2015年湖南省衡阳市中考数学试题及答案
2015年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷(附答案)
2015 年衡阳市初中毕业学业水平考试一试卷数学考生注意： 1．本学科试卷共三道大题，满分120 分，考试时量 120 分钟。
2．本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B 铅笔按涂写要求将你以为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水署名笔作答，作答不可以高出黑色矩形边框。
直接在试题卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12 个小题，每题3 分，满分 36 分。
在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的。
）D 】01．计算12 的结果是【A ．3B ．1C．1D．302．以下计算正确的选项是【 A 】2A ．a a 2a B．b3gb32b3C．a3 a a3D．a57a 03．以下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体构成的，则这个几何体的俯视图是【C】A．B．1C． D ．04．若分式x2的值为 0 ，则x的值为【C】x1A．2或1B．0C．2D．105．函数y x1中自变量 x 的取值范围为【B】A ．x≥0B ．x≥1C．x＞1 D ．x≥1≥206．不等式组B＜的解集在数轴上表示为【】x1A ．B．C． D ．07．若等腰三角形的两边长分别为 5 和 6 ，则这个等腰三角形的周长为【 D 】A ．11B．16C．17D．16或1708．若对于x的方程x23x a0 有一个根为1，则另一个根为【A】A ．2B ．2C．4D．309．以下命题是真命题的是【A】A ．对角线相互均分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．对角线相互垂直均分的四边形是正方形10．在今年全国助残日捐钱活动中，某班级第一小组七名同学踊跃捐出自己的零花费，奉献自己的爱心。
他们捐钱的数额分别是50、20、50、30、25、50、55 （单位：元），这组数据的众数和中位数分别是A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元【 C】11．绿苑小区在规划设计时准备在两栋楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地且长比宽多10米，设绿地的宽为x 米，依据题意，可列方程为【B】A ．x x 10900B．x x 10 900C．10 x 10900D．2 x x10900 12．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在 D 处用高为 1米的测角仪CD 测得电视塔顶端 A 的仰角为30o，再向电视塔方向行进100米抵达 F处又测得电视塔顶端 A 的仰角为60o，则这个电视塔的高度AB为【 C】A．50 3米B．51米C．503 1 米D．101米二、填空题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，满分24 分。
【新课标】备战中考2015年全国各地试题训练湖南衡阳-解析版
湖南省衡阳市2015年中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、（2015•衡阳）的相反数是（）A、B、5 C、﹣5 D、﹣考点：相反数。
专题：计算题。
分析：根据相反数的定义求解即可．解答：解：根据相反数的定义有：的相反数是﹣．故选D．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2、（2015•衡阳）某市在一次扶贫助残活动中，共捐款3185800元，将3185800元用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（）A、3.1×106元B、3.1×105元C、3.2×106元D、3.18×106元考点：科学记数法与有效数字。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．解答：解：3185800≈3.2×106．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．3、（2015•衡阳）如图所示的几何体的主视图是（）A、B、C、D、考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最中间有一个正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中．4、（2015•衡阳）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（）A、B、C、D、考点：中心对称图形；生活中的旋转现象。
2015年湖南省衡阳市中考数学试卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共30页） 数学试卷 第2页（共30页）绝密★启用前湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算0(1)2-+-的结果是( ) A .3-B .1C .1-D .3 2.下列计算正确的是( )A .2a a a +=B .3332b b b =C .33a a a ÷=D .527()a a =3.如图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的,则这个几何体的俯视图是( )AB C D 4.若分式21x x -+的值为0,则x 的值为( ) A .2或B .0C .2D .1- 5.函数y =中自变量x 的取值范围为( ) A .0x ≥B .1x -≥C .1x -＞D .1x ≥ 6.不等式组21x x ⎩-⎧⎨≥＜,的解集在数轴上表示为( )ABCD7.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为( ) A .11B .16C .17D .1617或 8.若关于x 的方程230x x a ++=有一个根为1-,则另一个根为( )A .2-B .2C .4D .3- 9.下列命题是真命题的是( )A .对角线互相平分的四边形是平行四边形B .对角线相等的四边形是矩形C .对角线互相垂直的四边形是菱形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形10.在2015年“全国助残日”捐款活动中,某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱,奉献自己的爱心.他们捐款的数额分别是(单位：元)50,20,50,30,25,50,55,这组数据的众数和中位数分别是( ) A .50元,30元 B .50元,40元 C .50元,50元D .55元,50元11.绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿 地,并且长比宽多10米,设绿地的宽为x 米,根据题意,可列方程为( )A .(10)900x x -=B .(10)900x x +=C .10(10)900x +=D .[]2(10)900x x +-=12.如图,为了测得电视塔的高度AB ,在D 处用高为1米的测 角仪CD ,测得电视塔顶端A的仰角为30,再向电视塔方向前进100米达到F 处,又测得电视塔顶端A 的仰角为60,则这个电视塔的高度AB (单位：米)为( )毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ _____________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共30页） 数学试卷 第4页（共30页）A. B .51 C.1D .101第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 13.在1-,0,2-这三个数中,最小的数是 .14.如图,已知直线a b ∥,1120=∠,则2∠的度数是 .15..16.方程13=2x x -的解为 .17.圆心角为120的扇形的半径为3,则这个扇形的面积为 (结果保留π). 18.如图,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ,选取可以直达A ,B 两点的点O 处,再分别取OA ,OB 的中点M ,N ,量得20m MN =,则池塘的宽度AB 为 m .19.已知3a b +=,1a b -=-,则22a b -的值为 .20.如图,112A B A △,223A B A △,334A B A △,…,1n n n A B A +△都是等腰直角三角形,其中点1A 2A ,…,n A 在x 轴上,点1B ,2B ,…,n B 在直线y x =上.已知11OA =,则2015OA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(2)()a a b a b -++,其中1,a b =-.22.(本小题满分6分)为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况,教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测,体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息回答以下问题：(1)在扇形统计图中,“合格”的百分比为 ；(2)本次体质抽测中,抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；(3)若该校九年级有400名学生,估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人. 23.(本小题满分6分)如图,在平面直角坐标系中,ABC △的三个顶点坐标分别为(3,2),B(3,5),C(1,2)A . (1)在平面直角坐标系中画出ABC △关于x 轴对称的111A B C △；(2)把ABC △绕点A 顺时针旋转一定的角度,得图中的22AB C △,点2C 在AB 上.①旋转角为多少度？数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）②写出点2B 的坐标.24.(本小题满分6分)某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动,现准备从4名(其中两男两女)节目主持候选人中,随机选取两人担任节目主持人,请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率.25.(本小题满分8分)某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x 小时之间函数关系如图所示(当410x ≤≤时,y 与x 成反比例).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？26.(本小题满分8分)如图,AB 是O 的直径,点,C D 为半圆O 的三等分点,过点C 作CE AD ⊥,交AD 的延长线于点E .(1)求证：CE 是O 的切线；(2)判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由.27.(本小题满分10分)如图,顶点M 在y 轴上的抛物线与直线1y x =+相交于,A B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,连结,AM BM . (1)求抛物线的函数关系式；(2)判断ABM △的形状,并说明理由；(3)把抛物线与直线y x =的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为,2m m （）,当m 满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点.28.(本小题满分10分)如图,四边形OABC 是边长为4的正方形,点P 为OA 边上任意一点(与点,O A 不重合),连接CP ,过点P 作PM CP ⊥交AB 于点D ,且PM CP =,过点M 作MN OA ∥,交BO 于点N ,连接,ND BM ,设OP t =. (1)求点M 的坐标(用含t 的代数式表示)；(2)试判断线段MN 的长度是否随点P 的位置的变化而改变？并说明理由； (3)当t 为何值时,四边形BNDM 的面积最小.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共30页）数学试卷 第8页（共30页）湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】原式123=+=。
2015湖南衡阳市中考数学试卷(含答案)
2015年湖南省衡阳市中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题３分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(2015年湖南衡阳，1，3分)计算0(1)-+｜-2｜的结果是A.-3B.1C.-1D.3【答案】D【解析】解：原式＝1+2＝3.故选D2. (2015年湖南衡阳，2，3分)下列计算正确的是A.a +a ＝2aB. 33b b ⋅＝23bC. 3a ÷a ＝3aD. 52()a ＝7a 【答案】A【解析】解：A 正确；B 应为33b b ⋅＝6b ；C 应为3a ÷a ＝2a ；D 应为52()a ＝10a .故选A .3. (2015年湖南衡阳，3，3分)如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是【答案】C【解析】解：A 三个视图都不是；B 主视图；C 俯视图；D 左视图.故选C .4. (2015年湖南衡阳，4，3分)若分式21x x -+的值为0，则x 的值为 A.２或-1 B.0 C.2 D.-1【答案】C【解析】解：当21x x -+＝0时，x -2＝0，x +1≠0，所以x ＝2.故选C .5. (2015年湖南衡阳，5，3分)函数y 1x +x 的取值范围为A.x ≥0B.x ≥-1C.x ＞-1D.x ≥1【答案】B【解析】解：根据二次根式的被开方数须大于或等于0，得x +1≥0,x ≥-1.故选B .6. (2015年湖南衡阳，6，3分)不等式组21xx≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示为【答案】B【解析】解：x≥2,x的值包括２,在数轴表示方向向右；x<1,x的值不包括１,在数轴表示方向向左.故选B.7.(2015年湖南衡阳，7，3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为A.11B.16C.17D.16或17【答案】D【解析】解：分两种情况：当三边长为5，5，6时，周长为16；当三边长为5，6，6时，周长为17.故选D.8. (2015年湖南衡阳，8，3分)若关于x的方程2x+３x+a＝0有一个根为-1，则另一个根为A.-2B.2C.4D.-3【答案】A【解析】解：设另一个根为x，根据根与系数关系，得-1+x＝-3，x＝-2.故选A.9. (2015年湖南衡阳，9，3分)下列命题是真命题的是A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】A【解析】解：A正确；B应为对角线相等的平行四边形是矩形；C应为对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D应为对角线互相垂直平分的矩形是正方形.故选A.10.(2015年湖南衡阳，10，3分)在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组７名同学积极捐出自已的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数量分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是A.50元，30元B.50元，40元C.50元，50元D.55元，50元【答案】C【解析】解：因为50出现３次，出现次数最多，所以众数是50元；这组数据按从大到小排列为55、50、50、50、30、25、20，最中间一个数是50，所以中位数是50元.故选C.11.(2015年湖南衡阳，11，3分)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为A. x（x-10）＝900B. x（x+10）＝900C. 10（x+10）＝900D.2[x+（x+10）]＝900 【答案】B【解析】解：根据矩形面积＝长×宽，得x（x+10）＝900.故选B.12. (2015年湖南衡阳，12，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为A.503B.51C.503+1D.101【答案】C【解析】解：由矩形CDFE，得DF＝CE＝100米，由矩形EFBC，得CD＝GB＝1米，因为∠ACE＝30°, ∠AEG＝60°,所以∠CAE＝30°,所以CE＝AE＝100米.在RT△AEG中，AG＝sin60°·AE＝32×100＝50米，所以AB＝503+1.故选C.二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）13. (2015年湖南衡阳，13，3分)在-1，0，-2这三个数中，最小的数是. 【答案】-2【解析】解：因为-2＜-1＜0，所以最小的数是-2.故答案为-2.14.(2015年湖南衡阳，14，3分)如图，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是.【答案】60° 【解析】解：因为a ∥b ，所以∠1+∠2＝180°.因为∠1＝120°，所以∠2＝60°.故答案为60°.15. (2015年湖南衡阳，15，3分)计算8-2＝ . 【答案】2【解析】解：原式＝22-2＝2.故答案为2.16. (2015年湖南衡阳，16，3分)方程1x ＝32x -的解为 . 【答案】x ＝-1【解析】解：方程两边同乘以x （x -2），得x -2＝３x ，-2x ＝2，x ＝-1.故答案为x ＝-1.17. (2015年湖南衡阳，17，3分)圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）.【答案】３π【解析】解：21203360S π⋅⋅=扇形＝3π.故答案为3π.18. (2015年湖南衡阳，18，3分)如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A 、B 两点的点O 处，再分别取OA 、OB 的中点M 、N ，量得MN ＝20m ，则池塘的宽度AB 为 m .【答案】40【解析】解：根据题意，得MN 是△AOB 的中位线，所以AB ＝2MN ＝40m .故答案为40.19. (2015年湖南衡阳，19，3分)已知a +b =3，a -b =-1，则22a b -的值为 .【答案】-3【解析】解：22a b -＝（a +b ）(a -b )=3×(-1)=-3.故答案为-3.20. (2015年湖南衡阳，20，3分)如图，△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，…，△1n n n A B A +都是等腰直角三角形，其中点1A ，2A ，…，n A 在x 轴上，点1B ，2B ，…，n B 在直线y ＝x 上，已知O 1A =1，则2015OA 的长为 .【答案】20142【解析】解：因为点B 在直线y ＝x 上，所以∠11B OA ＝45°.因为△112A B A 是等腰直角三角形，所以∠11OA B ＝90°. 11A B ＝12A A ，所以O 1A ＝11A B ＝12A A ＝1，所以2OA ＝2，同理2OA ＝22A B ＝23A A ＝2，所以3OA ＝４，同理4OA ＝8＝32，…，所以2015OA ＝20142.故答案为20142.三.解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21. (2015年湖南衡阳，21，6分)先化简，再求值a （a +2b ）+2()a b +，其中a ＝-1，b 2.【答案】4【解析】解：a （a +2b ）+2()a b +＝22222a ab a ab b -+++＝222a b +当a ＝-1，b ＝2时，原式＝222(1)(2)⨯-+＝2+2＝4.22. (2015年湖南衡阳，22，6分)为了进一步了解义务教育阶段学生体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分别为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（１）在扇形统计图中，“合格”的百分比为 ；（２）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；（３）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人.【答案】（１）40%；（２）16；（３）128【解析】解：（１）总人数＝8÷16%＝50人，合格百分比：20100%50⨯＝40%； （２）不合格的人数＝50×32%＝16人；（３）九年级不合格为数＝400×32%＝128人.23.(2015年湖南衡阳，23，6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （3，2）、B （3，5）、C （1，2）.x yO A B C B 2C 212345-1-2-3-4-5321（１）在平面直角坐标系中画出△ABC 关于x 轴对称的△111A B C ；（2）把△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度，得图中的△22AB C ，点2C 在AB 上 ①旋转角为多少度？②写出点2B 的坐标.【答案】（１）答案略；（２）①90°,②（6，2）.【解析】解：（１）如图：123-5-4-3-2-154321C 2B 2C 1B 1A 1CB A O yx（２）①因为∠2BAB ＝90°，所以旋转角为90°，②由题意得，2CB ＝2+3＝5，所以点2B 到y 轴距离为5+1＝6，因为2CB ∥x 轴，所以点2B 到x 轴距离为２，所以点2B 的坐标为（6，2）.24. (2015年湖南衡阳，24，6分)某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，再准备从４名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两各主持人“恰好为一男一女”的概率. 【答案】23男１男２ 女1 女2 男1 ——（男２，男１） （女１，男１） （女２，男１） 男2（男１，男２） —— （女１，男２） （女２，男２） 女１（男１，女１） （男２，女１） —— （女２，女１） 女２ （男１，女２） （男２，女２） （女１，女２）—— 共有12种情况，()P 恰好为一男一女＝12＝3.25.(2015年湖南衡阳，25，8分)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）.（１）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（２）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？【答案】（１）上升时，y＝2x，下降时y＝32x；（２）６小时.【解析】解：（１）当0≤x≤4时，y与x的函数关系为y＝kx，把点（４，8）代入，得：8＝4k，k＝2,所以此时y＝2x.当4≤x≤10时，y与x的函数关系为y＝kx，把（4，8）代入，得，k=32，所以此时y＝32 x.（２）把y＝4分别代入y＝2x，y＝32x得，x＝2，x＝8所以浓度上升时的持续时间为4-2＝2小时，浓度下降时的持续时间为8-4＝4小时，所以持续时间为6小时.26. (2015年湖南衡阳，26，8分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.O ED CBA（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由.【答案】（１）答案略；（２）四边形AOCD 为菱形.【解析】解：（１）连结OD ，∵点C 、D 为半圆O 的三等分点，∴∠AOD =∠COD =∠COB =60°.∵OA =OD ,∴△AOD 为等边三角形，∴∠DAO =60°,∴AE ∥OC .∵CE ⊥AD ，∴CE ⊥OC∴CE 为⊙O 的切线A BCD EO(2)四边形AOCD 为菱形.理由：∵OD =OC ，∠COD =60°∴△OCD 为等边三角形，∴CD =CO .同理：AD =AO .∵AO =CO ,∴AD =AO =CO =DC∴四边形AOCD 为菱形.27. (2015年湖南衡阳，27，10分)如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y =x +1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的橫坐标为２，连结AM 、BM .（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM 的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y ＝x 的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m ，2m ），当m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.【答案】(1) 21y x =-；（２）直角三角形；（３）m ≤14【解析】解：（１）∵抛物线的顶点在y 轴上，∴设抛物线解析式为2y ax k =+.∵直线y ＝x +1交x 轴于点A ，∴点A 坐标（-1，０）.把x ＝２代入y ＝x +1,得y ＝３.∴点B 坐标为（２，3）. 把点A （-1，０）,B （２，3）代入2y ax k =+，得043a k a k +=⎧⎨+=⎩，解得11a k =⎧⎨=-⎩. ∴抛物线解析式为21y x =-.（２）△ABM 为直角三角形.理由：∵点A （-1，０）,B （２，3），M （0，-1）∴AB 22(12)(03)--+-32AM 22(10)(01)--++2，BM 22(20)(31)-++25∵22AB AM +＝20，2BM ＝20∴22AB AM +＝2BM ，∴△ABM 为直角三角形，且∠BAM ＝90°.（３）∵将抛物线21y x =-平移，使顶点为（m ，2m ），∴设平移后抛物线解析式为2()2y x m m =-+∵抛物线与直线y ＝x 的交点为不动点， ∴2()2y x y x m m=⎧⎨=-+⎩ ∴22(21)20x m x m m -+++=.要使抛物线总有不动点，必使△≥0即22(21)4(2)m m m +-+≥0，m ≤14. ∴当m ≤14时，平移后的抛物线总有不动点. 28. (2015年湖南衡阳，28，10分)如图，四边形OABC 是边长为4的正方形，点P 为OA 边上任意一点（与点O 、A 不重合），连结CP ，过点P 作PM ⊥CP 交AB 于点D ，且PM ＝CP ，过点M 作MN ∥OA ，交BO 于点N ，连结ND 、BM ，设OP ＝t .P yxO N FDC BA（1）求点M 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）试判断线段MN 的长度是否随点P 的位置的变化而改变？并说明理由；（3）当t 为何值时，四边形BNDM 的面积最小.【答案】（１）4+t ，t ）；（２）不改变；（３）t ＝２时，四边形BNDM 的面积最小.【解析】解：（１）如图，过点M 作ME ⊥Ox 于点E ，∵∠CPM ＝90°,∴∠CPO +∠MPE ＝90°.∵∠CPO +∠OCP =90°,∴∠MPE =∠OCP .∵∠COP =∠PEM =90°,CP =PM∴△OCP ≌△EPM (AAS ),∴OE =PE =4,OP =ME =t ，∴OE ＝４+t ，∴点M 的坐标为（４+t ，t ）.A BC D EFMN O xyP（２）MN 的长度恒为４. 理由：设MN 交AB 于点F ， ∵∠F AE ＝∠MEA =∠MF A =90°， ∴四边形F AEM 为矩形. ∴ME =F A =t ，∴BF ＝４-t .∵OE ＝t +４，OA ＝４， ∴AE ＝t ，∴FM ＝AE ＝t ，∵MN ∥OA ，∠BOA ＝45°, ∴∠BNF ＝45°,∴△BNF 为等腰直角三角形， ∴NF =FB ＝4-t∴MN =NF +FM =4.(3) ∵DA ∥ME ∴PA DA PE ME=， ∴44t DA t-=， DA ＝214t t - ∴BD ＝2144t t -+∵BD ⊥MN ∴BNDM 12S BD MN =四边形 ＝12（2144t t -+）×4＝21822t t -+ ∴当t ＝２时，四边形BNDM 的面积最小.。
湖南省衡阳市江山中学2015届中考数学模拟试题含解析
湖南省衡阳市江山中学2015届中考数学模拟试题一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．﹣的倒数是( )A．7 B．﹣7 C．﹣D．2．下列运算中，正确的是( )A．x2+x2=x4B．x2÷x=x2C．x3﹣x2=x D．x•x2=x33．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是( )A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字4．若分式的值为0，则x的值为( )A．4 B．﹣4 C．±4D．35．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是( )A．圆柱体B．圆锥体C．正方体D．球体6．下列说法中，错误的是( )A．菱形的对角线互相平分B．正方形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且平分D．等腰梯形的对角线相等且平分7．若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为( )A．10cm B．6cmC．10cm或6cm D．以上答案均不对8．在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣2m+3）在第三象限，则m的取值范围是( ) A．B．C．D．9．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为( )A．6 B．9 C．12 D．1810．小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某天他从家去上学时以每分30m的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，以每分45m的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的时间t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是( )A．B．C．D．二、填空题：（每小题3分，共24分）11．因式分解：x3﹣xy2=__________．12．反比例函数在第三象限的图象如图所示，则k=__________．13．阅读材料，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根为x1，x2，则两根的系数之间有如下关系：，根据上述材料填空：若方程x2﹣3x﹣5=0的两实根为x1，x2，则=__________．14．从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y 随x的增大而增大的概率是__________．15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30度．过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠DCB=__________度．16．如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下的阴影部分重新拼成一个正方形，则所拼成的面积最大的正方形的边长为__________．17．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长10m，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为__________．18．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，…以此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n（n≥3），则a6=__________，当时，则n=__________．三、解答题：（19-23每小题6分，24-25分每小题6分，26-27每小题6分）19．计算：（﹣2）2﹣0+（+2）（﹣2）﹣sin45°．20．化简求值：，其中a=．21．解方程：22．如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2．（1）求⊙O的半径；（2）求CF的长．23．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．24．在金融危机的影响下，国家采取扩大内需的政策，基建投资成为拉动内需最强有力的引擎，金强公司中标一项工程，在甲、乙两地施工，其中甲地需推土机30台，乙地需推土机26台，公司在A、B两地分别库存推土机32台和24台，现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元．从B地运一台到甲、乙两地的费用分别为200元和500元，设从A地运往甲地x台推土机，运这批推土机的总费用为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）公司应设计怎样的方案，能使运送这批推土机的总费用最少？25．小兵和小宁玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小兵先从中抽出一张，小宁从剩余的3张牌中也抽出一张．小宁说：“若抽出的两张牌上的数都是偶数，你获胜；否则，我获胜．”（1）请用树状图表示出抽牌可能出现的所有结果；（2）若按小宁说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．26．已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．（1）求证：AE=DF；（2）求证：△AEB∽△DME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．27．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2015年湖南省衡阳市江山中学中考数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．﹣的倒数是( )A．7 B．﹣7 C．﹣D．【考点】倒数．【专题】计算题．【分析】根据倒数的定义求解．【解答】解：﹣的倒数为﹣7．故选B．【点评】本题考查了倒数：a（a≠0）的倒数为．2．下列运算中，正确的是( )A．x2+x2=x4B．x2÷x=x2C．x3﹣x2=x D．x•x2=x3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为x2+x2=2x2，故本选项错误；B、应为x2÷x=x2﹣1=x，故本选项错误；C、x3与x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、x•x2=x3正确．故选D．【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是( )A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字【考点】科学记数法与有效数字．【专题】常规题型．【分析】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n 的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：个位代表千，那么十分位就代表百，乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选：C．【点评】较大的数用a×10n表示，看精确到哪一位，需看个位代表什么；有效数字需看乘号前面的有效数字．4．若分式的值为0，则x的值为( )A．4 B．﹣4 C．±4 D．3【考点】分式的值为零的条件．【专题】计算题．【分析】分式的值为0，分母不为0，分子为0，从而求得x的值．【解答】解：∵的值为0，∴|x|﹣4=0且x+4≠0，∴|x|=±4且x≠﹣4，∴x=4，故选A．【点评】本题考查了分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，要熟练掌握．5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是( )A．圆柱体B．圆锥体C．正方体D．球体【考点】由三视图判断几何体．【专题】数形结合．【分析】三视图中有两个视图为矩形，那么这个几何体为柱体，根据第3个视图的形状可得几何体的具体形状．【解答】解：∵三视图中有两个视图为矩形，∴这个几何体为柱体，∵第3个视图的形状为圆，∴这个几何体为圆柱体，故选A．【点评】考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：三视图中有两个视图为矩形，那么这个几何体为柱体，根据第3个视图的形状可得几何体的形状．6．下列说法中，错误的是( )A．菱形的对角线互相平分B．正方形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且平分D．等腰梯形的对角线相等且平分【考点】多边形．【专题】多边形与平行四边形．【分析】利用菱形，正方形，矩形，以及等腰梯形的性质判断即可．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，正确；B、正方形的对角线互相垂直平分，正确；C、矩形的对角线相等且平分，正确；D、等腰梯形的对角线相等，错误．故选D．【点评】此题考查了多边形，熟练掌握菱形、正方形、矩形，以及等腰梯形的性质是解本题的关键．7．若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为( )A．10cm B．6cmC．10cm或6cm D．以上答案均不对【考点】圆与圆的位置关系．【分析】本题应分内切和外切两种情况讨论．【解答】解：∵⊙A和⊙B相切，∴①当外切时圆心距AB=8+2=10cm，②当内切时圆心距AB=8﹣2=6cm．故选C．【点评】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．外切时P=R+r；内切时P=R﹣r；注意分情况讨论．8．在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣2m+3）在第三象限，则m的取值范围是( )A．B．C．D．【考点】点的坐标．【专题】计算题；压轴题．【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得﹣2m+3＜0，求不等式的解即可．【解答】解：∵点在第三象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即﹣2m+3＜0，解得m＞．故选D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．9．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为( )A．6 B．9 C．12 D．18【考点】平行四边形的判定与性质；平移的性质．【分析】连接AA′，根据平移的性质可知，AC∥A′C′，AC=A′C′，即可解答．【解答】解：连接AA′，由平移的性质知，AC∥A′C′，AC=A′C′，所以四边形AA′CC′是平行四边形，所以点D是AC，A′C的中点，所以A′D=CD，所以S△C′DC=S△ABC=18．故选：D．【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．10．小强每天从家到学校上学行走的路程为900m，某天他从家去上学时以每分30m的速度行走了450m，为了不迟到他加快了速度，以每分45m的速度行走完剩下的路程，那么小强离学校的路程s（m）与他行走的时间t（min）之间的函数关系用图象表示正确的是( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据行程，按照路程的一半分段，先慢后快，图象先平后陡．【解答】解：小强离学校的路程S（米）应随他行走的时间t（分）的增大而减小，因而选项A、B一定错误；他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，所用时间应是15分钟，因而选项C错误；行走了450米，为了不迟到，他加快了速度，后面一段图象陡一些，选项D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象，解决问题的关键理解以下两点：①理解图象是反映的是哪两个变量的关系．②理解函数变量是随自变量的增大是如何变化的．理解一些转折点的实际意义．二、填空题：（每小题3分，共24分）11．因式分解：x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）．故答案为：x（x﹣y）（x+y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．反比例函数在第三象限的图象如图所示，则k=2．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据题意可知点（﹣1，﹣2）是函数y=上的点，代入即可求k．【解答】解：如右图所示，点（﹣1，﹣2）在反比例函数的图象上，∴把（﹣1，﹣2）的值代入函数解析式得﹣2=，∴k=2．故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式．经过函数的某点一定在函数的图象上．13．阅读材料，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根为x1，x2，则两根的系数之间有如下关系：，根据上述材料填空：若方程x2﹣3x﹣5=0的两实根为x1，x2，则=．【考点】根与系数的关系．【专题】阅读型．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=﹣5，再变形==，然后代值计算即可．【解答】解：∵x1+x2=3，x1x2=﹣5，∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设它的两实根为x1，x2，则有如下关系：；也考查了代数式的变形能力，即有两根之和与两根之积表示所求的代数式．14．从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是．【考点】概率公式；一次函数图象与系数的关系．【分析】从﹣1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中函数y=﹣1•x+3是y随x增大而减小的，函数y=1•x+3和y=2•x+3都是y随x增大而增大的，所以符合题意的概率为．【解答】解：P（y随x增大而增大）=．故本题答案为：．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一次函数未知数的比例系数大于0，y随x的增大而增大．15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30度．过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠DC B=30度．【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BOD，再根据圆周角定理∠DCB=∠BOD．【解答】解：∵OD⊥BC交弧BC于点D，∠ABC=30°，∴∠BOD=90°﹣∠ABC=90°﹣30°=60°，∴∠DCB=∠BOD=30°．【点评】本题的关键是利用直角三角形两锐角互余和圆周角定理．16．如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下的阴影部分重新拼成一个正方形，则所拼成的面积最大的正方形的边长为．【考点】勾股定理．【分析】根据已知条件可知所拼成的面积最大的正方形的边长只需求出阴影部分面积即可得出边长．【解答】解：∵方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下的阴影部分重新拼成一个正方形，∴只需求出阴影部分面积即可，∴梯形ABCD面积为：×2×（1+3）=4，∴阴影部分面积为：4+1=5，∴所拼成的面积最大的正方形的边长为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了利用方格图形求面积以及二次根式开方，求出阴影部分面积即是正方形面积是解决问题的关键．17．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长10m，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为8．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据tan∠BAE=得出BE，AE的关系，根据勾股定理表示出AB，再根据AB=10，从而得出BE的长．【解答】解；∵tan∠BAE==，∴假设BE=4x，AE=3x，∴AB=5x，∵迎水坡AB长10m，∴5x=10，解得：x=2，∴BE=8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了坡角的定义以及解直角三角形，根据坡角定义表示出AB的长度是解决问题的关键．18．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，…以此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n（n≥3），则a6=42，当时，则n=100．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先分析题意及观察图形得到规律，一个正多边形“扩展”，即在原来正多变形的基础上，每个边再加上一个正多边形，由此可求出a6，又可表示出a n，再由已知求出n．【解答】解：由已知和图形，可知，正三角形“扩展”，即在原来正三角形的基础上，每边再加上一个正三角形，由此，a6即由正六边形扩展而来，即在原来正六边形的基础上，每边再加上一个六边形，即a6的值为：6×（5+2）=42．所以a n=n（n+1），所以++…+=++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，所以n=100．故答案分别为：42，100．【点评】此题考查的知识点是图形数字变化类问题，解题的关键是通过分析观察得出规律求出答案．三、解答题：（19-23每小题6分，24-25分每小题6分，26-27每小题6分）19．计算：（﹣2）2﹣0+（+2）（﹣2）﹣sin45°．【考点】特殊角的三角函数值；有理数的乘方；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==2﹣1=1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．化简求值：，其中a=．【考点】分式的化简求值；分母有理化．【分析】先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后加减运算，把式子化到最简代值计算．【解答】解：原式====；当a=时，原式==．【点评】分式的混合运算，要特别注意运算顺序，能因式分解的先分解，然后约分．21．解方程：【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：去分母得：x（x﹣1）=（x+1）（x﹣3），解之得：x=﹣3．经检验知：x=﹣3是原方程的解．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．22．如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2．（1）求⊙O的半径；（2）求CF的长．【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质；射影定理．【专题】计算题．【分析】（1）设⊙O的半径为x，由E点是的中点，O点是圆心，根据垂径定理的推论得到OD⊥BC，DC==4，然后在Rt△ODC中，根据勾股定理可计算出x．（2）根据切线的性质得到OD⊥BC，再根据射影定理得到OC2=OD•OF，计算出OF，然后根据勾股定理可计算出CF的长．【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴（x﹣2）2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；（2）∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点．∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴【点评】本题考查了垂径定理的推论：过圆心平分弧的直径垂直平分弦．也考查了切线的性质、勾股定理以及射影定理．23．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为C，根据题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，然后在Rt△APC中可表示出PC，在Rt△PCB中可表示出PB，进而可得出答案．【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，根据题意可得出：∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60，在Rt△APC中，∵cos∠APC=，∴PC=PA•cos∠APC=30，在Rt△PCB中，∵，∴．答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里．【点评】本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，解答本题的关键是理解方向角含义，正确记忆三角函数的定义．24．在金融危机的影响下，国家采取扩大内需的政策，基建投资成为拉动内需最强有力的引擎，金强公司中标一项工程，在甲、乙两地施工，其中甲地需推土机30台，乙地需推土机26台，公司在A、B两地分别库存推土机32台和24台，现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元．从B地运一台到甲、乙两地的费用分别为200元和500元，设从A地运往甲地x台推土机，运这批推土机的总费用为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）公司应设计怎样的方案，能使运送这批推土机的总费用最少？【考点】一次函数的应用．【专题】函数思想．【分析】（1）设从A地运往甲地x台，从A地运往乙地的推土机（32﹣x）台，从B地运往甲地的推土机（30﹣x），运往乙地的推土机（x﹣6）台，再根据现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元．从B地运一台到甲、乙两地的费用分别为200元和500元，可求出运这批推土机的总费用．（2）根据函数的性质可判断费用何时最少．【解答】解：（1）由题意知：从A地运往乙地的推土机（32﹣x）台，从B地运往甲地的推土机（30﹣x），运往乙地的推土机（x﹣6）台，则y=400x+300（32﹣x）+200（30﹣x）+500（x﹣6）=400x+12600；（2）∵x﹣6≥0，30﹣x≥0，∴6≤x≤30，又∵y随x的增大而增大，∴当x=6时，能使总运费最少．运送方案是：A地的推土机运往甲地6台，运往乙地26台；B地的推土机运往甲地24台，运往乙地0台．【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．25．小兵和小宁玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小兵先从中抽出一张，小宁从剩余的3张牌中也抽出一张．小宁说：“若抽出的两张牌上的数都是偶数，你获胜；否则，我获胜．”（1）请用树状图表示出抽牌可能出现的所有结果；（2）若按小宁说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意画出树状图，有树状图即可求得抽牌可能出现的所有结果；（2）根据树状图，先求得两张牌的数字都是偶数的情况，然后利用概率公式即可求得小兵和小宁获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平．【解答】解：（1）树状图为：∴共有12种等可能的结果．（2）游戏公平．∵两张牌的数字都是偶数有6种结果：（6，8），（6，10），（8，6），（8，10），（10，6），（10，8）．∴小兵获胜的概率P==，∴小宁获胜的概率也为．∴游戏公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．（1）求证：AE=DF；（2）求证：△AEB∽△DME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．【考点】垂径定理；根据实际问题列二次函数关系式；平行线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】代数几何综合题；压轴题；数形结合．【分析】（1）设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H．利用平行线的性质和垂径定理可求出；（2）要求证△AEB∽△DME，就要利用三角形相似的判定证明，从题中互余的关系可知三角相等，利用AAA定理可证明；（3）要求四边形ABMD的面积为y与边的关系，就要利用面积公式列出式子，再分析看成变量x的最值范围．【解答】（1）证明：设BM的中点为O，过O作OH⊥EF，垂足为H，∵OB=OM，∴AH=DH．根据垂径定理可知EH=FH，∴AE=DF；（2）证明：∵BM是圆O的直径，∴∠BEM=90°，∴∠AEB+∠DEM=90°，∴∠AEB=∠DME，∴△AEB∽△DME；（3）解：∵△AEB∽△DME，∴，∵AB=1，AE=x，∴DE=2﹣x，∴DM=x（2﹣x），y=（AB+DM）•AD=﹣x2+2x+1．自变量的取值范围是0＜x＜1．【点评】本题综合考查了平行线，垂径定理和相似三角形的判定及矩形的面积公式等计算能力．27．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）设出一次函数解析式，代入A、C两点的坐标即可解决问题；（2）把A、B、C三点代入抛物线y=ax2+bx+c，列出三元一次方程组解答即可；（3）利用轴对称图形的性质，找出点B关于直线AC的对称点，进一步利用直角三角形的性质以及待定系数法与两直线的相交的关系求得答案．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入解析式得，，解得，∴；（2）把A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣2）三点代入抛物线y=ax2+bx+c得，，解得：，∴所求抛物线方程为；（3）存在满足条件的点P．∵抛物线方程为，∴顶点D的坐标为要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′D交直线AC于点P，∵AC2=16，BC2=48，AB2=64，∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC，∴B'P=BP，∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，则此时△BDP的周长最小，∴点P就是所求的点，过点B′作B′H⊥AB于点H，∵B（6，0），C（0，），∴在Rt△BOC中，BC=4，∵OC∥B′H，B′C=BC，∴OH=BO=6，，∴，设直线B′D的解析式为y=mx+n，∵D，在直线B′D上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时．【点评】此题综合考查了待定系数法求函数解析式，轴对称图形的性质，两直线的位置关系，是一道综合性很强的题目．。
湖南省衡阳市中考数学试卷(含答案和解析)
湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．B．C．2D．﹣2﹣2．下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为（）A．2.5×10﹣5B．2.5×105C．2.5×10﹣6D．2.5×1064．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．85．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟6．下列运算结果准确的是（）A．x2+x3=x5B．x3•x2=x6C．x5÷x=x5D．x3•（3x）2=9x57．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．下列因式分解中，准确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）A．B．C．D．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD 的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米11．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18 D．3612．下列命题是真命题的是（）A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．函数中，自变量x的取值范围是_________ ．14．化简：（﹣）= _________ ．15．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为_________ ．16．甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：=10.5，=10.5，=0.61，=0.50，则成绩较稳定的是_________ （填“甲”或“乙”）．17．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_________ ．18．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m= _________ n（填“＞”“＜”或“=”号）．19．分式方程=的解为x= _________ ．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为_________ ．三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，b=﹣2．22．小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本实行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这个年（365天）达到优和良的总天数．23．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．24．学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．25．某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．26．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．27．（10分）（2014•衡阳）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．28．（10分）（2014•衡阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？2014年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2014•衡阳）﹣2的倒数是（）C．2D．﹣2A．B．﹣考点：倒数．分析：根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．解答：解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）（2014•衡阳）下列图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）（2014•衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为（）A．2.5×10﹣5B．2.5×105C．2.5×10﹣6D．2.5×106考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选：C．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（3分）（2014•衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选C．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．5．（3分）（2014•衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）A．小明看报用时8分钟B．公共阅报栏距小明家200米C．小明离家最远的距离为400米D．小明从出发到回家共用时16分钟考点：函数的图象．分析：A．从4分钟到8分钟时间增加而离家的距离没变，所以这段时间在看报；B.4分钟时散步到了报栏，据此知公共阅报栏距小明家200米；C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米；D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟．解答：解：A．小明看报用时8﹣4=4分钟，本项错误；B．公共阅报栏距小明家200米，本项正确；C．据图形知，12分钟时离家最远，小明离家最远的距离为400米，本项正确；D．据图知小明从出发到回家共用时16分钟，本项正确．故选：A．点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．6．（3分）（2014•衡阳）下列运算结果正确的是（）A．x2+x3=x5B．x3•x2=x6C．x5÷x=x5D．x3•（3x）2=9x5考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘单项式．分析：根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据单项式乘单项式，可判断D．解答：解：A、指数不能相加，故A错误；B、底数不变指数相加，故B错误；C、底数不变指数相减，故C错误；D、x3（3x）2=9x5，故D正确；故选：D．点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．7．（3分）（2014•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．解答：解：不等式组由①得，x＞1，由②得，x≥2，故不等式组的解集为：x≥2，在数轴上可表示为：故选：A．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．8．（3分）（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可．解答：解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；②x2+4x+4=（x+2）2；正确；③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；故正确的有1个．故选：C．点评：此题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．9．（3分）（2014•衡阳）如图所示的图形是由7个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据几何体组成，结合三视图的观察角度，进而得出答案．解答：解：根据立方体的组成可得出：A、是几何体的左视图，故此选项错误；B、是几何体的三视图，故此选项正确；C、是几何体的主视图，故此选项错误；D、是几何体的俯视图，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了简单组合体的三视图，准确把握观察角度是解题关键．10．（3分）（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．11．（3分）（2014•衡阳）圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18 D．36考点：弧长的计算．分析：根据弧长的公式l=进行计算．解答：解：设该扇形的半径是r．根据弧长的公式l=，得到：12π=，解得r=18，故选：C．点评：本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．12．（3分）（2014•衡阳）下列命题是真命题的是（）A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形考点：命题与定理．分析：利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题．故选D．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）（2014•攀枝花）函数中，自变量x的取值范围是x≥2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．14．（3分）（2014•衡阳）化简：（﹣）=2．考点：二次根式的混合运算．分析：首先将括号里面化简，进而合并，即可运用二次根式乘法运算法则得出即可．解答：解：（﹣）=×（2﹣）=×=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．15．（3分）（2014•衡阳）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为10．考点：矩形的性质．分析：根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴OA=OB，∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB=5，∴BD=2BO=10，故答案为：10．点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．16．（3分）（2014•衡阳）甲、乙两同学参加学校运动员铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：=10.5，=10.5，=0.61，=0.50，则成绩较稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．考点：方差．分析：根据方差的定义，方差越小数据越稳定．解答：解：因为S甲2=0.61＞S乙2=0.50，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．故答案为：乙．点评：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17．（3分）（2014•衡阳）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．考点：圆周角定理．分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．18．（3分）（2014•衡阳）若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m=＜n （填“＞”“＜”或“=”号）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1•m=k，﹣2•n=k，解得m=﹣k，n=﹣，然后利用k＞0比较m、n的大小．解答：解：∵P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴﹣1•m=k，﹣2•n=k，∴m=﹣k，n=﹣，而k＞0，∴m＜n．故答案为：＜．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．19．（3分）（2014•衡阳）分式方程=的解为x=2．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x2=x2﹣x+2x﹣2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．（3分）（2014•衡阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为21007．考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可．解答：解：∵点M0的坐标为（1，0），∴OM0=1，∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0，∴△OM0M1是等腰直角三角形，∴OM1=OM0=，同理，OM2=OM1=（）2，OM3=OM2=（）3，…，OM2014=OM2013=（）2014=21007．故答案为：21007．点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分60分）21．（6分）（2014•衡阳）先化简，再求值．（a+b）（a﹣b）+b（a+2b）﹣b2，其中a=1，b=﹣2．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先利用平方差公式和整式的乘法计算，再合并化简，最后代入求得数值即可．解答：解：原式=a2﹣b2+ab+2b2﹣b2=a2+ab，当a=1，b=﹣2时原式=1+（﹣2）=﹣1．点评：此题考查代数式求值，注意先利用整式的乘法化简，再代入求得数值．22．（6分）（2014•衡阳）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）计算被抽取的天数；（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数；（2）利用轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，即可得出答案；（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可．解答：解：（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）；（2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，如图所示：；（3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32，∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365=292（天）．∴估计该市一年达到优和良的总天数为292天．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（6分）（2014•衡阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．24．（6分）（2014•衡阳）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．解答：解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．答：这两年的年平均增长率为20%．点评：考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．25．（8分）（2014•衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．考点：列表法与树状图法；二元一次方程的应用．分析：（1）首先由题意可得：2x+y=15，继而求得y与x之间的关系式；（2）根据每种奖品至少买1件，即可求得所有可能的结果；（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：2x+y=15，∴y=15﹣2x；（2）购买方案：x=1，y=13；x=2，y=11，x=3，y=9；x=4，y=7；x=5，y=5；x=6，y=3，x=7，y=1；∴共有7种购买方案；（3）∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：．点评：本题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（8分）（2014•衡阳）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．考点：旋转的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=AB，根据等边对等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根据然后求出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得=为定值．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．点评：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．27．（10分）（2014•衡阳）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB的解析式，再由点的坐标求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出结论；（2）由三角函数值表示CO的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作DF⊥AB于F由三角函数值就可以求出DO，DF的值，进而得出结论．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=x+3．∴直线AB∥直线y=x．∵A（﹣4，0）、B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=5．∴sin∠BAO=，tan∠DCO=．作PE⊥AO，∴∠PEA=∠PEO=90°∵AP=t，∴PE=0.6t．∵OD=0.6t，∴PE=OD．∵∠BOC=90°，∴∠PEA=∠BOC，∴PE∥DO．∴四边形PEOD是平行四边形，∴PD∥AO．∵AB∥CD，∴四边形ACDP总是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∴tan∠DCO=tan∠BAO=．∵DO=0.6t，∴CO=0.8t，∴AC=4﹣0.8t．∵四边形ACDP为菱形，∴AP=AC，∴t=4﹣0.8t，∴t=．∴DO=，AC=．∵PD∥AC，∴∠BPD=∠BAO，∴sin∠BPD=sin∠BAO=．作DF⊥AB于F．∴∠DFP=90°，∴DF=．∴DF=DO．∴以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．点评：本题考查了待定系数法求函数的将诶相似的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的性质是关键．28．（10分）（2014•衡阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？考点：二次函数综合题．分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣2x﹣6．如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）=﹣2x2﹣6x．S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA=（﹣2x2﹣6x）×3∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3（x+）2+∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2；过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16m2+4．。
湖南衡阳数学解析-2015初中毕业学业考试试卷
2015年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数学考生注意：1、本试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟。
2、本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框。
直接在试卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算的结果是（）．A．－3 B．1 C．－1 D．3【答案】D【解析】根据非零实数的0次幂，得（－1）0＝1，而｜－2｜＝2，结果为1＋2＝3。
【考点】零指数幂；绝对值；有理数加法。
2．下列计算正确的是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】a＋a＝2a，故选项A正确；【考点】合并同类项；同底数幂的乘除法；幂的乘方。
3．如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（）．【答案】C【解析】根据俯视图是从几何体上面看到的视图发现，A选项不正确，B选项是从正面看到的视图为主视图，C选项为从上面看到的是俯视图，D选项为从侧面看到的左视图，故正确答案为C。
【考点】简单组合体的三视图。
4．若分式的值为0，则的值为（）．A．2或－1 B．0 C．2 D．－15．函数中自变量的取值范围为（）．A．B．C．D．6．不等式组的解集在数轴上表示为（）．A．B．C．D．7．已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（）．A．11 B．16 C．17 D．16或178．若关于的方程有一个根为﹣1，则另一个根为（）．A．－2 B．2 C．4 D．－39．下列命题是真命题的是（）．A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形10．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）．A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（）．A．B．C．D．12．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A．B．51 C．D．101二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．）13．在－1，0，－2这三个数中，最小的数是．14．如图，已知直线∥，∠1＝120°，则∠2的度数是．15．计算：．16．方程的解为．17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留）．18．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为m．19．已知，，则的值为．20．如图，△，△，△，…，△，都是等腰直角三角形．其中点，，…，在轴上，点，，…，，在直线上．已知，则的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分6分）先化简，再求值，其中，．22．（本小题满分6分）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质揣测．体质揣测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整．．．的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格“的百分比为．（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格“等级的学生有人．（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格“等级的学生约有人．23．（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．24．（本小题满分6分）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．25．（本小题满分8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度（微克/毫升）与服药时间小时之间的函数关系如图所示（当时，与成反比）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段与之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？26．（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）四边形AOCD是菱形；理由见试题解析27．（本小题满分10分）如图，顶点M在轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（，），当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？28．（本小题满分10分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP ＝．（1）求点M的坐标（用含的代数式表示）；（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；（3）当为何值时，四边形BNDM的面积最小．（3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°∴△DAP∽△POC，∴，∵OP＝，OC＝4，∴AP＝4－∴，∴AD＝，∴BD＝＝∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD∵S四边形BNDM＝∴S＝。
湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数学试题(附答案)
湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算(－1)0＋|－2|的结果是（）A．－3 B．1 C．－1 D．3答案：D 【解析】本题考查零指数幂和绝对值，难度较小．(－1)0＋|－2|＝1＋2＝3，故选D．2．下列计算正确的是（）A．a＋a＝2a B．b3·b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．(a5)2＝a7答案：A 【解析】本题考查整式的运算，难度较小．a＋a＝2a，b3·b3＝b6，a3÷a＝a2，(a5)2＝a10，故选A．3．如图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（）A B C D答案：C 【解析】本题考查几何体的俯视图，难度较小．该几何体的俯视图是矩形内有一个圆，故选C．4．若分式的值为0，则x的值为（）A．2或－1 B．0 C．2 D．－1答案：C 【解析】本题考查分式方程的求解，难度较小．，则x－2＝0且x＋1≠0，解得x＝2，故选C．5．函数中自变量x的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥－1 C．x＞－1 D．x≥1答案：B 【解析】本题考查函数自变量的取值范围，难度较小．函数有意义，则x＋1≥0，解得x≥－1，故选B．6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A B C D答案：B 【解析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，难度较小．∵不等式组的解集为－2≤x＜1，点－2在数轴上用实心，点1用空心，故选B．7．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或17答案：D 【解析】本题考查等腰三角形的周长，难度较小．等腰三角形的两边长分别为5和6，则等腰三角形的腰可以为5或6，当腰为5时，周长16；当腰为6时，周长为17，故选D．8．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为（）A．－2 B．2 C．4 D．－3答案：A 【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，难度较小．设方程的另一根为b，则b－1＝－3，∴b＝－2，即方程的另一根为－2，故选A．9．下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案：A 【解析】本题考查真命题的判定，难度较小．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形，只有A正确，故选A．10．在2015年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元答案：C 【解析】本题考查众数和中位数，难度较小．数据50，20，50，30，25，50，55中50有3个，∴这组数据的众数是50元，按从小到大的次序排列后为20，25，30，50，50，50，55，∴这组数据的中位数是50元，故选C．11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900答案：B 【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，难度中等．绿地的宽为x米，则绿地的长为(x＋10)米，∵矩形绿地的面积为900平方米，∴可列方程x(10＋x)＝900，故选B．12．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．B．51C．D．101答案：C 【解析】本题考查解直角三角形的应用，难度中等．由题意知CE＝100米，∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，∴AE＝CE＝100米，∴．∵BG＝1，∴米，故选C．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上）13．在－1，0，－2这三个数中，最小的数是_________．答案：－2 【解析】本题考查有理数的大小比较，难度较小．0大于负数，两个负数相比绝对值大的反而小，∴在－1，0，－2中最小的数是－2．14．如图，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是_________．答案：60°【解析】本题考查平行线的性质，难度较小．∵a∥b，∴∠1＋∠2＝180°．∵∠1＝120°，∴∠2＝60°．15．计算：_________．答案：【解析】本题考查二次根式的减法，难度较小．．16．方程的解为_________．答案：x＝－1 【解析】本题考查解分式方程，难度较小．去分母得x－2＝3x，移项得x－3x＝2，合并同类项得－2x＝2，系数化为1得x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为_________（结果保留π）．答案：3π【解析】本题考查扇形的面积，难度较小．圆心角为120°的扇形的半径为3，则扇形的面积为．18．如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘的宽度AB为_________m．答案：40 【解析】本题考查中位线的性质，难度较小．∵M，N分别为OA，OB的中点，MN＝20 m，∴AB＝2MN＝40 m．19．已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为_________．答案：－3 【解析】本题考查代数式求值，难度较小．∵a＋b＝3，a－b＝－1，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝－3．20．如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△A n B n A n＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，A n在x轴上，点B1，B2，…，B n在直线y＝x上．已知OA1＝1，则OA2015的长为_________．答案：22014【解析】本题考查等腰直角三角形的性质、正比例函数、相似三角形的规律探究，难度中等．由题意知∠B1OA1＝45°，所有的等腰直角三角形均相似，∵OA1＝1，∴A1B1＝1，∴A2B2＝2，A3B3＝22，A4B4＝23，A5B5＝24，……，A n B n＝2n－1，∴OA2015＝22014．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分）先化简，再求值．a(a－2b)＋(a＋b)2，其中a＝－1，．答案：本题考查利用二次根式进行整式的化简求值，难度较小．解：a(a－2b)＋(a＋b)2＝a2－2ab＋a2＋2ab＋b2＝2a2＋b2，（4分）当a＝－1，时，．（6分）22．（本小题满分6分）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答下列问题：扇形统计图条形统计图（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为_________；（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有_________人；（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有_________人．答案：本题考查条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，难度较小．解：（1）40%．（2分）（2）16．（4分）（3）128．（6分）23．（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．答案：本题考查图形的对称和旋转，难度较小．解：（1）如图所示．（2分）（2）①90．（4分）②B2(6，2)．（6分）24．（本小题满分6分）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．答案：本题考查概率的计算，难度中等．解法一：列表法（4分）∴．（6分）解法二：画树状图（4分）∴．（6分）25．（本小题满分8分）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？答案：本题考查一次函数和反比例函数的实际应用，难度中等．解：（1）上升阶段：设y＝k1x，依题意得8＝4k1，k1＝2，∴y＝2x(0≤x≤4)．（3分）下降阶段：，依题意得，∴k2＝32，∴(4≤x≤10)．（5分）（2）由2x＝4得x＝2，∴A(2，4)，（6分）由得x＝8，∴B(8，4)，8－2＝6，故血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时．（8分）26．（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．答案：本题考查圆的切线的判定、圆周角定理和菱形的判定，难度中等．解：（1）证明：∵点C，D为半圆O的三等分点，∴，∴∠DAB＝∠COB＝60°，∴AE∥CO．（2分）又∵CE⊥AE，∴CE⊥CO，∴CE为⊙O的切线．（4分）（2）四边形AOCD是菱形，理由如下：解法一：连接AC，∵，∴∠1＝∠2，∴DC∥AO．（6分）又∵AD∥CO，∴四边形AOCD是平行四边形．（7分）又∵AO＝CO，∴四边形AOCD是菱形．（8分）解法二：连接OD，易证△AOD和△COD为正三角形得AO＝OC＝CD＝DA．27．（本小题满分10分）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．答案：本题考查一次函数、二次函数、直角三角形的判定和图形的平移的综合应用，难度较大．解：（1）当y＝0时，x＝－1，∴A(－1，0)．当x＝2时，y＝2＋1＝3，∴B(2，3)，（1分）依题意设抛物线的函数关系式y＝ax2＋c，则解得∴y＝x2－1．（3分）（2）△ABM为直角三角形，且∠BAM＝90°．解法一：易求M(0，－1)，C(0，1)，∴△AOM为等腰直角三角形，∴∠OAM＝45°，（4分）同理可求∠CAO＝45°，（5分）∴∠BAM＝90°，△ABM为直角三角形．（6分）解法二：过点B作BD⊥y轴于点D，BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得AB2＝32＋32＝18，BM2＝22＋42＝20，AM2＝12＋12＝2，（5分）∴AB2＋AM2＝BM2，∴△ABM为直角三角形且∠BAM＝90°．（6分）（3）设平移后的抛物线的函数关系式为y＝(x－m)2＋2m，依题意得有解，（8分）∴x2－2mx＋m2＋2m＝x，即x2－(2m＋1)x＋m2＋2m＝0有解，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4·1·(m2＋2m)＝4m2＋4m＋1－4m2－8m＝1－4m，（9分）当Δ≥0时，即1－4m≥0，解得，方程x2－2mx＋m2＋2m＝x总有实数根，∴当时，平移后的抛物线总有不动点．（10分）28．（本小题满分10分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N连接ND，BM，OP＝t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．答案：本题考查正方形的性质、点的坐标、三角形全等与相似、二次函数的综合应用，难度较大．解：（1）过点M作ME⊥x轴于E点．∵PM⊥CP，∴∠1＋∠2＝90°．又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3．（1分）又∵∠COP＝∠PEM，CP＝PM，∴△COP≌△PEM(AAS)，（2分）∴ME＝OP＝t，PE＝CO＝4，∴M(4＋t，t)．（3分）（2）MN的长度不随点P的位置变化而改变，理由如下：解法一：由B(4，4)可求得直线OB的函数关系式为y＝x．（4分）当y＝t时，x N＝t，∴N(t，t)，（5分）∴MN＝(4＋t)－t＝4．（6分）解法二：连接AM．∵四边形OABC为正方形，∴∠4＝45°．（4分）又由（1）知PE＝OA＝4，∴OP＝AE＝ME＝t，∴∠5＝45°，∴AM∥OB，∴四边形OAMN为平行四边形，（5分）∴MN＝OA＝4．（6分）解法三：易证△BNF为等腰直角三角形，∴NF＝BF，（4分）易证四边形AEMF为正方形，∴FM＝FA，（5分）∴MN＝NF＋FM＝BF＋FA＝AB＝4．（6分）（3）∵∠2＝∠3，∠COP＝∠PAD＝90°，∴△COP∽△PAD，∴，∴，（8分）∴，∴，（9分）当时，S四边形BNDM有最小值为6，故当t＝2时，四边形BNDM的面积有最小值6．（10分）综评：本套试卷覆盖面广，结构合理，难度中等，区分度明显．试题在考查方向上，体现注重基础、突出能力；在考查内容上，体现基础性、应用性、探究性和综合性．第1～10，13～17，19，21～23等题主要考查考生对数学基础知识内容的掌握和理解，第11，12，18，25等题主要考查数学知识的实际应用，第20题考查考生的规律探究，第26，27，28题侧重考查考生数学知识和数学思想方法的综合应用．。
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2015年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．计算()210-+-的结果是（ ）．
A ．－3
B ．1
C ．－1
D ．3
2．下列计算正确的是（ ）．
A ．a a a 2=+
B ．3332b b b =⋅
C ．33a a a =÷
D ．()725a a =
3．如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 4．若分式1
2+-x x 的值为0，则x 的值为（ ）． A ．2或－1 B ．0 C ．2 D ．－1
5．函数1+=x y 中自变量x 的取值范围为（ ）．
A ．0≥x
B ．1-≥x
C ．1->x
D ．1>x
6．不等式组⎩
⎨⎧<-≥12x x 的解集在数轴上表示为（ ）． A ． B ． C ． D ．
7．已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）．
A ．11
B ．16
C ．17
D ．16或17
8．若关于x 的方程230x x a ++=有一个根为－1，则另一个根为（ ）．
A ．－2
B ．2
C ．4
D ．－3
9．下列命题是真命题的是（ ）．
A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B ．对角线相等的四边形是矩形
C ．对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他
们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ ）．
A ．50元，30元
B ．50元，40元
C ．50元，50元
D ．55元，50元
11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽
多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为（ ）．
A ．()10900x x -=
B ．()10900x x +=
C ．()1010900x +=
D ．()210900x x ++=⎡⎤⎣⎦
12．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔
顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶
端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（ ）．
A ．
B ．51
C ．1
D ．101
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．）
13．在－1，0，－2这三个数中，最小的数是 ．
14．如图，已知直线a ∥b ，∠1＝120°，则∠2的度数是 ．
15 ．
16．方程132
x x =-的解为 ． 17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）．
18．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A 、B 两点的点O 处，再分别取OA 、
OB 的中点M 、N ，量得MN ＝20m ，则池塘的宽度AB 为 m ．
19．已知3a b +=，1a b -=-，则22a b -的值为 ．
20．如图，△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ，…，△n n n 1A B A +，都是等腰直角三角
形．其中点1A ，2A ，…，n A 在x 轴上，点1B ，2B ，…，n B ，在直线y x =上．
已知1OA 1=，则2015OA 的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（本小题满分6分）先化简，再求值
()()2
2a a b a b -++，其中1a =-，b =．
22．（本小题满分6分）
为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质揣测．体质揣测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列
两幅不完整
．．．的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）在扇形统计图中，“合格“的百分比为．
（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格“等级的学生有人．
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格“等级的学生约有人．
23．（本小题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，
点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
24．（本小题满分6分）
某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．
25．（本小题满分8分）
某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示（当410
≤≤时，y与x成反比）．
x
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
26．（本小题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
27．（本小题满分10分）
如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线1
y x
=+相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y x
的交点称为抛物线的不动点．
若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），
当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？
28．（本小题满分10分）
如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP ＝t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．。