无机材料科学基础第八章
无机材料科学基础作业习题
无机材料科学基础作业习题第一章晶体结构基础1-1 定义下述术语，并注意它们之间的联系和区别：晶系；点群；空间群；平移群；空间点阵1-2 简述晶体的均一性、各向异性、对称性三者的相互关系。
1-3 列表说明七个晶系的对称特点及晶体定向规则。
1-4 四方晶系晶体a＝b，c＝1/2a。
一晶面在X、Y．Z轴上的截距分别为2a, 3b 和6c。
给出该晶面的密勒指数。
1-5 在立方晶系中画出下列晶面：a）（001）b）（110）c）（111）1-6 在上题所画的晶面上分别标明下列晶向：a(210) b(111) c(101)1-7 立方晶系组成{111}单形的各晶面构成一个八面体，请给出所有这些晶面的密勒指数。
1-8 试在完整的六方晶系晶胞上画出（1012）晶面的交线及〔1120〕〔2113〕晶向，并列出{1012}晶面族中所有晶面的密勒指数。
1-9 a≠b≠c α=β=γ=90℃的晶体属什么晶系？a≠b≠c α≠β≠γ≠90℃的晶体属什么晶系？你能否据此确定这二种晶体的布拉维点阵？1-10 下图示正交面心格子中去掉上下底心后的结点排列情况。
以图中的形状在三维空间无限重复，能否形成一空间点阵？为什么？1 –11 图示单斜格子的(010)面上的结点排布。
试从中选出单位平行六面体中的a和c。
1 –12 为什么等轴晶系有原始、面心、体心而无底心格子？1 –13 为什么在单斜晶系的布拉维格子中有底心C格子而无底心B格子？1-14 试从立方面心格子中划分出一三方菱面体格子，并给出其晶格常数。
说明为什么造选取单位平行六面体时不选后者而选前者？1 –15 写出立方面心格子的单位平行六面体上所有结点的座标，注明其中哪些属于基本点。
1 –16 给出(111)面和（111）面交棱的晶棱符号。
1 –17 试证（123）(112)和(110)诸晶面属于同一晶带，并给出其晶带符号。
1-18 证明立方晶系〔111〕晶向垂直于（111）晶面。
无机材料科学基础复习重点
第二章、晶体结构缺陷1缺陷的概念2、热缺陷（弗伦克尔缺陷、肖特基缺陷）热缺陷是一种本征缺陷、高于0K就存在，热缺陷浓度的计算影响热缺陷浓度的因数：温度和热缺陷形成能（晶体结构）弗伦克尔缺陷肖特基缺陷3、杂质缺陷、固溶体4、非化学计量化合物结构缺陷（半导体）种类、形成条件、缺陷的计算等5、连续置换型固溶体的形成条件6、影响形成间隙型固溶体的因素7、组分缺陷（补偿缺陷）：不等价离子取代形成条件、特点（浓度取决于掺杂量和固溶度）缺陷浓度的计算、与热缺陷的比较幻灯片68、缺陷反应方程和固溶式9、固溶体的研究与计算写出缺陷反应方程T固溶式、算出晶胞的体积和重量T理论密度（间隙型、置换型）T和实测密度比较10、位错概念刃位错：滑移方向与位错线垂直，伯格斯矢量b与位错线垂直螺位错：滑移方向与位错线平行，伯格斯矢量b与位错线平行混合位错：滑移方向与位错线既不平行，又不垂直。
幻灯片7第三章、非晶态固体1熔体的结构：不同聚合程度的各种聚合物的混合物硅酸盐熔体的粘度与组成的关系2、非晶态物质的特点3、玻璃的通性4、Tg、Tf ,相对应的粘度和特点5、网络形成体、网络改变（变性）体、网络中间体玻璃形成的结晶化学观点：键强，键能6、玻璃形成的动力学条件（相变），3T图7、玻璃的结构学说（二种玻璃结构学说的共同之处和不同之处）8、玻璃的结构参数Z可根据玻璃类型定，先计算R,再计算X、Y 注意网络中间体在其中的作用。
9、硅酸盐晶体与硅酸盐玻璃的区别10、硼的反常现象幻灯片8第四章、表面与界面1表面能和表面张力，表面的特征2、润湿的概念、定义、计算；槽角、二面角的计算改善润湿的方法：去除表面吸附膜（提高固体表面能）、改变表面粗糙度、降低固液界面能3、表面粗糙度对润湿的影响4、吸附膜对润湿的影响5、弯曲表面的效应（开尔文公式的应用）6、界面的分类与特点7、多晶体组织8、粘土荷电的原因，阳离子交换序9、粘土与水的作用，电动电位及对泥浆性能的影响流动性，稳定性，悬浮性，触变性，可塑性10、瘠性料的悬浮与塑化泥浆发生触变的原因，改善方法幻灯片9第五章、相平衡1、相律以及相图中的一些基本概念相、独立组分、自由度等2、水型物质相图的特点（固液界线的斜率为负）3、单元系统相图中可逆与不可逆多晶转变的特点4、S iO2相图中的多晶转变（重建型转变、位移型转变）5、一致熔化合物和不一致熔化合物的特点6、形成连续固溶体的二元相图的特点（没有二元无变量点）7、相图应用幻灯片108、界线、连线的概念，以及他们的关系9、等含量规则、等比例规则、背向规则、杠杆规则、连线规则、切线规则、重心规则。
无机材料科学基础沈阳化工大学8固相反应
第8章固相反应一、什么是固相反应？试分析影响固相反应的主要因素。
固相反应：固体直接参与反应并引起化学变化①反应物的化学组成②反应物颗粒以及均匀性③反应温度的影响④压力和气氛的影响（压力的增大对于纯固相来说，加快反应的进行，对于非纯固相，压力的增加可能加快反应的进行，也有可能减缓反应的进行）⑤矿化剂（加快固相反应）二、比较杨德方程、金斯特林格方程优缺点及适应条件。
两个方程都只适用稳定扩散的情况。
杨德尔方程在反应初期具有很好的适应性，但杨氏模型中假设球形颗粒截面始终不变。
因而只适用反应初期转化率较低的情况。
而金斯格林方程考虑了在反应进程中反应截面面积随反应过程变化这一事实，因而金氏方程适用范围更广，可以适合反应初、中期。
三、MoO3和CaCO3反应时，反应机理受到CaCO3颗粒大小的影响，当MoO3：CaCO3＝1：1；r MoO3＝0.036mm，r CaCO3＝0.13mm时，反应是扩散控制的。
CaCO3：MoO3＝15：1；r CaCO3<0.03mm 时，反应由升华控制，试解释这种现象。
当CaCO3的半径大于MoO3的半径时，产物层较厚，扩散阻力较大，故反应由扩散所控制，随着CaCO3的半径减小，反应速率加快.当CaCO3的半径小于MoO3的半径时，且前者的浓度较高，产物层薄，扩散阻力小，故反应由升华所控制，随着MoO3的半径减小，反应速率加快.四、由MgO和Al2O3固相反应生成MgAl2O4时，什么离子是扩散离子？请写出界面反应方程。
Al3+和Mg2+是扩散离子（2Al3++4MgO=MgAl2O4+3Mg2+）（3Mg2++4Al2O3=3MgAl2O4+2Al3+）五、NiO和Cr2O3的球形颗粒通过固相反应形成NiCr2O4。
在颗粒上形成产物层后，是什么控制着反应？在1300℃时，NiCr2O4中D Cr> D Ni > D O，试问哪一个控制着NiCr2O4的形成速率？为什么？Cr3+和Ni2+通过产物层逆向扩散形成NiCr2O4，即Cr3+和Ni2+控制着反应的进行（2Cr3++4NiO=NiCr2O4+3Ni2+）（3Ni2++4Cr2O3=3NiCr2O4+2Cr3+）由于Ni的半径比Cr小，扩散的速度更快，且O不参与扩散，故Ni离子控制着NiCr2O4的进行六、如果要合成镁铝尖晶石，可提供的原料有MgCO3、Mg（OH）2、MgO、Al2O3·3H2O、γ- Al2O3、α- Al2O3。
无机非金属材料科学基础习题
1.1 名词解释：等同点、结点、空间点阵、晶体、对称、对称型、晶系、晶类、布拉菲格子、晶胞、晶胞参数、晶体定向、晶面指数、晶向指数、晶带轴定律1.2 略述从一个晶体结构中抽取点阵的意义和方法？空间点阵与晶体结构有何对应关系？1.3 什么叫对称性？晶体的对称性有何特点，为什么？1.4 晶体中有哪些对称要素，用国际符号表示。
1.5 试找出正四面体、正八面体和立方体中的所有对称元素，并确定其所属点群、晶系。
1.6 根据什么将14种布拉维点阵分成七个晶系？各晶系特点如何？为什么14种布拉维点阵中有正交底心而无四方底心和立方底心点阵型式？以图说明。
说明七个晶系的对称特点及晶体几何常数的关系。
1.7 什么叫单位平行六面体（或单位）？在三维点阵中选取单位平行六面体应遵循哪些原则？为什么？1.8 a≠b≠c, α=β=γ=90℃的晶体属于什么晶系？a≠b≠c, α≠β≠γ≠90°的晶体属什么晶系？能否据此确定这二种晶体的布拉维点阵？1.9 一个四方晶系晶体的晶面，其上的截距分别为3a、4 a，6c，求该晶面的晶面指数。
1.10 四方晶系晶体a＝b，c＝1/2a。
一晶面在X、Y、Z轴上的截距分别为2a, 3b和6c。
给出该晶面的密勒指数。
1.11 某一晶面在x、y、z三个坐标轴上的截距分别为1a，∞b,3c，求该晶面符号。
1.12 在正交简单点阵、底心点阵、体心点阵、面心点阵中分别标出（110）、（011）、（101）三组晶面，并指出每个晶面上的结点数。
1.13 在立方晶系中画出下列晶面：a）（001）；b）（110）；c）（111）。
在所画的晶面上分别标明下列晶向：a）[210]；b）[111]；c）[101]。
1.14 试说明在等轴晶系中，（111）、（111）、（222）、（110）与（111）面之间的几何关系。
1.15 在立方晶系晶胞中画出下列晶面指数和晶向指数：（001）与[210]，(111)与[112]，(110)与[111]，（322）与[236]，(257)与[111]，(123)与[121]，(102)，(112)，(213)，[110]，[111]，[120]，[ 321]。
无机材料科学基础(共117张PPT)
无机材料科学基础
29
四次旋转反伸轴
L
4 i
无机材料科学基础
L
4 i
A
B
C
D
30
六次旋转反伸轴
L
6 i
L
6 i
无机材料科学基础
三方柱
31
5 、旋转反映轴——映转轴（Lsn）
映转轴由一根假想的直线和垂直于直线的一个平面构成， 即图形绕此直线旋转一定角度后并对此平面进行反映后，相 同部分重复出现。 旋转反映轴有：L1s、L2s、L3s、L4s、L6s。
2、《硅酸盐物理化学》 浙江大学等 建工出版社
3、《结晶学》
翁臻培等
建工出版社
4、《陶瓷导轮》
W.D. 金格瑞等 建工出版社
5、《如何看硅酸盐相图》 沈鹤年·
轻工出版社
6、《固体材料结构基础》 张孝文等
建工出版社
7、《无机材料物理化学》 叶瑞伦等
建工出版社
无机材料科学基础
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
第一章 结晶学基础
何谓结晶学？
23
一个晶体中可以有对称面，也可以没有对称面；可以有一个，也可 以有多个，但最多不能超过9个。
1P
5P
无机材料科学基础
24
3 、对称轴（Ln）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕这 条直线旋转一定的角度后，能使图形相 同的部分重复出现
对应的对称操作：绕对称轴的旋转 轴次（n）：旋转一周重复的次数 基转角（）：重复时所旋转的最小角度
7
§1-1 晶体的基本概念与性质
一、 晶体的基本概念
1、晶体的基本概念
以NaCl晶体为例
Cl Na
0.563nm
晶体：内部质点在三维空间按周期性重复排列的固体； 或具有格子构造的固体。
无机材料科学基础硅酸盐课后作业答案
3-13对于刃位错和螺位错，区别其位错线方向、伯氏矢量和位错运动方向的特点。
解：刃位错：位错线垂直于 位错线垂直于位错运动方向；螺位错：位错线平行于 位错线平行于位错运动方向。
3-14图3-1是晶体二维图形，内含有一个正刃位错和一个负刃位错。
（1）围绕两个位错伯格斯回路，最后得伯格斯矢量若干？
影响形成间隙型固溶体影响因素：（1）杂质质点大小：即添加的原子愈小，易形成固溶体，反之亦然。（2）晶体（基质）结构：离子尺寸是与晶体结构的关系密切相关的，在一定程度上来说，结构中间隙的大小起了决定性的作用。一般晶体中空隙愈大，结构愈疏松，易形成固溶体。（3）电价因素：外来杂质原子进人间隙时，必然引起晶体结构中电价的不平衡，这时可以通过生成空位，产生部分取代或离子的价态变化来保持电价平衡。
3-5试分析形成固溶体后对晶体性质的影响。
解：影响有：（1）稳定晶格，阻止某些晶型转变的发生；（2）活化晶格，形成固溶体后，晶格结构有一定畸变，处于高能量的活化状态，有利于进行化学反应；（3）固溶强化，溶质原子的溶入，使固溶体的强度、硬度升高；（4）形成固溶体后对材料物理性质的影响：固溶体的电学、热学、磁学等物理性质也随成分而连续变化，但一般都不是线性关系。固溶体的强度与硬度往往高于各组元，而塑性则较低，
Ni3+2yNi2+1-3yO Ni3+/Ni2+=2y/（1-3y）=10-x
则y=5×10-5，x=1-y=0.99995， Ni0.99995O
每m3中有多少载流子即为空位浓度：[ ]=y/（1+x）=2.5×10-5。
3-26在MgO－Al2O3和PbTiO3－PbZrO3中哪一对形成有限固溶体，哪一对形成无限固溶体，为什么？
无机材料科学基础 (陆佩文 著) 武汉工业大学出版社 课后答案
2 面排列密度的定义为：在平面上球体所占的面积分数。
（a）画出 MgO（NaCl 型）晶体（111）、（110）和（100）晶面上的原子排布图； （b）计算这三个晶面的面排列密度。 解：MgO 晶体中 O2-做紧密堆积，Mg2+填充在八面体空隙中。 （a）（111）、（110）和（100）晶面上的氧离子排布情况如图 2-1 所示。
图 2-2 六方紧密堆积晶胞中 有关尺寸关系示意图
( ) c0 / a0 = 4 2 / 3r / 2r = 2 2 / 3 = 1.633
co / 2
(2r)2 − 2r /
2
3 =2
2 / 3r
6、计算体心立方、面心立方、密排六方晶胞中的原子数、配位数、堆积系数。 解：体心：原子数 2，配位数 8，堆积密度 55.5%；
密度=4×(24.3+16)/[6.023×1023×(0.424×10-7)3]=3.5112(g/cm3) MgO 体积分数小于 74.05%，原因在于 r+/r-=0.072/0.14=0.4235>0.414，正负离子紧密接 触，而负离子之间不直接接触，即正离子将负离子形成的八面体空隙撑开了，负离子不 再是紧密堆积，所以其体积分数小于等径球体紧密堆积的体积分数 74.05%。
面心：原子数 4，配位数 6，堆积密度 74.04%； 六方：原子数 6，配位数 6，堆积密度 74.04%。
7 设原子半径为 R，试计算体心立方堆积结构的（100）、（110）、（111）面的面排列 密度和晶面族的面间距。
解：在体心立方堆积结构中： a0 = 4 / 3R
( ) （100）面：面排列密度=
无机材料科学基础第六七八章习题答案
一、是非题：（正确的打?，错误的打?） 1、金斯特林格方程可适用至转化率100%。
（?） 2、大多数固相反应是由扩散速度所控制的。
（?）3、狭义上讲，相变过程是一个化学变化过程。
（?）4、浓度梯度是扩散的推动力，物质总是从高浓度处向低浓度处扩散。
（?）5、晶胚的临界半径rk 随着ΔT 的增大而减小，相变愈易进行。
（?）6.逆扩散的推动力是浓度梯度。
（?）是化学位梯度。
7．成核--生成相变亚稳区Ｇ"< 0 ，斯宾那多分解的不稳区Ｇ">0。
（?）相反。
8.过冷度愈大，晶体生长速率愈快，则晶粒就愈粗大。
（?）9.对扩散系数D 0的影响因素主要是温度及扩散激活能。
（?）10.相同条件下晶体的非均相成核比均相成核更难。
（?）11.杨德尔方程比金斯特林格方程的适用范围大。
（?）12.间隙扩散活化能包括间隙形成能和间隙原子迁移能。
（?）二、填空题1、根据扩散的热力学理论，扩散的推动力是 （A ） ，而发生逆扩散的条件是 （B ） 。
（A ）化学位梯度 （B ）热力学因子小于零2、熔体是物质在液相温度以上存在的一种高能量状态，在冷却的过程中可以出现 （A ） 、 （B ） 和（C ） 三种不同的相变过程。
（A ）结晶化 （B ）玻璃化 （C ）分相3、马氏体相变具有以下的一些特征： （A ） 、 （B ） 、 （C ） 和（D ） 等。
（A ）存在习性平面 （B ）无扩散性 （C ）相变速度高 （D ）无特定相变温度4、从熔体中析晶的过程分二步完成，首先是 （A ） ，然后就是 （B ） 过程。
均匀成核的成核速率Iv 由 （C ） 和 （D ） 因子所决定的。
（A ）成核 （B ）晶体生长 （C ）受核化位垒影响的成核率因子 （D ）受原子扩散影响的成核率5、 马氏体相变的特征有（A ） 、 （B ） 、 （C ） 和（D ）。
存在习性平面、保持一定的取向关系、无扩散性、相变速度快、相变没有一个特定的温度。
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第八章 固相反应固相反应第一节第一节 固相反应概述固相反应概述固相反应概述一、固相反应的定义固相反应的定义1.1.狭义的固相反应狭义的固相反应狭义的固相反应：：固体与固体间发生化学反应生成新的固体产物的反应固体与固体间发生化学反应生成新的固体产物的反应。
2.2.广义的固相反应广义的固相反应广义的固相反应：：凡是有固相参与的化学反应都可称为固相反应凡是有固相参与的化学反应都可称为固相反应。
二、固相反应的分类固相反应的分类依反应的性质可分为四类依反应的性质可分为四类1． 加成反应加成反应（（A 、B 为任一元素或化合物为任一元素或化合物））A （s ）+B(s)+B(s)——————AB(s)AB(s)AB(s)2． 造膜反应造膜反应（（固气反应固气反应，，A 、B 为单质为单质））A(s)+B(g)A(s)+B(g)——————AB(s)AB(s)AB(s)3． 分解反应分解反应（（固气反应固气反应））AB(s)AB(s)——————A(s)+B(g)A(s)+B(g)A(s)+B(g)4.4.置换反应置换反应置换反应A （s ）+BC +BC（（s ）————AC AC AC（（s ）+B +B（（s ）AC AC（（s ）+BD +BD（（s ）————AB AB AB（（s ）+CD +CD（（s ）三、固相反应热力学固相反应热力学纯的固相反应总是放热的纯的固相反应总是放热的纯的固相反应总是放热的，，并且熵变并且熵变ΔΔS 很小很小，，所以所以 ΔG=G=ΔΔH -T ΔS ≈Δ≈ΔH<0H<0H<0因此因此，，纯固相反应总是可以自发进行的纯固相反应总是可以自发进行的。
四、固相反应进程固相反应进程固相反应进程由快路线的慢步骤的速率所控制固相反应进程由快路线的慢步骤的速率所控制固相反应进程由快路线的慢步骤的速率所控制。
五、关于固相反应产物的若干一般规律关于固相反应产物的若干一般规律1.1.最初产物的恒定性最初产物的恒定性最初产物的恒定性对碱土金属氧化物和对碱土金属氧化物和SiO2的二元固相反应的二元固相反应，，不论原始组成摩尔比如何不论原始组成摩尔比如何，，反应首先生成的化合物总是2：1的正硅酸盐的正硅酸盐，，而对于碱土金属氧化物与AI2O3的反应反应，，首先生成的化合物总是1：1。
2.2.反应产物分级形成反应产物分级形成反应产物分级形成，，最终产物由原始配料比决定最终产物由原始配料比决定。
第二节第二节 固相反应动力学固相反应动力学固相反应动力学一、扩散控制的固相反应动力学方程扩散控制的固相反应动力学方程固相反应一般都伴随有物质的扩散迁移固相反应一般都伴随有物质的扩散迁移固相反应一般都伴随有物质的扩散迁移。
由于在固相中扩散速度通常很缓慢，因而在多数情况下因而在多数情况下，，扩散往往起速率控制作用扩散往往起速率控制作用。
1.1.抛物线方程抛物线方程抛物线方程用平板模型用平板模型：：假设A 、B 以平板模式相互接触以平板模式相互接触，，先形成产物层AB AB；；然后A 通过AB 向B 扩散扩散，，在B —BA 界面继续反应界面继续反应。
若界面化学反应速率远大于扩散速率若界面化学反应速率远大于扩散速率，，则过程由扩散控制控制。
在整个过程中在整个过程中，，扩散截面积保持不变扩散截面积保持不变。
产物层厚度增加速率dy/dt=K/y dy/dt=K/y其中y 为产物层厚度为产物层厚度，，K 为常数为常数，，包括包括扩散能力与物质间交换能力扩散能力与物质间交换能力扩散能力与物质间交换能力。
K=DC 0 0 ，， D D：：扩散组分A 的扩散系数散系数；；C 0：A 在BA BA——A 界面上浓度界面上浓度。
积分上式即得积分上式即得：： y 22=2Kt =2Kt产物层厚度的平方与反应时间成正比产物层厚度的平方与反应时间成正比产物层厚度的平方与反应时间成正比。
2.2.杨德尔方程杨德尔方程杨德尔方程假定假定：：（1）反应物B 是半径为R 的球体的球体；；反应物A 包围着B 颗粒颗粒，，反应自球表面向中心进行心进行；；（1） 假设反应物B 和产物AB 的摩尔体积相等的摩尔体积相等；；（2） A 在产物层中的浓度梯度是线性的在产物层中的浓度梯度是线性的。
先引入转化率先引入转化率G 的概念的概念：：参与反应的一种反应物参与反应的一种反应物，，在反应过程中被反应了的体积分数的体积分数。
G=[4/3 G=[4/3ππR 3-4/34/3ππ（R -y ）3]/ 4/3]/ 4/3ππR 3y=R[1 y=R[1-- (1 (1--G)1/3]代入代入代入 y y 2=2Kt,=2Kt,得得：[1[1-- (1 (1--G)1/3]2=2Kt/R 2=K J t K J ：杨德尔扩散方程式的速度常数杨德尔扩散方程式的速度常数，，其通式为K J =Cexp(=Cexp(--Q/RT)Q/RT)Q Q：：固相反应活化能固相反应活化能，，而K J =2K/R 2=2DC0/R 2=2C0D0/R 2exp(exp(--Q/RT)Q/RT)，， Q 即为扩散活化能散活化能，，所以扩散控制的固相反应活化能就是扩散活化能所以扩散控制的固相反应活化能就是扩散活化能。
由于杨德尔方程推导过程中引入了抛物线方程的结论由于杨德尔方程推导过程中引入了抛物线方程的结论由于杨德尔方程推导过程中引入了抛物线方程的结论，，因而带入了扩散截面积不变的假设面积不变的假设。
由于假设反应物由于假设反应物B 和产物AB 的摩尔体积相等的摩尔体积相等和假设扩散截面积不变的限和假设扩散截面积不变的限制，使得杨德尔方程只使用于转化率较小的时候使得杨德尔方程只使用于转化率较小的时候，，即反应初期即反应初期。
3.3.金斯特林格方程金斯特林格方程金斯特林格方程设球状模型设球状模型设球状模型：：B 是平均粒径R 的颗粒的颗粒，，假定A 为扩散相为扩散相，，反应沿整个球表面同时进行同时进行，，首先A 和B 形成产物AB AB，，其厚度y 随反应进行不断增厚随反应进行不断增厚，，假设反应物B 和产物AB 的摩尔体积相等的摩尔体积相等，， A 扩散通过产物层扩散通过产物层，，A 在产物层内的浓度分布是r 和t 的函数的函数，，即是不稳定扩散即是不稳定扩散。
设单位时间内通过4πr 2球面扩散到产物层AB 中A 的量为dmA/dt,dmA/dt,由菲克第一定律由菲克第一定律，，dmA/dt=DSdc/dr=4dmA/dt=DSdc/dr=4ππr 2Ddc/dr=M(y)Ddc/dr=M(y)单位时间通过单位时间通过该层的该层的A 的扩散量取决于反应层厚度y 。
将上式变形得将上式变形得，，dc=M(y)dr/4dc=M(y)dr/4ππr 22D考虑边界条件考虑边界条件：：r=R 时，c=c0c=c0；；r=R r=R--y 时，c=0c=0。
两边积分得两边积分得，，M M（（y ）=4=4ππDR DR（（R -y ）c0/y=dmA/dt c0/y=dmA/dt而而dmA=dmA=εε4πr 22dy=dy=εε4π(R (R--y)22dy,dy,其中其中其中εε=ρn/M, n/M,ε:单位体积中含A 的摩尔数的摩尔数；；ρ：AB 密度密度；；n ：与一个分子B B 化合所需化合所需A 的分子数的分子数；；M ：AB 分子量分子量。
所以dy/dt=Dc0R/dy/dt=Dc0R/εε（R -y ）y=KR/y=KR/εε(R (R--y)y y)y积分整理得积分整理得，，Ry 22/2/2--y 33/3=KRt//3=KRt/εε而y=R[1y=R[1--(1(1--G)1/31/3]即得K I =1=1--2/3G 2/3G--(1(1--G)2/32/3=2Kt/=2Kt/εεR 22=K r tKr:Kr:金斯特林格扩散方程式的速度常数金斯特林格扩散方程式的速度常数金斯特林格扩散方程式的速度常数。
与杨德尔方程相比与杨德尔方程相比，，金斯特林格方程只有反应物B 和产物AB 的摩尔体积相等一个假设个假设，，可适用于转化率较大的场合可适用于转化率较大的场合。
4.4.卡特尔方程卡特尔方程卡特尔方程考虑到球形颗粒反应面积的变化及反应产物与反应物之间摩尔体积变化考虑到球形颗粒反应面积的变化及反应产物与反应物之间摩尔体积变化考虑到球形颗粒反应面积的变化及反应产物与反应物之间摩尔体积变化，，提出了卡特尔方程提出了卡特尔方程C C（（G ）=[1+=[1+（（Z -1）G]2/32/3+（Z -1（）（11-G ）2/32/3=Z+=Z+（（1-Z ）KDt/r 22其中t 时间时时间时，，r2=r2=未反应未反应B 的半径r1+r1+产物层产物层AB 厚度r ’， Z Z：：每用去单位体积组分B 所形成产物AB AB 体积体积体积，，G ：转化率转化率（（按重量计按重量计））。
二、 界面化学反应控制的固相动力学方程界面化学反应控制的固相动力学方程在某些情况下在某些情况下在某些情况下，，扩散速度很快扩散速度很快，，此时固相反应由界面化学反应控制此时固相反应由界面化学反应控制。
A+B=AB A+B=ABV=kC A C B这是一个二级反应这是一个二级反应这是一个二级反应，，假设B 远远过量远远过量，，则可认为其浓度为常数则可认为其浓度为常数，， v=kC A 变成一级反应变成一级反应变成一级反应。
--dmA/dt=kC A设反应物设反应物A 起始量为a ，经t 时间以后消耗了x ，则残余量为a -x ，所以上式变为所以上式变为-d （a -x ）/dt=k /dt=k（（a -x ）考虑到固相反应实际情况考虑到固相反应实际情况考虑到固相反应实际情况，，引入接触面积F 和转化率G ，则为则为dG/dt=kF dG/dt=kF（（1-G ，），若考虑球形颗粒若考虑球形颗粒，，则F=4F=4ππR 2（1-G ）2/3， G=[R 3-（R -x ）3]/R 3dG/dt=4k dG/dt=4kππR 2（1-G ）5/3积分并考虑边界条件积分并考虑边界条件积分并考虑边界条件，，H （G ）=（1-G ）-2/3-1=kt 1=kt三、升华控制的固相反应动力学方程升华控制的固相反应动力学方程F （G ）=1=1--（1-G ）2/3=kt =kt四、固相反应动力学比较全面的观点固相反应动力学比较全面的观点对固相反应来说对固相反应来说对固相反应来说，，其动力学并非一成不变其动力学并非一成不变，，而是随着反应条件的变化而改变的变的。
五.过渡范围的动力学方过渡范围的动力学方程程设设k 是化学反应速度常数是化学反应速度常数；；D 是通过产物层的扩散系数是通过产物层的扩散系数。