上海市崇明县民本中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

数学试卷 （出卷：沈洪生 审核：周松涛）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = .2．若函数()23xf x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ． 3．已知(0,)απ∈且tan()4πα+=α= .4．若关于x 的一元二次方程0)2lg(222=-+-a a x x 两根异号，则实数a 的取值范围是 .5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．已知向量a 、b 的夹角为1501=3=+ .7. 在二项式7)1(+ax )(R a ∈的展开式中，3x 的系数为21，则363lim()n n a a a →∞+++的值是__________.8. 行列式111x m x +-的值在[1,1]x ∈-上恒小于0，则实数m 的取值范围是__________.；9. 在北纬45圈上有B 、A 两点，若该纬度圈上B 、A 两点间的劣弧长为R R (42π为地球的半径)，则B 、A 两点间的球面距离是 .10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费 用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知双曲线22221x y a b -=与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，5PF =，则该双曲线的两条渐近线方程为 .12．设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、，若ABC ∆的面积为S ，且22()S a b c =--，则sin 1cos AA =- ．（数值）13．设函数x c x b x f sin cos )(+=的图象经过两点(0,1)和(2π，对一切[]0,x π∈，|()|3f x a +≤恒成立，则实数a 的的取值范围______14．如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为21的半圆得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径是前一个被剪掉半圆的半径）可得图形,,,,43n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，则=∞→n n S lim _____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下面是关于复数21z i =-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题…………………………………………………………………（ ） A ．②③ B ．①② C ．②④ D ．③④16．一无穷等比数列{}n a 各项的和为32，第二项为13，则该数列的公比为 （ ） （A ）13. （B ）23. （C ）13-. （D ）13或23.17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x xx =+⊗，若函数()()g x f xk =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）.FD 1C 1B 1A 1D CB A E)(A (]1,2 ． )(B (1,2)． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为线段1DD ,BD 的 中点．（1）求三棱锥E ADF -的体积； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x =，()ax a 21,-=，其中0>a .函数()x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知椭圆E 的方程为22143x y +=，右焦点为F ，直线l 的倾斜角为4π，直线l 与圆223x y +=相切于点Q ，且Q 在y 轴的右侧，设直线l 交椭圆E 于两个不同点,A B .（1）求直线l 的方程；（2）求ABF ∆的面积.22． （共16分）本题共有3个小题，（1）小题5分，（2）小题5分，（3）小题满分6分. 数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和nn n n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ．问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．（2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式；（3）对于确定的T x T ≤<>00且时，xx f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．E ABCDA 1B 1C 1D 1F说明1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 一．填空题（本大题满分56分）1. 3+5i ；2. 1 ；3. 512π； 4. )1,21()0,21(⋃- ； 5. 3 ； 6. 1 ； 7. 32； 8.),1(+∞ ； 9. R3π； 10. 30 ；11. 0y ±=； 12. 4；13.[]2,1-， 14. 3π，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. D ； 17. A ； 18. B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中， ∵F 是AC 的中点，122121=∙==∴∆∆ADB ADF S S ………………3分又,,ADF DE ABCD DE 平面即平面⊥⊥故31113131=∙∙=∙=∆-DE S V ADF ADF E ，所以三棱锥E ADF -的体积为13．………………6分（2）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点，可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． ………………… 8分∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ，∴1BC CD ⊥，在Rt △1BCD 中，2BC =，1D C =∴11tan D CD BC BC ∠=1D BC ∠=所以异面直线EF 与BC所成的角为 ………………………… 12分 20. 【解】（1）由题得()a x a ax ax n m x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令xt 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】（1）设直线l 的方程为y x m =+，=，得m = ……………………………………3分又切点Q 在y轴的右侧，所以m =5分所以直线l的方程为y x = …………………………………7分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y由22143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得27120x -+= …………………………9分12121277x x x x +==12|||7AB x x =-==……………11分又(1,0)F ，所以F 到直线l的距离12d == …13分所以ABF ∆的面积为7322621-=d AB ……………14分22. 【解】（1）由12-=n n a S 得1211-=++n n a S ，相减得n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+．又1211-=a S ，得011≠=a ，∴数列{}n a 是以1为首项2为公比的等比数列，∴12-=n n a ．………………………………………………5分（2）由（1）知12-=nn S ． ∴nn n n n n n n n n n n C C C C C S C S C S C S ⋅-+⋅-+⋅-+⋅-=⋅++⋅+⋅+⋅++)12()12()12()12(12312011231201 n n n n nn n n n n n n n n n C C C C C C C C 2322)21(2)()222(22102210-⋅=-+=++++-++++=………………………………………………10分（3）由已知得111122211-=+⋅⋅+⋅+⋅m b b b b b b mm ．又{}n b 是连续的正整数数列，∴11+=-n n b b ．∴上式化为1)1(21-=+m b b m ．……又)1(1-+=m b b m ，消m b 得02311=--m b mb ．26323111-+=-=b b b m ，由于*∈N m ，∴21>b ，∴31=b 时，m 的最大值为9.此时数列的所有项的和为6311543=++++ ……………………16分23解：因为R x ∈关于原点对称，……………………………………………………1分 又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，所以)1()1(x f x f +=-① ………………………………………………………2分又1=T ，,)()1(x af x f =+∴用x-代替x得,)()1(xafxf-=+-③……………………………………………3分由①②③可知,)()(xafxaf-=01≠≠aa且，)()(xfxf-=∴．即函数)(xf是偶函数；…………………………………………4分。