林头中学2011级高三数学寒假作业四
寒假作业人教A版必修4第一章知识要点及分层作业(附详解答案)
1.1.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识要点】1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．2．弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 3．弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．4.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．5.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦6.三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长7.弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.【对点精练】【基础巩固】一、选择题交单位圆O 于点P ，若∠C ．(sin θ，cos θ)D ．是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝．【素养提升】的终边相同，则y ＝|sin ．－3轴的非负半轴重合，终边在直线【知识要点】1.同角三角函数基本关系：平方关系22sin cos 1αα+= 商数关系sin tan cos ααα=2.诱导公式1.1.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用【知识要点】1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图：要找五个关键点，如下表所示：2.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法3.三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．【对点精练】)＝2sin ()2x ＋3π4)＝2sin ()2x －π4 ＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为)，0(k ∈Z ) C.()k π2－π4，0(k ∈的最小正周期为T ，将曲线y ＝f (x )向左平移>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点之间的距离为)(其中0<ω<1)，若点()－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．在区间x ∈[－π，π]上的图象．1.1.5 三角函数第一章单元测试第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，)1．若α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B．sin2 C.2sin1D．2sin13．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 4．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－435．如果sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316 6．如果sin α＋cos α＝34，那么|sin 3α－cos 3α|的值为( )A.2512823 B ．－2512823 C.2512823或－2512823 D ．以上全错7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( )A ．－81727 B.81727 C.82027D ．－820278．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.549．函数y ＝sin ()2x ＋π6的一个单调递减区间为( )A.()π6，2π3B.()－π3，π6C.()－π2，π2D.()π2，2π310．将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin(12x －π2) C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)11．已知函数f (x )＝sin ()x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[]0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝________.14．函数y ＝lg(sin x )＋16－x 2的定义域为________________．15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为，求2sin α＋cos α的值．18．(本题满分12分)已知tan α、1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<72π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．19．(本题满分12分)已知x ∈[－π3，2π3]，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ()12x ＋π4－1，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ()12x ＋π4－1的图象？21．(本题满分12分)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离．22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．附：参考答案1.1.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【基础巩固】一、选择题⎩⎨l ＝2.A，AB＝22，＝1 3，θ∈()π2，π)[－A依题意∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12. ∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ()x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：x ＋π6 －5π6 －π20 π2 π 7π6 x －π －2π3 －π6π3 5π6 π y －1 －2 0 2－1则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．10． 解析：(1)因为f (x )＝sin ()ωx －π6＋sin ()ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ()ωx －π3.由题设知f ()π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ()2x －π3，所以g (x )＝3sin ()x ＋π4－π3＝3sin ()x －π12.因为x ∈[]－π4，3π4，所以x －π12∈[]－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养提升】11． 解析：(1)∵f (x )＝sin()5π6－2x －2sin ()x －π4cos ()x ＋3π4＝12cos2x ＋32·sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ()2x －π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间为[]k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ()4x －π3＝－4λsin ()2x －π6－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2()2x －π61.1.5 三角函数第一章单元测试第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，)1． [答案] A[解析] α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角． 2．[答案] C[解析] 由题设，圆弧的半径r ＝1sin1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin1.3．[答案] A[解析] 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故P 点坐标为(cos θ，sin θ)． 4．[答案] D[解析] x <0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43. 5．[答案] D[解析] ∵sin α－2cos α＝－5(3sin α＋5cos α)，∴16sin α＝－23cos α，∴tan ＝－2316.6． [答案] C[解析] 由已知，两边平方得sin αcos α＝－732. ∴|sin 3α－cos 3α|＝|(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α)|＝1－2sin αcos α·|1＋sin αcos α|＝2523128.∴sin 3α－cos 3α＝±2523128.7．[答案] C[解析] ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎨⎧sin θ＝3cos θsin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 8．[答案] B[解析] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 9．[答案] A[解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，整理得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，所以仅有()π6，2π3是单调递减区间． 10．[答案] B[解析]11． [答案] D[解析] ∵f (x )＝sin ()x －π2＝－cos x (x ∈R )，∴T ＝2π，在[]0，π2上是增函数．∵f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x ＝0对称．12．[答案] B[解析] ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6. 又最大值为2，最小值为1，则⎩⎨⎧ A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13． [答案] 22－13 [解析] cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－cos(75°＋α)－sin(α＋75°)．∵180°<α<270°，∴255°<α＋75°<345°.又∵cos(α＋75°)＝13，∴sin(α＋75°)＝－23 2.∴原式＝－13＋232＝22－13. 14． [答案] [－4，－π)∪(0，π)[解析] 由已知，得⎩⎨⎧ sin x >0，16－x 2≥0.解得⎩⎨⎧ 2k π<x <2k π＋π，－4≤x ≤4，即x ∈[－4，－π)∪(0，π)．15．[答案] 2sin ()π4x －π4＋6 [解析] 由题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6. 周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ()π4x ＋φ＋6.又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ()3π4＋φ＋6.∴sin ()3π4＋φ＝1，取φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ()π4x －π4＋6. 16．[答案] ①③[解析] ①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x ＋π3＝π2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17． [解析] (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. (2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45， 2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25. 18． [解析] 由题意，根据韦达定理，得tan α1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2.又∵3π<α<72π，∴tan α>0，1tan α>0， ∴tan α＋1tan α＝k >0，即k ＝2，而k ＝－2舍去，∴tan α＝1tan α＝1，∴sin α＝cos α＝－22，∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝sin α－cos α＝0.19． [解析] (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数， ∴当x ＝0时，y 取最大值1；x ＝2π3时，y 取最小值－12.∴y ＝cos x 的值域为[－12，1]． (2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，即y ＝3(cos x －23)2－13， 由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，154]． 20． [解析] (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2(k ∈Z )， 即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是：①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ()x ＋π4的图象；②将函数y ＝sin ()x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ()12x ＋π4的图象；③将函数y ＝sin ()12x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ()12x ＋π4的图象；④将函数y ＝3sin ()12x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ()12x ＋π4－1的图象．21． [解析] ∵函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)图象的最高点为S (3,23)，∴A ＝2 3.由图象，得T 4＝3，∴T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6，即y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4,3)．又P (8,0)．∴|MP |＝42＋32＝5，即MP 的长是5. 22． [解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎨⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎨⎧A ＝2B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2， 解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1. (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1]，∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．。
高三数学寒假作业四
高三数学寒假作业四一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是A ．若a =0或b =0,则ab =0B ．若0≠ab ，则0≠a 或0≠bC ．若0≠a 且0≠b ,则0≠abD ．若0≠a 或0≠b ，则0≠ab 2. 已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，则下列选项中不一定．．．能成立的是 A ．c b a a < B ．0>-c a b C ．c a c b 22> D ．0<-ac ca3. 使“1lg <m ”成立的一个充分不必要条件是A. {}1, 2m ∈B. 1<mC. 100<<mD. ),0(+∞∈m 4. 已知在等比数列{}n a 中,1346510,4a a a a +=+=,则该数列的公比等于 A. 12 B. 23 C. 2 D. 12-5. 已知函数()22xf x =-，则函数()y f x =的图象可能是6. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位，所得图象的函数解 析式是A ．cos 2y x =B ．22sin y x = C ．)42sin(1π++=x y D ．22cos y x =7. 已知函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象如图所示，则ω等于 A.13B. 32C. 1D. 28. 在曲线32()3610f x x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为 A ．360x y -+= B ．3110x y +-=C ．3110x y ++=D ．3110x y --=9. 已知1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy A ．有最大值e B ．有最大值e C ．有最小值e D ．有最小值e 10. 若定义在R 上的奇函数)(x f 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则 有A. (25)(80)(11)f f f -<<B. (11)(80)(25)f f f <<-C. (25)(11)(80)f f f -<<D. (80)(11)(25)f f f <<-二、填空题（每小题4分，共计24分） 11. 定义：()00>>=y ,x y)y ,x (F x，已知数列{}n a 满足()()n ,F ,n F a n22=)(*∈N n ，若对任意正整数n ，都有n k a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为_________. 12. 在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若22sin 3A =，2a =， 2ABC S =△，则b 的值为__________.13. 若||2,||4==a b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是 ． 14. 函数2()2ln f x x x =-的单调增区间是2()2ln f x x x =-15. 不等式组260302x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤所表示的平面区域的面积为 .16. 已知下列各式：1111111311111, 11, 1, 12,2232347223415>++>+++++>+++++>则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为 ．三、解答题：（共46分，其中17题10分，其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 已知不等式201x x +<-的解集为A ，关于x 的不等式21()2()2x a x a -->∈R 的解集为B ，全集U =R ，求使UA B B =的实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分） 已知函数22()cos(2)sin cos 3f x x x x π=-+-.（I ）求函数()f x 的单调减区间； （II ）若3()5f α=,2α是第一象限角，求sin 2α的值． 19．（本小题满分12分）已知{}n b 是公比大于1的等比数列，13,b b 是函数2()54f x x x =-+的两个零点. （I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）若数列{}n a 满足2log 2n n a b n =++，且12363m a a a a ++++≤，求m 的最大值.20．（本小题满分12分）已知在函数3()f x ax x =-的图象上，以(1,)N b 为切点的切线的倾斜角为45. （I ）求,a b 的值；（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1996f x k ≤-对于[1,3]x ∈-恒成立？ 若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.高三数学寒假作业四参考答案一、选择题（每小题3分，共计30分） 1-5 CCAAB 6-10 DBDCA .二、填空题（每小题4分，共计24分）11.89 12. 3 13. 23π； 14. 1(,)2+∞； 15. 1； 16. 1111()23212n n n ++++>∈-*N .三、解答题：（共46分，其中17题10分，其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 三、解答题 17. 解：由201xx +<-解得21x -<<，(2,1)A =-.所以(,2][1,)UA =-∞-+∞.由21()22xa x -->得211()()22x a x +>，即2x a x <+，解得x a <.所以(,)B a =-∞. 因为UA B B =，所以UB A ⊆，故有2a -≤.即a 的取值范围是(,2]-∞-.18. 解：（I ）因为22()cos(2)sin cos 3f x x x x π=-+-13cos 2sin 2cos 222x x x =+-31sin 2cos 2sin(2)226x x x π=-=- 所以，当3222()262k x k k Z πππππ+-+∈≤≤， 即5()36k x k k Z ππππ++∈≤≤时，函数()f x 递减.故，所求函数()f x 的减区间为5[, ]()36k k k Z ππππ++∈.（II ）因为2α是第一象限角，且3sin(2)65πα-=，所以222()663k k k Z ππππαπ-<-<+∈.由3()sin(2)65f παα=-=得4cos(2)65πα-=. 所以334sin 2sin[(2)]6610ππαα=-+=. 19. 解：（I ）因为13,b b 是函数2()54f x x x =-+的两个零点，所以13,b b 是方程2540x x -+=的两根，故有131345b b b b =⎧⎨+=⎩因为公比大于1，所以131,4b b ==，则22b =. ……………………………….3分 所以，等比数列{}n b 的公比为212b b =，1112n n n b b q --==. ……………………6分 （II ）122log 2log 2221n n n a b n n n -=++=++=+.所以，数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列. …………………………..9分 故有212313(1)22632m a a a a m m m m m +++++-⋅==+≤.即2263m m -+≤0.解得97m -≤≤. 所以m 的最大值是7. 20. 解：依题意，得(1)tan 45f '=，即2311,.3a a -== 因为(1)fb =，所以1.3b =-（II ）由（I ）知32()3f x x x =-. 令.22,012)(2±==-='x x x f 得 因为.15)3(,32)22(,32)22(,31)1(=-==-=-f f f f 所以，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为(3)15f =.要使得不等式()1996f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519962011.k +=≥ 所以，存在最小的正整数2011k =，使得不等式()1996f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立。
数学寒假作业(四)
林南仓中学2008级高三数学寒假作业 四注 文理科试题要分清,未注明者文理科都做;每小题选出答案后，写在规定的相应的答题位置上，否则无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概 其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题 共60分）。
一 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项符合题目要求 )1（文科）函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是 ( ) （A ）2π （B ）4π（C ）π4 （D ）π2） Ai B ．i - Ci D ．i 2已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于 （ ）（A ）17 （B ）7（C ）17-（D ）7-3 “命题甲：a (a-b)<0”是“命题乙：1>a b ”成立的（ ） Ａ.充分不必要条件 Ｂ.充要条件 Ｃ.必要不充分条件 Ｄ.既不充分也不必要条件4 老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为（ ）A ．150B ．110C ．15D ．145 已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ ） （A） （B）3 （C（D6 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为( )A ．2-B ．2C ．4-D ．4 7 已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=ba （ ）A.41 B. 4 C. 21D. 2 8 ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34 CD．3 9 已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞) 10 函数y=sinxcosx ＋sinx ＋cosx 的最大值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）1＋2 （D ）21＋211在24(x 的展开式中，x 的幂的指数是正整数的项共有 ( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 12设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 ( ) (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高三数学寒假作业4
高三数学寒假作业4 2019.1.17班级________________学号________________姓名_______________1.已知i 是虚数单位， 复数411i z i i+=+-的共轭复数z 在复平面 内对应点落在第 象限．2.已知集合{|{|12}M x y N x x ===+≤，且M 、都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 ；3.设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则2a = ； 4.已知向量,m n 的夹角为6π，且||3m =，||2n =，在∆ABC 中，,3AB m n AC m n =+=-，D 为BC 边的中点，则||AD = ；5.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P 与圆O ；222=+y x 的位置关系是________．6. 函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 .7. 若}33,)1(,2{122++++∈a a a a ,则实数=a . 8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a = ．若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用 分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为 ．9.设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 .10.已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l 的斜率的取值范围是 .11.某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口遇到红灯或绿灯是等可能的，遇到红灯时停留的时间都是2min ．则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率为 ． 12.如图,有一壁画,最高点A 处离地面4m,最低点B 处离地面2.2m,若从离地高6.1m 的C 处观赏它,则当视角θ最大时, C 处离开墙壁 m.13.定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ . 14.已知函数bx ax x x f -+=2331)(（R b a ∈,），若)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数，则b a +的最小值为 . 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图像如图所示，直线37,88x x ππ==是其两条对称轴。
南溪一中高2011级寒假作业(四)
C． 2x y 5 0
D． x 2 y 5 0
6．已知方程
2
x2 m
y
m
2
1
1的曲线是双曲线，则
m
的取值范围是
A． m 1
B． m 2
C．1 m 2 D． m 1或 m 2
2y x 7．设 x ， y 满足不等式组 2x y ，则 z 3x 2 y 的最大值是
故所求的圆方程为 (x 3)2，得( y 12)2 9 或2(x 3)2 ( y 1)2 9
19 解：由题设，得 e
2，c
2a ， b2
3a 2 ，双曲线为
x2 a2
y2 3a 2
1，
直线 AB 的方程为 y x 2a ，
x2 19．（本小题满分 12 分）设双曲线 C： a2
y2 b2
1a
0,b
0 的离心率 e
2 ，经
过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为 45º的直线交双曲线于 A、B 点，若| AB | 12 ，试求此时
双曲线的方程。
20．（本小题满分
12
分）已知两个定点
O(0,0)、A(3,0)，动点
x y 6
A．0
B．2
C．8
D．16
8．斜率为 2 的直线l 过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点，且与双曲线的左、
右两支分别相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围
A． e 2
B． e 5
C．1 e 5 D．1 e 3
高三年级数学寒假作业(4)
高三年级数学寒假作业〔4〕 编号： 04 设计人： 审核人： 完成日期： 一、填空题：每题5分，8小题，共40分, 请将每题答案直接写在答题栏上. 1．假设使集合{}220,M x ax x a a =++=∈R 中有且只有一个元素的所有a 的值组成集合N ，那么N= ．2．,a b 为实数，集合{,1},bM a=N={},0,:a f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，那么a b +等于 ．3．(1,0),(0,1)==i j 那么2-i j 与2+i j 的夹角为 ．4．点P ()1,2,4-关于点A ()1,1,a -的对称点是(),,2Q b c -，那么a b c ++= ．5．设()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()()xf f x f y y=-，假设(2)1f =，那么(4)f = ．6．设全集22,{|4},{|1}1U M x y x N x x ===-=≥-R 都是U 的子集〔如下图〕，那么阴影局部所示的集合是．7．G 是△ABC 的重心，过G 的一条直线交AB 、AC 两点分别于E 、 F ，且有,AE AB AF AC λμ==，那么11λμ+= ．8．等差数列{}n a 中，1233,a a a ++=假设前n 项和为18，且211n n n a a a --++=，那么n = ．9．假设4t >，那么函数()cos 2sin f x x t x t =+-的最大值是 ．10．P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+= 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．填空题答题栏：1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.二、解答题：每题15分，2小题，共30.解答时，写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.11．在△ABC 中，||2AB AC AB AC ⋅=-=．〔1〕求22||||AB AC +的值；〔2〕当△ABC 的面积最大时，求∠A 的大小．12．〔选做题〕在四棱锥P －ABCD 中PD ⊥底面ABCD ，底面为正方形，PD=DC ，E 、F 分别是CD 、PB 的中点．〔1〕求证：EF//平面PAD ；〔2〕求证：EF ⊥AB ；〔3〕在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
2011届高三年级第四次模拟考试数学理科试卷 参考答案
因此， 的最大值为 ．……………………………12分
解法 ：依题意，当区间 的长度最小时，得到的 最大值，即是所求值．
， 长度最小的区间为 ，…………………11分
当 时，与解法 相同分析，得 ，
解得 ．……………………………12分
后面解题步骤与解法 相同（略）．
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过 作 于 ，连 ，
侧面 ．
为二面角 的平面角．……………………………6分
在 中， ，又
， ．
又
在 中， ．…………………………8分
故二面角 的余弦值为 ．
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知， 平面 , 平面 平面 ，且交线为 ， 过 作 于 ，则 平面 ．
18．（本小题满分12分）
已知向量 ， ，函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）在 中， 分别是角 的对边-------2分
∴函数 的最小周期 -------4分
（Ⅱ）
-------------6分
------------7分
是三角形内角
∴ ，∴ 即： -------------8分
∴ 即： ----------------10分
将 可得： 解之得：
∴
∴ ------------12分
19.（本小题满分12分）已知数列 满足： 且
．
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
.解：（Ⅰ）经计算 ， ， ， ．…………………………2分
当 为奇数时， ，即数列 的奇数项成等差数列，
；…………………………4分
高三数学寒假作业四(含答案)
高三数学寒假作业四一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程）1.设集合2{}1A＝﹣，，集合}2{1B ＝，，则A B ⋃＝_____． 2.“1x ＞”是“21x ≥”的_________________条件．3.直线10x +-=的倾斜角为_______________.4.双曲线22143x y -=的渐近线方程是_________________. 5.抛物线2y =上的点AA 到其焦点F 的距离为_____． 6.已知10sin ,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，则2sin 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_____． 7.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36410S S ＝，＝，则9S ＝_____． 8.如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________． 9.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则y x 的最大值为 ． 10.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F c -，右焦点为()20F c ，．若椭圆上存在一点P ，线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，且E 为线段2PF 中点，则该椭圆的离心率为_____．11.已知正实数,x y 满足x y xy +＝，则1911y x y +--最小值是_____．12.已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =||PA PB +的最小值是___________．13.已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____．14.已知函数()x f x ae lnx lna +＝﹣，其中e 为自然对数的底数，若对任意正实数x ，都有()0f x ≥，则实数a 的最小值为_____．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点O 为对角线BD 的中点，点E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD．（1）求证：直线PB∥平面OEF ；（2）求证：平面OEF⊥平面ABCD ．16.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.17.已知圆C 经过点()()2,0,2,0A B -，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 交于P,Q 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若2OP OQ ⋅=-，求实数k 的值；(3)过点()0,1作直线1l l ⊥，且1l 交圆C 于M ,N 两点，求四边形PMQN 的面积的最大值.18.已知圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于点M （0，1），N （0，-1），且椭圆的离心率为2. （1）求r 的值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点.①若23MB MA =，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问:21k k 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由.19.巳知函数2()22ln f x x ax a x =--，22()ln 2g x x a =+，其中0,x a R >∈.(1)若1x =是函数()f x 的极值点，求a 的值；(2)若()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(3)记()()()F x f x g x =+，求证：1()2F x ≥.20.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意()*112,n n n n n N a a b b ++∈--＝恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ；（2）若对任意*n ∈N ，都有n n a B =及31241223341 (3)n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围．高三数学寒假作业四参考答案一、填空题1.设集合2{}1A＝﹣，，集合}2{1B ＝，，则A B ⋃＝_____． 【答案】21}2{﹣，，．. 【解析】【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】解：{},{},2,11,2A B =-=1{}2,,2A B ∴-=．故答案为： 1{22}-，，． 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.“1x ＞”是“21x ≥”的_____条件．【答案】充分不必要.【解析】【分析】利用充分性，必要性的判定即可．【详解】解：由“1x >”可以推出“21x ≥”，所以具有充分性；由“21x ≥”可以推出“11x x <->或”，推导不出“1x >”，所以不具有必要性；故“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件．故答案：充分不必要.【点睛】本题考查了条件的充分性与必要性，属于基础题．3.直线10x +-=的倾斜角为_______________.【答案】150【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.双曲线22143x y -=的渐近线方程是_________________.【答案】y x = 【解析】【分析】 根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，所以双曲线22143x y -=的渐近线方程是2y x =±.故答案为2y x =± 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.抛物线2y =上的点A A 到其焦点F 的距离为_____．【答案】【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义求解即可．【详解】解：抛物线2y =的准线方程为：x =，抛物线2y =上的点A则A 到其焦点F 距离为： =故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．6.已知10sin ,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，则2sin 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_____．【答案】9-. 【解析】【分析】 由已知结合同角平方关系可求cos()6πα-，然后结合诱导公式可求1sin()3απ+，1cos()3απ+，最后再用二倍角的正弦公式可求 【详解】解：10,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，11sin sin cos 36263ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111cos cos sin 36263ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2111sin 22cos sin 2333339απαπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为： 9-【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础试题．7.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36410S S ＝，＝，则9S ＝_____． 【答案】18.【解析】【分析】等差数列{}n a 中， 36396,S S S S S --，成等差数列，代入即可求解．【详解】解：等差数列{}n a 中，36396,S S S S S --，成等差数列， 92104410S ∴-+-（）=则918S ＝．故答案为：18【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础题． 8.如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________．【答案】13【解析】【分析】先由题意求出正方体的体积1V ，然后运用1V 减去四个三棱锥的体积得到三棱锥P BDM -的体积为2V ，然后可得所求比值．【详解】依题意得正方体的体积31V a =，三棱锥A BDM -的体积21132A BDM M ABD V V a a --==⨯⨯ 36a =， 又三棱锥P BDM -为正四面体， 由对称性知3332114463A BDM a V V V a a -=-=-⨯=，所以2113V V =． 故答案为13． 【点睛】求几何体的体积时首先要确定几何体的形状，然后再求出体积，对于一些不规则的几何体，可采用分割或补形的方法转化为规则几何体的体积后进行求解，考查转化思想方法的运用，属于基础题．9.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值 ．【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法【此处有视频，请去附件查看】10.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为()1,0F c -，右焦点为()20F c，．若椭圆上存在一点P ，线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，且E 为线段2PF 中点，则该椭圆的离心率为_____．1. 【解析】 【分析】连接OE ，1F P ．利用切线的性质可得2OE PF ⊥．利用三角形中位线定理可得：1122c OE PF ==，1//OE PF ．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出． 【详解】解：如图所示，连接1OE F P ，．线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，2OE PF ∴⊥．又O 为12F F 的中点，111//22c OE OE PF ∴＝PF ,．12122290PF c PF a c F PF OEF ∴-∠∠︒＝，＝，＝＝．()()22222c a c c ∴=+-， 化为：2220,01e e e +-<<＝解得1e =．1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切性质、三角形中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 11.已知正实数,x y 满足x y xy +＝，则1911yx y +--的最小值是_____． 【答案】15. 【解析】 【分析】由已知可得，(1)(1)1x y --=，而191991111y x y x y +=++----，利用基本不等式即可求解． 【详解】解：正实数x ，y 满足x y xy +=，01yx y ∴=>-， 1y ∴>，同理1x >， (1)(1)1x y ∴--=，则191999151111y x y x y +=++=----…， 当且仅当1911x y =--且(1)(1)1x y --=，即43x =，4y =时取得等号， 故答案为：15．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 12.已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =||PA PB +的最小值是___________．【答案】2 【解析】 【分析】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点P 的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2．因为要求||PA PB +的最小值，可作垂直线段CD ⊥AB ，根据向量的运算可得，||=2PA PB PD +，根据条件求得CD 的长度为1，所以点D 的轨迹为()221)11x y +++=（．根据两圆方程可知点P 的轨迹与点D 的轨迹外离，故||PA PB +的最小值为两圆的圆心距减去两圆的半径．【详解】∵l 1：mx ﹣y ﹣3m +1=0与l 2：x +my ﹣3m ﹣1=0， ∴l 1⊥l 2，l 1过定点（3，1），l 2过定点（1，3），∴点P 的轨迹方程为圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2，作垂直线段CD ⊥AB ，CD=1， 所以点D 的轨迹为()221)11x y +++=（,则||=|22|PA PB PC CA PC CB PC CD PD ++++=+=， 因为圆P和圆D 的1=>所以两圆外离，所以|PD |最小值为11=， 所以||PA PB +的最小值为﹣2. 故答案为42﹣2.【点睛】平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁．平面向量模的最值问题一般以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化，常用方法有（1）利用向量基本知识转化为函数最值问题；（2）利用坐标进行转化，结合图形求最值；（3）利用向量模的性质求解；（4）利用几何意义，数形结合求解． 13.已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____． 【答案】2]1ln ∞-（-，． 【解析】 【分析】先讨论1x ，2x ，在同一区间内的最大值，最小值，再讨论在不同区间时的情况，利用导数求出最值． 【详解】解：记212m x x =-，①当1201x x 剟? 时，11()f x x =，22()f x x =，所以12x x =，则2m x =-， 故其最大值在20x =时取得，为0，其最小值在21x =时取得，为1-；②当1213x x <剟时，121()x f x e -=，222()x f x e -=，所以1222x x e e --=，即12x x =，则2m x =-， 故其最大值()11max m m <=-，其最小值()33min m m =-…；③当12013x x <剟? 时，11()f x x =，222()x f x e -=，所以221x x e -=， 所以212x lnx -=，即212x lnx =+，故1122m lnx x =+-， 设()22g x lnx x =+-，[0x ∈，1]，则1()2g x x '=-，令()0g x '=，得12x =， 当1(0,)2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(2x ∈，1)时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当0x →时，()g x 的值无限趋于-∞； 所以当12x =时，()g x 取极大值也是最大值，即11()2112122max m g ln ln ==+-=->-，所以212x x -最大值为12ln -．故答案为：(-∞，12]ln -．【点睛】本题考查分段函数的应用，结合导数知识，关键理清不同区间上表达式的形式，求出对应的最值，属于中档题．14.已知函数()xf x ae lnx lna +＝﹣，其中e 为自然对数的底数，若对任意正实数x ，都有()0f x ≥，则实数a 的最小值为_____．【答案】1e. 【解析】 【分析】根据题意得x ae lnx lna --…恒成立令()x g x ae lnx =-，(0)x >，min ()g x lna ≥-，对()g x 求导通过单调性分析最小值，得000()()x min g x g x ae lnx ==-，所以00xae lnx lna -≥-，()00000120x x u x e x lnx x e=--≥，求出0x 的取值范围，进而求出a 取值范围．【详解】解：若对任意正实数x 都有()0f x …， 则0x ae lnx lna -+…，则x ae lnx lna --…恒成立， 令()x g x ae lnx =-，(0)x >，min ()g x lna ≥-，11()(0)x xaxe g x ae x x x-'=-=>，当0a …时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，()g x 无最小值，不符合题意，当0a >时，令()1x h x axe =-，在(0,)+∞上是增函数， 所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0010ax e -=， 001x a x e ∴=，00)lna lnx x =-- 当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以000()()x min g x g x ae lnx ==-， 所以00x ae lnx lna -≥-， 即0000120x x e x lnx x e --≥， 即000120x lnx x --≥， 令1()2(0)u x x lnx x x=-->， 2221()0(0)x x u x x x ---'=<>，所以()u x 在(0,)+∞上单调递减， 又()10u =，所以001x <≤， 001x a x e =由基本初等函数的单调性可知xy xe =在(]0,1上单调递增，1y x=在(]0,1上单调递减，由复合函数的单调性得()1xf x xe =在(]0,1上单调递减， 所以()()11f x f e≥= 即1a e≥． 故a 的最小值为1e故答案为：1e． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题．二、解答题15.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点O 为对角线BD 的中点，点E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD．（1）求证：直线PB∥平面OEF ； （2）求证：平面OEF⊥平面ABCD ． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】（1）根据O 为PB 中点，F 为PD 中点，所以，PB∥FO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题意，得到PA ∥OE ，结合题中所给的条件因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，可得PA⊥平面ABCD ，从而得到OE⊥平面ABCD ，根据面面垂直的判定定理证得结果. 【详解】（1）O 为PB 中点，F 为PD 中点，所以，PB∥FO 而PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， ∴ PB∥平面OEF ．（2）连结AC ，因为ABCD 为平行四边形，∴AC 与BD 交于点O ，O 为AC 中点，又E 为PC 中点， ∴ PA ∥OE ，因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ， ∴ PA⊥平面ABCD ， ∴ OE⊥平面ABCD 又OE ⊂平面OEF ， ∴ 平面OEF⊥平面ABCD【点睛】该题考查的是有关证明空间关系的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.16.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值；（2）求边c 的长.【答案】（1）sin 10B = （2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以4cos 5A == ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sinA B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455== .(2)因为sin sin 5a Ab B ==，且5b = ，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+= ，则2222cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以 13c = .17.已知圆C 经过点()()2,0,2,0A B -，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 交于P,Q 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若2OP OQ ⋅=-，求实数k 的值；(3)过点()0,1作直线1l l ⊥，且1l 交圆C 于M,N 两点，求四边形PMQN 的面积的最大值.【答案】（1）x 2 +y 2=4（2）k=0（3）7【解析】试题分析：（1）设圆心为(,)C a a ，半径为r ．故AC AB r ==，建立方程，从而可求圆C 的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得120POQ ︒∠=，计算圆心到直线l 的距离d ，即可求解实数k 的值；（3）方法1、设圆O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ，求得2211d d +=，根据垂径定理和勾股定理，可得22PQ MN ==PMQN 面积的最大值；方法2、利用弦长公式12PQ x =-=，MN ==积，在利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值．试题解析：（1）设圆心为(,)C a a ，半径为r ．故AC AB r ==，易得0,2a r ==， 因此圆的方程为224x y +=．（2）因为22cos ,2OP OQ OP OQ ⋅=⨯⨯=-，且OP 与OQ夹角为POQ ∠，故1cos 2POQ ∠=-，120POQ ︒∠=，所以C 到直线l 的距离1d =，又d =，所以0k =．又解：设P 11(,)x y ，22(,)Q x y ，则2OP OP ⋅=-，即12122x x y y +=-，由221{4y kx x y =++=得22(1)230k x kx ++-=，∴12212221{31kx x k x x k -+=+-=+，代入12122x x y y +=-得20k =，∴0k =；（3）设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ，四边形PMQN 的面积为S ．因为直线1,l l 都经过点(0,1)，且1l l ⊥，根据勾股定理，有2211d d +=，又22PQ MN == 故1222S =⨯==7≤==当且仅当1d d =时，等号成立，所以max 7S =．（3）又解：由已知12S PQ MN =，由（2）的又解可得12PQ x =-=同理可得MN ==∴S ==7==≤=，当且仅当21k =时等号成立，所以max 7S =．考点：直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用、点到直线的距离公式的应用，同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质、四边形面积的计算和基本的运用，属于中档试题解答的关键是准确表达,PQ MN 的长度，正确表示四边形PMQN 的面积合理运用基本不等式求解四边形PMQN 面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件．18.已知圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于点M （0，1），N （0，-1），且椭圆的离心率为2.（1）求r 的值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点.①若23MB MA =，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问:21k k 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由. 【答案】（1）2212x y +=；（2）①12y x =±+；②2112k k = 【解析】【分析】（1）由交点M （0，1）可求b ，由离心率可求a ，从而得到椭圆方程；（2）①设出直线l 的方程，分别联立椭圆方程和圆的方程，解出A ，B 两点的坐标，由23MB MA =得到关于k 的方程，求解即可得到结果；②结合①中A ，B 两点的坐标，利用斜率公式直接用k 表示1k 和2k ，由此可求得结果.【详解】（1）因为圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于点M （0，1）所以b =r =1.又离心率为c e a ==，所以a =22:12x C y +=. （2）①因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，所以设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222140k x kx ++=， 则222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩，解得22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA =，则224223211k k k k --=++， 因为0k ≠，所以2k =±，即直线l的方程为12y x =±+. ②根据①，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，2212111121A N NA A N k y y k k k k x x k k -++-+====---+，22222111214221B N NB B N k y y k k k k x x kk -++-+====---+， 所以2112k k =为定值. 【点睛】本题考查圆的方程和椭圆的方程，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，计算量较大，尤其是化简过程比较多，注意仔细审题，认真计算，属难题.19.巳知函数2()22ln f x x ax a x =--，22()ln 2g x x a =+，其中0,x a R >∈.(1)若1x =是函数()f x 的极值点，求a 的值；(2)若()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(3)记()()()F x f x g x =+，求证：1()2F x ≥. 【答案】（1）12；（2）4(,]3-∞；（3）参考解析 【解析】试题分析：（1）由函数2()22ln f x x ax a x =--，所以可得2'()22(0)a f x x a x x=-->，又1x =是函数()f x 的极值点，即12220,2a a a --=∴=. （2）因为()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，所以对函数()f x 求导，然后把变量a 分离，求函数2()1x M x x =+的最值即可.（3）由()()()F x f x g x =+即可得到，222()22ln ln 2F x x ax a x x a =--++，按a 的降幂写成二次三项的形式，然后再配方，即可得到2222ln ln ln 2()2[()()]222x x x x x x P a a +++=--+.再用放缩法即可得到结论.试题解析：(1)由2()22ln f x x ax a x =--， 得22222()22(0)a x ax a f x x a x x x----'==>， ∵1x =是函数()f x 的极值点，∴(1)2220f a a =--='，解得12a =，经检验1x =为函数()f x 的极值点，所以12a =．(2)∵()f x 在区间(2,)+∞上单调递增， ∴2222()0x ax a f x x--'=≥在区间(2,)+∞上恒成立， ∴21x a x ≤+对区间(2,)+∞恒成立， 令2()1x M x x =+，则22222(1)2()(1)(1)x x x x x M x x x =+'+-+=+ 当(2,)x ∈+∞时，()0M x '>，有24()(2)13x M x M x =>=+， ∴a 的取值范围为4(,]3-∞．(3) 解法1：222()22ln ln 2F x x ax a x x a =--++ 222ln 2[(ln )]2x x a x x a +=-++，令222ln ()(ln )2x x P a a x x a +=-++， 则2222ln ln ln ()()()222x x x x x x P a a +++=--+222ln (ln )(ln )()244x x x x x x a +--=-+≥ 令()ln Q x x x =-，则11()1x Q x x x-=-='， 显然()Q x 在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增， 则min ()(1)1Q x Q ==，则1()4P a ≥， 故11()242F x ≥⨯=． 解法2：222()()()22ln ln 2F x f x g x x ax a x x a =+=--++22()(ln )x a x a =-+-则()F x 表示ln y x =上一点(,ln )x x 与直线y x =上一点(,)a a 距离的平方．由ln y x =得1y x'=，让011y x '==，解得01x =， ∴直线1y x =-与ln y x =的图象相切于点(1,0)，（另解：令()1ln N x x x =--，则1()1N x x=-'， 可得()y N x =在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，故min ()(1)0N x N ==，则1ln x x x >-≥，直线1y x =-与ln y x =的图象相切于点(1,0)），点（1，0）到直线y x =的距离为2，则2221()()(ln )2F x x a x a =-+-≥=． 考点：1.函数的极值.2函数的单调性.3.构造新函数求解.4.放缩法的思想.20.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意()*112,n n n n n N a a b b ++∈--＝恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ；（2）若对任意*n ∈N ，都有n n a B =及31241223341 (3)n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围． 【答案】（1）232n n n B +=；（2）[3)+∞，. 【解析】【分析】（1）根据1112n n n A n a A A n -=⎧=⎨-≥⎩可得n a ．再由112()n n n n a a b b ++-=-，利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．（2）对任意*n N ∈，都有n n a B =，可得111n n n n n a a B B b +++-=-=．11111()22n n n n n b b a a b +++-=⨯-=．化为12n n b b +=，10b >．可得数列{}n b 是等比数列，公比为2．可得1121(21)21n n n B b b -==--．另一方面：1111111n n n n n n n n n b B B a a B B B B +++++-==-．利用3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a +++++⋯+<成立，及其数列的单调性即可得出． 【详解】解：（1）2n A n =，2n ∴…时，221(1)21n n n a A A n n n -=-=--=-． 1n =时，11a =．1n =时适合上式．21n a n ∴=-．112()n n n n a a b b ++-=-，11212n n b b +∴-=⨯=，又12b =． ∴数列{}n b 是等差数列，首项为2，公差为1．2(1)32122n n n n n B n -+∴=+⨯=． （2）对任意*n N ∈，都有n n a B =，111n n n n n a a B B b +++∴-=-=．11111()22n n n n n b b a a b +++∴-=⨯-=． 12n n b b +∴=，10b >．∴数列{}n b 是等比数列，公比为2．1121(21)21n n n B b b -∴==--． 另一方面：1111111n n n n n n n n n b B B a a B B B B +++++-==-．3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a +++++⋯+<成立， ∴1223111111111111111(1)213n n n n B B B B B B B B b ++-+-+⋯⋯+-=-=-<-， 113(1)21n b ∴>-- 对任意*n N ∈，都成立，13b ∴…． ∴正实数1b 的取值范围是[3)+∞，．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
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（
）
π π 5 ) − sin x ⋅ sin( x + ) + 1 ，有下列结论：①点 (− π ,0) 是函 3 3 12 π 数 f (x ) 图象的一个对称中心；②直线 x = 是函数 f (x ) 图象的一条对称轴；③函数 f (x ) 的 3 π 最小正周期是π；④将函数 f (x ) 的图象向右平移 个单位后，对应的函数是偶函数。其中所 6
3
3
（ D． 65
）
13 5
C．
65 5
4 ，一条 y ；②已知双曲线的右焦点为（5，0） 3 x2 y2 渐 近 线 方 程 为 2x − y = 0 ， 则 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 − =1 ； ③ 抛 物 线 5 20 x2 y2 1 y = ax 2 (a ≠ 0)的准线方程为y = − ；④已知双曲线 + = 1 ，其离心率 e ∈ (1, 2) ， 4a 4 m
有正确结论的序号是 。
0
（
） 17．已知 ∆ABC 中， | AC |= 1 ， ∠ABC = 120 ， ∠BAC = θ ， 记 f (θ ) = AB• BC ， （1）求 f (θ ) 关于 θ 的表达式； （2）求 f (θ ) 的值域 Ｂ 120° Ａ
→ →
ห้องสมุดไป่ตู้
7 7 B． 20 20
C．
1 2
E
B
C
D
19．已知数列 {a n }是首项为a1 = 列 {c n }满足c n = a n ⋅ bn 。
1 1 , 公比q = 的等比数列 ，设 bn + 2 = 3 log 1 a n (n ∈ N *) ，数 4 4 4
（2）求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn； 21． 已知椭圆 C 过点 M (1,
3．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在区间 (0, +∞ ) 上单调递增，若 f ( 1 ) = 0 ， ∆ABC 的内角 A 满
2
足 f (cos A) ≤ 0 ，则角 A 的取值范围是（ A． [ 2π , π )
） D． [ π , 2π ]
B． [ π , π ] C． [ π , π ] U [ 2π , π ) 3 3 2 3 2 3 4．若 a = ( 2,3), b = ( −4,7), 则a在b 方向上的投影为 A． 13 B．
{
}
{
}
π 3 3 , π ), tan(α − 7π ) = − , 则 sin α + cos α 的值为 2 2 4 1 1 1 7 A． ± B． − C． D． − 5 5 5 5 8．已知 Sn 是等比数列 {a n }的前n项和, a5 = −2, a8 = 16, 等S 6 等于 21 21 17 17 A． B．－ C． D．－ 8 8 8 8 9．已知点 ( x, y ) 构成的平面区域如图所示， z = mx + y (m为常数) 在平面区域内
）
A． a ⊥ b
B． a // b
C． | a |=| b |
D． | a |≠| b |
A．－4 B．－2 C．0 D．2 11．若 f ( x)是R上的增函数, 且f ( −1) = −4, f ( 2) = 2, 设P = {x | f ( x + t ) + 1 < 3}, Q = {x | f ( x ) < −4} ，若“ x ∈ P ”是“ x ∈ Q ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围 A． t ≤ −1 B． t > −1 C． t ≥ 3 D． t > 3 12．给出下列四个结论：①当 a 为任意实数时，直线 ( a − 1) x − y + 2a + 1 = 0 恒过定点 P，则过点
+ 1 1 < C． log 2 a + log 2 b < −2 D． 2 b a < A． log 2 a > 0 B． 2 2 2 x 则必有 （ 2． a 、 是非零向量， ∈ R, 若函数f ( x) = ( x a + b) ⋅ ( a − xb) 的图象是一条直线， 设 b
3 4 2 x + by + 1 = 0与直线l1平行，a + b 等于
耐心是一切聪明才智的基础
林头中学 2011 级高三数学寒假作业四
（1）求证： {bn } 是等差数列； （3）若 c n ≤
1 2 m + m − 1对 一切正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围。 4
6 ), F (− 2 ,0) 是椭圆的左焦点，P、Q 是椭圆 C 上的两个动点，且|PF|、 2
|MF|、|QF|成等差数列。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； （3）设点 A 关于原点 O 的对称点是 B，求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。
2011 年 2 月 4 日
星期五 正月初二
班级
姓名
林头中学 2011 级高三数学寒假作业四
1.已知 0 < a < b ，且 a+b=1，则下列不等式中，正确的是（
a −b
）
a b
10．已知直线 l 的倾斜角为 π ，直线 l1 经过点 A(3,2), B ( a,−1), 且l1与l 垂直，直线 l2： （ ）
a 6．在同一坐标系内，函数 y = x ( a ≠ 0)和y = ax −
1 的图象可能是 a
）
M − N = {x x ∈ M且x ∉ N }
1 4 + 的最小值是 a b
. ， M∆N = (M − N ) ∪ (N − M ) ， ________________。
设 M = y y = x 2 , x ∈ R ， N = y y = 3 sin x, x ∈ R ，则 M∆N = 16．设函数 f ( x ) = cos x ⋅ cos( x +
D．
7 1 或 20 2
θ
Ｃ
耐心是一切聪明才智的基础
林头中学 2011 级高三数学寒假作业四
2011 年 2 月 4 日
星期五 正月初二
班级
姓名
18.如图，已知空间四边形 ABCD 中， BC = AC , AD = BD ， E 是 AB 的中点． 求证： （1） AB ⊥ 平面 CDE； （2）平面 CDE ⊥ 平面 ABC ． （3）若 G 为 ∆ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F,使得 GF∥平面 CDE． A
2 时, y = f ( x) 有极值， 曲线 y = f ( x )在点(1, f (1)) 3 10 . （1）求 a，b，c 的值； 处的切线 l 不过第四象限且斜率为 3，又坐标原点到切线 l 的距离为 10 （2）求 y = f ( x)在[ −4,1] 上的最大值和最小值。
20． 已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c, 若x =
2 P 且焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程是 x =
5．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积 S ∆ABC A． 3 B．3 C． 7
3 = ，则边 BC 的长为（ 2
D．7 （
）
则 m 的取值范围是（－12，0） 。其中所有正确结论的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．若 a > 0, b > 0, 且4a + b = 1, 则 15.对任意两个集合 M、N，定义：