应用倒数巧解题
用倒数法解题举例-
用倒数法解题举例有些分式题，如果直接求解，往往难以入手，若根据题目条件或欲求结论，将其倒过来求解，则可能立即奏效，化难为易。
以下举几例加以说明，以便大家在解题中参考。
一、在分式排序中倒过来例1. 已知a、b、c、d都是正实数，且abcd<，则Aba bdc d=+-+与0的大小关系是（）A. A＞0B. A≥0C. A＜0D. A≤0解：由abcd<，得abcd+<+11，即a bbc dd+<+又因为a、b、c、d为正实数，所以b a bdc dAba bdc d+>+=+-+>，0故选A。
例2. （2001“希望杯”初二培训题）由小到大排列下列各数：61110171219152320336091，，，，，是___________。
解：把以上各数倒立得：11617101912231533209160，，，，，通分后分别为：11060102609560926099609160，，，，，而91609260956099601026011060<<<<<，故60911523121920331017611>>>>>二、在分式求值中倒过来例3. （1988年广州五城市初中竞赛题） 设x x +=13，求x x x 2421++的值。
解：因为x x +=13，所以x x221927+=-= 对所求值式倒过来得：x x x x x 42222111718++=++=+= 所以x x x 242118++=例4. （1997年“希望杯”初二试题）已知a 、b 、c 为实数，且ab a b bc b c ca c a +=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca ++的值是___________。
解：将三个条件等式取倒数是a b ab b c bc c a ca+=+=+=345，， 则113114115a b b c c a+=+=+=，， 三式相加，并整理得：1116a b c ++= 将所求式倒立得：abc ab bc ca c a b++=++=1116 所以ab bc ca abc ++=16三、在解分式方程（组）中倒过来例5. 求出方程组414414414222222x x y y yz z z x +=+=+=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪的所有实数解，并说明你的解答是正确的。
数学解题方法谈18：倒数法解题
数学解题方法谈18：倒数法解题■说明：这里的数学式不是用公式编辑器编辑的，而都是用EQ 码编打的，它可以变文字的颜色和调整文字的大小。
这些编辑法,你不仿下载试试，一些心得供参考。
■由于网络原因,先前发的已打不开,故修整后重发例1、已知a 、b 、c 为实数，且ab a ＋b =13, bc b ＋c =14, ca c ＋a =15 求abc ab ＋bc ＋ca的值（1997年第八届“希望杯”竞赛试题） 解：由题设知：a 、b 、c 均不为零，对已知条件取倒数得：1a ＋1b =3, 1b ＋1c =4, 1c ＋1a=4 ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c =12 1a ＋1b ＋1c =6 ab ＋bc ＋ca abc =1a ＋1b ＋1c =6 ∴abc ab ＋bc ＋ca =16例2、实数a 、b 、c 、d 满足：abcd a ＋b ＋c =1 abcd a ＋b ＋d =2 abcd a ＋c ＋d =3 abcd b ＋c ＋d=6 则abcd =解：由题设知：a 、b 、c 均不为零，对已知条件取倒数得：a ＋b ＋c abcd =1, a ＋b ＋d abcd =12, a ＋c ＋d abcd =13 ,b ＋c ＋d abcd =16……(1) 四式相加得：3(a ＋b ＋c ＋d)abcd =2 ∴a ＋b ＋c ＋d abcd =23分别减去倒数式(1)可得：a abcd =12 b abcd =13 c abcd =16 d abcd =－13四式相乘得：abcd (abcd)4=－1108(abcd)3=－108 ∴abcd=3－108=－334 例3、设x x 2－2x ＋1=1求x 3x 6－22x ＋1的值. 解：∵x ≠0∴x 2－2x ＋1x =1 ∴x ＋1x=2＋1∴原式=x 3＋1x 3－22=(x ＋1x )3－3(x ＋1x )－22=(2＋1)3－3(2＋1)―22=4 例4、设x x 2－mx ＋1=1求x 3x 6－m 3x 3＋1的值 解：由已知得：x 2－mx ＋1x =1则有x ＋1x=m ＋1 ∵x 6－m 3x 3＋1x 3=x 3－m 3＋1m 3=(x+1x )[(x ＋1x )2―3]－m 3 =(m ＋1)3－3(m ＋1)－m 3=3m 3－2 ∴原式=13m 2－2例10、已知：x 2x 2－2=11－3－2， 求⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x －11＋x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2－1＋x 的值 解：把已知式两边都取倒数得x 2－2x 2=1－3－ 2 即1－2x 2=1－3－ 2 ∴－2x 2=－(3＋2) ∴原式=2x 1－x 2·x 2－1x 3=－2x 2=－(3＋2)=－3－2 得x=32x=－52（舍去）。
小学数学六年级上册《倒数的认识》优质教案通用
1. 教学难点：倒数概念和性质理解，求倒数方法。
2. 教学重点：倒数实际应用，解决实际问题。
四、教具与学具准备
1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程
1. 实践情景引入
通过一个简单实际情景，引导学生思考：如果小明和小红同时从A地出发，相向而行，他们相遇时间与他们速度有什关系？
2. 新课导入
根据实践情景，引导学生探讨倒数定义和性质。
3. 例题讲解
讲解例题1：求下列各数倒数。
解题步骤：
（1）列出各数；
（2）求出各数倒数；
（3）解释倒数作用。
4. 随堂练习
让学生完成练习册上第1、2题，巩固求倒数方法。
5ห้องสมุดไป่ตู้ 小组讨论
（1）倒数性质有哪些？
（2）如何求一个数倒数？
七、作业设计
1. 作业题目：
所以，他们相遇时间是12/7小时。
八、课后反思及拓展延伸
1. 课后反思
通过本节课学习，学生对倒数认识有更深入解，能熟练掌握求倒数方法。
2. 拓展延伸
（1）让学生思考：倒数概念在日常生活中有哪些应用？
（2）探讨分数、小数倒数如何求？
（3）研究负数倒数是否存在，若存在，如何求？
重点和难点解析
一、教学难点与重点把握
二、实践情景引入深度与广度
实践情景引入对于激发学生学习兴趣至关重要。我会精心设计情景，使之既有趣又具有启发性。例如，我会创设一个关于两个人在不同速度下相向而行情景，引导学生思考速度与相遇时间关系，从而引出倒数概念。我会确保情景内容与学生生活经验紧密相关，以提高他们参与度和思考广度。
三、例题讲解步骤与方法
基本不等式 —“倒数形式”的应用精炼
基本不等式典型习题“e bx c ax y ++=”的应用精炼 一、母版题（1）已知x 为正实数，求x1x +的最小值. 解题思路：该类型题主要借助于基本不等式的一正二定三相等，比较好理解，但是由它延伸出来的求函数范围及其值域问题就稍显复杂一点，主要就是与对勾函数的平移变化及其次数函数相结合，从而转化为“e bxc ax y ++=”的形式求解最值和函数范围问题。
以该题为例，讲解下具体的书写过程，下面题目只讲述下解题思路。
解析：∵x 为正实数∴x ＞0，x 1＞0（使用基本不等式需强调同是正数才可以使用） ∴x 1x +≥x x 12⋅=2（x 和x1积为定值，故可以使用基本不等式） 当且仅当x=x1时，即x=1时，不等式取‘=’ 即当x=1时，x 1x +取得最小值为2.二、子版题（母版题＋数字变化）（1）已知x 为正实数，求x32x +的最小值. 解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决。
（2）已知x 为正实数，求已知x 为正实数，求x3x 32+的最小值. 解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决（3）已知x 为正实数，求1x3x ++的最小值. 解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决，利用母版题解题思路先计算x 3x +的范围，进而再去求出来1x3x ++的范围。
（4）已知x ＞-1，求1x 3x ++的最小值. 解题思路：整体化思路，这样构造过程就会相对比较方便了。
1x 3x ++可以转化为1-1x 31x +++）（，只需要把x+1当做为一个整体，就相当于（3）的解决方法了。
类型题练习（1）已知x 为正实数，求x43x +的最小值. （2）已知x 为正实数，求x3x 21+的最小值. （3）已知x 为正实数，求21-x 1x +的最小值. （4）已知x 为正实数，求7x 34x ++的最小值. （5）已知x 为正实数，求1x 82x ++的最小值. （6）已知x 为正实数，求32x 82x +++的最小值.三、变形题（母版题+数字变化+形式变化） （1）已知x 为正实数，求x1x 2+的最小值.解题思路：该类型题一次二次 题目，主要就是分离过程相对难一点，具体思路为x1x 2+可以化解成x 1x x 2+，从而化解为x1x +，参照母版去求解范围即可 （2）已知x ＞-1，求1x 5x 4x 2+++的最小值. 解题思路：该类型题一次二次 题目，主要就是分离过程相对难一点，下面我们就将分子的凑配过程来仔细说下，有两种分离法：方法一：1x 5x 4x 2+++=1x 21)x (31)x x +++++（=1x 23x +++=21x 21x ++++）（ 方法：1x 5x 4x 2+++=1x 21)x (21x 2+++++）（=21x 21x ++++）（ 殊途同归，都是为了构造出来1x 21x +++这样积为定值的情况，从而求解最小值 （3）已知x ＞21-，求12x 5x 4x 2+++的最小值. 解题思路：该类型题一次二次 题目，参照上一题我们用第一种方法进行配凑分子可以凑配出以下结果：4131x 2471x 2x 215x 4x 2++++⋅=++）（）（，从而进行分离即可。
分数除法、量率对应、六大类分数除法应用题解题技巧
分数除法、量率对应、六大类分数除法应用题解题技巧一、倒数。
（1）、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。
一定是乘积是1，和是1的不算；一定是两个数，3个数相乘的乘积是1的不算；互为倒数，也就是互相依存，不能单独存在，要说明谁是谁的倒数；若M和N互为倒数，可推出MN=1；若MN=1，可推出M和N互为倒数。
【例：若a和b互为倒数，那么2016+3ab=2016+3×1=2019】（2）、求倒数的方法：求分数的倒数：交换分子和分母的位置。
求整数的倒数：把整数看做分母是1 的分数，再交换分子和分母的位置。
求带分数的倒数：先把带分数化为假分数，再交换分子和分母的位置。
求小数的倒数：先把小数化为分数，再交换分子和分母的位置。
例：如果a是一个自然数，那么a的倒数是1/a。
（错误，当a=0的时候无倒数，所以a≠0）（3）、倒数中的特殊情况：1 的倒数是1（因为1×1=1）；0 没有倒数（0乘任何数都0，分母不能为0）。
（4）、真分数的倒数大于1（大于它本身）；假分数的倒数小于或等于1（小于或等于它本身）；带分数的倒数小于1（小于它本身）。
或者：真分数的倒数一定是假分数；假分数的倒数可以是真分数，也可以是等于1的假分数；带分数的倒数一定是真分数。
二、分数除法的计算。
（1）、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
乘法：因数×因数= 积；除法：积÷一个因数= 另一个因数（2）、分数除法的计算法则：除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数，再用分数乘法的计算法则计算。
被除数÷除数= 被除数×除数的倒数。
被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。
分数除法计算中出现小数、带分数时，要先化成分数、假分数再计算。
分数乘法和分数除法的计算结果都要保留最简分数。
分数除以整数分数除以分数（3）、商的变化规律（分数除法中比较大小时）：当除数大于1，商小于被除数。
中考数学复习微专题：例谈利用倒数法解题
例谈利用倒数法解题在解代数题时，有的问题直接求解非常困难，但根据题目的条件结构特征，可把相关式子“倒”过来，求其倒数，往往能够化繁为简、化难为易，此法称之为倒数法.现举例分享.一、有理数的运算例1 计算1111()361249÷-+ 解1111111()()361249361249-+÷=-+⨯ 11136363639421249=⨯-⨯+⨯=-+=- 11111()3612492∴÷-+=- 评析本题往往出现一种错误解法:11111111111111()3612493612361236939436÷-+=÷-÷+÷=-+=-此法实际上是误认为除法也有分配律，显然错误.而本题若直接计算，则需要将括号内先通分、再计算，比较繁琐.二、求代数式的值例2 若13x x +=，求2421x x x ++的值. 解13x x+= 221()3x x∴+= 即2217x x +=42222111718x x x x x ++∴=++=+= 242118x x x ∴=++评析 本题若直接求出x 的值，再由求根公式，得32x ±=，此时计算量较大.通过观察，可将式子“倒”过来，然后再求221x x+的值，则只需要将已知条件等价变形就可以了.此题的解法实际上也体现了转化与化归及整体思想的运用.三、比较大小例3.解1 75==-2==而22><评析数的大小比较方法一般有:作差法、作商法、平方法等等，但都对此题不太适合.现将所求式子“倒”过来，式子结构看似复杂了，但是进一步进行分母有理化，可直接比较(a、b、c、d为正数且a b c d-=-)，都可使用倒数法比较大小.4. 解方程组例4 解方程组:22121yzy xxyzyz xz xyxyzyz xz xy⎧=⎪+⎪⎪=⎨-+⎪⎪=⎪++⎩解对三个方程分别取倒数，得121221111111z yx y zx y z⎧+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪++=⎪⎩令1ax=，1by=，1cz=方程组可化为122211c ba b ca b c⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪++=⎪⎩解得11212 abc⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以，原方程组的解是122 xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩评析通过倒数法将原方程组进行简化(主要是对式子的分子与分母进行“降次”)，然后利用换元法，将分式方程组转化为熟悉的整式方程组(三元一次方程组)，顺利求解.。
七年级上册数学倒数知识点
七年级上册数学倒数知识点本文主要介绍七年级上册数学的倒数知识点，希望对同学们加深理解和掌握倒数的概念和运算方法有所帮助。
一、倒数的概念倒数就是一个数的倒数等于1与这个数的乘积为1的数。
例如，3的倒数为1/3，7的倒数为1/7等。
二、倒数的运算1.数的倒数相加减两个数的和的倒数等于两个数的倒数之和。
例如：1/2 + 1/3 = （3+2）/6=5/6，则（1/2 + 1/3）的倒数为6/5。
两个数的差的倒数等于两个数的倒数之差。
例如：1/2 - 1/3 = （3-2）/6=1/6，则（1/2 - 1/3）的倒数为6/1。
2.数的倒数相乘除两个数的积的倒数等于两个数的倒数之积。
例如：1/2 × 1/3 = 1/6，则（1/2 × 1/3）的倒数为6。
一个数的倒数除以另一个数的倒数，等于这两个数的和的倒数。
例如：（1/2）÷（1/3）= 3/2，则（1/2）和（1/3）的倒数之和为2/3，故（1/2）÷（1/3）的倒数为3/2。
三、常用倒数的操作1.分数的倒数一个分数的倒数等于分子与分母交换位置后所得分数。
例如：5/7的倒数为 7/5。
2.小数的倒数把小数转化为分数后，求出倒数，再把倒数转化为小数。
例如：0.6的倒数为1/0.6 = 10/6 = 1.6666… ≈ 1.67。
3.百分数的倒数将百分数转化为小数后再求倒数，再将倒数转化为百分数。
例如：20%的倒数为5，因为20%等于0.2，而0.2的倒数为5，所以20%的倒数为5%.四、倒数的应用1.倒数可以用来表示比例中的分母。
例如：20%表示折扣时，即打8折，也可以看作原价的倒数为5，打的折扣数为10-5=5，故为20%折扣。
2.倒数可以用来求解速度、时间等概念的运算问题。
例如：小明每小时走5/4千米的速度走了16千米，需要多长时间？由速度公式可得，时间等于路程除以速度，即时间=16÷(5/4)=16×4/5=12.8，所以小明走了12.8小时。
六年级倒数的认识知识点
六年级倒数的认识知识点认识数字是我们在六年级学习数学的重要内容之一。
学好这一知识点，对我们进一步深入理解数学概念和解题方法具有重要的意义。
本文将从不同角度介绍六年级倒数的认识知识点。
一、六年级倒数的概念倒数是指一个数与1之间的数的差。
例如，1的倒数是1，2的倒数是1/2，3的倒数是1/3，以此类推。
倒数是数学中的一个重要概念，它能帮助我们计算分数、求解方程等。
二、倒数的运算规律1. 任何数的倒数乘以该数等于1。
即，若a ≠ 0，则1/a ×a = 1。
2. 两个数的倒数相乘等于它们的乘积的倒数。
即，若a ≠ 0，b≠ 0，则(1/a) × (1/b) = 1/ab。
3. 如果一个数的倒数是正数，那么此数一定是正数。
如果一个数的倒数是负数，那么此数一定是负数。
例如，-3的倒数是-1/3。
三、倒数的应用1. 计算带分数的分数：将带分数改写为假分数，然后再求倒数。
例如，计算5 1/3的倒数，可以先将它转化为16/3，再求倒数，即1 / (16/3) = 3/16。
2. 计算连乘的倒数：如果要计算一个数与其后面n个数的连乘的倒数，可以先将这n个数求倒数，再求它们的连乘的倒数。
例如，计算2 × 3 × 4 × 5的倒数，可以先将2、3、4、5依次求倒数，得到1/2、1/3、1/4、1/5，然后再将它们连乘的倒数，即(1/2) ×(1/3) × (1/4) × (1/5) = 1/(2 × 3 × 4 × 5)。
3. 解方程：当解方程时有倒数的问题出现时，我们可以利用倒数的运算规律简化计算。
例如，对于方程1/x + 1/(x-2) = 1/3，我们可以令x-2 = a，然后将方程转化为1/(a+2) + 1/a = 1/3，再求解得到a = 6，进而得到x = 8。
四、倒数的扩展知识倒数不仅限于正整数，我们还可以求分数、小数的倒数。