一元二次不等式解法(1)

例1. 求不等式x 2 4 x 21 0的解集.
解：方程x 2 4 x 21 0有两相异实根，即 x1 7, x2 3.
由右图可知不等式的解集为

x1


x2
x
{ x | x 7, 或x 3}.
例2. 求不等式3 x 1 x 2 0的解集.
解：原不等式 1 x 2 x 1 2 2 2 x x 2 x 1 1 2 x 0 2 2 x 2x 1 2 x 2x 3 0
2
x 2或x 0 x( x 2) 0 ( x 3)( x 1) 0 3 x 1
{ x | x x0 }
a0 0 一元二次函数 一元二次不等式 一元二次方程 2 2 ax bx c 0 y ax bx c ax 2 bx c 0 y0 y y0 x x1 , 或x x2 x x , 或x x
1 2
{ x1 , x2 }
例4. 求不等式 x 2 2 x 3 0的解集.
解：不等式可化为
x 2 2 x 3 0.
因 0，方程x 2 2 x 3 0无实根.
由右图可知不等式的解集为.
2


x
思考 : 若原不等式改为 x 2 x 3 0，结果如何？ R
例5.解不等式： 2 x2 2 x 1 1 .
a>0
a<0
ax+b >0 ax+b <0
2. 一元二次不等式ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ：
{ x | x x1 或 x x2 } { x | x b } 2a
{ x | x1 x x2 }


注 意：
对于二次项系数是负数（即a<0） 的不等式：ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 ， 可以先把二次项系数化成正数，再求 解。
解：不等式可化为
x 2 3 x 1 0.
方程x 2 3 x 1 0有两相异实根，即
3 13 3 13 x1 , x2 . 2 2 由右图可知不等式的解集为 3 13 3 13 {x | x }. 2 2

x1


x2
x
例3. 求不等式4 x 2 4x 1 0有两相等实根，即 1 x1, 2 . 2 由右图可知不等式的解集为 1 1 1 {x x }. {x | x | x ,或 }. x1, 2 2 2 2
2
x
思考1 : 若原不等式改为4 x 2 4 x 1 0，结果如何？ R 思考2 : 若原不等式改为4 x 4 x 1 0，结果如何？ 1 2 思考3 : 若原不等式改为4 x 4 x 1 0，结果如何？{ } 2

x1 O


x2

{ x | x x1 , 或x x2 }
x
ax 2 bx c 0
{ x | x1 x x2 }
1、一元一次不等式 ax+b >0或ax+b<0的解集： 条件 不等式 ax+b >0 ax+b <0 解集
{x | x b} a {x | x b} a {x | x b} a {x | x b} a
一元二次不等式的解法（1）
一元一次方程、一元一次不等式与一次函
数的关系怎样呢？
一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系怎样呢？
一元一次方程
一元一次函数
一元一次不等式
ax b 0 y ax b a 0 : ax b 0 y0 y0 y y ax b 横 b x x0 x0 a 向 { x | x x0 } { x0 } 关 O x0 x 联 ax b 0
-3 -2 0 1
原不等式的解集是 { x | 3 x 2或0 x 1}
作业：1、补充习题1.5 1~ 5
2、教辅第21 页~ 23页
3、预习教辅第23 页~ 25页