2电磁场基本方程
电磁场基本方程
电磁场基本方程1.麦克斯韦方程组1)麦克斯韦方程组全面反映了电磁基本规律，揭示了一般电磁现象，其微分形式的方程为： 0()t ∂∇⨯+=∂B B 法拉第定律 (2-1) 该定律揭示电磁感应现象，将磁场和电场有机联系了起来。
-(-)J t ∂∇⨯=∂D H 麦克斯韦安培定律 (2-2) 该定律的含义是磁通密度矢量沿任意一个闭合回路的线积分与穿过该闭合回路所在曲面Ω的电流总和相等，而与介质和磁场强度H 的分布无关。
()ρ∇•=D 高斯定律 (2-3) 该定律的含义是穿过任意一个闭合曲面的电通量（电位移矢量在该闭合曲面的有向积分）与这一闭合曲面所包围的自由电荷代数和相等，而与电介质和电通密度矢量分布无关。
0()∇•=B 磁场高斯定律 (2-4) 该定律的含义是穿出任意一个闭合曲面的磁通量（即磁通密度矢量在该闭合曲面的有向积分）恒等于零，而与磁介质和磁通密度矢量分布无关。
2)连续性方程，它是电流守恒定律的微分形式，可表示成：-t ρ∂∇•=∂J (2-5) 3)本构关系：本构关系表示与媒质电磁特性相关场量之间的关系，也叫媒质构成方程。
它描述了磁介质、电介质与导电体媒质三种电磁介质，同时解释了电磁场作用的媒质的分子磁化、电子传导、极化的机理，其中：ε=D E (2-6)μ=B H (2-7) 在电源以外区域有：()e σν=+⨯J E B (2-8) 需要注意，公式 (2.6)到(2.8)中，εμσ、、均为标量，因为材料均是各向同性媒质，若是各向异性媒质则均为张量。
其中：H 表示磁场强度；B 表示磁感应强度；E 表示电场强度；D 表示电位移矢量；J 表示电流密度；ρ表示电荷密度；ε表示电容率；σ表示电导率；ν表示磁阻率。
对于低频似稳电磁场，进行问题分析时在一般情况下可忽略因电场变化时产生的磁场，只研究磁场变化而产生的电场。
因为由麦克斯韦方程可知，电磁场的频率较低时，一般在1010Hz 以下，传导电流密度J 很大，而电位移矢量密度/t ∂∂D 很小，因此近似认为导体中无感应的涡流。
电磁场与电磁波公式整理
电磁场与电磁波公式整理第一章A：矢量恒等式()()()A B C B C A C A B ×=×=×i i i ()()()A B C B A C C A B ××=−i i ()uv u v v u ∇=∇+∇ ()uA u A A u ∇=∇+∇i()0U ∇×∇=()0A ∇∇×=i 2()U U ∇∇=∇i2()()A A A ∇×∇×=∇∇−∇iVSAdV A dS ∇=∫∫i iVCAdS A dl ∇×=∫∫in V S AdV AdS e ∇×=×∫∫ n V S udV udS e ∇=∫∫n S C udS udl e ×∇=∫∫ 2)V S u v u dV udSnv v ∂+∇∇=∇∂∫∫i22(()VSuu v v dV uv dS n nv u ∂∂−=−∇∇∂∂∫∫ B：三种坐标系的积分元以及梯度、散度、旋度、和拉普拉斯运算⑴直角坐标系位置矢量微分元：x y z dr dx dy dz e e e =++面积元：,,x y z d dydz d dxdz d dxdy s s s === 体积元：dv dxdydz = x y z u u uu e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ y x z A A A A x y z∇=∂∂∂++∂∂∂i x yz A x y z A A A x yz e ee∂∂∂∇×=2222222u u u u x y z ∇∂∂∂=++∂∂∂()uA u A u A ∇×=∇×+∇×()A B B A A B∇×=∇×−∇×i i i ()()()A B A B B A A B B A ∇=∇×+∇+×∇×+×∇×i i i ()()()()A B A B B A B A A B ∇××=∇−∇+∇−∇i i i i⑵圆柱坐标系位置矢量微分元：z dr d d dz e e e ρφρρφ=++面积元：,,z d d dz d d dz d d d s s s ρφρφρρρφ=== 体积元：dv d d dz ρρφ=z u u u u z e e e ρφρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂ ()()()11A A A z A z ρρρφρρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂i1z e e e A z A A Az ρφρρφρρφ∂∂∂∇×=∂∂∂22222211()u u u u z ρρρρρφ∂∂∂∂=++∇∂∂∂∂⑶球坐标系位置矢量微分元：sin r r r dr dr d d e e e θφθθφ=++面积元：2sin ,sin ,r d d d d r drd d rdrd r s s s θφθθφθφθ=== 体积元：2sin dv drd d r θθφ=1sin ru u u u r r r e e e θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂22111()(sin )sin sin r A r r r r rA r A A φθθθθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂i2sin 1sin sin re re r e A r ArrA r A r θφθθφθθθφ∂∂∂∇×=∂∂∂ 22222222111()(sin sin sin u u uu r r r r r r θθθθφθ∇∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ C：几个定理散度定理：v s FdV F dS ∇=∫∫i i斯托克斯定理：s c F dS F dl∇×=∫∫i i亥姆霍茨定理：()()()F r u r A r =−∇+∇×格林定理：n V S FdV F dS e ∇=∫∫i i高斯定理和环路定理：第二章表一：电荷和电流的三种密度表二：电场和磁场表四：介质中的电（磁）场感应强度:电磁感应定律S in B dS d d dt dt ϕε=−=−∫i in C in E dl ε=∫i S C S d Bd dt tE dl ∂∂=−∫∫i i 积分形式 1.如果回路静止则有：S C S Bd tE dl ∂∂=−∫∫i BE t∂∇×=−∂ 2.导体以速度v 在磁场中运动 ： ()CC v B dl E dl ×=∫∫i i3.导体在时变场中运动：()CS S B d tC v B dl E dl ∂∂−×=+∫∫∫i i i表五：麦克斯韦方程组：。
电磁场问题的有限元分析
ANSYS电磁场分析首先求解出电磁场的磁势和电势， 然后经后处理得到其他电磁场物理量，如磁力线分布、磁 通量密度、电场分布、涡流电场、电感、电容以及系统能 量损失等
● 电力发电机 ● 变压器 ● 电动机 ● 天线辐射 ● 等离子体装置
9.1 电磁场基本理论
（4）ANSYS电磁场分析简介 2. ANSYS电磁场分析方法 (2)建立分析模型。 在建立几何模型后，对求解区域用选定的单元进行划分， 并对划分的单元赋予特性和进行编号。 单元划分的疏密程度要根据具体情况来定，即在电磁 场变化大的区域划分较密，而变化不大的区域可划分得稀 疏些。 (3)施加边界条件和载荷。 (4)求解和后处理。
过滤图形用户界面进入电磁场 分析环境。在ANSYS软件的 Multiphysics模块中，执行：Main Menu>Preferences，在弹出的对话 框中选择多选框“Magnetic-Nodal” 后，单击[OK]。
9.2 二维静态磁场分析
（2）二维静态磁场分析实例 (2) 建立模型 ①生成大圆面：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Area >Circle>By Dimensions弹出如对话框，在对 话框中输入大圆的半径“6”．然后单击 [OK]。 ②生成小圆： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Ci rcle>Solid Circle，弹出一个对话框，在“WP X”后面 输入“1”，在“Radius”后面输入“2”，单击[OK]， 则生成第第二个圆。 ③布尔操作： MainMenu>Preprocessor>Modeling>Cr eate>Booleans>Overlap>Area，在弹出 对话框后，单击[Pick All]。
习题答案第2章 电磁场基本方程
第2章电磁场基本方程2.1/2.1-1设空气中有一半径为a 的电子云，其中均匀充满着密度为ρv 的电荷。
试求球内（r<a ）和球外（r>a ）任意点处的电通密度D 和电场强度E 及D ⋅∇和E ⋅∇。
1)r<a:03ˆ,3ˆερρrrE r r D v v ==∴0,31022=×∇=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E r r r r D v v ρερ2)r>a:203233ˆ,3ˆr a r E r a r D v v ερρ==∴0,03132=×∇=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E a r r D v ρ2.2/ 2.1-2设空气中内半径a 、外半径b 的球壳区域内均分布着体密度为ρv 的电荷。
试求以下三个区域的电场强度E E ⋅∇、及E ×∇：(a)r<a ；(b)a<r<b ；(c)r>b.[解]应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.dvrr D s d D svv ∫∫=⋅=⋅ρπ24ˆ(a)r<a:0,0==∴E D 0,0=×∇=⋅∇E E (b)a<r<b:()()33203323ˆ,3ˆa r rr E a r r rD v v −=−=∴ερρ()0,3103302=×∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∂∂=⋅∇E a r r r E v v ερερ(c)r>b:()()33203323ˆ,3ˆa b rr E a b r rD v v −=−=∴ερρ0,0=×∇=⋅∇E E 2.3/2.1-3一半径等于3cm 的导体球，处于相对介电常数εr =2.5的电介质中，已知离球心r=2m 处的电场强度E=1mv/m ，求导体球所带电量Q 。
[解]由高斯定理知,Qr E =⋅24πεC E r Q 123921011.1105.210361444−−−×=×××××==∴ππεπ2.4/2.1-4一硬同轴线内导体半径为a ，外导体内外半径分别为b 、c ，中间介质为空气（题图2-1）。
第2章--电磁场基本方程---2
l
a 2
2 a
故 E ˆ U
ln
b a
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处:
EM
U a ln
b a
c) EM最大值发生于
dEM da
U (a ln
b a
)2
(ln
b a
1)
0
得
ln b 1
b e
a
a
故
a b 1.8 0.662cm
e 2.718
15
电磁场
第二章 电磁场基本方程
例 3 设有二块无限大带电平行平面, 面上分别带有均匀 电荷, 上极板电荷密度是-ρs(C/m2), 下极板为+ρs(C/m2), 两 极板间距离为d(m), 如图3 - 3所示。试求平行板内、外各 点的电场强度。
解: 由高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为 0
0 E
用球坐标中的散度公式
A
1 r2
(r 2 Ar ) r
1
r sin
(sin A )
1
r sin
A
可得
0
(r>a)
o E0
15 2a3
(a2
r2)
(r<a)
21
电磁场
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .4 比奥-萨伐定律, 磁通密度
H dl I
l －－－－安培环路定律
物理意义: 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所
包围的电流I。
I: 传导电流的代数和。
可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
因为S面是任意取的, 所以
( H ) ds J ds
s
S
H J 32
电磁场方程及其解法
电磁场方程及其解法电磁场是自然界中非常重要的物理现象，它的应用领域非常广泛。
电磁场方程是描述电磁现象的基本方程，了解电磁场方程及其解法，对于深入理解电磁现象具有重要的意义。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的重要基础方程组。
麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定理、法拉第定律、安培环路定理和位移电流定律。
高斯定理描述了电场和电荷之间的关系。
该定理的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$其中$\boldsymbol{E}$表示电场矢量，$\rho$表示电荷密度，$\varepsilon_0$表示真空电容率。
法拉第定律描述了磁场和电流之间的关系。
该定律的数学表达式为：$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$其中$\boldsymbol{B}$表示磁场矢量，$t$表示时间。
安培环路定理描述了磁场和电流之间的关系。
该定理的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{B}=0$$$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}+\mu_0\vare psilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}$$其中$\boldsymbol{J}$表示电流密度，$\mu_0$表示真空磁导率。
位移电流定律描述了电场和磁场之间的关系。
该定律的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$$$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$二、电磁场方程的解法由于电磁场方程比较复杂，通常采用数值解法进行求解。
电磁场理论
电磁场理论电磁场理论，是电磁学的一个重要分支，研究电荷的运动对周围空间所形成的电场和磁场的影响，以及电流产生的磁场对周围空间所形成的电场和磁场的影响。
电磁场理论的基本方程包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力密度方程。
麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，它包含了四个基本方程：1. 高斯定律：电场的通量与被包围电荷量之比等于电场强度在该点的值。
$$\abla \\cdot \\mathbf{E}=\\frac{\\rho}{\\varepsilon_{0}}$$2. 麦克斯韦—法拉第定律：磁场感应强度的闭合线圈输出电动势等于穿过该线圈的时间变化磁通量。
$$\abla \\times \\mathbf{E}=-\\frac{\\partial \\mathbf{B}}{\\partial t}$$3. 法拉第定律：导体中的电流与其上产生的磁场强度成正比。
$$\abla \\cdot \\mathbf{B}=0$$4. 安培定律：电流的旋度等于该点磁场的旋度与电场强度之和。
$$\abla \\times \\mathbf{B}=\\mu_{0} \\mathbf{J}+\\mu_{0}\\varepsilon_{0} \\frac{\\partial \\mathbf{E}}{\\partial t}$$其中，$\\rho$ 为电荷密度，$\\mathbf{E}$ 为电场强度，$\\mathbf{B}$ 为磁场感应强度，$\\mu_0$ 为真空中的磁导率，$\\varepsilon_0$ 为真空中的介电常数，$\\mathbf{J}$ 为电流密度。
洛伦兹力密度方程是磁场产生力的关系式，它描述了电磁场对电荷的作用力，即洛伦兹力：$$\\mathbf{f}=q\\left(\\mathbf{E}+\\mathbf{v} \\times\\mathbf{B}\\right)$$其中，$\\mathbf{v}$ 为电荷的速度。
麦克斯韦方程组四个方程的实验基础
麦克斯韦方程组四个方程的实验基础
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它有四个方程，分别是：
1. 麦克斯韦第一方程（电场高斯定律）：它指出电场从正电荷发出并向负电荷发散，电场通过一个闭合曲面的通量与曲面所包围的电荷成正比。
这一方程的实验基础是库仑定律和电场的测量实验。
2. 麦克斯韦第二方程（电场磁感应定律）：它表明磁感应线圈电场的环路积分等于该环路所包围的电荷以及穿过此环路的电流的代数和。
这一方程的实验基础是奥萨伐尔定律和磁场的测量实验。
3. 麦克斯韦第三方程（磁场高斯定律）：它说明磁感应从北极发散，向南极汇聚，磁感应通过一个闭合曲面的通量为零。
这一方程的实验基础是磁场的测量实验。
4. 麦克斯韦第四方程（安培定律）：它描述了变化的磁场产生电场环路积分，等于通过环路的电流和由磁场产生的位移电流之和。
这一方程的实验基础是法拉第电磁感应定律和安培环路定律的实验。
综上所述，麦克斯韦方程组的实验基础是通过电场、磁场和电流等的实验测量，结合库仑定律、奥萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律等原理来推导和验证的。
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第2章 电磁场基本方程2.1 / 2.1-1设空气中有一半径为a 的电子云，其中均匀充满着密度为ρv 的电荷。
试求球内（r<a ）和球外（r>a ）任意点处的电通密度D 和电场强度E 及D ⋅∇和E ⋅∇。
[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.dv r rD s d D svv⎰⎰=⋅=⋅ρπ24ˆ1) r<a:334r dv vvv πρρ⎰=3ˆ,3ˆερρrrE rrD v v ==∴0,31022=⨯∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E rr r r D v v ρερ 2) r>a:334a dv vvv πρρ⎰=203233ˆ,3ˆra r E ra rD v v ερρ==∴ 0,03132=⨯∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E ar r D v ρ 2.2 / 2.1-2设空气中内半径a 、外半径b 的球壳区域内均分布着体密度为ρv 的电荷。
试求以下三个区域的电场强度E E ⋅∇、及E ⨯∇：(a)r<a ；(b)a<r<b ；(c)r>b.[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.dv r rD s d D svv⎰⎰=⋅=⋅ρπ24ˆ(a) r<a:0=⎰dv vvρ0,0==∴E D 0,0=⨯∇=⋅∇E E(b) a<r<b:()3334ar dv vvv -=⎰πρρ()()33203323ˆ,3ˆarrrE a rrrD v v -=-=∴ερρ()0,3103302=⨯∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=⋅∇E a r r r E v v ερερ(c) r>b:()3334ab dv vvv-=⎰πρρ()()33203323ˆ,3ˆabrrE a brrD v v -=-=∴ερρ0,0=⨯∇=⋅∇E E2.3 / 2.1-3一半径等于3cm 的导体球，处于相对介电常数εr =2.5的电介质中，已知离球心r=2m 处的电场强度E=1mv/m ，求导体球所带电量Q 。
[解] 由高斯定理知, Q r E =⋅24πεC E r Q 123921011.1105.210361444---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==∴ππεπ2.4 / 2.1-4 一硬同轴线内导体半径为a ，外导体内外半径分别为b 、c ，中间介质为空气（题图2-1）。
当内外导体分别通过直流I 和-I 时，求：(a)内导体（ρ<a ）；(b)内外导体之间（a<ρ<b ）；(c)外导体中（b<ρ<c ）三个区域的B H 、和B H ⋅∇⨯∇、。
[解] (a) :a r <应用安培环路定律，222022aIl d d aIH l d Hl==⋅=⋅⎰⎰⎰πρϕρρππρ题图2-1 同轴线横截面图22ˆaI H πρϕ=， 2002ˆaIlH B πμϕμ==J a Iz aI z H ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇222ˆ21ˆππρρρ 01=∂∂=⋅∇ϕρϕB B(b) :b r a << I H =⋅πρ2πρϕ2ˆI H =, πρμϕ2ˆ0IB =021ˆ=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⨯∇πρρI z H 01=∂∂=⋅∇ϕρϕB B(c) :c r b << ()()222222222bc c Ibbc II H --=-⋅--=⋅ρρπππρ22222ˆbc c I H --=ρπρϕ,222202ˆbc c I B --=ρπρμϕ()J b c Iz bc c I z H '-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∂∂=⨯∇222222ˆ21ˆπρπρρ 01=∂∂=⋅∇ϕρϕB B2.5 / 2.2-1 一矩形线圈与载有电流I 的直导线同平面，如题图2-2所示。
求下述情况下线圈的感应电动势： a)线圈静止，I=I 0sin ωt ；b)线圈以速度v 向右边滑动，I=I 0。
[解] (a) 应用安培环路定律,I H I l d Hl==⋅⎰πρ2,πρμρπρρ2ˆ,2ˆI B I H ==∴ab a Ic dldz I dz Bd s d B Cba as c ba am+===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰++ln220πμρπμρψ题图2-2载流直导线与矩形线圈（b ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=-=vt a vt b a c I dt d dtd mln 20πμψε ()()()2012vt a vt b a v vt a v vta vtb a cI +++-+⋅+++-=πμ()()vt a vt b a vbcI +++=02πμ2.6 / 2.2-2一平行板电容器由两块导体圆片构成，圆片半径为a ，间距为d ，d<<a ，其间填充介电常数为ε、磁导率为μ0的介质。
在电容器中心加一正弦电压U=U 0sin ωt 。
(a)求介质中的电场强度和磁场强度；(b)求介质中位移电流总值，并证明它等于电容器的充电电流；(c)设介质电导率为σ，求介质中传导电流与位移电流之比。
若εr =5.5，σ=10-3S/m ，f =3×106Hz ，此比值多大？[解] (a) t dU zE t dU dU E ωωsin ˆ,sin 00===tU dH t U dtD H t D H s d t D J dl H t U dtD l s ωωερϕωωερρπρπρωωεcos 2ˆ,cos 222cos 002011==∂∂=∴∂∂=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⋅=∂∂⎰⎰(b) t U da tD aS J I d d ωωεππcos 022=∂∂==da dA C 2επε==d I t U da dtdU CI ===∴ωωπcos 02. 得证.(c) ,E J c σ= 振幅dU E J m cm 0σσ== ,cos 0t U dtD J d ωωε=∂∂=振幅0U dJ dm ωε=27.310854.85.51023101263=⨯⨯⨯⨯⨯==∴--πωεσdmcm J J2.7 / 2.3-1 麦克斯韦方程组为什么不是完全对称的？[答] 自然界中存在电荷和电流,但并无单独存在的磁荷及磁流; 电场是有散场而磁场是无散场,因而不对称.2.8 / 2.3-2 试由表2.3-1中麦克斯韦方程组（b ）（c ）导出电流连续性方程（e ）。
[解] 由0,0)(=⋅∇∂∂+⋅∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅∇⋅∇D t J t D J b 得 将式(c)代入上式得, 0=∂∂+⋅∇v tJ ρ 此即电流连续性方程(e)2.9 / 2.3-3已知真空中无源区域有时变电场()kz t E xE -=ωcos ˆ0。
a)由表2.3-1的麦克斯韦 方程（a ）求时变磁场H ；b)证明Ω===377/,0000εμεμωH E k 。
[解] (a) ()()t B kz t kE y kz t E x z z y y xx E ∂∂-=-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ωωsin ˆcos ˆˆˆˆ00 ()()C kz t E ky dt kz t kE yB +-=--=∴⎰ωωωcos ˆsin ˆ00时变场中无恒定成分,故C=0,得()00000,cos ˆE kH kz t H yBH ωμωμ=-==(b) 由Maxwell 方程(b),()kz t E xtE tD H --=∂∂=∂∂=⨯∇ωωεεsin ˆ000又, ()()kz t E kxkz t E ky z z y y xx H --=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ωωμωωμsin ˆcos ˆˆˆˆ00200从而得000022,εμωεμω==k kΩ==⨯⨯====--377120103611049700000πππεμεμωωμωμkH E2.10 / 2.3-4 设z y x E z E y E xE ˆˆˆ++=，请导出矢量波动方程（2.3-2）的三个标量方程。
[解] ()E E E ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⨯∇-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∇=x E z E z y E x E y x z E y E x E z z y y x x y E x E z x E z E y zE y E x z E y E x E z xxy z y xx y z xy z zy x ˆˆˆˆˆˆˆ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-z E y E y x E zE x z y E x E x z E y E zy y zz x x yy zˆˆ ,ˆˆˆˆ_ˆˆ222222222222222222222z y x z z z y y y z x x E z E y E xz E y E x E z z E y E x E y z E y E x E x ∇+∇+∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=式中2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇由有,0222=∂∂-∇tE E με⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇=∂∂-∇000222222222t E E y E E t E E z z y y xx μεμεμε2.11 / 2.3-5 试证：在简单媒质中存在场源00≠≠v J ρ，时，电场强度E 和磁场强度H 分别满足非齐次矢量波动方程（2.3-4）和（2.3-5）。
[证] 由Maxwell 方程组(a )、(b)及(c)得()()()()H ttB D E E E v ⨯∇∂∂+∇=∂∂⨯∇+⋅∇∇=⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇μρεε112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∇=221t D t J Vμρεv tJ tE E ρεμμε∇+∂∂=∂∂-∇∴1222由Maxwell 方程组(a )、(b)及(c)可得()()()2221t HJ E t J t D j B H H ∂∂+⨯-∇=⨯∇∂∂-⨯-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇-⋅∇∇=⋅∇∇=∇μεεμ J tH H ⨯-∇=∂∂-∇∴222με2.12 / 2.3-6 应用麦氏方程组导出RLC 并联电路的下述电流方程：dt U L dtdU CR U I ⎰++=1[解] 由Maxwell 方程组 (b '),s d t D J l d H l s ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰1对a 端环线1l 所围截面S,有⎰=⋅ss d J 0故03210=+++I I I I U对R: R I l AI l Jl d JU baab 11===⋅=⎰σσσ,1RU I ab =∴ AlR σ=对L: dtdI Ldtd U mab 2==ψ d t ULI ab⎰=∴12对C: dtdU C I ab=3令,,0I I U U ab -== 得⎰++=dtdU CUdt LR U I 12.13 / 2.4-1 验证2.1-1题r=a 处的电场边界条件。