1高三数学北师大理一轮教师用书：第章 第3节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 含解析

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[常用结论]二元一次不等式表示的区域(1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方． (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3)D ．(2，－3)C [∵－1＋3－1＞0，∴点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内，故选C.]2．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6＜0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )A B C DC [把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在x －3y ＋6＜0表示的平面区域内，点(0,0)在x －y ＋2≥0表示的平面区域内，故选C.]3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4C [不等式组所表示的平面区域如图所示． 其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4， 平移l 0过点A 时，z min ＝－2.]4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)⎩⎨⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0[用表格列出各数据：A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)平面区域的确定：直线定界，特殊点定域．①直线定界：当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线；②特殊点定域：常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)． (2)平面区域的形状问题主要有两种题型①确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； ②根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()A BC DC [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C.]2．若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43 B ．0<a ≤1 C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43D[作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．]3．(2019·南昌模拟)已知不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1D [由题意知k >0，且不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域如图所示．∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1， ∴三角形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意， ∴k ＝1.]4．若函数y ＝2x 图像上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2B [在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图像及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图像上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.](1)平面区域内的点满足 “同侧同号、异侧异号”的规律，如T 1，T 4.(2)计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．考点2 求目标函数的最值求线性目标函数的最值 截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．注意平面区域要画对，特别是图中涉及到直线的斜率大小关系．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．6 [作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2,0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.][母题探究] 本例条件不变，试求z ＝3x －2y 的范围．[解] z ＝3x －2y 变形为y ＝32x －12z ，由本例可行域知直线y ＝32x －12z 过A 点时截距取得最小值，而z 恰好取得最大值，即z ＝6.过C 点时截距取得最大值而z 恰好取得最小值，即z ＝－6，∴z ＝3x －2y 的范围为[－6,6]．充分理解目标函数的几何意义是求解本类问题的关键．(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7C[由题意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1，作出可行域如图阴影部分所示.设z ＝3x ＋y ，y ＝z －3x ，当直线l 0：y ＝z －3x 经过点C (2，－1)时，z 取最大值5.故选 C.]求非线性目标函数的最值非线性目标函数的常见代数式的几何意义主要有：(1)距离型：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离．(2) 斜率型：yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(2019·广州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.则yx 的取值范围为________．[2，＋∞) [作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示． z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2， 所以z 的取值范围是[2，＋∞)．][母题探究]1．本例条件不变，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为________． [1,5] [z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 易知A (0,1)，所以OA 2＝1，OB 2＝12＋22＝5，所以z 的取值范围是[1,5]．]2．本例条件不变，则目标函数z ＝y －1x －1的取值范围为______．(－∞，0] [z ＝y －1x －1可以看作点P (1,1)与平面内任一点(x ，y )连线的斜率．易知点P (1,1)与A (0,1)连线的斜率最大，为0.无最小值．所以z 的取值范围是(－∞，0]．]求非线性目标函数的最值时，注意目标函数的几何意义及转化的等价性，如x 2＋y 2是距离的平方，易忽视平方而求错，y －1x －1是点(x ，y )与(1,1)连线的斜率，易误认为点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率．(2019·海南五校模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为________．13[画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值，最小值为13.]求参数值或取值范围由目标函数的最值求参数的2种基本方法一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．(1)已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211B.14 C.4D.112(2)(2019·湖南湘东六校联考)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧3x －y －1≥0，3x ＋y －11≤0，y ≥2，且z ＝ax－y 的最小值为－1，则实数a 的值为________．(1)B (2)2 [(1)作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)， z max ＝2×1＋1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a ，则点B (a ，a )． ∴z min ＝2×a ＋a ＝3a ， ∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14.(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若a ≥3，则直线z ＝ax －y 经过点B (1,2)时，z 取得最小值，由a －2＝－1，得a ＝1，与a ≥3矛盾；若0<a <3，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)时，z 取得最小值，由2a －5＝－1，解得a ＝2；若a ≤0，则直线z ＝ax －y 经过点A (2,5)或C (3,2)时，z 取得最小值，此时2a －5＝－1或3a －2＝－1，解得a ＝2或a ＝13，与a ≤0矛盾，综上可知实数a 的值为2.](1)“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力．(2)当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12 C ．2或1D ．2或－1D [作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．故选D.]考点3线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么．(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数．(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系．(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料A B C肥料甲48 3乙5510甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解](1)由题意知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．图1(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x＋z 3，它的图像是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．图2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)， 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，z max＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]。