利用Hermite标准型求解线性方程组

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MATLAB中对线性方程组求解一种方法

实验报告MATLAB中对线性方程组求解一种方法一．前言MATLAB是一个功能强大的线性方程组求解工具，它特别适合求解大规模的线性方程组。

由于MATLAB是专为矩阵运算而设计的，它的运算效率较高，而且可以使用循环结构，因此用MATLAB可以求解需要千万次运算量的复杂方程组。

下面介绍的求解方法对于小规模方程组也是非常有效的。

二．实验原理迭代法就是用某种极限国采取逐步逼近线性方程组精确解的方法。

方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不便等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。

迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似逼近精确解。

如Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法。

三．实验目的1.熟练MATLAB中运用迭代方法求解线性方程组的原理；2.熟练MATLAB中矩阵的运用和程序设计。

四．实验步骤1．Jacobi迭代法对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：x=D-1(L+U)x+D-1b与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b这就是Jacobi迭代公式。

如果序列{x(k+1)}收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。

Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin)format longif nargin==3eps= 1.0e-6; %默认精度M = 200; %参数不足时默认后两个条件elseif nargin<3error('参数不足');returnelseif nargin==5;M=varargin;end[n,m]=size(A);nb=length(b);%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息if n~=merror('矩阵A行数和列数必须相等!');return;end%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出出错信息if n~=nberror('矩阵A的行数必须和b的长度相等!');return;endD =zeros(n,n);for i=1:nif A(i,i)==0error('A对角线元素为零！')return;endD(i,i)=A(i,i); %得到矩阵DendB=inv(D)*(D-A); %B为迭代矩阵g=inv(D)*b; %g为右端项pr=max(abs(eig(B))) %求迭代矩阵谱半径if pr>=1error('迭代矩阵谱半径大于1迭代法不收敛');return;endk=0;tol=1;while tol>=epsx = B*x0+gk = k+1; %迭代步数tol = norm(x-x0);%前后两步迭代结果的误差x0 = x;if(k>=200)disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！');return;endend2. 例题用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。

hermite 拟合曲线矩阵

hermite 拟合曲线矩阵
Hermite插值是一种通过给定的数据点来逼近一个曲线的方法之一。

它采用了Hermite多项式来表示曲线，并使用一系列的控制点来确定多项式的形状和方向。

在进行Hermite插值时，需要创建一个包含数据点和其对应的导数值的矩阵。

这个矩阵可以表示为：
[ P0, P1, P2, ..., Pn ]
[ M0, M1, M2, ..., Mn ]
[ P'0, P'1, P'2, ..., P'n ]
[ M'0, M'1, M'2, ..., M'n ]
其中，P0, P1, P2, ..., Pn 是数据点的坐标，M0, M1, M2, ..., Mn 是数据点的导数值，P'0, P'1, P'2, ..., P'n 是通过Hermite插值计算得到的曲线的坐标，M'0, M'1, M'2, ..., M'n 是通过Hermite
插值计算得到的曲线的导数值。

通过解这个矩阵，可以得到曲线上的各个点的坐标和导数值，从而得到整个曲线的形状。

具体的解法可以使用线性代数的方法，例如高斯消元法。

总结起来，Hermite插值的关键是构建一个包含数据点和导数值的矩阵，并使用线性代数的方法来求解这个矩阵，从而得到拟合的曲线。

用matlab求解线性方程组

用matlab 解线性方程组电子科技大学摘要：利用matlab 软件编写程序，分别利用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法、列主元高斯消去法，改进平方根法求解不同方程组，其中对于雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法在收敛条件相同的情况下，比较两者的迭代次数，对于，列主元高斯消去法和改进平方根法，要求解出方程组的根。

关键词：雅克比迭代法；高斯赛德尔迭代法；列主元高斯消去法；改进平方根法引言：众所周知，在数学物理方程中，当涉及到解方程组的时候，按照常规的计算方法计算量很大，这样，就涉及到了计算方法的问题，算法里面，很多涉及到矩阵转换，经过处理，可以让我们简便的计算根，而matlab 是一个处理矩阵方程组很便利的软件，下面就是用几种不同的方法解方程组。

正文：一、雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法 1雅可比迭代法原理：设线性方程组b Ax =的系数矩阵A 可逆且主对角元素nn a ,...,a ,a 2211均不为零,令()nn a ,...,a ,a diag D 2211=并将A 分解成()D D A A +-= 从而(1)可写成 ()b x A D Dx +-= 令 11f x B x +=其中b D f ,A D I B 1111--=-=. 以1B 为迭代矩阵的迭代法(公式)()()111f x B x k k +=+称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,则为⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a ba xnij j )k (j j i iii)k (i21021111==∑-=≠=+其中()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放()k x 及()1+k x . 2高斯赛德尔迭代法原理由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i 个分量时，已经算出最新的分量，但没被利用。

Maple常用计算命令

常用计算命令《Maple 指令》7.0版本第1章章数1.1 复数Re,Im - 返回复数型表达式的实部/虚部abs - 绝对值函数argument - 复数的幅角函数conjugate - 返回共轭复数csgn - 实数和复数表达式的符号函数signum - 实数和复数表达式的sign 函数51.2 MAPLE 常数已知的变量名称指数常数（以自然对数为底）I - x^2 = -1 的根infinity 无穷大1.3 整数函数! - 阶乘函数irem, iquo - 整数的余数/商isprime - 素数测试isqrfree - 无整数平方的因数分解max, min - 数的最大值/最小值mod, modp, mods - 计算对 m 的整数模rand - 随机数生成器randomize - 重置随机数生成器1.4 素数Randpoly, Randprime - 有限域的随机多项式/首一素数多项式ithprime - 确定第 i 个素数nextprime, prevprime - 确定下一个最大/最小素数1.5 数的进制转换convert/base - 基数之间的转换convert/binary - 转换为二进制形式convert/decimal - 转换为 10 进制convert/double - 将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/float - 转换为浮点数convert/hex - 转换为十六进制形式convert/metric - 转换为公制单位convert/octal - 转换为八进制形式1.6 数的类型检查type - 数的类型检查函数第2章初等数学2.1 初等函数product - 确定乘积求和不确定乘积exp - 指数函数sum - 确定求和不确定求和sqrt - 计算平方根算术运算符+, -, *, /, ^add, mul - 值序列的加法/乘法2.2 三角函数arcsin, arcsinh, . - 反三角函数/反双曲函数sin, sinh, . - 三角函数/双曲函数2.3 LOGARITHMS 函数dilog - Dilogarithm 函数ln, log, log10 - 自然对数/一般对数，常用对数2.4 类型转换convert/`+`,convert/`*` - 转换为求和/乘积convert/hypergeom - 将求和转换为超越函数convert/degrees - 将弧度转换为度convert/expsincos - 将trig 函数转换为exp, sin, cosconvert/Ei - 转换为指数积分convert/exp - 将trig 函数转换为指数函数convert/ln - 将arctrig 转换为对数函数polar - 转换为极坐标形式convert/radians - 将度转换为弧度convert/sincos - 将trig 函数转换为sin, cos, sinh, cosh convert/tan - 将trig 函数转换为tanconvert/trig - 将指数函数转换为三角函数和双曲函数第3章求值3.1 假设功能3.2 求值Eval - 对一个表达式求值eval - 求值evala - 在代数数（或者函数）域求值evalb - 按照一个布尔表达式求值evalc - 在复数域上符号求值evalf - 使用浮点算法求值evalhf - 用硬件浮点数算法对表达式求值evalm - 对矩阵表达式求值evaln - 求值到一个名称evalr, shake - 用区间算法求表达式的值和计算范围evalrC - 用复数区间算法对表达式求值value - 求值的惰性函数第4章求根，解方程4.1 数值解fsolve - 利用浮点数算法求解solve/floats - 包含浮点数的表达式4.2 最优化extrema - 寻找一个表达式的相对极值minimize, maximize - 计算最小值/最大值maxnorm - 一个多项式无穷大范数4.3 求根allvalues -计算含有RootOfs的表达式的所有可能值isqrt, iroot - 整数的平方根/第n 次根realroot - 一个多项式的实数根的隔离区间root - 一个代数表达式的第n 阶根RootOf - 方程根的表示surd - 非主根函数roots - 一个多项式对一个变量的精确根turm, sturmseq - 多项式在区间上的实数根数和实根序列4.4 解方程eliminate - 消去一个方程组中的某些变量isolve - 求解方程的整数解solvefor - 求解一个方程组的一个或者多个变量isolate - 隔离一个方程左边的一个子表达式singular - 寻找一个表达式的极点solve/identity - 求解包含属性的表达式solve/ineqs - 求解不等式solve/linear - 求解线性方程组solve/radical - 求解含有未知量根式的方程solve/scalar - 标量情况（单变量和方程）solve/series - 求解含有一般级数的方程solve/system - 解方程组或不等式组第5章操作表达式5.1 处理表达式Norm - 代数数 (或者函数) 的标准型Power - 惰性幂函数Powmod -带余数的惰性幂函数Primfield - 代数域的原始元素Trace - 求一个代数数或者函数的迹charfcn - 表达式和集合的特征函数Indets - 找一个表达式的变元invfunc - 函数表的逆powmod - 带余数的幂函数Risidue - 计算一个表达式的代数余combine - 表达式合并(对tan,cot不好用)expand - 表达式展开Expand - 展开表达式的惰性形式expandoff/expandon - 抑制/不抑制函数展开5.2 因式分解Afactor - 绝对因式分解的惰性形式Afactors - 绝对因式分解分解项列表的惰性形式Berlekamp - 因式分解的Berlekamp 显式度factor - 多元的多项式的因式分解factors - 多元多项式的因式分解列表Factor - 函数factor 的惰性形式Factors - 函数factors 的惰性形式polytools[splits] - 多项式的完全因式分解第6章化简6.1 表达式化简118simplify - 给一个表达式实施化简规则simplify/@ - 利用运算符化简表达式simplify/Ei - 利用指数积分化简表达式simplify/GAMMA - 利用GAMMA 函数进行化简simplify/RootOf - 用RootOf 函数化简表达式simplify/wronskian - 化简含wronskian 标识符的表达式simplify/hypergeom - 化简超越函数表达式simplify/ln - 化简含有对数的表达式simplify/piecewise - 化简分段函数表达式simplify/polar - 化简含有极坐标形式的复数型表达式simplify/power - 化简含幂次的表达式simplify/radical - 化简含有根式的表达式simplify/rtable - 化简rtable 表达式simplify/siderels - 使用关系式进行化简simplify/sqrt - 根式化简simplify/trig - 化简trig 函数表达式simplify/zero - 化简含嵌入型实数和虚数的复数表达式6.2 其它化简操作Normal - normal 函数的惰性形式convert - 将一个表达式转换成不同形式radnormal - 标准化一个含有根号数的表达式rationalize - 分母有理化第7章操作多项式7.0 MAPLE 中的多项式简介7.1 提取coeff - 提取一个多项式的系数coeffs - 提取多元的多项式的所有系数coeftayl - 多元表达式的系数lcoeff, tcoeff - 返回多元多项式的首项和末项系数7.2 多项式约数和根gcd, lcm - 多项式的最大公约数/最小公倍数psqrt, proot - 多项式的平方根和第n次根rem,quo - 多项式的余数/商7.3 操纵多项式convert/horner - 将一个多项式转换成Horner形式collect - 象幂次一样合并系数compoly - 确定一个多项式的可能合并的项数convert/polynom - 将级数转换成多项式形式convert/mathorner - 将多项式转换成Horner矩阵形式convert/ratpoly - 将级数转换成有理多项式sort - 将值的列表或者多项式排序sqrfree - 不含平方项的因数分解函数discrim - 多项式的判别式fixdiv - 计算多项式的固定除数norm - 多项式的标准型resultant - 计算两个多项式的终结式bernoulli - Bernoulli 数和多项式bernstein - 用Bernstein多项式近似一个函数content, primpart - 一个多元的多项式的内容和主部degree, ldegree - 一个多项式的最高次方/最低次方divide - 多项式的精确除法euler - Euler 数和多项式icontent - 多项式的整数部分interp - 多项式的插值prem, sprem - 多项式的pseudo 余数和稀疏pseudo 余数randpoly - 随机多项式生成器spline - 计算自然样条函数第8章有理表达式8.0 有理表达式简介8.1 操作有理多项式numer,denom - 返回一个表达式的分子/分母frontend - 将一般的表达式处理成一个有理表达式normal - 标准化一个有理表达式convert/parfrac - 转换为部分分数形式convert/rational - 将浮点数转换为接近的有理数ratrecon - 重建有理函数第9章微积分9.1 取极限Limit, limit - 计算极限limit[dir] - 计算方向极限limit[multi] - 多重方向极限limit[return] - 极限的返回值9.2 连续性测试discont - 寻找一个函数在实数域上的间断点fdiscont - 用数值法寻找函数在实数域上的间断点iscont - 测试在一个区间上的连续性D - 微分算子D, diff - 运算符D 和函数diffdiff, Diff - 微分或者偏微分convert/D - 将含导数表达式转换为D运算符表达式convert/diff - 将D(f)(x)表达式转换为diff(f(x),x)的形式implicitdiff - 由一个方程定义一个函数的微分9.4 积分计算Si, Ci … - 三角和双曲积分Dirac, Heaviside - Dirac 函数/Heaviside阶梯函数Ei - 指数积分Elliptic - 椭圆积分FresnelC, … - Fresnel 正弦,余弦积分和辅助函数int, Int - 定积分和不定积分LegendreP, … - Legendre 函数及其第一和第二类函数Li - 对数积分student[changevar] - 变量代换dawson - Dawson 积分ellipsoid - 椭球体的表面积evalf(int) - 数值积分intat, Intat - 在一个点上积分求值第10章微分方程10.1 微分方程分类odeadvisor - ODE-求解分析器DESol - 表示微分方程解的数据结构pdetest - 测试pdsolve 能找到的偏微分方程(PDEs)解10.2 常微分方程求解dsolve - 求解常微方程 (ODE)dsolve - 用给定的初始条件求解ODE 问题dsolve/inttrans - 用积分变换方法求解常微分方程dsolve/numeric - 常微方程数值解dsolve/piecewise - 带分段系数的常微方程求解dsolve - 寻找ODE 问题的级数解dsolve - 求解ODEs 方程组odetest - 从ODE 求解器中测试结果是显式或者隐式类型10.3 偏微分方程求解pdsolve - 寻找偏微分方程 (PDEs) 的解析解第11章数值计算11.1 MAPLE 中的数值计算环境IEEE 标准和Maple数值计算数据类型特殊值环境变量11.2 算法标准算法复数算法含有0，无穷和未定义数的算法11.3 数据构造器254complex - 复数和复数构造器Float, … - 浮点数及其构造器Fraction - 分数及其的构造器integer - 整数和整数构造器11.4 MATLAB 软件包简介11.5 “”区间类型表达式第12章级数12.1 幂级数的阶数Order - 阶数项函数order - 确定级数的截断阶数12.2 常见级数展开series - 一般的级数展开taylor - Taylor 级数展开mtaylor - 多元Taylor级数展开poisson - Poisson级数展开.26812.3 其它级数eulermac - Euler-Maclaurin求和piecewise - 分段连续函数asympt - 渐进展开第13章特殊函数AiryAi, AiryBi - Airy 波动函数AiryAiZeros, AiryBiZeros - Airy函数的实数零点AngerJ, WeberE - Anger函数和Weber函数BesselI, HankelH1, … - Bessel函数和Hankel函数BesselJZeros, … - Bessel函数实数零点Beta - Beta函数EllipticModulus - 模数函数k(q)GAMMA, lnGAMMA - 完全和不完全Gamma函数GaussAGM - Gauss 算术的几何平均数JacobiAM, ., - Jacobi 振幅函数和椭圆函数JacobiTheta1, JacobiTheta4 - Jacobi theta函数JacobiZeta - Jacobi 的Zeta函数KelvinBer, KelvinBei - Kelvin函数KummerM, - Kummer M函数和U函数LambertW - LambertW函数LerchPhi - 一般的Lerch Phi函数LommelS1, LommelS2 - Lommel函数MeijerG - 一个修正的Meijer G函数Psi - Digamma 和Polygamma函数StruveH, StruveL - Struve函数WeierstrassP - Weierstrass P函数及其导数WhittakerM - Whittaker 函数Zeta - Zeta 函数erf, … - 误差函数，补充的误差函数和虚数误差函数harmonic - 调和函数hypergeom - 广义的超越函数pochhammer - 一般的pochhammer函数polylog - 一般的polylogarithm函数第14章线性代数14.1 ALGEBRA（代数）中矩阵，矢量和数组14.2 LINALG 软件包简介14.3 数据结构矩阵matrices（小写）矢量vectors（矢量）convert/matrix - 将数组，列表，Matrix 转换成matrixconvert/vector - 将列表，数组或Vector 转换成矢量vector linalg[matrix] - 生成矩阵matrix（小写）linalg[vector] - 生成矢量vector（小写）14.4 惰性函数Det - 惰性行列式运算符Eigenvals - 数值型矩阵的特征值和特征向量Hermite, Smith - 矩阵的Hermite 和Smith 标准型14.5 LinearAlgebra函数Matrix 定义矩阵Add 加/减矩阵Adjoint 伴随矩阵BackwardSubstitute 求解 A . X = B，其中 A 为上三角型行阶梯矩阵BandMatrix 带状矩阵Basis 返回向量空间的一组基SumBasis 返回向量空间直和的一组基IntersectionBasis 返回向量空间交的一组基BezoutMatrix 构造两个多项式的 Bezout 矩阵BidiagonalForm 将矩阵约化为双对角型CharacteristicMatrix 构造特征矩阵CharacteristicPolynomial 构造矩阵的特征多项式CompanionMatrix 构造一个首一（或非首一）多项式或矩阵多项式的友矩阵（束）ConditionNumber 计算矩阵关于某范数的条件数ConstantMatrix 构造常数矩阵ConstantVector 构造常数向量Copy 构造矩阵或向量的一份复制CreatePermutation 将一个 NAG 主元向量转换为一个置换向量或矩阵CrossProduct 向量的叉积`&x` 向量的叉积DeleteRow 删除矩阵的行DeleteColumn 删除矩阵的列Determinant 行列式Diagonal 返回从矩阵中得到的向量序列DiagonalMatrix 构造（分块）对角矩阵Dimension 行数和列数DotProduct 点积BilinearForm 向量的双线性形式EigenConditionNumbers 计算数值特征值制约问题的特征值或特征向量的条件数Eigenvalues 计算矩阵的特征值Eigenvectors 计算矩阵的特征向量Equal 比较两个向量或矩阵是否相等ForwardSubstitute 求解 A . X = B，其中 A 为下三角型行阶梯矩阵FrobeniusForm 将一个方阵约化为 Frobenius 型（有理标准型）GaussianElimination 对矩阵作高斯消元ReducedRowEchelonForm 对矩阵作高斯－约当消元GetResultDataType 返回矩阵或向量运算的结果数据类型GetResultShape 返回矩阵或向量运算的结果形状GivensRotationMatrix 构造 Givens 旋转的矩阵GramSchmidt 计算一个正交向量集HankelMatrix 构造一个 Hankel 矩阵HermiteForm 计算一个矩阵的 Hermite 正规型HessenbergForm 将一个方阵约化为上 Hessenberg 型HilbertMatrix 构造广义 Hilbert 矩阵HouseholderMatrix 构造 Householder 反射矩阵IdentityMatrix 构造一个单位矩阵IsDefinite 检验矩阵的正定性，负定性或不定性IsOrthogonal 检验矩阵是否正交IsUnitary 检验矩阵是否为酉矩阵IsSimilar 确定两个矩阵是否相似JordanBlockMatrix 构造约当块矩阵JordanForm 将矩阵约化为约当型KroneckerProduct 构造两个矩阵的 Kronecker 张量积LeastSquares 方程的最小二乘解LinearSolve 求解线性方程组 A . x = bLUDecomposition 计算矩阵的 Cholesky，PLU 或 PLU1R 分解Map 将一个程序映射到一个表达式上，对矩阵和向量在原位置上进行处理MatrixAdd 计算两个矩阵的线性组合VectorAdd 计算两个向量的线性组合MatrixExponential 确定一个矩阵 A 的矩阵指数 exp(A)MatrixFunction 确定方阵 A 的函数 F(A)MatrixInverse 计算方阵的逆或矩阵的 Moore-Penrose 伪逆MatrixMatrixMultiply 计算两个矩阵的乘积MatrixVectorMultiply 计算一个矩阵和一个列向量的乘积VectorMatrixMultiply 计算一个行向量和一个矩阵的乘积MatrixPower 矩阵的幂MinimalPolynomial 构造矩阵的最小多项式Minor 计算矩阵的子式Multiply 矩阵相乘Norm 计算矩阵或向量的p-范数MatrixNorm 计算矩阵的p-范数VectorNorm 计算向量的p-范数Normalize 向量正规化NullSpace 计算矩阵的零度零空间OuterProductMatrix 两个向量的外积Permanent 方阵的不变量Pivot 矩阵元素的主元消去法PopovForm Popov 正规型QRDecomposition QR 分解RandomMatrix 构造随机矩阵RandomVector 构造随机向量Rank 计算矩阵的秩Row 返回矩阵的一个行向量序列Column 返回矩阵的一个列向量序列RowOperation 对矩阵作初等行变换ColumnOperation 对矩阵作出等列变换RowSpace 返回矩阵行空间的一组基ColumnSpace 返回矩阵列空间的一组基ScalarMatrix 构造一个单位矩阵的数量倍数ScalarVector 构造一个单位向量的数量倍数ScalarMultiply 矩阵与数的乘积MatrixScalarMultiply 计算矩阵与数的乘积VectorScalarMultiply 计算向量与数的乘积SchurForm 将方阵约化为 Schur 型SingularValues 计算矩阵的奇异值SmithForm 将矩阵约化为 Smith 正规型StronglyConnectedBlocks 计算方阵的强连通块SubMatrix 构造矩阵的子矩阵SubVector 构造向量的子向量SylvesterMatrix 构造两个多项式的 Sylvester 矩阵ToeplitzMatrix 构造 Toeplitz 矩阵Trace 计算方阵的迹Transpose 转置矩阵HermitianTranspose 共轭转置矩阵TridiagonalForm 将方阵约化为三对角型UnitVector 构造单位向量VandermondeMatrix 构造一个 Vandermonde 矩阵VectorAngle 计算两个向量的夹角ZeroMatrix 构造一个零矩阵ZeroVector 构造一个零向量Zip 将一个具有两个参数的程序作用到一对矩阵或向量上LinearAlgebra[Generic] 子函数包 [Generic] 子函数包提供作用在场，欧几里得域，积分域和环上的线性代数算法。

Hermite方程及其解法

2222122d kx m dx ϕ-+ϕ=ϕE Hermite 方程及其解法**************** （***********）摘要：本文讨论了Hermite 方程的求解并推出Hermite 多项式.文中给出解的表达式. 关键字：Hermite 方程;Hermite 多项式.简谐振动是物理学中经常出现的一类运动.在简谐振动中，粒子所受的力正比于它的位移x ，而方向相反，即粒子收的力F kx =-，势能为212V kx =.故薛定谔方程是令ax ξ=，其中21/4(/)mk α=，上式可改写成222()0d d ϕλξϕξ+-= （1）式中22222mEEmE k λαω=== ω=.（1）的解如下：1()2n E nω=+，0,1,2,n =2211/22()n x n eH x αϕα-=式中，()n H x α是Hermite 多项式.在量子力学中求解一维谐振子问题时，会遇到形如的方程，这类方程称为Hermite 方程.其中()kkk z C zω∞==∑ （3）下面对Hermite 方程进行求解. 由式（3），可得11()k kk z kC zω∞-='=∑12()(1)k kk z k k C zω∞-=''=-∑.由此，原方程为1121(1)2(1)0k k k kk k k k k k k C zz kC zC z λ∞∞∞--===--+-=∑∑∑210[(2)(1)2(1)(1)]0k k k k k k k Ck C C z λ∞++=++-++-=∑20[(2)(1)(21)]0kk kk k k Ck C z λ∞+=++--+=∑ （4）由式（4），2(2)(1)(21)0k k k k C k C λ+++--+= （5） 221(2)(1)k k k C C k k λ+-+=++ （6）当2k +为偶数时，令22,1,2,3k n n +==，则22k n =-.此时（6）为2222(22)12(21)n n n C C n n λ---+=-222432(21)n n n C C n n λ---=-可得20(1)(5)(43)(2)!n n C C n λλλ----=（7）当2k +为奇数时，令221,1,2,3,k n n +=+=，则21k n =-.此时（6）为21212(21)12(21)n n n C C n n λ+---+=+2121412(21)n n n C C n n λ+---=+2210100(1)(5)(43)(3)(7)(41)=[][](2)!(21)!n n n n n n C z C z n n λλλλλλ∞∞+==--------++∑∑可得211(3)(7)(41)(21)!n n C C n λλλ+----=+ （8）则 0()kkk z C zω∞==∑ .由01C C 与的的任意性，令 210(1)(5)(43)()(2)!nn n z C z n λλλω∞=----=∑21210(3)(7)(41)()(21)!n n n z C z n λλλω∞+=----=+∑. 由此，Hermite 方程的解为12()()()z z z ωωω=+.下面讨论Hermite 方程的多项式解即Hermite 多项式.令21n λ=+，则递推关系（6）为 22()(2)(1)k k n k C C k k +--=++ （9）由递推关系(9)，当n k -为偶数时有=所以(1)2)!!(nm n -=2(2).n m z -()n H x 称为n 阶Hermite 多项式.0()1H z =，1()2H z z =，22()42H z z =-，33()812H z z z =-，424()164812H z z z =-+.直接验证可知22()(1)n zn z n nd e H z e dz-=-. 此式称为Hermite 多项式的微分表达式.结语本文讨论了Hermite 方程的解，并探索了Hermite 多项式的物理意义，对于数学物理方法课程的学习有很大帮助，并且促进了对量子物理的初步认识.参考文献[1]郑乐民.原子物理[M].北京：北京大学出版社，2000:45. [2]周明儒.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008:75-76.。

专题4 使用MATLAB求解线性方程组的不同方法

Z = null(A) 求出 Ax=0 的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在 Z 中. MATLAB 源代码如下： A=[1 2 2 1；2 1 -2 -2；1 -1 -4 -3]
A= 12 2 1 2 1 -2 -2 1 -1 -4 -3
Rank(A) Ans= 2 A=sym(A) A= [1,2,2,1] [2,1,-2,-2] [1,-1,-4,-3] null(A) ans= [2, 5/3] [-2,-4/3] [1, 0] [0, 1]
运行结果为： rank_A =
2 rank_B =
2 S_H =
-2
1
1
0
0
2
0
1
S_P =
0
1.7500
0
-0.5000
则该线性方程组有无穷多解为：
2 1 0
x

k1
1 0

k2

0 2

7 0
/
4

,
k1
,Leabharlann k2R 0 1 1/ 2
nulla?r?求系数矩阵为a的齐次线性方程组ax0的基础解系结果为有理数bnulla求出ax0的基础解系后将基础解系的向量正交单位化存储在zmatlab源代码如下
专题 4 使用 MATLAB 求解线性方程组的方法
x1 2 x2 2x3 x4 0
【例
1】求齐次方程组

2 x1
end end
x1 2x2 2x3 3x4 2 【例 1.3】使用 Matlab 求解方程组 2x1 4x2 3x3 4x4 5

一类非线性矩阵方程的Hermite正定解

ｉ２
ｍ
一
，（１＋（，）） ∑４（，＋ ∑
ｊ１ｚｌ
）４
（１一，），＋ｆ ∑４（盯＋ ∑Ａ ’ ）４
１ｌＩ＝ｌ
●
文中Ｐ（，ｚ）表示所有的阶正定矩阵，ｘ三，＞表示ｙ
。
Ｉ￣Ｙｏ－／，则
所以Ｆ在［，，Ｆ（，）］上存在一个不动点，也就是说是
』
＝
４ ‘ 。４：（，），＝Ｆ（，） ≤ Ｆ（』），
Ｅｑ．（１）的一个解。
定理２如撇
Ｅｑ．（１）的解，则 ∈ ［Ｉ，Ｆ（，）］。
＝。
收敛到ｘ，即
Ｆ（）＝Ｊ，＋ ∑ＡｉＡｉ的不动点。令Ｑ＝［，Ｆ（，，显然
ｆ＝ｌ
考虑逆序矩阵序列（２），令Ｆ（）：，＋ ∑
ｉ＝１
４。
Ｑ是一个非空有界凸闭集，并且由腥逆序映射知ＦｆＱ１ｃＱ
， ∑４（，＋ ∑Ａ ‘ ）４一唧（ｆ），（）
● ＝ｔ１
是半正定的（正定的）。令九＝ｍａｘ｛（４４），
，
１，２ …．｝
≥ （１一ｆ） — ｔｒｌ（ｔ）Ｆ（）
＝ｍｉｎ｛（），１，２ …．ｍ｝。区间［Ｂ，ｃ］表示集合
利用数学归纳法我们可以证明
，Ｆ（０－Ｆ（，） ≤ Ｆ（，）Ｆ。（，） ≤ Ｆ（０．

hermite矩阵符号

hermite矩阵符号标题：Hermite矩阵符号及其应用引言：Hermite矩阵符号是数学中一种重要的符号表示方法，它在多个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍Hermite矩阵符号的定义和性质，并探讨其在代数、物理学、图论、密码学和通信等领域中的应用。

正文内容：1. Hermite矩阵符号的定义和性质1.1 定义：Hermite矩阵符号是由两个矩阵构成的二元组，其中一个矩阵表示实数部分，另一个矩阵表示虚数部分。

1.2 性质：Hermite矩阵符号具有加法、减法和乘法运算，满足结合律和分配律。

此外，它还具有共轭和转置运算。

2. Hermite矩阵符号在代数中的应用2.1 线性代数：Hermite矩阵符号可以用于表示线性变换和线性方程组，简化了代数运算的过程。

2.2 矩阵理论：Hermite矩阵符号在矩阵的特征值和特征向量的计算中有重要作用。

2.3 多项式插值：Hermite矩阵符号可以用于多项式插值问题的求解，提高了计算效率。

3. Hermite矩阵符号在物理学中的应用3.1 量子力学：Hermite矩阵符号在量子力学中用于描述量子态和算符的运算。

3.2 波动光学：Hermite矩阵符号可以用于描述光束的传播和衍射，对光学系统的分析和设计具有重要意义。

3.3 统计力学：Hermite矩阵符号在统计力学中用于描述粒子的运动和相互作用。

4. Hermite矩阵符号在图论中的应用4.1 图的表示：Hermite矩阵符号可以用于表示图的邻接矩阵和关联矩阵，简化了图的分析和计算。

4.2 图的遍历：Hermite矩阵符号可以用于描述图的遍历算法，如深度优先搜索和广度优先搜索。

4.3 图的匹配：Hermite矩阵符号在图的匹配问题中有广泛应用，如最大匹配、最小匹配等。

5. Hermite矩阵符号在密码学和通信中的应用5.1 加密算法：Hermite矩阵符号可以用于设计和分析加密算法，保障数据的安全性和机密性。

5.2 信号处理：Hermite矩阵符号可以用于信号的压缩、滤波和恢复，提高了信号处理的效率和精度。

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线性方程组求解有高斯消元法、当消元法、约迭
代法等，求线性方程组的通解时，把增广矩阵化而是
２列元素不全为零，记第２列为ｌ列等等，每一则，在次（ｋ＝１２ … ，）标注之后，，，ｒ列施行第二步；
全为零，则记为＇列，，。否则则看第２列，时若有第此
收稿日期：００—０２１３—２１
增添行使得每一行的第一个非零元素１出现在
主对角线上，而主对角线上的其它元素取为零，而所
在的行的其它元素为零；
作者简介：冯学利（９２）男，１８一，陕西横山人，安大学在读硕士研究生。延
３６
（）列的倍法变换，主对角线上元素全为１４作使
得到矩阵Ａ；
．
ｒ２３３、，０１２４Ｉ
（）Ａ５在中，来增添的ｎ—ｒ中的非零元素原行
１在的列记为：叩，，所叼， … 叼一即是Ａ＝Ｘ０的一个
行为 ×凡方阵Ａ，的增添方法如下：行
２主要结果
定理１数域Ｆ上任意一个秩为ｒ／×Ｆ矩阵的ｉｔｔ
Ａ都可经过一系列初等行变换化为Ｈｒｉ标准型。ｅｔｍｅ证明：１步：ｍ ×ｎ矩阵Ａ的第１元素不第若列
第２步：对于非零列Ｊ（ｋｋ＝１２ … ，）依次采用：，，ｒ，
为最简阶梯形，自由向量表示其余向量，用然后令自
由向量取若干组线性无关的值，出非自由向量的解
（）１若第ｋｋ，，）（＝１２ …ｒ行第以（ｋ＝１２ … ，），，ｒ列元索不为零，用消法变换消去列除第ｋ行之外的采
所有元素，并用行倍法变换第ｋ行第列元素为１；（）第ｋｋ＝１２ …ｒ行第（２若（，，）ｋ＝１２ … ，），，ｒ
列元素为零，则先采用行变换法变换使其不为零，然后再使用（）Ｉ；第３步：由于ｍ ×凡矩阵Ａ的秩为ｒ则把．，，，
…
，
，
列除第ｋｋ＝１２，ｒ行第以（：Ｉ２（， … ），，
阵，足Ｂ的前ｒ中每一行至少含一个非零元素，满行且第一个非零元素是１而后ｍ—ｒ元素均为零；，行（）Ｂ中第ｉ的第一个非零元素１在列２若行
ｌ４３９６５８Ｉ２６４４３５２１ＩｒＪ
ｎ一，

组Ａ０的通解为｛Ｘ＝∑ｋｙ｝Ｘ＝ＸＩｉ。
准型中删去ｎ—ｒ全为零的行得到的矩阵称为矩个阵的Ｈｅｍｔ标准型简化式。ｒｉｅ
具体法则如下：（）出Ａ的Ｈｒｔ标准型Ａ；１求ｅｍｉｅ（）出Ａ的Ｈｒｔ标准型简化式Ａ；２写ｅｍｉｅ（）Ａ的Ｈｅｔ标准型简化式Ａ添ｎ—ｒ３对ｒｅｍｉ增
（１２ … ，），，ｒ则＜２Ｊ＜… ＜『＿；中的 … 列为单位矩阵，ｍ的前ｒ。列那么就称曰为Ｈｅｍｔ准型。ｒｉｅ标定义２在秩为ｒｍ ×ｎ矩阵Ａ的Ｈｒｔ的ｅｍｉｅ标
…
，
ｒ列位置的元素为１而其余的一．），，行全为零
办法。本文主要讨论了Ｈｅｍｔ阵标准型以及用它如何求解线性方程组。ｒｉｅ矩
关键词：线性方程组；ｅｍｉ矩阵；ｅｍｔ准型ＨｒｔｅＨｒｉｅ标中图分类号：１１２０５．１文献标识码：Ａ文章编号：０４６２２１）２０３－３１０－０Ｘ（０００－０５０
利用Ｈｒｉｅｍｔ准型求解线性方程组ｅ标
冯学利，兴祥刘
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７６０）１００
摘
要：求解线性方程是代数学解决的主要问题，而利用Ｈｒｔ准型来求解则是一个比较好的ｅｍｉｅ标
定理２数域，上的一个秩为ｒｍｘ１矩阵的１，
时即得到秩为ｒｍ × 的ｎ矩阵的Ｈｒｔｅｍｉｅ标准型。
Ａ，如下步骤所得到的ｉ—ｒ列向量就是齐次线按ｚ个性方程组＝０的一个基础解系。齐次线性方程
第２９卷第２期２１６月００年
延安大学学报（自然科学版）
ｏｒａｆＹｎｎＵｉｅｓｙ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｉｏｕｎｌｏａａｎｖｒｉｔＮａｕａｃｅｃｄｔｎｉ
Ｖｏ＿Ｎｏ２ｌ２９．
Ｊｎ２０ｕ．０１
值，出线性方程组若干个解向量。但是在许多情得况下，们只能对一个矩阵施行初等行变换，不能我而施行初等列变换。下面我们讨论一个矩阵经初等行变换可以化成的最简单的形式。ｌ定义
定义１（）１设是秩为ｒ，）ｍ ×Ｉ矩（．＞０的ｔ