《线性代数》D复习(部分关系和结论)

《线性代数》复习一． 题型：填空题；选择题；计算题；简述题； 证明题二． 几个专题（一）行列式：1．n 阶行列式的定义；2．用定义计算具有少量非零元素的行列式； 3．行列式的五条性质及其推论； 4．行列式按行（列）展开及其推论注：各类行列式的计算（二）方阵A 可逆的定义及其等价条件：1．E BA AB ==；2．E AB =（或E BA =）； 3．0≠A （即A 非奇异）； 4．A A r =)(的阶数（即A 满秩）； 5．0 =x A 只有零解（或对任何非零向量0x ≠ ，0Ax ≠）；6．b x A=有唯一解；7．L P P P A 21=（i P 为初等矩阵，l i ,1=）； 8．A ~E （即A 与E 等价）； 9．A 的列（行）向量组线性无关；10．A 的特征值全不为零； 11．A A T （T AA ）正定（三）A 的逆矩阵计算：1．由矩阵方程AX E =解出；或由j Ax e =解出1A -的第j 列1,2,j n = ；2．1*1A A A-=； 3．1(,)~(,)A E E A -行初等变换（四）有关秩的结论：1．0()min{,}m n R A m n ⨯≤≤；2．()()T R A R A =；3．若B A ~，则)()(B R A R =； 4．若P ，Q 可逆，则)()(A R PAQ R =； 5．)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤（若用B Aˆ,ˆ分别表示B A ,的列阶梯型，()()B A B A ˆ,ˆ,→，后者的非零列数为)()(B R A R +，故其秩不会超过)()(B R A R +）； 6．)()()(B R A R B A R +≤+（()()B B A B A ,,+→, 所以),(),()(B A R B B A R B A R =+≤+）； 7．)}(),(min{)(B R A R AB R ≤； 8. 若A 非奇异，则)()(B R AB R =；8．)()(A R A A R T=（通过0)(=x A A T与0 =x A 同解）；9．若O B A l n n m =⨯⨯，则n B R A R ≤+)()(；10．矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩； 11．矩阵的秩，向量组的秩，二次型的秩，线性变换的秩（P183）的定义；注：矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算，向量组的秩，极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题（五）向量组线性相关性的结论：1．向量组m a a a ,,,21线性相关⇔02211=++m m a x a x a x 有非零解 ⇔矩阵的秩m a a a R m <),,,(21；2．当n m >时，m 个n 维向量必线性相关；3．线性相关向量组的扩充向量组仍线性相关，特别含零向量的向量组线性相关；4．m a a a,,,21（2≥m ）线性相关⇔至少其中有一个向量可用其余1-m 个向量线性表示；5．n 个n 维向量n a a a ,,,21线性相关⇔0),,,(21=n a a a； 6．21,a a线性相关⇔21,a a的各分量对应成比例；7．若向量组B 可由A 线性表示且B 线性无关，则B 的向量个数不超过A 的向量个数注：线性相关性的判定和证明（六）与线性方程组解有关的结论：1．n 元齐次线性方程组0=x A 有非零解⇔n A R <)(； 特别，若A 的行数小于n ，则0=x A 必有非零解；2．n 元齐次线性方程组0=x A 的解集S 是一个向量空间（解空间）；若r A R =)(，则解空间的维数r n R S -=，设r n -ξξξ,,,21是基础解系，那么0 =x A 的通解为r n r n c c c x --+++=ξξξ2211；3．n 元非齐次线性方程组b x A=有解⇔),()(b A R A R =；特别，若A 的行向量组线性无关，则b x A=必有解(因为此时增广矩阵的行向量组线性无关)；4. n 元非齐次线性方程组bx A=有解⇔b可以由A 的列向量组n a a a ,,,21线性表示⇔n a a a ,,,21与b a a a n,,,,21等价；5．设r b A R A R ==),()(，唯一解对应n r =，无限多解对应n r <。

在无限多解的情况下b x A =的通解为*2211ηξξξ++++=--r n r n c c c x，其中r n -ξξξ ,,,21是0 =x A 的基础解系，*η是b x A =的特解；6．若r b A R A R ==),()( ，则n 元非齐次线性方程组b x A=有1+-r n 个线性无关解；7．设sηηη ,,,21是非齐次线性方程组bx A=的解，并令s s c c c ηηηη+++=2211，那么η 是b x A=的解⇔121=+++s c c c η 是0=x A 的解⇔021=+++s c c c注：线性方程组解的讨论和具体计算（七）方阵A 正交的定义及其等价条件：1．T A A E =（或T AA E =）；2．1T A A -=；3．A 的列（行）向量都为单位向量且两两正交；4．对任何x 和y ，成立[,][,]Ax Ay x y =（⇒：[,]()()()[,]T T T T T T Ax Ay Ax Ay x A Ay x A A y x y x y =====。

⇐：记,()T i j n n B A A E b ⨯=-=，则,[,][,]0T T T T i j i j i j i j i j i j b e Be e A Ae e Ee Ae Ae e e ==-=-=，,1,2,i j n = ，故B O =，从而T A A E =。

）（八）对称矩阵A 为正（负）定的定义及其等价条件：1．对任何0x ≠，成立)0(0<>x A x T ；2．二次型x A x T的标准形的n 个系数全为正（负）（或正（负）惯性指数为n ）； 3．A 的特征值全为正（负）；4．A 的各阶主子式全为正（奇数阶为负，偶数阶为正）； 5．A 可逆且1A -正（负）定 （利用A 与1A -特征值同号）； 6．A -负（正）定 （按定义推得） 注：半正（负）定问题（九）特征值和特征向量的性质及其计算，例如特征值的两个等式关系；A 与)(A ϕ，A 与1-A 的特征值和特征向量的关系；A 不同特征值的特征向量的线性相关性问题；对称矩阵A 不同特征值的特征向量的正交性问题(十) 化二次型为标准形 （配方法，正交变换法）（十一）几种矩阵关系1．等价关系，矩阵等价的不变量（秩），矩阵标准形； 2．相似关系，矩阵相似的不变量（特征值），可对角化问题，约当标准形；3．合同关系，矩阵合同的不变量（有定性）（十二）线性空间（向量空间）和线性变换1．判定是否为线性空间（向量空间）； 2．基到基的过渡矩阵，不同基下的坐标变换；3．线性变换在基下的矩阵，同一线性变换在不同基下的矩阵的转化三． 可比较的一些关系●B A B A +=+一般不成立 （例如取B A -=，0≠A ，n 偶数） ●T T T B A B A +=+)( （A 和B 都对称时，B A +也对称）●111)(---+=+B A B A 一般不成立 （例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110B ） ●A 和B 均正交推不出B A +正交 (列（行）向量长度) ●A 和B 均正定可推得B A +正定 （0)(>+=+x B x x A x x B A x T T T） ●B A BA AB ==●T T T B A AB =)(一般不成立，应有T T T A B AB =)( ●111)(---=B A AB 一般不成立，应有111)(---=A B AB●A 和B 均正交可推得AB 正交 (E B B B A A B AB AB T T T T ===)()()()●A 和B 均正定推不出AB 正定 （AB 未必对称）（例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112B 均正定，但⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3423AB 不对称） ●T T A A )()(11--= ●11--=AA （111===--E A A A A ）●111)(---=A A λλ ●T T A A λλ=)(●A A λλ=一般不成立，应有A A n λλ= ●x x λλ=一般不成立，应有x xλλ= ● 若A 正交，则1±=A （12====E A A A A A T T ）● 1*-=n AA● ()*1*A A n -=λλ● 若A 可逆，则()()1**1--=A A（()()A A A A A 1111*1-----==,()()A AA A A 1111*----==）● A A =**)(（当2=n ），A AA n 2**)(-=（当3≥n ）（当2=n ：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211a a a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11211222*a a a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211**)(a a a a A 当3≥n ：(1) 若n A R =)(，则1*-=A A A ，从而A AA A AA A A n n 21111****)()()(-----===.(2) 若1)(-=n A R ，由于O E A AA ==*，所以*A 的列是0=x A 的解，因而21)(*-≤=≤n R A R S ，这表明*A 的任何1-n 阶子式均等于零，故A AO A n 2**)(-==. (3) 若2)(-≤n A R ，则O A =*，从而A AO A n 2**)(-==）●)()(*A R A R ≤（当2≥n ）（如上按n A R =)(，1)(-=n A R ，2)(-≤n A R 分别讨论）● A 与B 相似⇔T A 与T B 相似（由定义推得）● n 阶方阵A 有n 个不同的特征值⇒A 与对角阵相似（不能反推）● n 阶方阵A 与B 相似⇒存在n 阶方阵P ，使PB AP =（由定义推得，除非P 可逆一般不能反推，例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001B ，PB AP =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101，但特征值不同） ● A 与B 相似⇒B A =（由定义推得，不能反推，例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010B ，0==B A ，但特征值不同） ● A 与B 相似⇒A 与B 的特征多项式相同（不能反推， 例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010B ，特征多项式均为2λ，但秩不同）● A 与B 相似不能推出A 与B 具有相同的特征向量 （例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 正交，PAP AP P =-1= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110=B ，但A 和B 的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01k 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛10k ）● A 与T A 具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征 向量（见上例）● A n =λλλ 21，nn n a a a +++=+++ 221121λλλ ● 对于子块为方阵的分块矩阵的行列式一般不成立2112221122211211A A A A A A A A -=（比较二阶行列式）（例如0000111==A ，0010012==A ，0100021==A ，0001022==A ，右端为零，而左端为1（43r r ↔，32r r ↔）） ● 对于子块为方阵的分块矩阵的行列式一般不成立BA CB A O -=但若m m A A ⨯=，l l B B ⨯=，则成立B A CB AO l m ⨯-=)1(（此结果可通过m l ⨯次列对换） ● 分块对角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B O O A 可逆⇔A 和B 均可逆，且 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111B O O A B O O A （更一般形式）● 设A 和B 均为方阵，那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 可逆⇔A 和B 均可逆，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111（更一般形式）（注意：非⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O B A O O B A O 111，与上一条目的顺序不同）● 设A 和B 均为方阵，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛***B A O O A B B O O A （注意：非⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛***B O O A B O O A ） （记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O O A C ，m m ij a A ⨯=)(，()l l ij b B ⨯=，（1）当m j i ≤≤,1时，C 的元素ij ij a c =，ij c 的代数余子式B A B MC ij a ij j i ij =-=+)1(，aijM 代表ij a 的余子式 （2）当l m j i m +≤≤+,1时，))((m j m i ij b c --=，所以AB A MC m j m i b m j m i j i ij ))(())(()1(----+=-=，b m j m i M ))((--代表)1)((--j m i b的余子式（3）其它范围内的0=ij C ，例如位于右上角，在算ij C 时 划去了A 的一行和B 的一列后，分块形式的第一对角块阶数为1-m ，第二对角块阶数为l 且第一列全为零） ● O AB =推不出O A =或O B =（例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001B ） ● O A =2推不出O A =（例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0010A ）● A A =2推不出O A =或E A =（例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A ）● E A =2推不出E A ±=（例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A ）。