一类抽象算子方程组的迭代解及其应用
抽象代数——精选推荐
抽象代数⼀、课程⽬的与教学基本要求本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上，进⼀步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。
要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。
对这三种代数结构在别的相关学科，如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。
⼆、课程内容第1章准备知识（Things Familiar and Less Familiar）10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识，通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。
1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A（S）(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质；通过实例帮助建⽴抽象概念，掌握群同态定理及其应⽤；了解有限阿贝尔群的结构。
1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)3、⼦群(Subgroups)4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) （选讲）11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理，了解单群的概念及例⼦。
板几何中一类具抽象边界条件迁移算子的谱
对 ∈Ｘ， 考虑方 程 （ 一Ｂ） ） 、 ｆ＝ （．） ２５
则 对任何 Ｒ Ａ＞一 ， ｅ 方程 （． 可形 式地解为 ： ２５ ）
０ ＜ 上＜ １ ｆ
（， ， ） Ｖｕ ＝
—
１ ＜ ＜ ０
第 ３ 期
王胜华， 板几何 中一类具抽象边界条件迁移算子 的谱 等：
２８ ６
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １ 卷 ３
２ 空间和算子
令 Ｘ： （ （ ）１≤ｐ＜ 。） 按通 常范数构 成 的 Ｂ ｎｃ 。表 ａａｈ空间， 定义相 空间 Ｄ 的 飞入和 飞出的 边界分别 为
Ｄ Ｄ 一 ） ｉ Ｄ ＝｛ ０ ×Ｅ × ｕ Ｄ ＝Ｄ Ｏ － ｝ 。 ２ Ｄ ＝ ａ ×Ｅ× ｕ
收稿 日期： ０ １０—２ ２ １—５２ 资助项 目 江西省 自 ： 然科学基金 （ １Ｇ Ｃ １５； ２ ０ Ｚ ０８）江西省教育厅科技资助项 目 （ Ｊ１ ０） ０ Ｇ Ｊ０ ９ ６ 通信作者： 王胜 华 （９ ６ ， 博士、教授， 究方 向是迁移方程； ． ｉ ｗｓｕ＠ｓｕ ｘｃ １５一）男， 研 Ｅｍａ ： ｈ ａ ｒ ． ． ｌ ｊ ｎ
其 范数分别 为 ：
Ｉ Ｘ 一（ ｉ ｉ ｌ ｌ Ｉ ＋ＩｚＰ） ＩＩ ｌ ｌ ｉｘ ｌ
１ｐ ／
（
ｆ ｆ ｏ
＝
ｃ ， ＋ ０ “ ｄ ） ｌ ｐ № １ ）
ｄ
厂 厂 １ ｌｐ ／
砂Ｉ。 Ｉ０Ｐ ＋ｌ２Ｐ） 。ｘ ＝（ Ｉ｝ ｌ Ｉ２ 【 Ｉｌ Ｉ ｘ ０ｘ
一
（ ） ＝（ — ） 十 Ｉ （ ＋… ＋（ ）一 ） ∈Ｃ 入 Ｓ ， ， （３ ３） ．
所 以
如何理解抽象的数学概念,并将其应用于实际问题？
如何理解抽象的数学概念，并将其应用于实际问题？哎，说真的，数学这东西吧，有时候真让人头疼！你说它抽象吧，它确实很抽象，什么函数啊、微积分啊，听起来就好像天书一样。
可你说它跟实际生活没关系吧，它又无处不在，从超市买菜算账到规划旅行路线，都要用到数学知识。
就拿我前几天去菜市场买菜来说吧，我想买点西红柿炒鸡蛋，结果看到西红柿有两种：一种是圆圆的，个头大，价格贵一些；另一种是扁扁的，个头小，价格便宜一些。
我心想，这两种西红柿到底哪个划算呢？
我当时就感觉脑子有点懵，因为我要考虑的不仅仅是价格，还有西红柿的个头大小，以及要买多少个才能炒一盘菜。
这可真是一道数学题呀！
我开始思考，假设我买圆圆的西红柿，每个 3 块钱，要买 4 个才能炒一盘菜；如果买扁扁的西红柿，每个 2 块钱，要买 6 个才能炒一盘菜。
那我该
买哪种呢？
这时，我脑子里突然闪现出一个神奇的公式：价格数量 = 总价。
我赶紧把
圆圆的西红柿算了一下：34=12，也就是说买 4 个圆圆的西红柿要花 12 块
钱。
再算一算扁扁的西红柿：26=12，哦，买 6 个扁扁的西红柿也只要 12 块钱。
我顿时恍然大悟，原来两种西红柿的价格其实是相等的！这时，我才发现，数学其实就是一种逻辑推理，它可以帮助我们分析问题，解决问题，而且往往能得出最优的解决方案！
所以，下次再遇到抽象的数学概念，别慌，先想想它跟实际生活有什么关系，再试着把它运用到生活中，你就会发现，数学其实并没有想象中那么难，反而很有趣哦！哈哈，就像我那天买西红柿一样，最终还是省钱了，心里美滋滋的！。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
一类带抽象边界条件的迁移算子的谱
第15卷第2期2013年6月应用泛函分析学报A C TA A N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A V bl ．15．N o ．2J un ．．2013D oI ：10．3724／SP ．J ．1160．2013．00109文章编号：1009-1327(2013)020109—09一类带抽象边界条件的迁移算子的谱吴红星，王胜华上饶师范学院，上饶334001摘要：在L p(1≤p<+∞)空间中，研究了板几何中一类带抽象边界条件的各向异性、连续能量、均匀介质的迁移方程，利用豫解算子方法，得到了该迁移算子的谱在区域R 中仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成．关键词：迁移方程；抽象边界条件；部分光滑算子；谱分析中图分类号：0177．21相关知识自L e hner 和w i ng 在文献【1】对无限平行板几何中的迁移方程研究工作以来，迁移方程解的渐近性态和该迁移算子的谱分析研究已成为数学、物理和生物等领域都非常感兴趣的课题(部分文献见[2—8】)．文献【2]对％(1≤p<+。
)空间板几何中具反射边界条件非均匀介质的迁移方程进行研究，得到了其相应迁移算子产生岛群y(t )@≥o)和其D yson-Phi l l i ps 二阶余项的紧性．文献[3】对三p 空间板几何中具抽象边界条件各向异性、粒子单量、均匀介质的迁移方程进行研究，讨论了st ream i ng 算子谱的存在性和抽象cauchy 问题解的渐近稳定性．文献【4]在岛空间对板几何中具抽象边界条件各向异性、连续能量、非均匀介质的迁移方程进行研究，在假设边界算子为紧的条件下，得到了该迁移算子的谱在右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果．本文将文献[4】的结果推广到边界算子为非紧的情况，同样得到该迁移算子的谱在右半平面的某区域R 上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果。
数学中的抽象代数及其应用
数学中的抽象代数及其应用在现代数学领域中，抽象代数是一门研究代数结构的学科。
它以代数系统的广义概念为基础，通过研究各种代数结构及其性质，来揭示数学本质的一门学科。
本文将探讨抽象代数的基本概念、理论及其在实际应用中的重要性。
一、群论群论是抽象代数的基础，它研究的是集合上的一种代数运算——群运算。
群是一个集合和一个运算的组合，满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个条件。
通过研究群的性质及其变换规律，群论为其他分支提供了坚实的基础。
群论的应用非常广泛，尤其在密码学领域中起着重要的作用。
群论的概念和性质为密码学提供了理论基础，通过利用群论中的数论运算，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储安全。
二、环论环论是抽象代数中的另一个重要分支，它研究的是环这种代数结构及其性质。
环是一个集合，配以两个二元运算——加法和乘法，并且满足一定的条件。
环论的研究主要集中在环的性质、理论和相关结构上。
环论在数论、代数几何、图论等领域有广泛的应用。
例如，在数论中，环论可以用来研究数的整除性、同余关系等性质；在代数几何中，环论可以用来研究代数簇的结构和性质；在图论中，环论可以用来研究图的生成树、哈密顿路径等问题。
三、域论域论是抽象代数的又一个重要分支，它研究的是域这种代数结构及其性质。
域是一个包含加法和乘法两个运算的集合，并且满足一系列条件，如交换律、结合律、存在加法和乘法的单位元及其逆元等。
域论在代数几何、密码学、编码理论等领域中有广泛应用。
在代数几何中，域论为研究代数簇和其上的函数提供了基础；在密码学中，利用域论中的有限域概念可以设计出高效且安全的密码算法；在编码理论中，域论可以用来研究纠错码和解码算法。
四、线性代数线性代数是抽象代数的一个重要应用领域，它研究的是向量空间及其上的线性变换。
线性代数的主要内容包括线性方程组、矩阵理论、特征值与特征向量等。
线性代数在计算机图形学、量子力学、信号处理等领域中有广泛的应用。
抽象代数的概念与应用
抽象代数的概念与应用抽象代数是数学中一个非常重要的分支。
从字面上理解，抽象代数是对代数结构进行的一种抽象的研究。
虽然初学者可能会对这个领域感到陌生，但是抽象代数已经被证明是在许多不同的应用中至关重要的。
在本文中，我们将探索抽象代数的概念与应用以及它在数学、计算机科学、物理学和其他领域中的实际应用。
抽象代数的概念抽象代数是一种研究代数结构的数学学科。
代数结构是指一组数学对象及它们之间的一些关系，通常包括运算、等式和公理。
对这些对象和关系进行抽象地研究，是抽象代数的主要目标。
抽象代数的一个基本概念是群，它是一种代数结构，包括一组对象和一种二元运算，并满足一些基本性质。
具体来说，一个群必须满足以下性质：1. 闭合性： A和B是群G的成员，A*B也是群G的成员。
2. 结合律：对于群G中的任意三个成员，(A*B)*C=A*(B*C)。
3. 反元素：对于群G中的任意一个成员A，存在一个成员B，使得A*B=B*A=e，其中e是群G的恒等元素。
4. 恒等元素：存在一个元素e，使得对于群G中的任意元素A，e*A=A*e=A。
这些性质保证了群的基本性质，它们是抽象代数研究的核心内容。
在这之上，抽象代数还研究了其他代数结构，如环、域和向量空间等。
抽象代数的应用抽象代数在数学以外的领域中也有广泛的应用。
以下是抽象代数在数学、计算机科学、物理学和其他领域中的一些实际应用。
数学中的应用在数学研究中，抽象代数已被证明是一个强大的工具。
在代数几何中，群论、域论和其他抽象代数内容都扮演了重要角色。
抽象代数也被应用于实际问题的解决，如密码学中的ElGamal密码和Diffie–Hellman密钥交换协议等。
此外，抽象代数在贝尔定理、代数化数学、代数编程和代数处理四个方面都有广泛应用。
计算机科学中的应用抽象代数在计算机科学中也有广泛应用。
计算机科学中的数据结构、算法和程序设计等内容都涉及到抽象代数知识。
程序语言和编译器也要求对抽象代数有一定的理解。
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是求解非线性方程的一种常用方法，其基本思想是利用泰勒公式，将原方程式化为近似的一次方程，不断迭代，直到获得满足要求的精度值为止。
在数学、物理、化学等领域，牛顿迭代法被广泛应用。
1. 原理与步骤给定一个函数 f(x)，我们希望求出它的一个根，即使得 f(x) = 0 的 x 的值。
考虑到非线性函数的复杂性，我们采用牛顿迭代法来解决。
假设已经猜测出一个近似值 x0，通过泰勒公式将 f(x) 在 x0 处展开：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)为了简化计算，我们令上式等于0，即：f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 0将 x 化简可得：x = x0 - f(x0) / f'(x0)将上式作为下一次迭代的初始值，即可不断迭代求解，直到满足要求的精度值。
2. 牛顿迭代法的应用2.1 偏微分方程偏微分方程是现代科学和工程所涉及的许多领域的基础，而牛顿迭代法可用于求解非线性偏微分方程。
由于牛顿迭代法依赖于初始值的选择，因此需要根据实际问题来选择初始值，从而得到精确的解。
2.2 统计学在统计学中，牛顿迭代法被广泛应用于最大似然估计。
最大似然估计是在给定数据集的前提下，寻找一种参数估计方法，使得似然函数（即给定数据集下模型参数的条件下，该数据集出现的概率）最大。
通过牛顿迭代法，可以快速求解似然函数的最大值，从而获得最优的参数估计结果。
2.3 非线性优化在优化问题中，如果目标函数为非线性函数，则无法通过简单的线性规划来解决，需要借助于牛顿迭代法。
通过迭代求解逼近目标函数的零点，可以实现非线性规划问题的求解。
3. 注意事项在使用牛顿迭代法时，需要注意以下几点：3.1 初始值的选择初始值的选择会直接影响到迭代的次数和迭代结果的精度。
一般来说，我们选择敏感度较高的点作为初始值，例如驻点或函数导数为零的点。
3.2 解存在性和唯一性使用牛顿迭代法求解方程时，需要保证解的存在性和唯一性。
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数学物理学报
一
类抽象算子方程组的迭代解及其应 用
苏 华 刘立 山 吴 从 ３ Ｉ ； 斤
１曲 师范大学数学科学学院 曲阜 ２３ ６ ； 阜 ７１５ 。哈尔滨工 业大学数学系 哈尔滨 １０ ０） ５ ０１
，●●－（
＝
＋
一
２ （ ， 【 ）
＝
Ｂ（ ｕ， ，）
ｆ） ２ ． １
Ｘ∈ 且对 Ｐ，
广
其中 ， Ｄ ×Ｄ— Ｅ 为了方便起见，本节使用下列假设条件 Ｂ： ． （１ Ｈ ）存在正线性有界算子 正 ： Ｅ— Ｅ ｉ ，， ，＝１２ 满足 （ 一 ） ＋ 任意 ｉ ｉ ， ∈Ｄ（— ｌ２， ２Ｖ Ｖ， Ｖ ｉ ，） ｌ ，ｌ ２ 有
问题 ．
本文 首先在 一般 的序 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间 中，讨论 一类 抽象 算子方 程组 的迭代 唯一 解 （ 假定 不 抽象 算子 的连续 性）而且将 文献 ［ ７１］ ， ２ １ 中的条 件进一步 减弱 ， ， 在更 弱 的条 件下解 决抽象算 子方 程组 解 的存 在 唯一 性 问题，推 广和统 一 了以前 的一些结 论 ，然后 应 用到 下列 实 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ 空 间 中非线 性积 分方 程组
ＭＲ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３Ｂ ５ ３Ｂ ５ 中图分类号： ７ ． 文献标识码： ４ １； ４ ２ ８２０）３４９０
１ 引言
自郭 大钧教 授在 文献 『 中引入混合 单调 算子及 其藕 合不 动点概 念 以来 ，人 们对算 子方 １ ］
得 到方程 组 （．） １１ 的唯一解 ，及 收敛 于方程 组唯一 解 的迭代序 列并给 出了相应 的误差估 计 ．
收稿 日期： ０ ５０ —６ 修订 日期：２ ０ —０ １ ２ ０ —９０ ； ０ ６ １— ７
Ｅ－ ａ ｌ ｕｈ ０ ＠ １ ３．ｏｒ ；ｌｓ ｍ ａ ｌｑｆ ｅ ｍ ｉ：ｓ ｕａ ２ ６ ｃ ｎ ｌ＠ ｉ． ｎｕ．ｄｕ． ｌ ａｌ
一
ｈ
； 芰
＋
一
（１ ２（ ） Ｂ（， 一Ａ ｕＶ Ｌｖ～ ； Ｔ ＋Ｔ） ～ ） （，） （ ） ＝ ， 其谱 半径 满足
（４ Ｔ 一ＴＬ， Ｔ 一ＴＬ Ｈ ）Ｌ ２ ２ Ｌ １ １ ，
ｒＬ ＋ ） （ ） ｎ｛ ｌ ∈ｏｉ １ ）， （１ ２ ＜１ （ ） （ ＋ｒ ＜ｉ ｌ ＝ ｆ￣ （ ＋Ｔ 一 ｝ ｒ 一Ｔ ） Ｔ 定理 １ 设 Ｐ 是实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间 Ｅ 中的一个锥， ｕ，０ ０ ∈Ｅ Ｖ． Ｖ ，０ ０ 假设算子 ， ： Ｂ Ｄ×Ｄ— Ｅ满足条件 （ Ｉ （ ４ 则： （ 方程组 （． 在 Ｄ×Ｄ 中有唯一解 （ ， ）（） Ｈ ） Ｈ） 一 ． ｉ ） ２） １ ；ｉ 对 ｉ 任意初 始值 Ｘ ，ｏ ０Ｙ ∈Ｄ， ０ Ｙ， 迭代序 列 ｏ作
摘要：在 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间中，利用半序方法讨论了一类 抽象算子方程组解的存在唯一性，推广和 统一 了以前的一些结果．然后应用到 Ｂａ ａ ｈ空间非线性积分方程组，得到 了方 程组 的唯 一 ｎｃ
解，构造了收敛于方程组唯一解的迭代序列并 给出了相应的误差估计．
关键词：抽象算子方程组；唯一解；迭代序列；积分方程组．
程 ｕ＝ （，） ｕｕ 解的存在性唯一性 问题做了许多工作 （ 参见文献 ［ １］ 并且应用到 Ｂ ｎｃ １ １， ） ａ ａｈ 空间中的许 多类型 的方 程 ， 到 了一批很好 的结 果．研 究此类 问题采 用 的方法 技 巧有范数方 得 法（ 参见文献 ［） ２ 和序方法 （ ］ 参见文献 ［ ３４）解决方程组解的存在性 问题也常用到这些方 １ ，］ ， ， 法，但通常需要用到比较强的序条件 （ 参见文献 ［ １］或者连续条件 （ ７ １ － ） 参见文献 ［ ］ 在讨 １） ２． 论 抽象 算子 方程 组解 的存 在性 问题 时 ，文 献 ｆ 在 抽象 算子 ， 均 为 混合单 调算 子 ，且 在 ７ ］ Ｂ Ｂ（，） （，） （ —ｕ， ∈（，） ｕｒ ｕｕ 一 ｕｕ ｕ ） ０１， ，） （，） Ｂ（ “ ｕｕ 比较强的条件下， 而文献 ［ 在抽象 ８ ］ 算子 ， 关于第 一变元 Ｍ 增第二变 元 Ⅳ 减 的条 件下 ，解决 了抽象 算子 方程 组解 的存 在性 Ｂ
Ｂ（２ ） ｖ， 一Ｂ（ｌ ） 一 （２ １ 一Ｔ （２ １， １ ｖ， 一Ｖ） ２ ～ ） ２ Ａ（２ ） ｖ， 一Ａ（ｌ ） 一 （２ １一Ｔ（２ １； １ ｖ， ２ 一Ｖ） ２ ～ ） ２ （ ２ ０ ２￣ —Ｕ） Ａ（ｏ ） ｖ，Ｏ Ｖ —Ｔ（ｏ ０； Ｈ ）Ｕ ＋Ｔ （ｏ ０ ｕ ， ，Ｂ（ｏＵ） Ｏ ２ｖ — ） ０ （ ）存在正 线性有界 算子 Ｌ： — Ｅ， 任意 ， Ｈ３ Ｅ 对 Ｖ∈Ｄ， ， 足 满
基金项 目：国家 自 然科学基金 （０ ７０５ １２ １３ ） １４ １７ ， ０７ ０５ 和高等学校博士点专项基金 （０６ ４６０ ） ２００ ４０ １ 资助
维普资讯
４０ ５
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学 物
理
学
报
Ｖ １７ ０２ ｌ． Ａ
２ 抽象算子方程组的迭代解
设 Ｐ 是实 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 Ｅ 中的一 个锥 ，则 Ｐ 在 Ｅ 中可 以定义 一个 半序 ： Ｙ兮 Ｘ Ｙ— ∈Ｐ． Ｐ 称为 正规 的，如果 存在 常数 Ｎ ＞０ 对 任意满 足 ０ 锥 ， Ｙ的 ＸＹ∈Ｐ， ， 有 ｌｌ Ⅳ １称满足上式的正数 Ⅳ 中的最小者为锥 Ｐ 的正规常数，记为 （ Ｉｌ ． ｘ 参见文献 ［ ， １ ２ ｌＪ 对任意的 Ｕ，０ ，０ Ｖ， Ｄ ３． ） ０Ｖ ∈Ｅ Ｕ ０记 ０ＶＪ ∈Ｅ ｆＵ ，０ 三（ ０ ０ 是 Ｅ 中的序区 ｝ 间． 考察 Ｅ 中非线性 方程组