初中数学竞赛精品标准教程及练习58：观察法 (3)
初中数学竞赛精品标准教程及练习5
初 中数学竞赛精品标准教程及练习（5）的个位数一、内容提要.1. 整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
24k+1与21，24K ＋2与22，24K ＋3与23，24K ＋4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4K ＋m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数。
二、例题20032003的个位数是多少？解：20032003与32003的个位数是相同的，∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。
试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。
K 取什么正整数值时，3k ＋2k 是5的倍数？5，∵a m 与a 4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数，a 是整数）;∴当K 为任何奇数时，3k ＋2k 是5的倍数。
三、练习51， 在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数）220 的个位数是 （ ） 45 的个位数是（ ）330 的个位数是 （ ） 87 的个位数是（ ）74K+1 的个位数是 （ ）311＋79 的个位数是（ ） 216×314的个位数是（ ）32k-1＋72k-1的个位数是（ ）72k －32k 的个位数是（ ） 74k-1－64k-3的个位数是（ ）7710×3315×2220×5525的个位数是（ ）2， 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。
初中数学竞赛观察法
初中数学竞赛观察法观察法在初中数学竞赛中是一种常用的解题方法，它利用观察问题的特点和规律，通过观察来推测结论，从而解决问题。
观察法可以说是一种很灵活的方法，可以帮助我们快速找到解题的线索，提高解题的效率。
接下来我将通过几个常见的例题来介绍观察法的具体应用。
例题1：数的十分之一是5，这个数是多少？解答：观察题目中的信息可以发现，如果数的十分之一是5，那么这个数必然是50。
因此，答案是50。
通过观察题目中给出的信息，我们很容易就得到了答案。
这就是观察法的一种常见应用。
例题2：小豪给了李明10个小球，李明拿走其中的一个后，现在小豪还给了李明4个小球，李明手中共有多少小球？解答：通过观察题目中的信息，我们可以发现，小豪给了李明10个小球后，李明手中有10个小球，然后小豪又给了李明4个小球，那么李明手中的小球就会增加4个。
因此，答案是10+4=14个。
通过观察题目给出的信息，我们可以推测出答案是10+4，然后得到最终的结果。
这也是观察法的一种应用。
例题3：几何体有六个顶点，我们将该几何体的一个面切割成两个形状完全相同的面后，每个面上有多少个顶点？解答：通过观察题目中给出的信息，我们知道原来这个几何体有六个顶点。
然后在切割面之后，每个面上的顶点数保持不变。
因此，每个面上的顶点数仍然是六个。
通过观察题目给出的信息，我们可以得到答案是仍然是六个。
这也是观察法的一种常见应用。
观察法在初中数学竞赛中通常都能起到很好的作用，但在实际运用过程中，我们也要注意以下几点：1.注意观察问题的细节，不要错过任何一个关键点。
有时候问题中的细节会给出很重要的线索。
2.多多实践观察法，通过多做练习来提高自己的观察力和运用观察法的能力。
3.善于总结归纳，将观察到的规律和解题方法进行总结整理，形成自己的经验。
总之，观察法在初中数学竞赛中是一种常用的解题方法，通过观察问题的特点和规律，从而提高解题的效率。
通过多做题目，提高观察力，善于总结归纳，我们可以在数学竞赛中更加得心应手地运用观察法。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑶
初一数学比赛讲座第 3 讲奇偶剖析我们知道，全体自然数按被 2 除的余数不一样能够区分为奇数与偶数两大类。
被 2 除余 1 的属于一类，被 2 整除的属于另一类。
前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。
对于奇偶数有一些特别性质，比方，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。
灵巧、奇妙、存心识地利用这些性质，加上正确的剖析推理，能够解决很多复杂而风趣的问题。
用奇偶数性质解题的方法称为奇偶剖析，擅长运用奇偶剖析，常常存心想不到的成效。
例 1 右表中有 15 个数，选出 5 个数，使它们的和等于 30，你能做到吗？为何？剖析与解：假如一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。
因为不论你选择哪 5 个数，它们的和总不等于 30，并且你还不敢立刻断言这是做不到的。
最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和还是奇数，表中15 个数全部是奇数，所以要想从中找出 5 个使它们的和为偶数，是不行能的。
例 2 小华买了一本共有 96 张练习纸的练习本，并挨次将它的各面编号（即由第1面向来编到第 192 面）。
小丽从该练习本中撕下此中25 张纸，并将写在它们上边的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数可否为2000？解：不可以。
因为每一张上的两数之和都为奇数，而25 个奇数之和为奇数，故不行能为2000。
说明：“相邻两个自然数的和必定是奇数”，这条性质几乎是明显的，但在解题过程中，能存心识地运用它却不简单做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例 3 有 98 个孩子，每人胸前有一个号码，号码从 1 到 98 各不相同。
试问：可否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明原因。
解：不可以。
假如能够按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的 2 倍，是个偶数。
所以这98 个号码数的总和是个偶数，可是这 98 个数的总和为1+2++98=99× 49，是个奇数，矛盾！所以不可以按要求排成。
初中数学竞赛精品标准教程及练习68：选择题(二)
初 中数学竞赛精品标准教程及练习(68)选择题(二)一、内容提要1. 在第26讲《选择题（一）》中，介绍了“有唯一正确答案”的选择题的解法，内容着重于代数方面.本讲则将侧重于几何.几何的选择题大都是判定图形的形状、位置、大小，计算长度、面积、体积以及判定命题的真假等.2. 解题方法与代数一样，可用直接选择法或逐步淘汰法.几何的特点是要更多地借助图形，并运用定义、公理、定理、推论等概念进行辨析、推理、演算；利用准确的图形(包括按比例尺放缩)或特殊图形判断；也可以先猜测结论而后验证.淘汰法就是要举出反例，逐一否定选择项；要注意图形之间的从属关系和并列，互斥关系以便全面分析，正确解答.二、例题一. 直接法例1.已知：如下图四边形ABCD 的边长AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，若把四边形的两条边的夹角变大为180 ，其它的角的大小随着变化，边的长度不改变.那么：四边形可变为( )(A) △ABC. (B) △ABD. (C) △ACD.(D) △BCD.解：根据“三角形任意两边和大于第三边”，只有1+2<3+4能成立，即把AB ，BC 变成AC ，组成△ACD. 故选( C).(例1) (例2)例2. 已知：如上图过△ABC 内一点P 作DE ∥AB ，FG ∥AC ，MN ∥BC.G E 431P B C D A C M N那么：ACFG AB DE BC MN ++的值是( ) (A)23. (B)2. (C)34. (D)35. 解：∵选择项是肯定的唯一正确的答案，所以可用特殊三角形(如等边三角形)，并把点P 放在特殊的位置(正三角形的中心). 这样易得32==AB AM BC MN ， 余同.32×3＝2. 故应选(B).注意：如果选择支有“以上都不对”或“其值随图形的变化而变化”的选项，则一般不可以用特殊图形.例3. 已知：如下图等边△ABC 的高和⊙O 的半径相等，⊙O在边AB 上滚动，切点为T ，且⊙O 和BC ，CA 交于M ，N.那么： 弧MTN 的度数 ( ).(A)在0到30变化 . (B)在30到60变化. (C)在60到90变化. (D)保持60不变.解：本题只要依题意准确画图，把弧MTN 所对的弦MN度量，与△ABC 的高比较(用两脚规)，就会发现长度（与半径相等）不变， 故选(D).例3)(例4)例4.已知：如上图，圆内接四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的长分别为25，39，52，60，则圆的直径长为( )(A)62. (B)63. （C ）65. （D ）66.解：猜测直径是BD 且∠A ＝Rt ∠.根据勾股定理，得BD 2＝252＋602＝4225＝652，60523925D C A NM A B C O把652代入△BCD 中检验，刚好652＝392＋522，∠C ＝Rt ∠.故选( C).大胆猜想，小心论证是解答选择题的重要方法之一.例5. 如图，在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角(如A ，B ，C 三个顶点形成∠ABC ，∠ACB ，∠BAC)，一共可作出168个角.那么这些角中最小的一个一定是( ) （A ）小于或等于20ο. (B) 小于或等于22.5ο .(C)小于或等于25ο. (D)小于或等于27.5ο .解：以特殊图形正八边形为例，由一个角的顶点可引5条对角线，把这个角等分为6个角，每个是22.5ο，即最小角是小于或等于22.5ο.故选(B )二. 淘汰法1. 特殊图形排除法例6.如果△ABC 的三条外角平分线相交成△DEF ，那么△DEF 一定是( ).（A ）直角三角形. （B ）钝角三角形. （C ）锐角三角形.（D ）不是锐角三角形.解：选择项（C ）和（D ）是互否的.我们可用特殊图形(等边三角形ABC)画出各外角平分线，围成△DEF ，发现它也是等边三角形，故可排除(A)，(B)，(D).决定选择(C).2. 反例排除法例7. 下列四个判定平行四边形的命题的题设，其中是真命题A B CD E FGH的个数为( ).(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.1.一组对边相等且一组对角相等的四边形.2.一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形.3.一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形.4.一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形.解：本题四个选择支都是要判定平行四边形的条件，但都不是定理，能否成立，最好是举反例(即画出具有题设条件但又不能成立的图形)来否定，逐一淘汰，下面各图分别否定了第1，2，4 ，只有3能成立. 故选(A).3. 概念辨析排除法例8. 如图，四边形ABCD 的AB=1BC=9，CD=8，DA=6，对以下五个命题的正确判断是( )(A) ①真②假④真. (B) ③真④假⑤真. (C) ③真④假⑤假. (D) ②假③假④真. ① 四边形ABCD 外切于圆 .②四边形ABCD 不内接于圆.③两对角线不互相垂直.④∠ADC ≥90 .⑤△DBC 是等腰三角形.解：一般判定真命题较难，确定假命题只要举出一个反面的例子便可.∵1+8≠6+9， ∴①是假；∵AC<1+9， ∴AC 2<62+82可知④是假；∵△ABD 中BD<1+6， ∴⑤是假.216891O AB D∴这就淘汰了(A)，(B)，(D). 故可选( C ).4. 验证排除法例9. 已知：不等边三角形ABC 的两条高分别为4和12，若第三高也是整数.那么：它的长度最大可能是( ).(A)4. (B)5. (C)6. (D)7.解：可以依次把7，6，5，4逐一验证. ∵是不等边三角形， ∴4先排除.∵三角形的面积等于底乘高的一半，即a ×h a =b ×h b =c×h c若h a ∶h b ∶h c 则 a ∶b ∶c为4∶12 ∶7 是21∶7∶12 但21>7+12(排除)；为4∶12 ∶6 是3 ∶1∶2 但3=1+2(排除)；为4∶12 ∶5 是 15∶5∶12 15<5+12 (适合).故选(B)5. 特值排除法例10. 互不相等的三个正数a, b, c 恰为一个三角形的三条边，则用下列的三个数为长度的线段一定能作成三角形的是( ).(A)a 1，b 1，c 1. (B)a 2, b 2, c 2 . (C)c b a ,,. (D)a c c b b a ---,,.解：根据“三角形任意两边和必须大于第三边”的定理 ，找到适当的特殊值：当a=3, b=4, c=5时，可以排除(B)（∵32+42=52）；也可以排除和(D)（∵1+1=2）；如果a=2, b=6, c=7时， 则(A)也可以排除，（∵716121+>）. 故选(C).三、练习681. 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，把矩形折叠使点A 和点C 重合，那么折痕EF 的长是( ) (A)3.74. (B)3.75.(C)3.76 . (D)3.78.2. 三角形三条边的比是6∶4∶3，则三条高的比是( )(A)6∶4∶3. (B)2∶3∶4. (C)3∶4∶6. (D)以上都不对.3. 不等边三角形的边长均为整数，周长是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则符合条件的三角形共有( )(A)一个. (B) 两个. (C)三个. (D) 四个.4. 以三角形的三个顶点和它内部的7个点，共10个点为顶点，连成小三角形，这样的小三角形的个数是( ). (A)11.(B)15. (C)19. (D)不定.5. 用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7作为四条边构成一个梯形，则在所有构成的梯形中，中位线的长的最大值是（ ）.(A)13.5 . (B)11.5. (C)11 . (D)10.5.6. △ABC 中，AB ＝AC ，BM 是中线，则BMAB 的值是（ ）. (A)大于21. (B)大于32. (C)大于31. (D)大于43. 7. 三角形有一个角30度，且一边等于另一边的2倍，那么这个三角形（ ）(A)一定是直角三角形. (B)一定是钝角三角形(C)可能是锐角三角形. (D)以上都不对.8. 钝角三角形的三边长是 连续整数，那么边长必定是（ ）（A ）2，3，4. （B ）4，5，6. （C ）5，6，7. （D ）6，7，8.9. 已知a, b, c 是△ABC 的三边长，且c b a c b a ++==-1111. 那么△ABC 必定是（ ）(A)等边三角形. （B ）以a 为底的等腰三角形.(C)以c 为底的等腰三角形. （D ）以上结论都不对.10.设任意△ABC 的周长为L ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r那么L ，R, r 的大小关系是（ ）（A ）L ＞R+r （B ）L<R+r （C ）6L <R+r<6L （D ）以上结论都不对11. 已知：四边形ABCD 内有一点E ，连结AE ，BE ，CE ，DE 将四边形分成四个面积相等的三角形.那么下列甲、乙、丙三个命题中( )(A)只有甲正确. (B)只有乙正确. (C)甲乙丙都正确.(D)甲乙丙都不正确.甲.ABCD 是凸多边形； 乙.E 是对角线AC 的中点或BD 的中点；丙.ABCD 是平行四边形.12. 如图，等边三角形ABC 各边与圆交于D ，E ，F ，G ，H ，I 六个点，已知 AG=2，GF=13，FC=1，HI=7，那么 DE 的长是( )(A)13. (B)10. (C)222. (D)9.13. 九条直线平行于三角形的底边，分其他各边成10条相等的线 段，同时将面积分为10个不同的部份.若这些部份中的最大面 积是38.那么原三角形的面积是（ ）.（A ）180. （B ）190. （C ）200. （D ）210. （E ）240.14. 如图三圆每一个都外切于其他两个圆，并且三角形的每一边与圆中的两个相切，若每个圆的半径是8，那么三角形的周长是（ ）.（A ）36＋92 （B ）36＋63. （C ）36＋93.71132F D IH E C A G（D）18＋183. （E）45.15. 已知：BD，CE是△ABC的中线，M，N分别是BD，CE的中点，那么：MN∶BC等于（）.（A）1∶4 （B）1∶3 （C）1∶2 （D）非以上的答案练习68参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15B BC BD B D A D D B C D D A提示：1. EF是AC的中垂线，用直接计算法， 2.用验证法6×2=3×4=4×33. 求出次大边为9，符合条件的有11，9，8；12，9，7；13，9，6.4. 每增一点可增加2个三角形，7×2+1 .1.两底为7，14. ∵两底差与、两腰要能组成一个三角形.2.设G为重心，根据重心定理可知AB>BG.3.用淘汰法排除8. 最大边平方大于其他两边的平方和.9. A，B，C都可能成立10.可用画图举出反例11.用等底等高三角形面积相等12. 设CE=x, DE=y,用割线定理计算。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼
初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。
我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。
运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。
即：这里，建立数学模型是关键的一步。
也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。
下面介绍一些典型的数学模型。
一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。
若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。
这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。
例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。
为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有x＋2y＝1.2×20＝24。
长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。
于是有x=12， y＝6。
例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。
当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。
为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。
总共可以获利:（50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑵
初一数学竞赛讲座第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：参数法证平几
11. 1 个直角 3 角形斜边为 c,内切圆半径是 r,求内切圆面积与直角 3 角形面积的比. （提示：引入参数 a 和 b 表示两直角边）
练习 67 参考答案： 1. 设 IA＝a, IC＝b, IH＝x, HQ＝y 用相交弦定理列方程组. 2. 引入参数α,设∠DBC＝α,PA2＝PB×PD＝… 3. 设∠ABH＝∠ACH＝α,用 AH∶Sinα表示两圆的半径. 4. 设 DF＝m, FE=n, PF=x, FC=y, ⊙P 的半径为 r,由相交弦定理,得
求证：过 A,B,H3 点的圆与过 A,C,H3 点的圆是等圆. 4. 已知：AB 是⊙O 的直径,P 是半圆上的 1 点,PC⊥AB 于 C,以 PC 为半径的⊙P 交⊙O
于 D,E. 求证：DE 平分 PC. 5. 已知：△ABC 的两款高 AD 和 BE 相交于 P,且 AD＝BC,F 是 BC 的中点.
初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)
参数法证平几
1.内容提要 1.联系数量间关系的变数叫做参变数,称参数. 2.有 1 类平面几何的证明,可以依据图形性质引入参数,布列方程,通过计算来完成,我们称
它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算. 2.例题 例 1 如图已知：AB 是⊙O 的直径,C 是半圆上的 1 点,
, 9. 设 PA＝PC＝PD＝x, QB＝QE＝QF＝y, AB=a,CD＝EF 由切割线定理可知 x=y,
PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2 =4PA×PB+AB2=4PC2+AB2=4+AB2=AB2+CD2
2023年初中数学竞赛精品标准教程及练习基本对称式
初中数学竞赛精品原则教程及练习（50）基本对称式一、内容提纲上一讲介紹了对称式和轮换式定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 基本对称式.含两个变量所有对称式，都可以用相似变量基本对称式来体现.例如x 2+y 2, x 3+y 3， (2x －5)(2y －5)， －y x 3232-， y x x y +……都是含两个变量对称式，它们都可以用相似变量x,y 基本对称式来体现：x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ， x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，(2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －yx 3232-=－xy y x 3)2+（， yx x y +=xy x y 22+=xy xy y x 2)(2-+.设x+y=m ， xy=n.则x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ＝m 2－2n ；x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；x 4+y 4＝（x 2+y 2）2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；x 5+y 5＝（x 2+y 2）(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；………一般地，x n +y n(n 为正整数)用基本对称式体现可建立递推公式：x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).含x, y 对称式，x+y ， xy 这三个代数式之间，任意懂得两式，可求第三式.二、例题已知x=21(3+1)， y=）－（1321 求下列代数式值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x2 (2y+3)+y 2(2x+3).解：∵含两个变量对称式都可以用相似变量基本对称式来体现.∴先求出 x+y=3， xy=21.① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝（x+y ）3－2xy(x+y)=(3)3－2×321=23； ② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)=3［（x+y ）2－2xy ］+2xy(x+y)=3［（21232⨯－））2×213＝3－6.解方程组⎩⎨⎧=+=+②①53533y x y x 分析：可由 x 3+y 3，x+y 求出xy ，再由基本对称式，求两个变量x 和y.解：∵x 3+y 3,＝（x+y ）3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组⎩⎨⎧==+65xy y x得⎩⎨⎧==32y x 或⎩⎨⎧==23y x . 例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x ， 321420-=y.那么 x 3+y 3=40， xy=32196400⨯－=2.∵x 3+y 3＝（x+y ）3－3xy(x+y)，∴ 40＝（x+y ）3－6（x ＋y ）.设x+y=u ，得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.∵u 2+4u+10=0 没有实数根，∴u －4＝0, u ＝4 .∴x+y=4.即321420+＋321420-＝4. 例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 两根差绝对值最小？其最小值是什么？ 解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，得 ⎩⎨⎧-==+22121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.三、练习501. 已知 x －y=a ， xy=b. 则x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.2. 若x+y=1， x 2+y 2=2. 则 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.3. 假如 x+y=－2k ， xy=4，3=+xy y x . 则 k=_____. 4. 已知x+x 1=4， 那么x －x 1=____ ， 221xx +=＿＿＿. 5. 若x x 1+.＝a, 那么x+x 1=______, 221xx +=＿＿＿. 6. 已知：a=321－， b=321+. 求： ①7a 2+11ab+7b 2 ； ②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1.7. 已知xx 1+＝8，则x x 12+＝＿＿＿＿. 8. 已知 a 2+a －1=0 则a 3－31a =＿＿＿＿＿. 9. 已知一元二次方程两个根平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.11. 已知：α，β是方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 两个根.求证：α2（b β+c ）+β2(b α+c)=－ac 22.三、练习50参照答案：1. a 2+2b ， a 3+3ab2. 2.5， 4.753. ±54. 23或－23， 14， 525. a 2－2， a 4－4a 2+26. 109,367. 628. –49. x2±3x＋2＝010.①1，②2运用韦达定理，把左边式子化为基本对称式体现。
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初中数学竞赛精品标准教程及练习（58）
观察法
一、内容提要
数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.
观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.
敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.
例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n 次方程有n 个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.
对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.
选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势.二、例题
例1. 解方程：x+
x 1=a+a
1.解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义，易知 x=a ；或x=a
1
.观察本题的特点是：左边x 11=⋅
x , 右边a 11
=⋅a
. （常数1相同）.可推广到：若方程f(x)+
a
m
a x f m +=)(（am ≠0）， 则f(x)=a ； f(x)=
a
m
.如：方程x 2+
22255a a x +=, x 2
+3x －83202=+x
x (∵8=10－1020).
都可以用上述方法解.
例2. 分解因式 a 3+b 3+c 3－3abc.
分析：观察题目的特点，它是a, b, c 的齐三次对称式.
若有一次因式，最可能的是a+b+c ；若有因式a+b －c,必有b+c －a, c+a －b ；若有因式a+b, 必有b+c, c+a ； 若有因式b －c,必有c －a, a －b.解：∵用a=－b －c 代入原式的值为零， ∴有因式a+b+c.
故可设 a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c)[m(a 2+b 2+c 2)+n(ab+bc+ca)].比较左右两边a 3的系数，得m=1,
比较abc 的系数， 得 n=－1.
∴a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c) (a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca)
例3. 解方程x x =++++3333.
分析：观察题目的特点猜想x x =+3用自身迭代验证：
x=x x x x ++++=+++=++=+3333333333.解：∵x=x +3， 可化为x －
2－x －3=0,
∴ x=
2131±. 经检验2
13
1-是增根. ∴原方程只有一个实数根x=
2
13
1+. 例4. 求证：
1)
)(()
)(())(())(())(())((=----+----+----b c a c b x a x a b c b a x c x c a b a c x b x .
证明：把等式看作是关于x 的二次方程，最多只有两个实数根；
但x=a, x=b, x=c ，都能使等式成立，且知a ≠b ≠c ，这样，方程 就有三个解；
∵方程的解的个数，超过了方程的次数.∴原等式是恒等式. 证毕.
例5. 选择题 (只有一个正确的答案) 1. 四边形ABCD 内接于圆，边长依次为25，39，52，60，那么这个圆的直径长等于（ ） （A ）66. （B ）65. （C ）63. （D ）62.
2. 直角梯形ABCD 的垂腰AB=7，两底AD=2，BC=3，如果边AB 上的一点P ，使得以
P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似. 这样的点P 有几个？答：( )
(A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个.
解：1. 选 (B)； 2. 选 ( C).1. 观察数字的特征:
∵25∶60∶65=5∶12∶13 ； 39∶52∶65=3∶4∶5 都是勾股数. ∴直径等于65，故选( B )
2. 观察 相似比可以是
BC AD 或PB AD . 设AP 为x, 则x x -=732；或
3
72x
x =-. 解得：x=2.8 ， x=1， 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).
(1)
(2)
三、练习58 一. 填空题
1. 三角形的三边长分别为192，256，320.则最大角等于____度.
2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1) (7)
2+1)+1=______. 3. 方程x 2－
(4+3)x+3+3=0 的两个解是______. 4. 方程x 3+2x 2+3x+2=0的实数根是__________. 5. 方程
02
1
2222=+
-+
-+-x x x 的实数解是_______. 6. 若x,y 为实数且x+y=a, xy=b,则x 2+y 2=_________. 7. 方程
2222212121212=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 的解是__________. 8. 写出因式分解的结果：
①x 3－7x 2+36=______________.
②(a+b －c)3－(a 3+b 3+c 3)=_______________.
9. 方程(a －x)3+(b －x)3=(a+b －2x)3的三个解是_____，_____，______..
10. 方程组⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=+=z z w w w x y y z x x y 17217
217
2172 的实数解是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
===w z y x
11. 有一个五位正奇数x ，将x 的所有2都换成5，所有5都换成2，其他的数字不变，
得到一个新五位数记作y ，若x,y 满足等式y=2(x+1),那么x 是___________
如左图试问至少要用几种颜色，才能给图中的各边正常着色.
(正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上 不同的颜色)
二. 选择题(只有一个正确的答案)
1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( )
(A) 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等边的四边形. 2. 当k>0时，函数y=kx+k 与y=k
图象在同一直角坐标系内是( )
3.实数a 和b ，ab<0, a+b<0, a －b<0,则a, b 的大体位置是( )
4. a=1+
b 1, b=1+a
1
, a, b 都不等于0，那么 b= ( ). (A) a. (B) –a. (C) a －1. (D) 1－a.
5. a,b,c 中至少有一个是零，可表示为( )
(A) a+b+c ≠0 (B) abc ≠0. (C) a 2+b 2+c 2≠0. (D) ab+ca+bc ≠0. 三. 解方程：
1.x 2+2x+
32
3222
=+x
x ； 2.2
1
1423221
32422
222+=+++-+
+-++x x x x x x x x ； 3.x x =++++2222.
四. 求证：2222)
)(()
)(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+----.
五. 已知：x 4+x 3+x 2+x+1=0. 求：x 1989+x 1988+x 1987+x 1986的值.
练习58参考答案： 一.1. 90
2.
71
2
+n 3.
1，3＋3 4. －1 5. －2
6. a 2－2b,当a 2－2b ＜0时无解
7. 2，－2
8.②3（a+b ）(b+c)(c+a)
9. a,b,
2
b
a + 10. x=y=z=w=±17 二.①B ②C ③C ④A ⑤C 三.① －3，1，
2
15
3±－ ②－41，－1，－5 ③2（增根－1）
四.（仿例4）
五.已知两边乘以x-1得x 5=1, 原式=x 1985(x 4+x 3+x 2+x)=1×(-1)=-1
(D)
(C)
(B)
(A)。