高中数学2-3直线的参数方程
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些直线参数方程是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点,也是整个高中数学的一大难题,接下来为你整理了数学参数方程公式，一起来看看吧。
数学参数方程公式数学参数方程概念一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt y=2pt p表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用“不清楚立即翻书”之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
高中数学公式——极坐标与参数方程
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。
2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。
3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=⎩ 圆22(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=⎩（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。
注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。
（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=||||MA MB +=1212121212||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
二、极坐标方程1.极坐标系的概念ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)点 直角坐标 极坐标互化公式3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =如()2R πθρ=∈，化为直角坐标方程：______注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。
高中数学2-3直线的参数方程
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
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点击2 参数方程与极坐标方程的综合问题
辽宁高考)已知 P 为半圆 【例2】 (2010·
x＝cos C： y＝sin
θ ， (θ 为参 θ
数，0≤θ≤π )上的点， A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点， 点 π 点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3
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(2)由于 AB 的中点为 M， → → 则AM＝MB， → → → → ∴FM－FA＝FB－FM， → → → ＝1(FA＋FB)， 即FM 2 → → → ＝1(FA＋FB)＝t1＋t2e， 又FM 2 2 t1＋t2 故点 M 对应的参数为 ＝ 5， 2 t1＋t2 ∴M(3，2)，|FM|＝ 2 ＝ 5.
为常数，t 为参数)．
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π 【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 ，且交直线 x－y 3 －2＝0 于 M 点，则|MM0 |＝________． 1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 y＝5＋ 3t 2 (t 为参数)， 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2
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2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 1 数值为 t 中 ＝ ·(t1＋t2)． 2
【思维导图】
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题型一
人教版高中数学选修2-3直线的参数方程ppt课件
(t 为参数)， 则
该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长是多少？ 【分析】 本题考虑使用参数方程标准形式中参数 t 的几何
【解】
根据直线的普通方程可知斜率是 2，
设直线的倾斜角是 α， 2 5 5 则 tan α＝2，sin α＝ 5 ，cos α＝ 5 ，
所以直线的参数方程是x＝1＋
5 t， 5
y＝3＋
2 5 t. (t 为参 5
数) 经验证易知点 A(3,7)恰好在直线上， 5 所以有 1＋ 5 t＝3， 即 t＝2 5，
5π 设直线 l1 过点 A(2，－4)，倾斜角为 6 ， (1)求直线 l1 的参数方程； (2)设直线 l2：x－y＋1＝0，l2 与 l1 的交点为 B，求点 B 与 A 的距离．
[ 解]
(1)由直线参数方程得 3 x＝2－ 2 t， 即 y＝－4＋1t. 2
5 x＝2＋tcos6π， y＝－4＋tsin5π， 6
(t 为参数)
(2)如图所示，B 点在 l1 上，只要求出 B 点对应的参数值 t， 则|t|就是 B 到 A 的距离．
把 l1 的参数方程代入 l2 的方程中，得
2－ 1 3 t －－4＋2t＋1＝0， 2
3＋1 ∴ 2 t＝7，
14 ∴t ＝ ＝7( 3－1)． 3＋1 t 为正值，知|AB|＝7(x＝1＋tsin 15° y＝1＋tcos 15°
(t 为参数)， 则其倾斜角就不能直接判断了． 第
， x－1＝tsin 15° 一种方法：把参数方程改写为 ， y－1＝tcos 15°
消去 t，有 y－1
＝(x－1)cot 15° ， 即 y－1＝(x－1)tan 75° ， 故倾斜角为 75° .第二种
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。
1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。
2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。
二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。
1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。
三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。
1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。
2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。
3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。
四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。
2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。
五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
9
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是x
1
tcos
， 3
(t为参数)即为
x
1(1t为t，参数) 2
y
3
tsin
， 3
答案:
x
1
1(tt，为参y 数3) 2
3 t. 2
y 3
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
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1
【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为
(
点M(x,y) )，
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参2 数方程分
别为
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2
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) __xy__yx_00__ttsc_ion_s_，_ (t为参数) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_Muu_u0u_Mur_. .
3
倾斜角
，
2
2
2. 3
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29
(2) x
1
1 t, 不2 是直线参数方程的标准形式,
令t′=y -t2,得 到23 t标准形式的参数方程为
x
1
1 2
t,
(t′为参数)
y 2
3 t. 2
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30
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.
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为常数，t 为参数)．
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【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为π3 ，且交直线 x－y
－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________．
解析
由题意可得直线 l 的参数方程为x＝1＋12t， y＝5＋ 23t
(t 为参数)，
代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解得
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所以可得参数方程为xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα， .(t 为参数)． 其中 t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终
点的有向线段M→0M的数量 M0M，可为正、为负，也可为零．
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__yx_＝＝__yx_00_＋＋__tt_cs_oin_s_αα___，__(t_为__参___数__)_.
2．参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：参数 t 的绝对值表 示参数 t 对应的点到定点 M0(x0，y0)的距离．当M—0→M与 e(直
线的单位方向向量)同向时，t 取_正__数__；当M—0→M与 e 反向时， t 取_负__数__；当点 M 与点 M0 重合时，t 为_零___．
x＝－ 3＋ l：y＝2＋12t
23t， (t
为参数)知当
t＝0，2，
－2 时，
分别对应直线 l 上的点(－ 3，2)，(0，3)，(－2 3，1)．
(2)法一
x＝－ 化直线 l：
3＋
23t， (t
为参数)为普通方程
y＝2＋12t
为 y－2＝ 33(x＋ 3)，其中 k＝tan α ＝ 33，0≤α<π . ∴直线 l 的倾斜角 α＝π6 .
t＝－6( 3＋1)．
根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
答案 6( 3＋1)
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题型二 直线的参数方程与弦长公式
【例2】 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直 线交抛物线于A、B两点． (1)求|AB|；(2)求AB的中点M的坐标及|FM|. [思维启迪] 利用直线参数方程中参数的几何意义解题．
第三节 直线的参数方程
【课标要求】 1．掌握直线的参数方程． 2．能够利用直线的参数方程解决有关问题． 【核心扫描】 1．对直线的参数方程的考查．(重点) 2．直线的参数方程中参数t的几何意义．(难点)
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自学导引
1．直线的参数方程
过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
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法二
x＝－ 由于直线 l：
3＋tcosπ6
， (t
为参数)，
y＝2＋tsinπ6
这是过点 M0(－ 3，2)，且倾斜角 α＝π6 的直线，故π6 为所求．
(3)由上述可知直线 l 的单位方向向量
e＝cosπ6 ，sinπ6 ＝ 23，12.
2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 数值为 t 中＝12·(t1＋t2)．
【思维导图】
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题型一 直线参数方程的标准形式
【例1前自主学习
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名师点睛
1．经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程的推导： 设 e 是直线 l 的单位向量(单位长度与坐标轴的单位长度相 同)，则 e＝(cos α，sin α)(α∈[0，π))．在直线 l 上任取一点 M(x，y)，则M→0M＝(x，y)－ (x0，y0)＝(x－x0，y－y0)． 因为M→0M∥e，所以存在实数 t∈R，使M→0M＝te，即(x－x0，y－y0)＝t(cos α，sin α)，于 是 x－x0＝tcos α，y－y0＝tsin α，即 x＝x0＋tcos α，y＝y0 ＋tsin α.
解 抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2，0)，
x＝2＋
依题意，设直线
AB
的参数方程为 y＝
2t 5
1 5
t， (t 为
参数)，
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其中 tan α ＝2，cos α ＝ 15，sin α ＝ 25，α 为直线 AB 的倾斜 角，代入 y2＝8x 整理得 t2－2 5t－20＝0.
为参数)．
y＝2＋12t
(1)分别求 t＝0，2，－2 时对应的点 M(x，y)；
(2)求直线 l 的倾斜角；
(3)求直线 l 上的点 M(－3 3，0)对应的参数 t，并说明 t
的几何意义．
[思维启迪] 解答本题关键是理解直线的参数方程的意义．
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解
(1)由直线
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特
别地，当 α＝π2时，直线的参数方程为xy＝＝yx00＋t (t 为参数)． (2)直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定
点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是yx＝＝yx00＋＋batt (a、b
设F→A＝t1e，F→B＝t2e，其中
e＝
1， 5
25，则
t1＋t2＝2 5，t1t2＝－20.
(1)|A→B|＝|F→B－F→A|
＝|t2e－t1e|＝|t2－t1||e| ＝|t2－t1|
＝ （t1＋t2）2－4t1t2
∵M0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，
∴M—0→M＝(－2
3，－2)＝－4
23，12＝－4e，
∴点 M 对应的参数 t＝－4，几何意义为|M—0→M|＝4，
且M—0→M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上点 M0 的左下方)．
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【反思感悟】 (1)一条直线可以由定点 M0(x0，y0)，倾斜角 α(0≤α<π)唯一确定，直线上的动点 M(x，y)的参数方程为