α＝135°或α＝315°

考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定

点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，

通过操作、观察、计算、猜想等获得结论．此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力． 5．（2013·潍坊，23，13分）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点E D 、在斜边AB 上，G F 、分别在直角边AC BC 、上；又分别以AC BC AB 、、为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中米324=AB ，

?=∠60BAC ．设x EF =米，y DE =米．

（1）求y 与x 之间的函数解析式；

（2）当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？

（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的

3

1？ 答案：（1）在Rt △ABC 中，由题意得AC ＝312米，BC ＝36米，∠ABC ＝30°， 所以,330tan ,333

60tan x EF

BE x x DG AD =?===?=

又AD ＋DE ＋BE ＝AB ， 所以,33

4

324333324x x x y -=--

=（0＜x ＜8）

． (2)矩形DEFG 的面积

.3108)9(33

4

324334)334324(22+--=+-=-

==x x x x x xy S 所以当x ＝9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为3108平方米．

（3）记AC 为直径的半圆\、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S3，两弯新月面积为S ，则,8

1

,81,81232221AB S BC S AC S πππ===

由AC 2＋BC 2＝AB 2可知S 1＋S 2＝S 3，∴S 1＋S 2－S ＝S 3－S △ABC ，故S ＝S △ABC 所以两弯新月的面积S ＝

3216363122

1

=??(平方米)

由32163

13108)9(334?=+--

x ，

即27)9(2

=-x ，解得339±=x ，符合题意， 所以当339±=x 米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的3

1

．

考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。 点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．

6.（2013陕西，23，8分）（本题满分8分）

如图，直线与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一

点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；

（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；

（2）若⊙O 的半径5=R ，BD=12，求tan ∠ACB 的值．

考点：切线的性质应用，圆内角的性质的应用，

正方形的判定与性质的应用及三角函数的定义及 正切值的求法。构造矩形的过程与12年的类似。

解析：切线的性质的应用是：有切线，连切点，

得垂直。直径所对的圆周角是直角的应用及等价转化的思想的应用。 （1） 证明：如图，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF=90°，∴∠ABC+∠

ACB=90° （2） 解：连接OD ，则OD ⊥BD ．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ，

∴ EH ∥OD ∵EF ∥

BC ，EH ∥ ∴四边形EODH 是正方形 ．∴ ∵BD=12，∴BH=7，

在Rt △BEH 中，tan ∠BEH=5

7

=EH BH

又∵∠ABC+∠BEH=90°,∠ABC+∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠BEH ∴tan ∠ACB 5

7=

． 2.（2013陕西，24，10分）

在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A （1）写出这个二次函数的对称轴；

（2）设这个二次函数的顶点为D ，与y 轴交于点C ，

它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AD 、DE 和DB ，

当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式。 [提示：如果一个二次函数的图象与x 轴的交点

为)0,(),0,(21x B x A A ，那么它的表达式可表示 为：))((21x x x x a y --=]

考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定

系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，

抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等

第23题图

第23题图

（第24题图）

等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。

解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；

（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D 与E 的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：（1）对称轴为直线：x=2。 （2）∵A （1，0）、B （3，0），所以设)3)(1(--=x x a y 即a ax ax y 342

+-=

当x=0时，y=3a ，当x=2时，y=a -

∴C （0，3a ），D(2,-a) ∴OC=|3a|, ∵A （1，0）、E （2，0）， ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC 与△DEB 中， ∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当

EB

DE

OC AO =

时，△AOC ∽△DEB ∴1|||3|1a a =

时，解得33=a 或33

-=a 当DE

EB

OC AO =

时，△AOC ∽△BED ∴

|

|1|3|1a a =时，此方程无解， 综上所得：所求二次函数的表达式为：

3334332+-=

x x y 或333

4332-+-=x x y 7.（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2

(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

8.（2013四川巴中，31，12分）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

（，

=2

，

）

）代入得：，

=，

=

=

-与抛物线9.（2013四川乐山，26，13分）如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴x=3

∠=。

相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan MON3

（1）求抛物线C的解析式；

（2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线C'，抛物线C'与x轴的另一交点为A，B 为抛物线C'上横坐标为2的点。

①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；

②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O－B－A于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当△AE1E2有一边与△AF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。