2020届河北省唐山市高三上学期期末考试数学理科试题

唐山市2019—2020学年度高三年级第一学期期末考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|15A x x =≤≤，{}2|280B x x x =--<，则A B =U （ ）A. {}|14x x ≤<B. {}|12x x ≤<C. {}|45x x -<≤D. {}|25x x -<≤【答案】D 2.313ii+=-+（ ）A. i -B. 2i -C. 3i -- D. 312i -+ 【答案】A3.图（1）是某品牌汽车2019年月销量统计图，图（2）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的是（ ）A. 该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多B. 该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份C. 2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多D. 该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 【答案】C4.已知()12log 2f x x x =-()11f x +≥的x 的取值范围是（ ）A. 3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. 31,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. 3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B5.522a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为40，则a =（ ） A.12B. 12-C. 2D. －2【答案】A6.如图为函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象，将其向左平移14个单位长度后与函数()g x 的图象重合，则()g x 可以表示为（ ）A. sin 2x πB. sin 2x π-C. sin x πD. sin x π-【答案】D7.圆O ：222x y r +=与抛物线Γ：24y x =交于A ，B 两点，与Γ的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 为矩形，则该矩形的面积为（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C8.一个几何体的三视图如图所示，小正方形的边长为1，则这个几何体的表面积是（ ）A. 11πB. 9πC. 7πD. 5π【答案】D9.若cos 2sin 1θθ-=，则tan θ=（ ） A.43B.34C. 0或43D. 0或34【答案】C10.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，CD 的中点，AF 与BE 相交于点M ，则AM =u u u u r（ ）A. 3144AB AE +u u ur u u u rB. 4155AB AE +u u ur u u u rC. 1344AB AE +u u ur u u u rD. 1455AB AE +u u ur u u u r【答案】D11.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，渐近线上存在一点M ，使得12F MF ∠为直角，2MF 交双曲线于点N ，若1//ON F M ，则该双曲线的离心率为（ ）A.1B.1C.2D.【答案】A12.已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：①90AOB ∠>︒（O 为原点）；②()11,1x ∈-；③当10x <时，)2121x x ->，则正确命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 满足()()243f x f x x +-=，则()1f =______. 【答案】514.学校在周一至周五的5天中安排2天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排的2天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有______种. 【答案】915.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______. 【答案】716.在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ， 则正确命题的序号为______. 【答案】①②三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22），（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-.（1）求{}n a的通项公式；（2）记1 nnnba+=，求{}nb的前n项和nT.【答案】（1）2nna=；（2）332n nnT+=-.18.如图，P ABC-是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上的点，PC垂直圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点.（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）若二面角A DE C--是45︒，4AB PC==，求AE与平面ACD所成角的正弦值.【解】（1）因为AB是圆的直径，所以BC AC⊥.因为PC垂直圆所在的平面，且BC在该平面中，所以PC BC⊥.因为D，E分别是棱PB，PC的中点，所以//BC DE，所以DE AC⊥，PC DE⊥又因为AC PC C=I，所以有DE⊥平面PAC.（2）由（1）可知，DE AE⊥，DE EC⊥，所以AEC∠为二面角A DE C--的平面角，从而有45AEC∠=︒，则122AC EC PC===.又BC AC⊥，4AB=，得23BC=以C为坐标原点，u u rCB，CAu u u r，CPu u u r方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz-.则()0,0,0C ，()0,2,0A ，()0,0,2E ，()23,0,0B ，()0,0,4P ，()3,0,2D，()0,2,2AE =-u u u r ，()0,2,0CA =u u u r，)3,0,2CD =u u u r .设(),,n x y z =r 是平面ACD 的法向量，则0,0,n CA n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即0,320.y x z =⎧⎪+=可取(2,0,3n =-r .故42cos ,14n AE n AE n AE⋅==-⋅r u u u rr u u u r r u u u r . 所以直线AE 与平面ACD 所成角的正弦值为4214. 19.河北省高考综合改革从2018年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“3+1+2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校2018级入学的高一学生选科情况如下表： 选科组合 物化生 物化政 物化地 物生政 物生地 物政地 史政地 史政化 史生政 史地化 史地生 史化生 合计男 130 45 55 30 25 15 30 10 40 10 15 20 425 女10045 50 35 35 35 40 20 55 15 25 20 475 合计 230 90105656050703095254040900（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关”？（2）以频率估计概率，从该校2018级高一学生中随机抽取3名同学，设这三名同学中选择物理的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解】（1）依题意可得列联表将列联表中的数据代入公式计算得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2900300175300125600300425475⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.573 6.635≈<，所以，不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关”. （2）由（1）可知，从该校2018级高一学生中任取一名同学，该同学选择物理的概率60029003P ==， X 可取0，1，2，3.()3032101327P X C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()21322211339P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()22322421339P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333283327P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭. X 的分布列为：()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2，1,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为椭圆E 上一点. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，直线l 与直线4x =相交于点C ，求证：直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列.【解】（1）由已知可得，222231,413 1.4b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎨=⎩故E 的方程为2214x y +=.（2）设直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k .由题意设l ：()1y k x =-，则()4,3C k ，332416k k k ==--.将()1y k x =-，代入2214x y +=得()2222148440k x k x k +-+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+.而1212122211y y k k x x --+=+--1212121111211y y x x x x ⎫=+-+⎪----⎝⎭()()121222211x x k x x +-=---23k =-则1232k k k +=，所以直线PA ，PC ，PB 的斜率成等差数列.21.设函数()2cos 2x f x x x =+.（1）讨论()f x 在[],ππ-上的单调性； （2）证明：()f x 在R 上有三个零点.【答案】（1）()f x 的单调递减区间为[),0π-，3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭；单调递增区间为0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦.（2）证明见解析【解】（1）()sin sin 2f x x x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，由()0f x '=及[],x ππ∈-，得0x =或4π或34π. 当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为[),0π-，3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭；()f x 的单调递增区间为0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦.（2）当[],x ππ∈-时，由（1）得，()f x 的极小值分别为()00f =，230428f f πππ⎛⎫⎛⎫<=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；极大值()004f f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭.又()202f ππ=->，所以()f x 在[],0π-上仅有一个零点0； 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上各有一个零点.当x π<-时，()22xf x x ≥+，令()22x g x x =+，则()g x x x '=，显然3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()g x '单调递增，()()0g x g ππ''<-=<；当3,2x π⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦时，()302g x π'≤-+<， 从而x π<-时，()0g x '<，()g x 单调递减，因此()()202g x g ππ>-=>，即()()0f x g x ≥>，所以()f x 在(),π-∞-上没有零点.当x π>时，()22xf x x ≥-，令()22x h x x =，则()h x x x '=，显然3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0x >，()0h x '>；当3,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()302h x π'≥->， 从而x π>时，()0h x '>，()h x 单调递增，因此()()202h x h ππ>=>，即()()0f x h x ≥>，所以()f x 在(),π+∞上没有零点.故()f x 在R 上仅有三个零点.（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆()22:11C x y -+=，直线:2l y =.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）设A 、B 分别为圆C 和直线l 上的点，且满足AO AB ⊥，设AOB α∠=，求tan α的最小值.【解】（1）圆C 的方程为2220x y x +-=，即222x y x +=，因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以圆2:cos C ρθ=，直线:sin 2l ρθ=； （2）设(),A A ρθ、(),B B ρθα+，22ππθ-<<.依题意可得，2cos A ρθ=，()sin 2B ρθα+=，cos B A ραρ=.所以()2cos sin 2cos θθαα+=，从而2cos sin cos cos sin cos θθαθαα+=，所以2221cos sin 13tan tan tan 1tan cos 24θθαθθθθ-⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当1tan 2θ=时，tan α取得最小值34.页 11第 23.已知a 、b 、c 、d 是正实数，且23a b +=，1c d +=.（1）证明：213a b +≥； （2）当a c【解】（1）因为()21222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥= ⎪⎝⎭， 又23a b +=，故213a b +≥，当且仅当b a a b =时，即1a b ==时等号成立； （2）因()()32222a b c d ac bd bc ad ac bd =++=+++≥++2=，≤2bc ad =时等号成立， 此时223a b a b c d c d +===+，故当32a c =.。