曲线积分与路径无关的条件_图文
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一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条-PPT课件
一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
第四节 平面上曲线积分与路径无关的条件
Q P 2x x y
所以
2 2 xy d x x dy 0 C
2 2 I ( x y ) d x ( x sin y)dy 其中L为 例2 计算 L
y 2 x x 2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧.
解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y), 有
lim P( x x ) =P(x,y) x 0
u 即 P ( x, y ) x
类似有
u Q( x, y) y
故在D内存在一;Qdy, (3)成立
(3) (4) 设 D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy
y
B(x,y) • • D C(x+x,y) • A(x0,y0)
AB Pdx Qdy
只与B(x,y) 有关 o 故可令u(x,y)= AB Pdx Qdy
u u( x x, y ) u( x, y )
x
考察u(x,y)的可导性。 x, 使C ( x x, y) D
判断时应用最方便、最具操作性的是(4)
即
奇点
P Q ＝ y x
在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函 数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数的点 称为奇点。 在定理2的条件下， 曲线积分在D内与积分路 径无关。则
u( x, y) AB Pdx Qdy A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B( x , y )
且具有du(x,y)=Pdx+Qdy， 称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。
y
若 P Q y x
A( x0 , y0 )
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
数学与其他学科的交叉应用
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
第10.6节 曲线积分与路径无关的条件
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
根据被积函数选取适当 的积分路径 L1 , 例10.6.2和例10.6.3
中的计算比较简洁 .
二、原函数及其计算方 法
P Q 由定理10.6.1可知,当 在单连通区域 G内处处成立时 , y x
函数
u( x , y )
例10.6.2 求 I
( x y )dx ( x y )dy 2 , 其中 L 是 y 2 ( 1 x ) 2 2 L x y
y
上从 A( 1,0)到B( 1,0)的一段弧 .
解
x y x y 令P 2 ,Q 2 ,则 2 2 x y x y
L
A
2
L1 1
u ( x, y ) 证明 3 4 假设3 成立, 则在G内存在一个二元函数
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
证明 3 4 假设3 成立, 则在G内存在一个二元函数 u ( x, y )
使得 du Pdx Qdy ,由此可知
u u P ( x , y ), Q( x , y ). x y
4
因此
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy .
L2
根据定理 10.6.1和定理 10.6.2, 可以简化一些曲线积分 的计算.
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
例10.6.1 求I ( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy, 其中L为圆周
M ( x, y )
M0 A
Pdx Qdy 和
曲线积分和路径无关的条件
曲线积分和路径无关的条件曲线积分是在曲线上对向量场进行积分的过程。
路径无关的条件是指，对于同一向量场和相同的起点和终点，不同的路径所得到的曲线积分值相等。
这个条件对于许多物理问题都具有重要意义，因为它允许我们在计算复杂路径上的积分时选择更简单或更方便的路径。
一、曲线积分的定义曲线积分可以看作是沿着一条曲线对一个向量场进行积分。
具体来说，设C是一条参数化曲线，即C可以表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t∈[a,b]。
向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个从三维空间中每个点到该点处的向量赋值函数。
则沿着C对F进行积分的结果为：∫CF·ds=∫baF(r(t))·r'(t)dt其中F(r(t))表示在r(t)处F的值，r'(t)表示r关于t的导数。
二、路径无关条件如果不同路径上所得到的曲线积分值相等，则称该向量场F在区域D内满足路径无关条件。
形式化地说，在D内如果任意两条起点和终点相同但路径不同的曲线C1和C2上，有∫C1F·ds=∫C2F·ds则称F在D内满足路径无关条件。
三、路径无关条件的判定对于一个向量场F，它是否满足路径无关条件取决于该向量场的旋度。
具体来说，如果F在D内存在一个连通区域，并且该区域内的旋度为零，则F在该区域内满足路径无关条件。
这个结论可以用斯托克斯定理来证明。
四、斯托克斯定理斯托克斯定理是曲线积分和曲面积分之间的一种联系。
它告诉我们，如果一个向量场在某个区域内旋度为零，那么该向量场在该区域内满足路径无关条件。
具体来说，设S是一个分段光滑的曲面，边界为曲线C。
如果向量场F在S上连续可微，则有：∫SF·dS=∫CF·ds其中左边是对曲面S进行的曲面积分，右边是对边界曲线C进行的曲线积分。
五、应用举例路径无关条件可以应用于许多物理问题中。
例如，在电磁学中，电场和磁场的旋度为零是电场和磁场满足路径无关条件的充分条件。
3格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件
ydx
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
A
例 4
计算抛物线(x y)
2
ax ( a 0 ) 与 x 轴 所
M
围成的面积.
解
y
ONA 为 直 线 y 0 .
A ( a ,0 )
曲 线 AMO 由 函 数
N
ax x , x [ 0 , a ] 表 示 ,
1 xdy 2 L ydx
A
1
2 ONA
L2 Pdx Qdy
L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定理 21.12 设开区域 D 是一个单连通闭区域, 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则以下 四个条件等价：
(i )沿D 内任一按段光滑封闭曲线L，有
D
Q x
d
dxdy
c
d
dy
2
( y)
Q x
1 ( y )
dx
c
Q ( 2 ( y ), y ) dy
Q ( x , y ) dy
Q ( x , y ) dy
c
d
Q ( 1 ( y ), y ) dy
y
CBE
CBE
CAE
EAC
Q ( x , y ) dy
)( Pdx Qdy )
1
L Pdx
Qdy
( L 1 , L 2 , L 3 对 D 来说为正方向
沟通了沿闭曲线的积分与
)
格林公式的实质:
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
第22章第2节曲线积分和路径的无关性
P( x, y)dx Q( x, y)dy
l
1
§22.2 曲线积分和路径的无关性
如果对于平面区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1
Pdx Qdy
y
L2
Pdx Qdy
L1
B
G
则称曲线积分 L Pdx Qdy
Q P 由格林公式 dxdy C Pdx Qdy y x
即推出了1。
0
9
§22.2 曲线积分和路径的无关性
定义：当第二类曲线积分和路径无关时，点A x0 , y0 固定， 称U x , y
x, y
x0 , y0
A '' l
B ''
A
B
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
定义：只环绕奇点M一周的闭路上的积分值 叫做区域D的循环常数,记为 .
20
§22.2 曲线积分和路径的无关性
xdy ydx 例5. 求 2 关于奇点(0,0)的循环常数. 2 x y
y x 解：P 2 , Q 2 . 2 2 x y x y
故
xy dx y ( x ) dy ( 0,0)
2
( 1 ,1 )
0 0dx 0
1
1
1 ydy . 2
19
§22.2 曲线积分和路径的无关性
区域内有一个奇点M的情况.
闭路中有一奇点，格林公式不能应用。
B'
A'
L
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
曲线积分和路径的无关
与路径无关（只依赖曲线的端点）；
（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
Pdx AB
Qdx
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
那么由积分所定义的函数
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
C
（iii）微分式 Pdx Qdy 在 D 内是某一个函数
Ux, y 的全微分，即 dU Pdx Qdy ；
（iv） P Q 在 D 内处处成立。
y x
证明
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件，如
令点 Ax0, y0 固定而点 Bx, y 为区域 D 内任意一点，
Pdx AB
Qdx
U
B
U
A
U
M
B A
这里 U B U xB , yB ，U A U xA, yA ， xA, yA 和
xB , yB
分别为
A
，B
点的坐标。
U M B
A
是一个
记号，它等于 UBUA 。
剩下来还要说明如何求 Pdx Qdy 的原函数。设 P 和
Q 满足定理的条件
P Q y x
现在讨论区域内有一个奇点 M 的情形。这时，如果
闭路中包含一奇点，格林公式就不能应用。我们考虑两条 闭路 l ， L 都逆时针绕奇点 M 一圈，可用线段 AB 将l
和 L 联结起来，在 L 及 l 上沿逆时针方向积分，即得
LPdx Qdy l Pdx Qdx
Pdx Qdx 0
BB'B''B BA
那么由积分所定义的函数
U x, y
x,y
Pdx Qdx
x0 , y0
在 D 内连续并且单值。这个函数 Ux, y 为 Pdx Qdy
的一个原函数，它和定积分中所述原函数相仿并有以下性 质：
1’ dUx, y Pdx Qdy .这由刚才的证明即得。
2’利用原函数 Ux, y 来计算曲线积分
C
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(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y 1 x 2 到点B(1,0)的圆弧；
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,1)再到点B(1,0)的折线 . y 1 解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
I (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy 2
L
1
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念 二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念
引例.
计算对坐标的曲线积分
L
(3x 2 y )dx ( x 2 y )dy ,
(1) L是从点A(1,0)到点B(1,0)的线段;
解:
y
F ( y , x) ,
W F d s
F
A
B
D
M ( x, y )
2 2
o
x
股票入门基础知识 /
槷敇愸
P Q P, Q, 和 都连续, 且 P Q 在右半平面上恒成立 ,故 y x y x xdy ydx 在右半平面上 , 积分 2 与路径无关 . L x y2
例 32.4
( 1 ,1 )
设曲线积分 xy 2dx y( x )dy 与路径
L
无关, 其中 具有连续的导数, 且 (0) 0 , 计算
2
Q P (2) x y
例32.9 设
解:
1 5 x 2x2 y3 y5 C 5
例32.10 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到
点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
1.简化线积分的计算 .
(1)直接简化(取适当的路径 );
(2)间接简化(添加辅助线 ).
例32.2
计算 (e y x)dx ( xe y 2 y )dy , 其中 L为从点 O(0,0)
L
经过A(1,0)到点B(1,2)的圆弧段 .
解:
y
B
令P( x, y) e y x, Q( x, y) xe y 2 y,
O
1 x
注: 这是偶然的还是必然的?
1
定义:
设函数P( x, y),Q( x, y)定义在平面区域 D上
且在D内有 连续偏导数 .若对D内任意两个
定点A, B, 沿D中以A为始点B为终点的任一分段
光滑曲线 L, 积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy 为同一个
L
值，则称此积分在 D内与积分路径无关 .否则, 称
解:
力场所作的功为 ky kx W F ds 2 dx 2 dy, 2 2 L L x y x y
则有
令
P k ( x 2 y 2 ) Q 4 y x r
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
2.求二元函数的原函数 .
例32.5
验证：表达式 xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分，
与路径有关 .
y
L1
B
L2
D
A o
x
例32.1 证明 曲线积分 (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy
L
与路径无关．
证明:
令P( x, y) 3x 2 y, Q( x, y) x 2 y, 则
显然它们在整个xoy平面上有连续偏导数 .
任取两点A, B, 任取两条连接 A, B的分段光
y
( x, y )
u ( x, y ) x 0 dx
2 0
x
y
0
1 2 2 x ydy x y . 2
2
O
x
例32.6
k 设质点在力场 F 2 ( y, x)作用下沿曲线 L : y cos x 2 r 2 2
由点 A(0, )移动到点 B( ,0), 求此力场所作的功 .(其中 r x 求法．
方法(i)
x
u( x, y) P( x, y0 )dx
x0
y
A( x0 , y0 )
B ( x, y )
Q( x, y)dy
y0
y
C ( x, y0 )
o
x x0
x
或
u( x, y) Q( x0 , y)dy P( x, y)dx
(3)存在某一函数 u u( x, y)定义在D上, 使得 du Pdx Qdy
在D内恒成立 ;
P Q (4)在D内才处处有 . y x 证明路线图: (1) (2) (3) (4) (1).
说明:
(1)比较此定理的条件与格 林公式条件的差别；
P Q (2)应用判别积分与路径无 关的条件: ; y x
P 设D为平面单连通区域 , P( x, y ), Q( x, y ), , y
Q 在D内连续 , 则下列四个命题等价 : x (1)沿D内任意一条分段光滑闭 曲线 L, Pdx Qdy 0;
L
(2)对于 D内任意一条分段光滑曲 线L, 积分 Pdx Qdy
L
与路径无关 ;
滑曲线 L1 AMB, L2 ANB,
使闭曲线AMBNA的正向为 逆时针方向 ,
则
L1
Pdx Qdy
L1 L2
Pdx Qdy
N
B
M
Pdx Qdy
L2
A
(1 1)d Pdx Qdy
D L2
Pdx Qdy.
L2
二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理:
P y Q 则 e , ey, A O y x P Q P Q 显然P, Q, 和 在整个xoy面上连续, 且 , y x y x
x
故积分 Pdx Qdy与路径无关 .
L
因此取积分路径 L OA AB, 有
7 L OA AB 0 (1 x)dx 0 (e 2 y)dy e 2 .
1 2 y 2
例32.3
验证 : 在右半平面上 , 积分 xdy ydx 与路径无关 . 2 2 L x y
y x 证明：令P( x, y) 2 , Q( x, y) 2 , x 0, 2 2 x y x y
P y2 x2 Q 则 2 , x 0, 显然在右半平面 ( x 0)上, 2 2 y ( x y ) x
与路径无关．并求当 A与B分别为点 (0,0)与点(1,2)时这个线积分
的值．
解:
3.
(1, 2 )
( 0, 0)
( x 4 xy )dx (6 x
4
1
79 y 5 y )dy . 5
2 4
例32.8 1. 设
2
y L
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? o 1 2x xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 4 l 4 D 提示: xd y yd x l x2 y2 x 2 y 2 0时 Q P 1 1 (1) x d y yd x 2 d x y 4 D 4 l
( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
4.求二元函数的 "原函数".
注: 对坐标的曲线积分计算方法
(1)代入法化成定积分；
(2)利用格林公式简化计算 （添加辅助线）；
(3)利用积分与路径无关性 , 取特殊路径简化计算 ; (4)利用 "原函数".
备用题:
例32.7
确定 的值，使线积分
AB
( x 4 4 xy )dx (6 x 1 y 2 5 y 4 )dy
W k
AB
x
r
2
2
cos , y
2
sin ( :
2
0)
( y dx x d y)
y
A L
2
k
o
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
三. 小结
1.曲线积分与路径无关的 概念; 2.曲线积分与路径无关的 四个等价命题 ;
3.简化曲线积分 ;
并求出这个函数．
证明: 令P( x, y) xy 2 , Q( x, y) x 2 y, 则
P Q P Q P , Q, 和 在整个 xoy 面上连续，且 2 xy . x x x x
故表达式xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分.
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,1)再到点B(1,0)的折线 . y 1 解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
I (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy 2
L
1
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念 二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
一. 平面上曲线积分与路径无关的概念
引例.
计算对坐标的曲线积分
L
(3x 2 y )dx ( x 2 y )dy ,
(1) L是从点A(1,0)到点B(1,0)的线段;
解:
y
F ( y , x) ,
W F d s
F
A
B
D
M ( x, y )
2 2
o
x
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槷敇愸
P Q P, Q, 和 都连续, 且 P Q 在右半平面上恒成立 ,故 y x y x xdy ydx 在右半平面上 , 积分 2 与路径无关 . L x y2
例 32.4
( 1 ,1 )
设曲线积分 xy 2dx y( x )dy 与路径
L
无关, 其中 具有连续的导数, 且 (0) 0 , 计算
2
Q P (2) x y
例32.9 设
解:
1 5 x 2x2 y3 y5 C 5
例32.10 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到
点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
三. 平面上曲线积分与路径无关的应用
1.简化线积分的计算 .
(1)直接简化(取适当的路径 );
(2)间接简化(添加辅助线 ).
例32.2
计算 (e y x)dx ( xe y 2 y )dy , 其中 L为从点 O(0,0)
L
经过A(1,0)到点B(1,2)的圆弧段 .
解:
y
B
令P( x, y) e y x, Q( x, y) xe y 2 y,
O
1 x
注: 这是偶然的还是必然的?
1
定义:
设函数P( x, y),Q( x, y)定义在平面区域 D上
且在D内有 连续偏导数 .若对D内任意两个
定点A, B, 沿D中以A为始点B为终点的任一分段
光滑曲线 L, 积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy 为同一个
L
值，则称此积分在 D内与积分路径无关 .否则, 称
解:
力场所作的功为 ky kx W F ds 2 dx 2 dy, 2 2 L L x y x y
则有
令
P k ( x 2 y 2 ) Q 4 y x r
( x2 y2 0 )
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
2.求二元函数的原函数 .
例32.5
验证：表达式 xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分，
与路径有关 .
y
L1
B
L2
D
A o
x
例32.1 证明 曲线积分 (3x 2 y )dx ( x 2 y )dy
L
与路径无关．
证明:
令P( x, y) 3x 2 y, Q( x, y) x 2 y, 则
显然它们在整个xoy平面上有连续偏导数 .
任取两点A, B, 任取两条连接 A, B的分段光
y
( x, y )
u ( x, y ) x 0 dx
2 0
x
y
0
1 2 2 x ydy x y . 2
2
O
x
例32.6
k 设质点在力场 F 2 ( y, x)作用下沿曲线 L : y cos x 2 r 2 2
由点 A(0, )移动到点 B( ,0), 求此力场所作的功 .(其中 r x 求法．
方法(i)
x
u( x, y) P( x, y0 )dx
x0
y
A( x0 , y0 )
B ( x, y )
Q( x, y)dy
y0
y
C ( x, y0 )
o
x x0
x
或
u( x, y) Q( x0 , y)dy P( x, y)dx
(3)存在某一函数 u u( x, y)定义在D上, 使得 du Pdx Qdy
在D内恒成立 ;
P Q (4)在D内才处处有 . y x 证明路线图: (1) (2) (3) (4) (1).
说明:
(1)比较此定理的条件与格 林公式条件的差别；
P Q (2)应用判别积分与路径无 关的条件: ; y x
P 设D为平面单连通区域 , P( x, y ), Q( x, y ), , y
Q 在D内连续 , 则下列四个命题等价 : x (1)沿D内任意一条分段光滑闭 曲线 L, Pdx Qdy 0;
L
(2)对于 D内任意一条分段光滑曲 线L, 积分 Pdx Qdy
L
与路径无关 ;
滑曲线 L1 AMB, L2 ANB,
使闭曲线AMBNA的正向为 逆时针方向 ,
则
L1
Pdx Qdy
L1 L2
Pdx Qdy
N
B
M
Pdx Qdy
L2
A
(1 1)d Pdx Qdy
D L2
Pdx Qdy.
L2
二. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理:
P y Q 则 e , ey, A O y x P Q P Q 显然P, Q, 和 在整个xoy面上连续, 且 , y x y x
x
故积分 Pdx Qdy与路径无关 .
L
因此取积分路径 L OA AB, 有
7 L OA AB 0 (1 x)dx 0 (e 2 y)dy e 2 .
1 2 y 2
例32.3
验证 : 在右半平面上 , 积分 xdy ydx 与路径无关 . 2 2 L x y
y x 证明：令P( x, y) 2 , Q( x, y) 2 , x 0, 2 2 x y x y
P y2 x2 Q 则 2 , x 0, 显然在右半平面 ( x 0)上, 2 2 y ( x y ) x
与路径无关．并求当 A与B分别为点 (0,0)与点(1,2)时这个线积分
的值．
解:
3.
(1, 2 )
( 0, 0)
( x 4 xy )dx (6 x
4
1
79 y 5 y )dy . 5
2 4
例32.8 1. 设
2
y L
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? o 1 2x xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 4 l 4 D 提示: xd y yd x l x2 y2 x 2 y 2 0时 Q P 1 1 (1) x d y yd x 2 d x y 4 D 4 l
( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
4.求二元函数的 "原函数".
注: 对坐标的曲线积分计算方法
(1)代入法化成定积分；
(2)利用格林公式简化计算 （添加辅助线）；
(3)利用积分与路径无关性 , 取特殊路径简化计算 ; (4)利用 "原函数".
备用题:
例32.7
确定 的值，使线积分
AB
( x 4 4 xy )dx (6 x 1 y 2 5 y 4 )dy
W k
AB
x
r
2
2
cos , y
2
sin ( :
2
0)
( y dx x d y)
y
A L
2
k
o
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
三. 小结
1.曲线积分与路径无关的 概念; 2.曲线积分与路径无关的 四个等价命题 ;
3.简化曲线积分 ;
并求出这个函数．
证明: 令P( x, y) xy 2 , Q( x, y) x 2 y, 则
P Q P Q P , Q, 和 在整个 xoy 面上连续，且 2 xy . x x x x
故表达式xy 2 dx x 2 ydy是某个二元函数的全微 分.