表上作业法--运输问题
4-02运输问题表上作业法
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
最小元素法实施步骤口诀
《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销； 满足销量划去“列”，修改“行产”要记
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
用表上作业法求解运输问题
3. 运输问题的解 根据运输问题的数学模型求出的运输问题的解 X=(xij)，代 表着一个运输方案，其中每一个变量 xij的值表示由 Ai调运数
量为xij的物品给 Bij。前已指出运输问题是一种线性规划问题，
可设想用迭代法进行求解，即先找出它的某一个基可行解， 再进行解的最优性检验，若它不是最优解，就进行迭代调整，
行罚数
3 ⑤ 4 0 5 0
地 Ai
A2
A3
2
1
2
1
4
1
④
1 1
3
x31=20
2
x32=5
9 10
3
4x34=15来自40需求量bj
1 列 罚 数
30
2
25
1
15
④
2
3 4
2
2 4
1
1 1
③
0 0
0
0 0
5
④
2
0
0
对比以上3种方法的初始调运方案，可看出，伏格尔法优
于其他方法，也就是说伏格尔法确定的初始解得目标函数距离 最优解目标函数最近，因而迭代运算数为最少，效率高。
第二节运输问题求解表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
运筹学3.运输问题
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
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5
14
5
8 22 1 14
48
1 2 3
销 地 产地
行罚数
B1
4 2 8
B2
12 10 5
B3 4 3 11 12 1 1
B4
11
产 量
1
2
3
A1 A2
16 9 10
0 0 1 1 1 2
A3
销 量 列 罚 数
6
8
22 48
14
8 2 2 14 5
14 6
3 3
1 2 3
销 地 产地
行罚数
B1
4
一。给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 下面介绍三种常用的方法。 1. 最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的运输业务。
表3
销地 产地
B1
4
B2
12 10 5 14
B3
4 3 11 12
B4
11
产 量
A1 A2
A3
销 量
16
2
8
9 6
2 810
22
8
①
14
48
表3
销地 产地
B1
4
B2
12 10 5 14
B3
4
B4
11
产 量
A1 A2
A3
销 量
16 2
3
11
9
②
8
8 8 ① 6
2
10 22
12 10
14
48
表3
销地 产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
3
B4
11 9
产 量
A1 A2
A3
销 量
6 16 10
② 10
2
8
8 8 ① 14 5
2
11 12 10 ③ 14 6
22 48
表3
z = ∑∑ cij xij = 12 × 4 + 4 ×11 + 8 × 2 + 2 × 9 + 14 × 5 + 8 × 6 = 244
i =1 j =1
3
4
在求初始基本可行解时要注意的两个问题： 在求初始基本可行解时要注意的两个问题： 1.当我们取定 ij的值之后，会出现 i的产量与 j的销量都 当我们取定x 的值之后，会出现A 的产量与B 当我们取定 改为零的情况，这时只能划去 行或B 改为零的情况，这时只能划去Ai行或 j列，但不能同时划 行与B 去Ai行与 j列。 2.用最小元素法时，可能会出现只剩下一行或一列的所有 用最小元素法时， 用最小元素法时 格均未填数或未被划掉的情况， 格均未填数或未被划掉的情况，此时在这一行或者一列 中除去已填上的数外均填上零，不能按空格划掉。 中除去已填上的数外均填上零，不能按空格划掉。这样 可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的 个 可以保证填过数或零的格为 个数为m+n-1个。 个 个数为
z = ∑∑ cij xij = 8 × 4 + 8 ×12 + 6 ×10 + 4 × 3 + 8 ×11 + 14 × 6 = 372
i =1 j =1
3
4
一般来说用最小元素法求得的初始基本可行解比 西北角法求得的总运价要少。这样从用最小元素法 求得的初始基本可行解出发求最优解的迭代次数可 能少一些。
B1
4
B2
12 10 5 14
B3
4 3 11 12
B4
11
产 量
A1 A2
A3
销 量
16 2 8 8 9 10 6 6 22 48
销 地 产地
行罚数
B1
4 2 8 8 2
B2
12 10
B3 4 3 11 12 1
B4
11
产 量
1 0 1
2
3
A1 A2
16 9 10 6 14 3
A3
销 量 列 罚 数
4
6 22 48
8
表3
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
x23
B4
11 9 6
产 量
A1
8
2
8
10
16
10
②
A2 A3
销 量
4
6
8 5 14 6 ① ③
11
22
8
12
14
48
表3
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3 11 12 8 14
B4
11 9 6
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
4 10
1 2 2
4 5 6
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 = 12,
x14 = 4, x21 = 8, x24 = 2, x33 = 14, x34 = 8, 其余变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ×12
为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.
对于m个产地、n个销地产销平衡的运输问题， 可以证明：约束矩阵的秩 r (A) = m +n -1. 基变量的个数为 m+n-1.
22
② ④
6
8 5 14 6 ① ③
8
48
表3
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6 14
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
10
② ④
6
8 5
4
11
x32
22
48
8
①
14 6 ③
12 8
表3
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 3
B4
11 9 6
产 量
A1 A2
A3
销 量
8
2
8
10
16
运输问题的表上作业法 某部门有3个同类型的工厂 产地），生产的产品由4个 个同类型的工厂（ ），生产的产品由 例1 某部门有 个同类型的工厂（产地），生产的产品由 个 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（ 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（ 位为 ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表 ）示于表3 中，问如何调运才能使总运费最小？ 问如何调运才能使总运费最小？
⒊ 沃格尔（Vogel)法 从上面两例看，最小元素法比较合理。但从下表看
10 15 15 5 5
沃格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小 运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格， 以避免将运量分配到该行（或该列）次小的方格中。
表3
销地 产地
4
3 11
11 9
16 12
10
4
2
2
8
A3
销 量 列 罚 数
8
6 8 14 6
2 22 48
14
8
14
12
1
4 5 6
销 地 产地
行罚数
B1
4
B2
12
B3
B4
产 量
4
5
6
A1 A2
4
12
3 11
11
16
10
22 48
4
7 0 6 0
2
10 5
9
6
2
8
A3
销 量 列 罚 数
8
14
8
14
8 12 4 14 6
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11 9
产 量
A1 A2
A3
销 量
10
2 8 8 8 ① 10
6 16
② 10
3
2
5
14
④ 11 12 10 ③ 14 6
14
22
8
48
表3
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11 9
产 量
A1 A2
A3
销 量
10
2 8 8 10
6 16
10 ② ⑤
3
2
5
14
8 ① 11 12 10 ④ ③
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
z = ∑∑ cij xij = 10 × 4 + 6 ×11 + 8 × 2 + 2 × 3 + 14 × 5 + 8 × 6 = 246
i =1 j =1
3
4
⒉ 西北角法 西北角法是优先满足运输表中西北角（左上角）上空格的运 输需求。
+ x13 + x23 + x33 + x31 + x32 + x33 + x34 i = 1,