相似三角形拔高题
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)(K12教育文档)
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相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证:△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D,E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问:（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A，M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在,请说明理由．5．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明:△ADM∽△MCP．6．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似．8．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm，AC=6cm,点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P 的位置,使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．11．如图，路灯（P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米？12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．13．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC）是否是定值请说明理由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．14．已知：如图,△ABC∽△ADE，AB=15,AC=9，BD=5．求AE．15．已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长;（2)过B作B E⊥DC于E，求BE的长．相似三角形一．解答题（共30小题)1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一已知条件,可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．3．如图，点D，E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．点评:本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；(3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．4．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系;（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：（1)设经过x秒后,（6﹣2x）x=×3×6,得x1=1，x2=2，（2)假设经过t秒时,以A,M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①,或②解①，得t=;解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,M是CD的中点,试说明：△ADM∽△MCP．分析：欲证△ADM∽△MCP,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠D=∠C,此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．6．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°，(1）当∠1=∠2时,有：,即；（2）当∠1=∠3时，有:,即,∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．7．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；（2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有=,∴AB==3．8．如图在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，∵∠C=∠C=90°，当或时，两三角形相似．（1）当时，，∴x=;（2）当时，，∴x=．19．如图所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2,BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A,D为顶点的三角形与以P,B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P,D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，=,AP2﹣7AP+6=0,AP=1或AP=6，检测：当AP=1时,由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3,AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，△APD∽△BCP．(2)若点A，P,D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=,AD=2，BC=3，=，∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．分析：若以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,有四种情况：①△APQ∽△BAC,此时得AQ：BC=AP:AB;②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP:BC；③△AQP∽△BAC,此时得AQ：BA=AP：BC；④△AQP∽△BCA，此时得AQ：BC=AP：BA．可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．11．如图，路灯(P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？分析：如图,由于AC∥BD∥OP,故有△MAC∽△MOP,△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形的综合题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形的综合题1．如图1，直线y=﹣43x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．（1）求点B的坐标．（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．（3）如图2，以PQ为直径作△I，记△I与射线AC的另一个交点为E．①若PEPQ=35，求此时t的值．②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为是多少?2．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t （s）表示运动的时间（0≤t≤5）．（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值．（3）直接写出PQ中点移动的路径长度．3．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE⌢上取点F，使EF⌢=AE⌢，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．4．如图，已知MN//BC，A是MN上一点，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E，连接DE．（1）求证：DE//BC；（2）设MC与BN的交点为点G，如果DE=1，BC=4，求C△MGNC△CGB的值．5．已知：如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△C=90°，AB=AD=50，BC=64，连结BD，AE△BD 垂足为E，（1）求证：△ABE△△DCB；（2）求线段DC的长．6．在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.（1）求证：BC=CF；（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF=∠GAF.若CG=2，GF=5，求AН的长.7．已知直线m△n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l△m，l△n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：；（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得△APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点. 抛物线y=−14x2+32x经过点A，且交线段AB于点C，BC=√5.（1）求k的值.（2）求点c的坐标.（3）向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点C，求平移后抛物线的函数解析式.9．如图，在△ABCD中，点G是对角线AC上一点，DE垂直平分CG，交GC于点O，交BC于点E，作GF△AD交DE于点F，连接FC．（1）求证：四边形GFCE是菱形；（2）点H为线段AO上一点，连接HD，HF，当△1＝△2时，若AD＝6，CF＝2，求AH•CH的值．10．如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=ax2+bx+c与直线交于A，E两点，与x轴交于B(1，0)，C(2，0)两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，请通过计算写出一个满足条件点P的坐标.11．Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=k x(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D(4，m)，与AB交于点E(2，n)（1）求m与n的数量关系.（2）当tan∠BAC=12时，记△BDE面积为S，用含有k的式子表示S.（3）若△BDE的面积为2.设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 12．将抛物线C：y＝（x﹣1）2向下平移4个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2.（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；（2）如图（1），抛物线C1 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1 S2的最大值；（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=−4k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点.求证：直线MN经过一个定点.13．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F。
相似三角形(拔高)
【相似三角形2】第7份1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.AB C DE2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°（1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE3、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．4、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。
5、如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 76、如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7、劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 ．8、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为 ．9、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．CA DBEFABCDEE BCAD10、如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．11、在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．12、有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=34.将这副直角三角板按如题第1个图所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA 与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F 运动到点A时停止运动.(1)如题第2个图,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=______度；(2)如题第3个图，在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=x,两块三角板重叠部分面积为y,求y与x的函数解析式,并求出对应的x取值范围.13、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．14、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．15、如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16、如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.(1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.17、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．18、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．16、如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.(1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.17、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．18、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．。
相似三角形30道经典题
相似三角形30道经典题英文回答：1. Theorem: If two triangles are similar, then their corresponding sides are proportional.2. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding sides proportional, then they are similar.3. Theorem: If two triangles have three pairs of corresponding angles congruent, then they are similar.4. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding angles congruent, then the third pair is also congruent, and the triangles are similar.5. Theorem: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding sides.6. Corollary: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding altitudes.7. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides another side into two segments, then the ratio of the lengths of the segments is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.8. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the other two sides into segments, then the ratios of the lengths of the segments are equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.9. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratio of the areas of the parts is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.10. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratios of the areas of the parts are equal to theratio of the corresponding sides of the triangle.11. Theorem: The sum of the interior angles of a triangle is 180 degrees.12. Corollary: The sum of the exterior angles of a triangle is 360 degrees.13. Theorem: The Pythagorean Theorem: For a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.14. Corollary: The converse of the Pythagorean Theorem: If the square of one side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is a right triangle.15. Theorem: The Law of Cosines: For any triangle, the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle.16. Corollary: The Law of Sines: For any triangle, the ratio of the sine of one angle to the length of theopposite side is equal to the ratio of the sine of anyother angle to the length of its opposite side.17. Theorem: The area of a triangle is equal to halfthe product of the base and height.18. Corollary: The area of a triangle is equal to half the product of two sides and the sine of the included angle.19. Theorem: The perimeter of a triangle is equal tothe sum of the lengths of its three sides.20. Corollary: The perimeter of a triangle is equal to the sum of the lengths of two sides plus the length of the third side.21. Theorem: If a triangle is equilateral, then its angles are all equal to 60 degrees.22. Corollary: If a triangle has two sides equal, thenits angles opposite the equal sides are equal.23. Theorem: If a triangle has two angles equal, thenits sides opposite the equal angles are equal.24. Corollary: If a triangle has three equal sides,then its angles are all equal to 60 degrees.25. Theorem: If a triangle has a right angle, then its other two angles are acute.26. Corollary: If a triangle has an obtuse angle, then its other two angles are acute.27. Theorem: If a triangle has two adjacent sides equal, then the angle opposite the equal sides is greater than the other angles.28. Corollary: If a triangle has two adjacent sides unequal, then the angle opposite the greater side isgreater than the angle opposite the smaller side.29. Theorem: If a triangle has two adjacent angles equal, then the sides opposite the equal angles are equal.30. Corollary: If a triangle has two adjacent angles unequal, then the side opposite the greater angle isgreater than the side opposite the smaller angle.中文回答：1. 定理，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值相等。
(完整版)相似三角形提高练习(经典)
第四章相似图形11.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC•各边上的高之比为______．3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________.5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a3-=____;ab b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;ab b a 3-2+=____8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______9.若3x －4y = 0，则yy x +的值是____________10.若875c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果kcb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。
14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ）（A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。
相似三角形拔高训练
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？2.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC 于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度4.如从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y 轴于点E．那么D点的坐标为（）A. B. C. D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
4.3《相似三角形》拔高练习1
4.3 相似三角形一、选择题（1）下列命题正确的是（ ）A ．两个全等的三角形一定相似B ．两个直角三角形一定相似C ．两个等腰三角形一定相似D ．如果ABC ∆∽C B A '''∆，那么B C A B C A '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,（2）ABC ∆的三边长分别为10,2，2，C B A '''∆的两边长分别为1和5，如果ABC ∆∽C B A '''∆，那么C B A '''∆的第三条边的长度等于（ ）A ．22 B ．2 C ．2 D ．22 （3）若A B C ∆∽DEF ∆，并且周长分别是6和8，那么下式中成立的是（ ）A ．DE AB 43= B ．EF AC 34=C ．DF AC 32=D ．)(3)(4EF DF DE AC BC AB ++=++（4）若ABC ∆∽DEF ∆，23,4,2===DE AC AB ，则DF 等于（ ） A ．3 B ．4.5 C ．6 D ．8（5）ABC ∆∽C B A '''∆，如果︒=∠︒=∠100,55B A ，则C '∠的度数等于（ ）A ．55°B ．100°C ．25°D ．30°（6）若把ABC ∆各边分别扩大为原来的5倍，得到C B A '''∆，下面结论不可能成立的是（ ）A ．ABC ∆∽CB A '''∆ B ．ABC ∆与C B A '''∆的相似比为61 C ．ABC ∆与C B A '''∆的各对应角相等 D ．ABC ∆与C B A '''∆的相似比为51 （7）下列命题：①所有的等腰三角形都相似．②有一个底角相等的两个等腰三角形相似．③有一个角相等的两个等腰三角形相似．④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中真命题的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（1）ABC ∆的各边之比为2：5：6，与其相似的另一个C B A '''∆的最大边为18cm ，那么它的最小边长为___________．（2）ABC ∆的三边长分别是3，4，5，与其相似的C B A '''∆的最大边长为15，那么______='''∆C B A S ．（3）若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．（4）ABC ∆与C B A '''∆相似，若相似比为2，那么C B A '''∆与ABC ∆的相似比为________．三、解答题1．ABC ∆中，cm 63,cm 46,cm 52===AB CA BC ，另一个和它相似的三角形的最短边长为12cm ，求其余两边的长度．2．ABC ∆中，cm 24,cm 18,cm 12===CA BC AB ，另一个和它相似的C B A '''∆的周长为81cm ，求C B A '''∆的各边长．3．两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm 和14cm ，它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．4．如图，某一道口的栏杆的短臂长1.25米，长臂长16.5米，当短臂端点下降0.85米时，长臂端点升高多少？（杆的宽度忽略不计）5．如图，已知ADE ∆∽ABC ∆，6=AD cm ，3=DB cm ，9.9=BC cm ，︒=∠︒=∠50,70B A ．求：（1）ADE ∠的度数；（2）AED ∠的度数；（3）DE 的长．。
专题训练. 相似三角形--十大题型总结(拔尖篇)- 九年级数学上册 (浙教版)
专题4.10相似三角形章末十大题型总结（拔尖篇）【题型1利用平行线分线段成比例进行求值或证明】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）3．如图，点P 是ABCD Y 内的一点，连接BC 于点E 、F ，若1,PAD S S = （2023春·广东·九年级专题练习）4．定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒．①若3CD =，AC CD ⊥于点C ，求AD 的长；②若AD DC =，=45ADC ∠︒，求BD 的长；(2)如图②，在矩形ABCD 中6AB =，15BC =，点P 是对角线BD 上的一点，且边AD ，BC 于点E ，F ，要使四边形ABFE 是等腰直角四边形，求AE 的长．【题型2利用相似三角形的判定与结论在格点中求值】（2023·安徽宿州·统考一模）5．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A B C D 、、、均在格点上，连接点E ，若小正方形的边长为1，则点E 到AB 的距离为．（2023·山东烟台·统考一模）6．如图，在方格纸中，ABC 和DEF 的顶点都在格点上，则∠+∠BAC ACBA ．30︒B （2023春·江苏泰州·九年级统考期末）7．如图，点A 、B 、C 、分DEF 的面积等于（2023秋·福建福州·九年级校联考期末）8．在正方形网格中，A 、B 、【题型3利用相似三角形的判定与结论求长度】（2023·黑龙江绥化·校考三模）9．在ABCD Y 中，AH BD ⊥，垂足为长为．（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）10．如图，在矩形ABCD 中，已知别与边AB 、BC 交于点M 、N（2023·河南郑州·校考三模）11．如图，在平面直角坐标系的对应点分别是A'，（2023·安徽合肥·校联考模拟预测）12．等腰直角ABC∆与等腰直角∆BD．(1)如图1，求证：AC CF CE CG⋅=⋅(2)如图2，B，D，E在同一条直线上，取(3)如图3，过A作BD的平行线，过求AHDE的值．A ．1:3B ．1:4（2023·浙江温州·校联考三模）14．如图1，在平面直角坐标系中，直线段OB ，OA 上的一点（不含端点）(1)求k 和a 的值；(2)当AEC ∠与CDE 中的一个角相等时，求线段OD (3)如图2，连接BE 交CD 于点H ，将点B 绕点H 逆时针旋转求BDH △的面积．（2023春·四川德阳·九年级统考期末）16．如图，已知F 是ABC 内的一点，DF BC ∥，EF AB ∥，若四边形BDFE 的面积为则ABC 的面积是（）．A．6B．8【题型5利用相似三角形的判定与结论求最值】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）AB=，17．如图，在正方形ABCD中，6⊥，连接EF BGBE FG+，，当EF FG（2023秋·广东梅州18．如图，直线1l∥于点D．设直线1l，的最大值为．（2023·福建泉州·统考模拟预测）19．如图，点D是等边边DE与得的CDE（2023春·吉林长春·九年级校考期末）20．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC 方向运动，动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD 方向运动．点P 和点Q 同时出发，当点Q 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．(1)用含t 的代数式表示线段CP 的长；(2)当PQ 与矩形的对角线平行时，求t 的值；(3)若点M 为DQ 的中点，求以M 、P 、C 为顶点的三角形与ABC 相似时t 的值；(4)直接写出点B 关于直线AP 的对称点B '落在ACD 内部时t 的取值范围．【题型6利用相似三角形的判定与结论解决规律探究问题】（2023·山东德州·统考二模）21．如图，∠MON ＝45°，正方形ABB 1C ，正方形A 1B 1B 2C 1，正方形A 2B 2B 3C 2，正方形A 3B 3B 4C 3，…，的顶点A ，A 1，A 2，A 3…，在射线OM 上，顶点B ，B 1，B 2，B 3，B 4，…，在射线ON 上，连接AB 2交A 1B 1于点D ，连接A 1B 3【题型7利用相似三角形的判定与结论解决动态探究问题】（2023·河南信阳·校考三模）25．如图，正方形ABCD 中，4AB =，点P 为射线AD 应点A '刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，AP 的长为（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）26．如图所示，在ABC 中，6BC =，E 、F 分别是AB 、（2023春·山东淄博·九年级统考期中）27．如图，点A 坐标为(1,1D ，以CD 为边在右侧作正方形点的三角形与OEF 相似，则（2023春·江西·九年级专题练习）28．在ABC 中，6AC =，离为2，则CP 的长为【题型8利用相似三角形的判定与结论解决多结论问题】（2023·黑龙江·统考中考真题）29．如图，在正方形ABCD 中，点得到,AMF AM △交DE 于点②BM DE ∥；③若CM FM ⊥⑤2EP DH AG BH ⋅=⋅．（A ．①②③④⑤B ．①②③⑤（2023秋·江苏扬州·九年级校考期中）30．如图，在ABC 中，BAC ∠若36ABC S =△，则下面结论：①CAH ABC ∠=∠；②9ABO S =△；③AI IH =；④BO MO =；正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④（2023春·山东东营·九年级统考期中）31．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥于点M ，交CD 于点F ，过点D 作DE BF ∥交AC 于点N ．交AB 于点E ，连接FN ，EM ．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当2BD BC =时，四边形DEBF 是菱形；③BD ME ⊥；④2AD BD CM =⋅．其中，正确结论的序号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④（2023春·全国·九年级期末）32．如图，在ABCD Y 中，60BAD ∠=︒，将ABCD Y 绕顶点A 逆时针旋转至AEFG Y ，此时点D 在AE 上，连接AC AF CF EB 、、、，线段EB 分别交CD AC 、于点H 、K ，则下列四个结论中：①60CAF ∠=︒；②DEH △是等边三角形；③23AD HK =；④当2AB AD =时，47ACF ABCD S S = △；正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【题型9利用相似三角形的判定与结论解决新定义问题】（2023·浙江湖州·统考二模）33．定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，(1)如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，连结①试判断四边形ABCE 是否是双等腰四边形，并说明理由；②若90AEC ∠=︒，求ABC ∠的度数；(2)如图2，点E 是矩形ABCD 内一点，点F 是边CD 上一点，四边形AE 交BC 于点G ，连结FG ．若5AD =，90EFG ∠=︒，CG FC =（2023·福建莆田·校考模拟预测）34．定义：ABC 中，一个内角的度数为α，另一个内角的度数为汇三角形”．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，汇三角形”，则CD 的长是．（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）35．定义：如果三角形的两个α与β满足90αβ-=︒，那么我们称这样的三角形为(1)若ABC 是“奇妙互余三角形”，90A ∠>︒，20B ∠=︒，则(2)如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，若45AB BC ==，是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；(3)如图2，在四边形ABCD 中，AC BD ，是对角线，4AC =，是“奇妙互余三角形”，求BD 的长．（2023·江苏扬州·校考一模）36．定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在AB =4，BC =5，点D 是BC 延长线上一点．若△ABD 【题型10利用相似三角形的判定与结论在格点中作图】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）37．图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，作ABC 的中线BD ．(2)在图②中，在AC 边上找一点M ，BC 边上找一点N ，连结MN ，使得∥MN AB (3)在图③，在AB 边上找一点E ，连结CE ，使BCE 的面积为52．（2023·浙江衢州·三模）38．如图，在4×4的方格纸中，点A ，B 在格点上，请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上）论．(1)在图1中画一条线段垂直AB ．(2)在图2中画一条线段交AB 于点P ，使∠(1)在图（1）中，先在BC上画点D，使AD平分BAC(2)在图（2）中，点P在AB上，先将线段BA绕B点逆时针旋转=．画点Q，使AQ BP（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）40．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．(1)如图1，ABC 的顶点以及点O 均在格点上，画出DEF ，以O 为旋转中心，将ABC 逆时针旋转90 ；(2)如图2，画出一个以DF 为边，面积为6的矩形DFMN ；(3)如图3，在网格中有一定角XOY 和一定点P ，请作一条线段AB ，使点P 为AB 中点，且点A 、B 分别在OX 、OY 上．。
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相似三角形拔高题
1.如图1中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A.点P B.点O C.点M D.点N
图1 图2 图3 2.如图2，ABCD 是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图3，用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度。
设OA OB
m OC OD
==，
且量得CD b =，则内槽的宽AB 等于（ ） A.mb B.
m b C.b
m
D.1b m +
4．如图4，矩形()ABCG AB BC <与矩形CDEF 全等，点B C D ，，在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
图4
5.已知点P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>PB ．若 AB=2，则AP=
6.如图7所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线 杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这 两棵树之间还有三棵树，则河宽为_________米．
图7 图8
7.如图8,在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图5×5的方格中， 作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1),则点C 的坐标是____________.
8.如图4，Rt ΔABC 中，∠C=900，D 为AB 的中点，DE ⊥AB ，AB=20，AC=12，则四边形ADEC 的面积为
O
9.如图6，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，EF垂直平分BD，则EF=
10.如图9，ΔABC中，DE∥BC，AD∶DB=2：3,则SΔADE∶SΔABE=
11.如图10，正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900，则PA：AQ=
12.如图12，ΔABC中，中线BD与CE相交于O点，SΔADE=1，则S四边形BCDE=
13.已知:如图，CE是RtΔABC的斜边AB上的高，BG⊥AP。
求证:CE2=ED·EP
14.如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方 作正方形AEFG
（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；
（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB=a ，BC=b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不 含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值； 若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明
15.如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于 点F
（1）证明：△ACE ∽△FBE ；
（2）设∠ABC=α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由
F
E
C B
B'
C'
16.在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3
N
M B E A
C D
F
G
图（1）
（1）在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；
（2）若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：点B 平分线段AF ；
②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由
F
17.小明为了测量某一高楼 MN 的高，在离 N 点 200 m 的 A 处水平放置了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退到点C 正好从镜中看到楼的顶点M ，若 AC=l5m ，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高 度(精确到0.1 m).
18.如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形
EMNH 、矩形MFGN ， 使矩形MFGN ∽矩形ABCD.令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?
19.如图，△ABC 中，∠C= 90°，BC=8cm ，5AC —3AB=0，点 P 从B 出发，沿BC 方向以2 cm/s 的速度移动，点Q 从C 出发，
沿 CA 方向以1 cm /s 的速度移动. 若 P 、Q 分别从B 、C 出发，经过多少时间△CPQ 与△CBA 相似？
图15-2
A
D O B
C 2
1
M
N
图15-1
A D
B M N
1 2 图15-3
A
D O B
C 2
1
M
N
O
20.如图，在一个长40m 、宽30m 的长方形小操场上，王刚从A 点出发，沿着A →B →C 的路线以3m/s 的速度跑向C 地．当他出发4s 后，张华有东西需要交给他，就从A 地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B 地2
2
3
m 的 D 处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A 处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在 对角线AC 上．
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE 的长）？ （2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s ）？
21.在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°。
（1）如图15-1，若AO=OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO=OB
求证：AC=BD ，AC ⊥BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求AC
BD
的值
22.在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠COA ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；
（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；
（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的 四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由
23.如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为（－2，0），点D 的坐标为（0，23）， 点B 在x 轴的正半轴上，点E 为线段AD 的中点，过点E 的直线l 与x 轴交于点F ，与射线DC 交于点G ． （1）求∠DCB 的度数；
（2）当点F 的坐标为（－4，0），求点的坐标；
（3）连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ′，记直线EF ′与射线DC 的交点为H ． ① 如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ≌△DHE ； ② △若EHG 的面积为33，请你直接写出点F 的坐标
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