定积分不等式证明方法讲座
定积分不等式证明方法
一 柯西不等式方法 利用柯西不等式证明的问题经常含有特殊的形态，比如涉及两个积分项相乘，或者含有函数平方、平方根的积分。
柯西不等式 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，则有
2
22
[()()d ]()d ()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x x g x x ≤
??
?
等号成立的充分必要条件是存在常数k 使得()()f x kg x =或者()()g x kf x =。注意有些问题（不一定在不等式证明中）会涉及到等号成立的条件。
例1 设()f x 在[,]a b 上连续，证明22[()d ]()()d b
b
a
a
f x x b a f x x ≤-??。
证明 在柯西不等式中设()1g x =，即证。
例2 设()f x 在[,]a b 上连续，且恒正，证明2
1()d d ()()
b
b a
a
f x x x b a f x ≥-??
证明 在柯西不等式中设()1g x =
，可证。
例3 设()f x 在[,]()a b b a >上具有连续导数，如果()()0f a f b ==，求证
1
2
2222
()
['()]d ()d (1)
n n n b b
n
n
a
a
m
b a f x x x
f
x x n +-≥
+??
其中m 为2()f x 在[,]a b 上最小值，0n >。
证明 在柯西不等式中，分别设函数为'(),()n
n
f x x f x ，有
2
2
2221
1['()]d ()d ()'()d d ()1b b
b
b n
n
n n n n a
a
a a
f x x x
f
x x x f x f x x x f x n +????≥=??????+??
???? 2
2
2
1
111
1
22
1
()
()d ()d (1)(1)b b n
n n n n n a
a b n x f x n f x x x f x x
x a
n n ++-+-????=-=??????
++?
?
?
?
22(1)2(1)
2
2
11222
()()()
()d (1)(1)
(1)
n n n n n n b n n a n
f b a m b a f x x n n n ξξ+++---??==≥????+++?
等式中[,]a b ξ∈，这是由推广积分中值定理得到：
设()f x 是[,]a b 上恒大于等于零的连续函数，如果()g x 在[,]a b 上连续，则存在
[,]a b ξ∈使得
()()d ()()d b b
a
a
f x
g x x g f x x ξ=?
?。
例4 ()f x 在[,]()a b b a >上具有连续导数，如果()0f a =，求证
2
2
2
1()d ()
['()]d 2
b b a
a
f x x b a f x x ≤
-?
?
证明 因为()0f a =，所以
2
2
222
()'()1d d ['()]d ()['()]d x
x x
x
a a
a
a
f x f t t t f t t x a f t t ??=?≤
=-????????
由积分可加性，有
2
2
2
()()['()]d ()['()]d x
b
a
a
f x x a f t t x a f t t ≤-≤-??
两边取定积分，得
()
2
2
()d ()
['()]d d b b b a
a
a
f x x x a f t t x ≤
-?
?
?
2
2
2
()
['()]d ()d ['()]d 2
b b
b a
a
a
b a f t t x a x f t t -=
-=
?
??
。
例5 设()f x 在[0,1]上连续，且1()f x a ≤≤，证明
2
110
1(1)1()d d ()
4a f x x x f x a
+≤
≤
??
。
证明 左边不等式由柯西不等式得。
1
21111000
1
2()d d ()d d ()()
a a f x x x f x x x f x f x ??≤
+
????
???
?
10
1(())(()1)d (1)()
f x a f x x a f x =
--++?
由条件1()f x a ≤≤，有(())(()1)0f x a f x --≤，所以
1
211001
2()d d 1()a f x x x a f x ??≤+????
??
得
2
110
1(1)()d d ()
4a f x x x f x a
+≤
?
?
。
例6 设()f x 为(,)-∞+∞上连续周期函数，周期为1，如果()f x 满足：0()1f x ≤≤，
且1
()d 1f x x =?，求证
()d ()d ()d 11f t t f t t f t t +
+
≤?
。
以及取等号的条件。
证明 由条件0()1f x ≤≤，有
()d ()d ()d f t t f t t f t t +
+
≤利用离散柯西不等式，有
1=+
11≤=。
且取等式充分必要条件是：
=
=
即6x =。所以
()d ()d ()d 11f t t f t t f t t +
+
≤。
特别当6x =时，有
3620
()d ()d ()d ()d ()d ()d f t t f t t f t t f t t f t t f t t +
+
=
+
+
?
?
?
根据周期性，以及10
()d 1f x x =?，有
3
6
2
1
()d ()d ()d 11()d 11f t t f t t f t t f t t +
+
==?
?
?
?，
所以取等号充分必要条件是6x =。
注 本题并不是利用连续型柯西不等式方法证明结论，而是利用离散型柯西不等式方法证明结论，但问题是在利用柯西不等式时采用了“一般人”想不到的“技巧”，这种技巧并不明显。确实柯西不等式形式上是简洁的，但对于什么样不等式，我们会想到采用柯西不等式来证明呢？这才是问题的所在，回答它并不容易。当然这地方可以避免使用离散型柯西不
11≤，而是利用导数方法证明。
二 常数变异法 将区间某端点看成变量（或者转换为变量），然后利用上限函数求导。此类定积分不等式问题中，通常含有某些函数满足连续、单调条件，此时可以通过将上限或下限涉及到的常数符号，在整个不等式中换成与变量积分变量无关的变量，然后作辅助函数，再通过求导对辅助函数的单调性进行研究。
例1．设()f x 在[,]a b 上连续，且单调增加，证明
()d ()d 2
b b a
a
a b tf t t f t t +≥
?
?
分析 将定积分不等式视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明，将要证的不等式两端做差，并将上限b 换成x ，作辅助函数()F x 如下
()()d ()d 2
x x a
a
a x F x tf t t f t t +=
-
?
?
如果证明()0F b ≥，即证得原命题。 证明 对()F x 求导，得
1
1
'()()()d ()()()d 2
2
2
2
x x a
a
a x x a F x f x x f t t f x f x f t t +-=-
-=-
??
111()d ()d (()()d 2
2
2
x x x a
a
a
f x t f t t f x f t t =-
=
-?
?
?
由于()f x 在[,]a b 上单调增加，且因为[,]t a x ∈，所以有()()0f x f t -≥，再根据定积分性质，有'()0F x ≥。由此知()F x 在[,]a b 上单调增加，则()()0F x F a ≥=，得()0F b ≥，得证。
例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(0)0f =，且单调增加，证明 存在2
a b ξ+≥
使得
()d ()d b b
a
a
tf t t f t t ξ=?
?
分析 假设结论成立，则有()d ()d 2
b b a
a
a b tf t t f t t +≥
??
，而由上例知道，此不等式成立。
再由(0)0f =，且()f x 单调增加，知()f x 在[,]a b 上满足()0f x ≥，则由推广积分中值定理有[,]a b ξ∈使得()d ()d b
b
a
a
tf t t f t t ξ=??，如此得
()d ()d ()d 2
b b
b a
a
a
a b tf t t f t t f t t ξ+=≥
?
??
即可证明结论。
例3 设()f x 在[,]a b 上有连续导数，且20'(),()01
f x f a n <≤
=+求证
2
21
()d ()d b b n n a a
f x x f
x x +??≥
????
??
证明 设辅助函数
2
21
()()d ()d x
x n n a a
F x f t t f
t t +??=-????
??
则
21
1
'()2()()d ()()[2()d ()]x
x
n
n
n n
n n a
a
F x f x f t t f
x f x f t t f
x ++=-=-??。
设1
()2()d ()x
n n a
G x f t t f
x +=-?，则
1'()2()(1)()'()2()(1'())2
n
n
n
n G x f x n f x f x f x f x +=-+=-
因为()0,'()0f a f x =>，所以()f x 严格单调递增，且()()0,(,]f x f a x a b >=∈，所以
()0,(,]n
f x x a b >∈。又因为11'()02
n f x +-
≤，所以得'()0G x ≥，由此得：
()()0,(,]G x G a x a b ≥=∈
所以有'()0,[,]F x x a b ≥∈，得()()0F b F a ≥=，即得
2
21
()d ()d b b n n a a
f x x f
x x +??≥????
??
。
注 当2n =时，此题为94北方交通大学数学竞赛试题，美国数学竞赛试题。
例 4 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，如果对于任意在[,]a b 上有一阶连续导数，且在b 点取值为零的函数()h x ，都满足
[()()()'()]d 0b a
f x h x
g x
h x x +=?
，
求证 ()g x 可导，且'()()g x f x =。 证明 设()()d x a
F x f t t =
?
，则有
()()d ()d ()()()
()'()d ()'()d b b b b
a
a
a
a
b f x h x x h x F x F x h x F x h x x F x h x x a
=
=-
=-?
?
?
?
由条件得
[()()]'()d 0b a
F x g x h x x -=?
下证，在[,]a b 上()F x 与()g x 恒等。
采用反证法，如果存在0[,]x a b ∈，使得00()()F x g x >（同理可证00()()F x g x <情况） ，则由连续性有，存在0δ>，使得在00(,)[,]x x a b δδ-+?(或者00[,)[,]x x a b δ+?，或者00(,][,]x x a b δ-?，下面仅对第一种情况说明)且在此区间上()()F x g x >。构造函数()h x 满足：在0[,]a x δ-取常值，在0[,]x b δ+上取零，在00(,)x x δδ-+内单调递增，则在[,]a b 上有'()0,()0h x h b ≥=。由此由定积分性质得
[()()]'()d 0b a
F x g x h x x ->?
矛盾。所以得在[,]a b 上()F x 与()g x 恒等，即证得题中命题。
三 微分中值定理方法 当题目条件含有一阶以上连续导数时，可考虑微分中值定理证明方法。
例1（前苏联竞赛题）设()f x 在[,]a b 上有一阶连续导数，()()0f a f b ==求证
2
()
()d 4
b a
b a f x x M -≤
?
其中M 为|'()|f x 在[,]a b 上的最大值。 证明 利用拉格朗日中值定理得：
11()()()'()(),(,)f x f x f a f x a a x ξξ=-=-∈
22()()()'()(),
(,)f x f x f b f x b x b ξξ=-=-∈
所以有
|()|(),
|()|()f x M x a f x M b x ≤-≤-
则由定积分性质得
22
()d ()d ()d a b
b b a b a
a
f x x f x x f x x ++=+
?
?
?
2
22
()
(-)d ()d 4
a b
b a b a
b a M x a x M b x x M ++-≤
+
-=
?
?
。
习题 1. 设()f x 在[,]a b 上有一阶连续导数，()0f a =求证
2
()
()d ()4
2
b a
b a b a f x x M f b --≤
+
?
其中M 为|'()|f x 在[,]a b 上的最大值。
2.（1985陕西省高校数学竞赛试题）设()f x 在[0,2]上有一阶连续导数，满足|'()|1f x ≤，
(0)(2)1f f ==。求证
2
1()d 3f x x ≤
≤?
。
解 由已知条件有
11()(0)'(),
(0,)f x f f x x ξξ-=∈
22()(2)'()(2),(,2)f x f f x x ξξ-=-∈
所以有
()1,()1,f x x f x x ≥-≥-
与
()1,()3,f x x f x x ≤+≤-
由此
2
1
2
1
()d (1)d (1)d 1f x x x x x x ≥
-+
-=?
?
?
.
与
2
1
2
1
()d (1)d (3)d 3f x x x x x x ≤
++
-=?
?
?
，
得证。
3.（前苏联竞赛试题） 在区间[0,2]是否存在函数()f x 使其有一阶连续导数，且满足：
(0)(2)1f f ==， |'()|1f x ≤，2
0()d 1f x x ≤?。
解 利用题2，有()1,() 1.f x x f x x ≥-≥- 如果存在0[0,1]x ∈，使得0()1f x x >-，则
2
1()d 1f x x =
>?
，
矛盾，所以()1f x x =-，[0,1]x ∈；同理()1f x x =-，[1,2]x ∈。但此时()f x 在1x =处不可导，矛盾。
由此不存在这样函数。
4. 在区间[0,2]是否存在函数()f x 使其有一阶连续导数，且满足：(0)(2)1f f +=，
|'()|1f x ≤，2
0()d 1f x x ≤?。
5. 设()f x 在[,]a b 上存在连续的n 阶导数，且有
()
()
()()0,0,1,2,,1k k f
a f
b k n ===- ，
则存在(,)a b ξ∈使得
()
1
|()|()
|()()|!
2
n n
n f
b a f b f a n ξ---≤
。
是否存在函数()f x 使其有一阶连续导数，且满足：(0)(2)1f f +=， |'()|1f x ≤，
2
()d 1f x x ≤?
。
四 凹凸性利用 当题目条件给出()f x 二阶导数符号时，可考虑函数凹凸性方法 例1 设()f x 在[,](0)a b a ≥上有二阶连续导数，且在[,]a b 上有''()0f x ≥，求证
[]()d (2)()(2)()6
b a
b a tf t t b a f b a b f a -≤
+++?
证明 因为在[,]a b 上有''()0f x ≥，所以函数为凹函数，即对于任意[0,1]λ∈有
((1))()(1)()f a b f a f b λλλλ+-≤+-
所以有
(1)1
()d ()[(1)]((1))d t xb x a
b a
tf t t b a xb x a f xb x a x =+-======-+-+-?
?
1
()[(1)][()(1)()]d b a xb x a xf b x f a x ≤-+-+-?
[](2)()(2)()6
b a b a f b a b f a -=
+++。
五 重积分法 对含有()d ()d b d
a
c
I f x x g x x =
?
?形式的不等式可考虑将I 转化为()()d d b d
a
c
f x
g y x y ?
?
形
式。然后再利用相关性质进行证明。
例1 设()f x 为[0,1]上的单调增加的连续函数，如果0,1k l n >>>，证明
1
1
001
1
1
1
()d ()d ()d ()d k n
l n
k
n l
n x f x x
x f x x
x f x x
x f x x
--≥
???
?
证明 将不等式通分变形为
1
1
1
1
1
1
()d ()d ()d ()d k n
l n l n
k n I x f x x x f
x x x f x x x f
x x --=
-?
???
转化为分次积分
1
1
1
1
1
1
00
()()d d ()()d d k l n n l k n n I x y f x f y x y x y f x f
y x y --=-??
?
?
1
1
1
()()()d d k l
k l
l l
n
n x
y
x y f x f
y x y ---=
-??
同理有
11
1
00
()()()d d k l
k l
l l n n I y
x
x y f y f
x x y ---=
-??
将所得两式相加有
11
1
1
2()(()())()()d d l l
k l
k l
n n I x y x
y
f x f y f
y f
x x y ----=
--??
由已知条件，得()(()())0k l
k l
x
y f x f y ----≥，即得0I ≥，所以原不等式成立。
例2 （柯西不等式） 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，则有
2
22
[()()d ]()d ()d b
b b
a
a
a
f x
g x x f x x g x x ≤
??
?
证明
2
[()()d ]()()d ()()d b
b b
a a
a
I f x g x x f x g x x f y g y x ==
??
?
()()()()d d b b a
a
f x f y
g x g y x y =
??
因为
2
2
2
2
1()()()()(()()()())2
f x f y
g x g y f x g y g x f y ≤
+
所以有
22
22
1
[()()d d ()()d d ]2b
b
b b a a
a a
I f x g y x y g x f y x y ≤
+
?
?
??
22
2
2
1[()d ()d ()d ()d ]2b b b b
a
a a
a
f x x
g y y f y x g x y =+
????
2
2
()d ()d b b
a
a
f x x
g x y =
?
?。
例3（98北京信息工程大学试卷）设()f x 在[0,1]上有一阶连续导数，求证
1
11
|()|d max{|(')|d ,|()d |}f x x f x x f x x ≤?
??
证明 因为()f x 在[0,1]上连续，如果()f x 在(0,1)上无零点，则在[0,1]上取值同号，由此有1
1
|()|d |()d |f x x f x x =??。
如果存在(0,1)c ∈，使得()0f c =，有c
()'()d x f x f t t =
?
，所以有：
1
1
1
c 0
c |()|
d |'()d |d ||'()|d |d x
x
f x x f t t x f t t x =
≤
?
?
??
?
1
11
|'()|d d |'()|d
f t t x f x x ≤
=??
?
。 得证。
例4 求证 2
222
20ππ(1e
)e d (1e )4
4
n n
x n x ---??-≤≤-?????。 证明 因为
22
2
22
2
()
00
e d e
d e
d e
d d n n n
n n x x
y
x y x x y y x ----+??=
=
????
??
???
，
取{}222()(,)|,,0D r x y x y r x y =+≤≥，则有
22
2
22
2
()
()
()
)
e
d d
e d e
d d n x y x
x y D n D y x x y x -+--+??≤≤
????
??
?，
又因为
22
2
2
π
()
2
()
πe
d d e
d d (1e
)4
r x y r
D r y x ρ
ρθρ-+--=
=
-??
??
，
所以有
2
222
20ππ(1e
)e d (1e )44
n n
x n x ---??-≤≤-?????。