1.整式的指数运算
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
XX,a click to unlimited possibilities
01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
添加标题
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举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
整式的运算法则
整式的运算法则整式的加减法：〔1〕去括号；〔2〕合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=•),(都是正整数）（n m aa mnn m =)()(都是正整数n b a ab nn n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m aa a nm n m 都是正整数【注意】〔1〕单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
〔2〕单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
〔3〕计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
〔4〕多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
〔5〕公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
〔6〕),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-〔7〕多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
一、选择〔每题2分，共24分〕1．以下计算正确的选项是〔〕．A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5C．〔－3x2〕·〔－3x2〕=9x5D．54x n·25x m=12x m+n2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为〔〕．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－13．以下运算正确的选项是〔〕．A．a2·a3=a5B．〔a2〕3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a44．以下运算中正确的选项是〔〕．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空〔每题2分，共28分〕6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；〔m+n〕〔______〕=n2－m2；〔a2〕3·〔a3〕2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 假设坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=〔a+b〕2a2+b2+_______=〔a－b〕2〔a－b〕2+______=〔a+b〕211．假设x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算〔每题3分，共24分〕13．〔2x2y－3xy2〕－〔6x2y－3xy2〕14．〔－32ax4y3〕÷〔－65ax2y2〕·8a2y17．〔x－2〕〔x+2〕－〔x+1〕〔x－3〕18．〔1－3y〕〔1+3y〕〔1+9y2〕19．〔ab+1〕2－〔ab－1〕2四、运用乘法公式简便计算〔每题2分，共4分〕20．〔998〕221．197×203五、先化简，再求值〔每题4分，共8分〕22．〔x+4〕〔x－2〕〔x－4〕，其中x=－1．23．[〔xy+2〕〔xy－2〕－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题〔每题4分，共12分〕24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法〔重点〕1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
整式的概念。-概述说明以及解释
整式的概念。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算中具有广泛的应用。
在我们日常的数学学习和解决实际问题时，经常需要对各种数学式进行化简、运算和因式分解等操作。
而这些式子往往可以被统一地称为整式。
整式由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。
常数可以是整数、有理数或者无理数，而变量则代表某个未知数。
整式具有形式简单、易于计算的特点，在代数学的研究和实际应用中有着广泛的使用。
在整式的定义中，值得注意的是整式中的变量可以是一元的，即只有一个未知数，也可以是多元的，即包含多个未知数。
整式在具体的问题中可以表示各种关系和规律，如数学模型、物理方程、经济公式等，可以帮助我们分析和解决实际问题。
整式的基本运算包括加法、减法、乘法和乘方等。
通过对整式的加减运算，可以将相同次幂项的系数相加，从而得到一个新的整式。
在乘法运算中，可以对整式中的每一项进行乘法运算，并将结果相加，得到一个新的整式。
整式的乘方运算是将整式自身乘以自身若干次，得到一个新的整式。
整式的化简与因式分解是整式运算的重要内容。
化简就是将一个复杂的整式通过合并同类项、提取公因子等运算，简化为一个更简单的整式的过程。
而因式分解则是将一个整式分解为乘积的形式，使得每个因子都是最简单的整式。
化简和因式分解的过程常常需要运用代数运算中的基本法则和公式，通过合适的变换和操作，将整式变得更加简洁和易于处理。
总结而言，整式是代数学中的重要概念，它由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。
整式的定义和基本运算为我们解决各种数学问题提供了有效的工具和方法。
通过整式的化简与因式分解，我们可以将复杂的整式简化为更加简洁的形式，从而更好地理解和应用数学。
整式在代数学的研究以及各个领域的实际应用中具有重要的地位和作用。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述整式的概念：1. 引言：在这一部分，将对整式的概念进行简要的概述，引入整式的基本概念和重要性。
整式指数幂
整数指数幂 学习目标：1．知道负整数指数幂n a -=na 1（a ≠0，n 是正整数） 2．掌握整数指数幂的运算性质学习重点：掌握整数指数幂的运算性质. 学习难点：理解负整数指数幂的意义. 学习过程 一.自主学习1.正整数指数幂的性质：（1）m a ·n a = （m 、n 是正整数） （2）()m n a = （ m 、n 是正整数） （3）（ab ）n = (n 是正整数)（4）m a ÷n a = （a ≠0，m 、n 是正整数，m>n ）（5）()n ab= （n 是正整数）（6）a 0 = (a ≠0)2.计算：5255÷＝731010÷＝方法一：5255÷＝35255--= 方法一 : 731010÷＝()()1010=方法二：5255÷＝3525155=方法二 731010÷＝()()()=1010 则 ()()==--43105归纳：：())0(≠=-a a nn 是整数，即任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于_____________________.二、学以致用 1.填空：（1）12-= ，13-= ， 1x -= ， （2）3(2)--= ，3(3)--= ，3()x --= ， （3）24-= ，2(4)--= ，24--= ，（4）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，234-⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，1b a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2 .把下列各式转化为只含有正整数指数幂的形式： （1）3a -； （2）32x y -； （3）213x-；3. 利用负整数指数幂把下列各式化成不含分母的式子： （1）231x y ⋅； （2）4y xa -； （3）52()m a b --；三、整数指数幂的运算性质正整数指数幂的运算性质是否适合负指数呢？ 仿照老师的方法验证： （1）35a a -⋅=（2）32()a -=（3）3()ab -=（4）35a a --÷=（5）2a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭四、巩固训练 A 级（1）13()a b - （2）233(2)x y -- B 级（1）3213(2)a b ab - （2）22233()a b a b ---⋅（3）2313()x y x y -- （4）231()3ab --·3256a b -C 级（1）23223(2)()ab c a b ---÷ （2）232221)()3(---÷n m n m（3）322123(3)9a b a b a b------ （4） 33420()()()()a b a b a b a b --⎡⎤+-⎢⎥-+⎣⎦五、课堂小结：本节课你有什么收获？思考题：23(1)(1)x x --⋅+ 1、当x 为何值时，有意义？2、当x 为何值时，无意义？3、当x 为何值时，值为零？。
整式运算法则公式
整式运算法则公式一、整式的加法和减法。
1. 同类项。
- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
例如，3x^2y与-5x^2y是同类项，4和-7是同类项。
- 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
即ax + bx=(a + b)x。
例如，3x^2y-5x^2y=(3 - 5)x^2y=-2x^2y。
2. 整式的加减。
- 运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
- 去括号法则：- 如果括号前面是“+”号，去括号时括号里面各项不变号。
例如，a+(b - c)=a + b - c。
- 如果括号前面是“-”号，去括号时括号里面各项都变号。
例如，a-(b -c)=a - b + c。
二、整式的乘法。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m· a^n=a^m + n（m，n 都是正整数）。
例如，2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
2. 幂的乘方。
- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即(a^m)^n=a^mn（m，n都是正整数）。
例如，(3^2)^3=3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即(ab)^n=a^nb^n（n是正整数）。
例如，(2x)^3=2^3× x^3=8x^3。
4. 单项式与单项式相乘。
- 法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如，2x^2y·3xy^2=(2×3)(x^2· x)(y· y^2) = 6x^3y^3。
5. 单项式与多项式相乘。
- 法则：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即m(a + b + c)=ma+mb + mc。
引入整式的概念让学生了解整式是由常数项变量项及其系数组成的代数式
引入整式的概念让学生了解整式是由常数项变量项及其系数组成的代数式引入整式的概念让学生了解整式是由常数项、变量项及其系数组成的代数式整式是我们学习代数的基础，它由常数项、变量项以及它们的系数组成。
通过引入整式的概念，让学生了解整式的组成和性质，将有助于他们在代数运算中建立坚实的基础。
本文将介绍整式的概念，并探讨其在数学学习中的重要性。
一、整式的定义整式是指由常数项、变量项以及它们的系数组成的代数式。
常数项是指没有变量的项，例如数字1、2、3等；变量项是指含有变量的项，例如x、y等；系数是指常数项和变量项之间的乘积系数，例如2x中的2就是系数。
整式的一般形式为a0 + a1x + a2x² + ... + anxⁿ，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量，n为非负整数。
整式可以用来表示各种数学问题中的模型，例如多项式函数、代数方程等。
二、整式的组成整式由常数项、变量项以及它们的系数组成。
常数项可以是单个常数，也可以是几个常数的和；变量项可以是单个变量，也可以是几个变量的乘积。
常数项和变量项通过系数相乘来确定其大小。
例如，整式2x² + 3xy - 4y² + 5可以分解为常数项为5，变量项为2x²、3xy和-4y²，它们的系数分别为2、3和-4。
整式的组成部分可以根据具体问题进行灵活调整，但整式的核心是由常数项和变量项及其系数组成。
三、整式的运算整式可以进行各种代数运算，包括加法、减法、乘法和除法。
在进行整式的运算时，需要根据整式的组成部分进行展开、合并同类项、整理顺序等操作。
加法和减法的运算规则是将同类项进行合并，即将具有相同变量项和系数的项相加或相减。
例如，将整式2x² - 3xy + 4y²和-5x² + 6xy - 7y²相加时，可以合并同类项得到-3x² + 3xy - 3y²。
乘法的运算规则是将整式的每一项进行相乘，并根据指数法则进行化简。
整式及其加减的概念
整式及其加减的概念整式是指由常数或变量通过加、减、乘、除运算得到的代数式。
整式的加减运算是指将两个整式进行加法或减法运算的过程。
首先，我们来了解一下整式的组成。
整式由若干项组成，每一项都由系数与变量的乘积构成。
系数可以是常数，变量可以是单个变量或多个变量的乘积。
例如，下面是一些整式的例子：1. 3x^2 + 5y - 22. -2a + 4b^33. 7xy + 2z^2 - 9在这些例子中，第一个整式由三个项组成，分别是3x^2、5y和-2；第二个整式由两个项组成，分别是-2a和4b^3；第三个整式由三个项组成，分别是7xy、2z^2和-9。
接下来，我们来看一下整式的加法。
整式的加法就是将两个整式进行相加的运算。
具体来说，我们将两个整式中的项按照相同的变量和相同的指数进行合并。
合并时，对于相同的项，我们将它们的系数相加得到新的系数，同时保持变量和指数不变。
例如，对于整式2x^2 + 3x + 5和4x^2 - 2x + 6来说，它们的加法运算如下所示：(2x^2 + 3x + 5) + (4x^2 - 2x + 6) = 6x^2 + x + 11在这个例子中，我们将相同的项进行合并，得到了新的整式6x^2 + x + 11。
除了加法之外，整式还可以进行减法运算。
整式的减法就是将两个整式进行相减的运算。
具体来说，我们首先将第二个整式中的每一项的系数取负数，然后再与第一个整式进行相加。
例如，对于整式3x^2 - 2x + 4和5x^2 + x - 2来说，它们的减法运算如下所示：(3x^2 - 2x + 4) - (5x^2 + x - 2) = -2x^2 - 3x + 6在这个例子中，我们首先将第二个整式的每一项的系数取负数，得到了-5x^2 - x + 2。
然后，将这个整式与第一个整式进行相加，得到了新的整式-2x^2 - 3x + 6。
综上所述，整式是由常数或变量通过加、减、乘、除运算得到的代数式，它由若干项组成，每一项由系数与变量的乘积构成。
初中数学的整式加减
初中数学的整式加减
初中数学的整式加减是指将同类项相加或相减，即将具有相同字母指数的项合并。
在整式加法和减法运算中，我们需要先将各个整式按照字母指数从高到低排列，然后再逐个合并同类项。
具体来说，整式加法的步骤如下：
1. 找出所有的同类项，即具有相同字母指数的项。
2. 分别将同类项的系数相加，并保留字母和字母指数不变。
3. 将合并后的同类项排列在一起，得到最简化的结果。
例如，对于整式 2x^2 + 3x - 4 + x^2 - 2x，我们按照字母指数从高到低排列后，得到 2x^2 + x^2 + 3x - 2x - 4。
然后，将同类项相加得到 3x^2 + x - 4，即为最简化的结果。
整式减法的步骤与加法类似，需要注意的是减法实质上是加法的逆运算，即将被减数的各项系数变为相反数，然后进行加法运算。
总之，初中数学的整式加减就是将同类项进行合并，得到最简化的结果。
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整式的指数运算
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【知识要点】
1．同底数幂的运算性质 n m n m a a a +=⋅
2. 同底数幂的运算性质推广：n m p n m p n m p n m a a a a a a a a +++++=⋅=⋅⋅ ; 3．n m m m m m m n m a a a a a a ⋅++==⋅= )( 4．多重乘方：[]p
n m a )(=mnp a
5.积的乘方:n n n n n n n c b a abc b a ab ab ab ab =⋅=⋅=)(;)( 6．同底数幂除法：m n m n a a a -÷= 1p p
a a
-=
**误区警示： （1）m
n
m n
a a a
⋅⋅= （2）m n m n
a a a
++= （3）
()
m n
m
n
a
b ab +⋅=
【典型例题】
1．计算： 32)(a -
[]4
3)(m -
32)(m a - 23)(m a --
1
22)
()
(+-⋅-⋅p p
p
x x x
（P 为正整数） n n a a )()(22-+-（n 为正整数）
2．将223344556,5,3,2这四个数按从小到大的顺序排列。
3．若n 为正整数，且n n n x x x 22232)(13)3(,7-=求的值。
(2004年上海市中考题)
4、)1323)(4(2424--++++-x x x b ax x x 的积中，3x 的系数是-5,2x 的系数是-6,求a 、b 的值.（1999年希望杯试题）
5．求)55)(44()33()22()(333b a b a b a b a b a +++++的值。
6．若.,,,128,64,32之间的数量关系
试确定c b a c b a ===
7．设a,b,c,d 都是正整数，且5432,,17a b c d a c ==-=，求d －b 的值.(华罗庚金杯试题)
【典型练习】
一、1．计算： ①[]2
4)2(b a +
②545)2(z y x - ③31212)()(+-⋅n n m m
④32324443342)()()2()()()()(3a a a a a a a ⋅-⋅-+⋅--⋅
2．计算： 9
8)
165(
)51
3(⨯ 200420014)25.0(⨯- 031452222)2
1
(2+⨯⨯++----
3
225)()(x x -⋅-- 2003
2003
313103⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪
⎭
⎫ ⎝⎛- 1999
2001
2000
)
1()
5.1(32-⨯⨯⎪
⎭
⎫
⎝⎛
3.(1)已知232122192m m ++-=,求m 的值。
（2）若22226,42,2m n m n -+==求的值
二、选择题：
1．22+m x 可写成（ ）
A ．12+m x B.22x x m + C.12.+m x x D.22x x m ⋅ 2．若y x ≠，则下列各式不成立的是（ ）
A ．22)()(y x x y -=- B.33)()(y x x y --=-
C ．22)()(y x y x +=-- D.))(())((y x y x x y x y -+=-+ 3．下列各式中，正确的是（ ）
A ．826).(a a a =-- B.10)2(5-=- C ．4222m m m =+ D.22)()(b a b a +=-- 4．在()n m n x x +-=.1中，括号内应填写的代数式是（ ）
A ．1++n m x B.1+m x C.2+m x D.2++n m x 5．计算[]3
2)2(a ---等于（ ）
A ．58a B.664a C.664a - D.8256a 6．计算.66)34
(375.0-⨯等于（ ）
A ．0 B.1 C.-5 D.
64
1
三、解答题.
1．已知：.,85963x b a x 求-=
2．已知a 、b 、c 、d 都是正整数，2345,d c b a ==，c-a=19，求d －b 的值
思考：若自然数p,p+10,p+14都是质数,求20052004(4)(2)p p -+-的值
指数运算课后作业
姓名： 家长签名：
一．计算：27393322⋅-⋅⋅=__________ 3
3
331)31
(b
a a
b -
-=__________
22232.)()3(a a a +=__________ 2223.).()4(a a a =__________ 二.已知.,3,732的值求n m n m a a a +==
三.已知n 是正整数,且.)(3)31
(,922232的值求n n n x x x -=。