1.2.1《综合法》课件(北师大版选修2-2)
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《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）
1.2 综合法与分析法 课件1 (北师大选修2-2)
练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
高中数学 第一章 推理与证明 1.2.1 综合法课件3 北师
• [答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab，∴2a＋abb≤1，∴a2＋abb ≤ ab
4．若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则在 a＋b,2 ab，a2＋b2 和 2ab 中最大的是________． • [答案] a＋b
[解析] 已知 a＋b＞2 ab，a2＋b2>2ab， 又 a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0. 也可用特值法取 a＝12，b＝18，则 a＋b＝58，2 ab＝12，a2 ＋b2＝1674，2ab＝18，显见 a＋b 最大，故只能是填 a＋b.
寻找“结论”的______已__知条件．
• 分析法的推理过充程分也属于演绎推理，每一步推理都是严密的 逻辑推理．
6．分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条 件．若用___P______表示要证明的结论，则分析法的推理形式为 P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
这种证明方法叫做推综理合论法证
• 2．综合法的特点
• 从步“推已理知，是”由看“___________导可___知”__，__逐__步，推实向际上“是__寻__找_未__“知_”已知，其”逐的
________条件． 因
果
• 必用要综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为
营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且
• [答案] A
• [解析] 因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝ (b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性 定理知，选A.
【数学】1.2.1 综合法 课件(北师大版选修2-2)
练习3、△ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列， 求证： B 90 证明：
cos B
.
2ac b 2 2ac b2 1 2ac
a 2 c 2 b 2 2 ac
因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
b 1 0 ac
b2 1 b(a c) b 1 ac
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
练习2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应 的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角 形．
A C 2B B 600 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?
第一章 推理与证明 1.2.1 综合法
复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
引例：四边形ABCD是平行四边形，
求证：AB=CD，BC=DA
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
文字语言 学会语言转换
找出隐含条件
图形语言
符号语言
简解：由题意可知：
A C 2B B 60
0
b ac
2
由余弦定理 : b 2 a 2 c 2 2ac cos B 可得b a =c 所以ＡＢＣ为等边三角形．
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.2 综合法与分析法1.2.1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由正弦定理,得
������ sin������
>
0.
∴
������ ������
+
������������≥2,
当且仅当
������ ������
=
������ ������
,
即x=y=
1 2
时,等号成立.
则有
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥5+2×2=9 成立.
1
+
������+������ ������
=
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
+
������+������-������ ������
=
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
−
3
>2
������ ������
·������������
+
2
������ ������
∴EC∥GD.
又EC⊈平面AB1D,DG⫋平面AB1D,
∴EC∥平面AB1D.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】
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典例透析
IANLITOUXI
1.2 综合法与分析法 课件(北师大选修2-2)
2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边 AB的中点，并且PA＝PB＝PC. 求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC. 又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB， 且△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC. ∴∠POC＝90°. 即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方 法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解
题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际 证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用 综合法有条理地表述解题过程．
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理 及运算法则，通过 演绎 推理，一步一步地接近要证明 的 结论 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法用以下的框图表示：
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成
立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未
知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键
AC cos B 1．在△ABC 中，AB＝ ，证明 B＝C. cos C
sin B cos B 证明： 在△ABC 中， 由正弦定理及已知得 ＝ . sin C cos C 于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0， 因为－π<B－C<π，从而 B－C＝0，所以 B＝C.
(北师大版)数学选修2-2：第1章《综合法与分析法》ppt课件(2)
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发
北师大版选修2-2高考数学1.2《综合法与分析法》ppt课件
§2 综合法与分析法
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典例提升 2
设 a>0,b>0 且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 思路分析:分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.
∵a,b,c 是不相等的正实数,
∴������
������
+
������������>2,������������
+
������������>2,������������
+
������������>2.
∴������
������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
1 ������-������
≥
������4-������即可,左边通分得(���(������-������-������)���+)((���������-���-���������)���)
≥
������4-������,即证(������-������������)-(������������-������)
+
������������>2,
三式相加得������
������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
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=sin2γ+cos2γ,
即2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)= - 1 . 2 1 答案： 2
【解题提示】
很难求出来，而右边是个常数，因此应将f(n)进行适当放缩
后，能求出不等式左边式子的和，然后再证明不等式的正确
性.
【证明】
所以BC∥平面PAD. （2）取AD的中点E
连PE，BE，由于△PAD为正三角形，所以PE⊥AD，
又△ABD为正三角形， 所以，BE⊥AD且PE∩BE=E， 所以AD⊥平面PBE. 而BC∥AD,∴BC⊥平面PBE，又PB 平面PBE，
所以BC⊥PB，故△PBC是直角三角形.
7.已知a,b,c是不全相等的正数， 求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
答案：AC⊥BD
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.（2010·宿迁高二检测）如图，已知等腰梯形ABCQ， AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将 △QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABCD. （1）求证：BC∥平面PAD;
（2）求证：△PBC是直角三角形.
（D）5
【解析】选A.由等平方和数列的定义可知
2.（5分）已知f(x)=x5+x3+x,a,b∈R，且a+b>0,
则f(a)+f(b)的值一定（ （A）大于零 （B）等于零 （C）小于零 （D）正负都有可能 【解析】选A.易知y=f(x)为增函数，且为奇函数，又a+b>0, 即a>-b,则f(a)>f(-b),即f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0. ）
课程目标设置
主题探究导学
1.综合法中每步推证的结论是已知（或上一结论）的充分条件
还是必要条件？
提示：是必要条件，由综合法的特点，它的每一步推证都是 由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论.其实质是命题 “p q”中已知p寻找q，即是寻找必要条件.
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.综合法是（ ）
（A）执果索因的递推法
（B）由因导果的顺推法
（C）因果分别互推的两头凑法 （D）递命题的证明方法 【解析】选B.由于综合法是从条件出发，经过演绎推理，直至 得到要证的结论，故综合法是由因导果的顺推法.
2.（2009·天津高考）设a>0,b>0,若 项，则 1 + 1 的最小值为（ a b （A）8 （B）4 （C）1 【解析】 ）
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·黄山高二检测）已知a,b是不相等的正数，x=
则x,y的大小关系是_____. 【解题提示】由于x,y中都含有根号，不便于大小比较， 且x,y都是正数，因此可将其平方再进行比较.
【解析】由于a,b是不相等的正数，因此x,y也为正数，故
因此y2＞x2，∴y＞x. 答案：y＞x
a b 3是3 与3 的等比中
（D）1 4
3.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc≠0,则bc+ac+ab的
值（ ）
（A）一定是正数
（B）一定是负数
（C）可能是0 （D）正负不能确定 【解析】选B.因为a+b+c=0, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0, a 2 +b 2 +c 2 即ab+bc+ac= <0. 2
1.（5分）（2010·吉安高二检测）定义“等平方和数列”， 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一
个常数，那么这个数列叫做等平方和数列，这个常数叫做该数
列的公方和，已知数列{an}是等平方和数列，且a1=1，公方和 为5，且an＞0，则a2009为（ ）
（A）1
（C）2009
（B）2
5.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形 ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1（填上你认为正确的一 种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.
【解析】由于ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱，易得B1D1∥BD， AA1⊥BD，若AC⊥BD，则得BD⊥平面A1AC， ∴BD⊥A1C即A1C⊥B1D1.
【证明】∵b2+c2≥2bc,a>0,
∴a(b2+c2)≥2abc, 同理b(c2+a2)≥2abc, c(a2+b2)≥2abc, 因为a,b,c不全相等, ① ② ③
∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab,不能全取“=”，从而
①、②、③式也不能全取“=”. ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
【解题提示】（1）要证BC∥平面PADห้องสมุดไป่ตู้可先找到平面
PAD内与BC平行的直线； （2）要证△PBC是直角三角形，即找到△PBC内相互垂直的边， 应证线线垂直.
【证明】（1）由题设可知AB∥DC，且AB=DC， ∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AD∥BC，又AD 平面PAD，BC 平面PAD，
3.（5分）若sinα +sinβ +sinγ =0,cosα +cosβ +cosγ =0,则
cos(α -β )=__________.
【解题提示】由于所求cos(α-β)中没有γ,故应在变形 中将角γ消去.
【解析】由条件知sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ, 两式平方相加，则有 sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2sinα·sinβ+2cosα·cosβ