文科2005年高考数学(江西卷)试题及答案

2005江西卷试题及答案

第I 卷

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

24R S π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 3

3

4R V π=

次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合?--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{(I C B )=（ ）

A ．{1}

B ．{1，2}

C ．{2}

D ．{0，1，2}

2．已知==αα

cos ,32

tan 则（ ）

A ．5

4

B ．－5

4

C ．

15

4 D ．－5

3

3．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）

A ．4项

B ．3项

C ．2项

D ．1项

4．函数)

34(log 1

)(2

2-+-=x x x f 的定义域为（ ） A ．（1，2）∪（2，3） B ．),3()1,(+∞?-∞

C ．（1，3）

D ．[1，3]

5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ） A ．周期函数，最小正周期为

3

2π B ．周期函数，最小正周期为3

π C ．周期函数，数小正周期为π2 D ．非周期函数

6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,2

5

)(,5||),4,2(),2,1(=?+=--=（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同

分组方法的种数为（ ）

A ．70

B ．140

C ．280

D ．840

8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :

A

c

C b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直

二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） A ．

π12

125

B ．

π9

125

C ．

π6

125

D ．

π3

125

10．已知实数a 、b 满足等式,)3

1()2

1(b a =下列五个关系式： ①0

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当

△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）

A ．6

π

B ．4

π

C ．3

π

D ．2

π

12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三

学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）

A ．0,27,78

B ．0,27,83

C ．2.7,78

D ．2.7,83

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填

在答题卡上.

13．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = . 14．设实数x , y 满足

的最大值是则x y y y x y x ,0

320420

2??

?

?

?≤->-+≤-- .

15．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ，

且2

π

=

∠BAC ，则PA 与底面ABC 所成角

为 .

16．以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；

②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若

),(2

1

OB OA OP +=

则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线135

192522

22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知函数b

ax x x f +=2

)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个

实根为x 1=3, x 2=4.

（1）求函数f (x )的解析式；

（2）设k>1，解关于x 的不等式；x

k

x k x f --+<2)1()(. 18．（本小题满分12分）

已知向量b a x f x x b x x a ?=-+=+=)()),4

2

tan(),4

2

sin(2()),4

2

tan(,2cos 2(令π

π

π

.

求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.

19．（本小题满分12分）

A 、

B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率. 20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD —A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D1E ⊥A1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D1—EC —D 的大小为4

. 21．（本小题满分12分）

如图，M 是抛物线上y2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.

（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.

1

A

22．（本小题满分14分）

已知数列{a n}的前n

项和Sn 满足

Sn －Sn －

2=3,2

3,1),3()2

1

(211-==≥--S S n n 且求数列{a n}的通项公式.

参考答案

1-6: DBBAAC 7-10: ACCBDA 13.

2 14. 32 15.3

π

16. ③④ 17．解：（1）将0124,32

21=+-+==x b

ax x x x 分别代入方程得

).2(2)(,218416939

2≠-=???=-=??????

?-=+-=+x x x x f b a b

a b

a 所以解得 （2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-x

k x k x x k x k x x 可化为

即.0))(1)(2(>---k x x x

①当).,2(),1(,21+∞?∈<

②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞?∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞?∈>k x k 解集为时当.

18

．

解

：

)42t a n (

)42t a n ()42s i n (2c

o s 22)(π

ππ-+++=?=x x x x b a x f 12cos 22cos 2sin 2

2

tan

11

2tan 2

tan

12tan

1)2

cos 222sin 22(2cos 222-+=+-?-++

+=x x x x x x x

x x

x

sin cos ).4

x x x π

=+=+

当4x π=时，max ()|()4

f x f π

==最小正周期为2T π=

()f x 在0,4π??????是单调增加，在,4ππ??

????

是单调减少

19．解：设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，正面出现的次数为m ，

反面出现的次数为n ，则||5

17m n m n ξξ-=??

+=??≤≤?

，可得：

5,00,5,5;

m n m n ξ=====当或时

6,11,6,7.m n m n ξ=====当或时 :5,7ξ所以的所有可能取值为

517

51115(7)(5)(7)2()2()22166464

P P P C ξξξ≤==+==?+=+=

20．解法（一）

（1）证明：∵AE ⊥平面AA1DD1，A1D ⊥AD1，∴A1D ⊥D1E （2）设点E 到面ACD1的距离为h ，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2， 故.2

121,23215221

1

=??==-

??=??BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3

1

31111=∴?=?∴?=?=

∴??-h h h S DD S V C AD AEC AEC D

（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D1H 、DE ，则D1H ⊥CE ， ∴∠DHD1为二面角D1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x

,

,,1,.

1,4

,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =?∴+=?=∴=

∠?中在中在中在 π

1

A

.

4

,32.

32543.54,3122π

的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=+∴+-=?=?

解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0） （1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，

)1,0,1(1-=AD ，

设平面ACD1的法向量为),,(c b a =，

则?????=?=?,

0,01AD AC n 也即???=+-=+-002c a b a ，得?

??==c a b a 2，从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD1C

的距离为

.3

1

3212|

|1=-+=

=

n h （3）设平面D1EC 的法向量),,(c b a n =，∴

),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x

由???=-+=-??????=?=?.0)2(02,

0,01x b a c b C D n 令b=1, ∴c=2,a =2－x ，

∴).2,1,2(x -= 依题意.22

5

)2(222|

|||4

cos 211=+-?=

?=

x DD n π

∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D1—EC —D 的大小为4

π

.