初中数学竞赛辅导资料(31)勾股定理范文

初中数学竞赛辅导资料（31）
勾股定理
甲内容提要
1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 2
2. 勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段a 的2，3， 5……倍
② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.
4. 勾股数的推算公式
① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2
12+k 是一组勾股数。

③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭
⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。

④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。

简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

乙例题
例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a
分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：5a ＝2492
a a -
∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）
例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2
求对角线AC 的长
解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30
∴CE ＝2CD
＝4， 在Rt △ABE 中
设AB 为x,则AE ＝2x
根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=325 在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝13
25+＝2132 例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A
求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC 证明：作∠B 的平分线交AC 于D ， 则∠A ＝∠ABD ， ∠BDC ＝2∠A ＝∠C
∴AD ＝BD ＝BC 作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2）
＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）
＝AC ×AD ＝AB ×BC
例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD
求证：AB ＝AC
证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得
AD 2＝c 2-m 2=b 2-n 2
∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB ＝AC
例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC
求证：AC ＞BD
证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、F
ACDE 和BCDF 都是平行四边形
∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF 作DH ⊥AB 于H
AH
＝22-DH AD ，FH ∵AD ＞BC ，AD ＞DF ∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH +
∴DE ＞BD
即AC ＞BD
例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，
AF ＝b,且S EFGH ＝3
2 求：a b -的值 （2001年希望杯数学邀请赛，初二）
解：根据勾股定理
a 2+
b 2=EF 2＝S EFGH ＝3
2 ;① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31 ② ① －②得 （a-b ）2=31 ∴a b -＝3
3
丙练习31
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，
③22158+＝＿＿＿，④2215-25＝＿＿＿
H G
3.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。

那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4.梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求证：AE＝AF
6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
且BD＝BF，CD＝CE
求证：AE＝AF
7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。

（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC
ME⊥MF
求证：EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，∠C＝600，BC＝2，D是AC的中点，从
D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。

（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3， (100)
记m i=AP i2+BP i×P i C (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____ (1990年全国初中数学联赛题)
练习31
C
B
D
3. 150，12，35
4. 24（作CE ∥BD 交AB 延长线E ）
5. 利用勾股定理证明AE ，AF
6.利用勾股定理: AE 2＝……，AF 2
7.作CD ⊥AB 于D ，
∵bc=a 2-b 2=BD 2-AD 2=(BD+AD)(BD-AD) ∴b=BD-AD ……
8.（用反证法）设a,b,c 都是奇数， 那么a 2,b 2,c 2也都是奇数，
∴a 2＋b 2是偶数,而c 2是奇数， 这与a 2＋b 2＝c 2相矛盾，
故这种假设不能成立，
∴a,b,c 中至少有一个数是偶数 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++22221c b a ab c b a 正整数解有⎪⎩
⎪⎨⎧===13,10,10,1312,.8,.6,.5.5,.6,.8,12c b a
答：各边长是5，12，13或6，8，10
11.延长EM 到N ，使MN ＝EM ，连结CN ，
显然△MNC ≌△MEB ，NC ＝BE ，NF ＝EF ……
12. 可证DF ＝DE ＝23， 13. 400 (m i =4)。