第2章 力系的简化
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工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
第二章 力系的简化
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +… =mO (F1)+mO (F2 )+…=∑mO (Fi )
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
力系的简化
R'
·M O
0
──右力螺旋，
R' ·M O 0 ──左力螺旋，
R '的作用线——力螺旋的中心轴
右力螺旋
左力螺旋
10
第一篇 静力学 第2章 力系的简化
② R' 与 MO 成任意角度，此为最一般情况。
分解：
MO
M
∥ O
M
O
其中
M
O∥＝（R'
·M O）R' R'2
力系二不变量之积 第一不变量模之平方
主矢与主矩为：
n
R' Fi i 1
n
M O mO (Fi ) (代数量)
i 1
合力作用线方程：M O xRy yRx
14
第一篇 静力学 第2章 力系的简化
例2-3 已知b=18m，H=36m，α=70，W=9.0×103kN，P=4.5×103kN， Q=180kN，a=6.4m，h=10m，c=12m，求合力并校核重力坝稳定性（OE≤2/3 b）。（坝体取单位长）
②写出各力矢量及作用点矢径：
F1
F1
2
Fi
2
2
Fk
2
F2
2
Fj
2
2
Fk
2
A
rA
O
x
rA ai , rB 2aj
③求主矢与主矩：
2
R' Fi
i 1
2
F
(i
j
2k )
2
2 2
2
M O mO (Fi ) ri Fi
i 1
i 1
Fa(2i j ) 2
解：建立坐标系如图。选O为简化中心。主矢 和主矩为：
工程力学力系的简化
平面汇交力系的简化
利用矢量合成的方法可以将这 一力系合成为一通过O点的合 FR 力，即为力系的主矢
n
F R＝ F i i1
其解析表达式是什么？
注意：主矢与合力是两个不同的概念，主矢只有 大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可在任 意点画出；而合力有三要素，除了大小和方向之 外，还必须指明其作用点。
力系等效定理: 两个力系对刚体运动效应相等的条件是主矢相等
和对同一点的主矩相等。
FP
FP'
FP
FP´
对于运动效应二者等效
FP
FP'
对于运动效应二者依然等效
FP
FP´
对于变形效应二者不等效
注意: 力系的等效在此仅指运动效应等效
FB
MC
MD
力系1
FA
FC
力系2
ME
※怎样判断上述两个不同复杂力系是否等效，即如何 判断不同力系的运动效应是否相同？
汇交力系合成
合成—几何法
力多边形法则
合成—解析法
F R F 1 F 2 F n F i
而 FRx Fix FRy Fiy
FRz Fiz
合力的大小和方向余弦分别为
FR(Fix)2(Fiy)2(Fiz)2
coFR s,i() F F Rix coFR s,j() F F Riy
coFR s,k() F F Riz
简化的目的 简化的方法
将每个力向简化中心平移 如图将力F1向O点作力线平移
Fn
F2
M1
Fn
M1
F2
FF1 1
F1
F3
Mn
M2
注意其与平面
n
M力1 偶系主矩计
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[M O ( F )] x i [M O ( F )] y j [M O ( F )] z k
[M o (F )] x yFz zFy [M o (F )] y zFx xFz [M o (F )] z xFy yFx
★力对点之矩与力对轴之矩
( M ix ) 2 ( M iy ) 2 ( M iz ) 2 M iy M ix cosM, i cosM, j M M M iz cosM, k M M
★力偶系
例题1
已知 : M1 和 M2 (M1=M2 =M 0), 及其作用面. 求: 合力偶 。
i=1
★力偶系
M x
My
Mx
M x M 1x M nx M ix M y M 1 y M ny M iy M z M 1z M nz M iz
M M ix i M iy j M iz k
M z (F ) cosM O , k MO
■ 空间任意力系简化
主矢 FR F 主矩 M O M i M O(F)
■ 空间任意力系简化
◆
力的平移
n
B
F ： 力; B ：任一点; α ：F 与B 所在平面; n ： 平面的法线 单位矢;
r
F
■ 空间任意力系简化
n
B
B
n
r F
r
在B点作用什么力系才能 使二者等效 ？
■ 空间任意力系简化
M ( F , F ) M B(F) rBA F
力的平移定理：作用在刚体上某点A的力F 可平行移到任一点B，但必须同时附加一 个力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于原 来的力F 对新作用点B的矩矢。
■ 空间任意力系简化
主矩
MO Mi MO (Fi )
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ) , , M n M O (Fn )
ri Fi
主矩:力系中所有的力对同一 点(矩心)之矩的矢量和。
■ 空间任意力系简化
Fz 0 : F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
解得
F1 F2 3.54 kN
FA 8.66 kN
FA 方向正确， AB 为压杆。
F A 为正值，表明所设的
■力偶系
★ 力对点之矩与力对轴之矩 ★ 力偶系
■ 空间任意力系简化
FRxˊ = Fix
FRyˊ = Fiy FRzˊ = Fiz
FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 ( Fiz ) 2 Fix cos(F R , i ) FR Fiz cos(F R , k ) FR Fiy cos(F R , j ) FR
例
■ 汇交力系
解：取起重杆 AB 与重物为研究对象 ，建立图示坐标系，受力如图(a)。由已知 条件可知， CBE DBE 45 由平衡方程
Fx 0 : F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0 : FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
M z (F R ) M O (F R )Z M O (F )Z M Z (F )
合力矩定理：(汇交力系)合力对任一点之矩矢
等于力系中各力对该点之矩矢的矢量和； (汇交力系)合力对任一轴之矩等于力系中 各力对该轴之矩的代数和。
＊该定理适用于有合力的任何力系
★力对点之矩与力对轴之矩
■ 汇交力系
平衡—几何法
平衡的几何条件是：汇交力系的力多 边形自行封闭。
■ 汇交力系
平衡—解析法
汇交力系平衡的必要和充分条件 是：力系的合力等于零，即 F 0
R
其平衡方程式为
Байду номын сангаас
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零
■ 汇交力系
起吊装置如图(a)所示，起重杆 A端用球铰链固 定在地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在 墙上的点C和D，CD连线平行于X轴。若已知 30 CE EB DE ， EBF 30 ，如图(b)所示， ， P 物重 10 kN 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和 绳子的拉力。
解： 求合力的大小
求合力作用线位置
x q qm l
FR q dx
0
l
1 qm l 2
2 h l FR h 0 3 即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合 力作用线通过三角形的几何中心。
l
q xdx
★力对点之矩与力对轴之矩
★力偶系
力 偶 : 大小相等,方 向相反,不共线的两个
力对点 之矩是定位于矩 心的矢量,其矢量方向 由右手定则确定. 平面问题中力对点之矩 是代数量。取绕矩心逆 时针转动为正，反之为 负。
★力对点之矩与力对轴之矩
2、力对轴之矩
力对轴之矩是 力使物体绕某轴转 动效果的度量。
Fx F
实 例
Fz Fy
F
★力对点之矩与力对轴之矩
定义 :将力向垂直于 该轴的平面投影 ,力的 投影与投影至轴的垂直 距离的乘积. Mz (F) = Fxyd
力偶矩矢
M rBA F
★力偶系
MO = MO(F) + MO(F´) = rA×F + rB × F´ = rA × F - rB × F =( rA - rB ) × F = rBA × F MO1
=
O1
？
其方向亦可由 右手定则确定。
★力偶系
● 力 偶 的 性质
性质一 : 力偶无合力,即主矢FR=0. 性质二 : 力偶对刚体的运动效应只与力 偶矩矢量有关.
而
FRx Fix FRy Fiy FRz Fiz
合力的大小和方向余弦分别为
Fiy Fix Fiz cos(F R , i ) , cos(F R , j ) , cos(F R , k ) FR FR FR FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 ( Fiz ) 2
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
■ 汇交力系
F Fx F y Fz
Fx i Fy j Fz k
■ 汇交力系
二、汇交力系合成与平衡
合成—几何法
力多边形法则
■ 汇交力系
合成—解析法
FR F1 F2 Fn Fi
★力偶系
推 论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力偶 可在与其作用面平行的平面内移动。
★力偶系
★力偶系 ●力偶系及其合成
z
力偶系：由两个或两 个以上力偶组成的特
x
y 殊力系。
★力偶系
力偶系合成的结果 :
M
仍然是一个力偶，其 力偶矩矢量等于原力 偶系中所有力偶矩矢 量之和。即
n
M= M i
例 题
已知 : F , l1, l2 , . 求 : MO(F)
解：
MO (F) = M o (F x ) M o (F y ) =MO(F sin i) + MO (F cos j)
★力对点之矩与力对轴之矩
例 题
三角形分布载荷作用在水平梁 AB 上，如图所示。 最大载荷强度为 q m ， 梁长 l 。试求该力系的合 力
M ox M o ( F )x M x ( F )
M oy M o ( F )y M y ( F )
M oz M o ( F )z M z ( F )
M O [ M x ( F )] 2 [ M y ( F )] 2 [ M z ( F )] 2 M y (F ) M x (F ) cos M O , i cosM O , j MO MO
★力对点之矩与力对轴之矩
1、力对点之矩
力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。 1）矢积表达式
F ( Fx ,Fy ,Fz ) A(x,y,z) r=xi+yj+zk M o (F ) r F
力矩的大小 M O(F ) F d 2 AOAB
★力对点之矩与力对轴之矩
2）力对点之矩的解析式为 i j k M o (F ) r F x y z Fx Fy Fz = (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
都可以表示成 i ,j k 的形式
★力偶系
例题 2
已知: 结构受力如图所示,图中M, r 均为已知,
试:
且l=2r. 画出AB 和BDC 杆的受力图; 求A,C 二处的约束力.
★力偶系
例题 2
受力分析:
1. AB杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B二处分 别受有一个方向虽然未 知但可以判断出的力。
工程力学
第2章
力系的简化
第2章 力系的简化
■ 汇交力系 ■ 力偶系 ■ 空间任意力系的简化 ■ 讨论
■ 汇交力系
力 系
两个或两个以 上的力所构成的系 统称为力系,又称 力的集合.
■ 汇交力系
汇交力系
所有力的作用线 汇交于一点的力系称 为汇交力系
■ 汇交力系
一、力在直角坐标轴上的投影与分解
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
[M o (F )] x yFz zFy [M o (F )] y zFx xFz [M o (F )] z xFy yFx
★力对点之矩与力对轴之矩
( M ix ) 2 ( M iy ) 2 ( M iz ) 2 M iy M ix cosM, i cosM, j M M M iz cosM, k M M
★力偶系
例题1
已知 : M1 和 M2 (M1=M2 =M 0), 及其作用面. 求: 合力偶 。
i=1
★力偶系
M x
My
Mx
M x M 1x M nx M ix M y M 1 y M ny M iy M z M 1z M nz M iz
M M ix i M iy j M iz k
M z (F ) cosM O , k MO
■ 空间任意力系简化
主矢 FR F 主矩 M O M i M O(F)
■ 空间任意力系简化
◆
力的平移
n
B
F ： 力; B ：任一点; α ：F 与B 所在平面; n ： 平面的法线 单位矢;
r
F
■ 空间任意力系简化
n
B
B
n
r F
r
在B点作用什么力系才能 使二者等效 ？
■ 空间任意力系简化
M ( F , F ) M B(F) rBA F
力的平移定理：作用在刚体上某点A的力F 可平行移到任一点B，但必须同时附加一 个力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于原 来的力F 对新作用点B的矩矢。
■ 空间任意力系简化
主矩
MO Mi MO (Fi )
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ) , , M n M O (Fn )
ri Fi
主矩:力系中所有的力对同一 点(矩心)之矩的矢量和。
■ 空间任意力系简化
Fz 0 : F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
解得
F1 F2 3.54 kN
FA 8.66 kN
FA 方向正确， AB 为压杆。
F A 为正值，表明所设的
■力偶系
★ 力对点之矩与力对轴之矩 ★ 力偶系
■ 空间任意力系简化
FRxˊ = Fix
FRyˊ = Fiy FRzˊ = Fiz
FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 ( Fiz ) 2 Fix cos(F R , i ) FR Fiz cos(F R , k ) FR Fiy cos(F R , j ) FR
例
■ 汇交力系
解：取起重杆 AB 与重物为研究对象 ，建立图示坐标系，受力如图(a)。由已知 条件可知， CBE DBE 45 由平衡方程
Fx 0 : F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0 : FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
M z (F R ) M O (F R )Z M O (F )Z M Z (F )
合力矩定理：(汇交力系)合力对任一点之矩矢
等于力系中各力对该点之矩矢的矢量和； (汇交力系)合力对任一轴之矩等于力系中 各力对该轴之矩的代数和。
＊该定理适用于有合力的任何力系
★力对点之矩与力对轴之矩
■ 汇交力系
平衡—几何法
平衡的几何条件是：汇交力系的力多 边形自行封闭。
■ 汇交力系
平衡—解析法
汇交力系平衡的必要和充分条件 是：力系的合力等于零，即 F 0
R
其平衡方程式为
Байду номын сангаас
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零
■ 汇交力系
起吊装置如图(a)所示，起重杆 A端用球铰链固 定在地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在 墙上的点C和D，CD连线平行于X轴。若已知 30 CE EB DE ， EBF 30 ，如图(b)所示， ， P 物重 10 kN 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和 绳子的拉力。
解： 求合力的大小
求合力作用线位置
x q qm l
FR q dx
0
l
1 qm l 2
2 h l FR h 0 3 即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合 力作用线通过三角形的几何中心。
l
q xdx
★力对点之矩与力对轴之矩
★力偶系
力 偶 : 大小相等,方 向相反,不共线的两个
力对点 之矩是定位于矩 心的矢量,其矢量方向 由右手定则确定. 平面问题中力对点之矩 是代数量。取绕矩心逆 时针转动为正，反之为 负。
★力对点之矩与力对轴之矩
2、力对轴之矩
力对轴之矩是 力使物体绕某轴转 动效果的度量。
Fx F
实 例
Fz Fy
F
★力对点之矩与力对轴之矩
定义 :将力向垂直于 该轴的平面投影 ,力的 投影与投影至轴的垂直 距离的乘积. Mz (F) = Fxyd
力偶矩矢
M rBA F
★力偶系
MO = MO(F) + MO(F´) = rA×F + rB × F´ = rA × F - rB × F =( rA - rB ) × F = rBA × F MO1
=
O1
？
其方向亦可由 右手定则确定。
★力偶系
● 力 偶 的 性质
性质一 : 力偶无合力,即主矢FR=0. 性质二 : 力偶对刚体的运动效应只与力 偶矩矢量有关.
而
FRx Fix FRy Fiy FRz Fiz
合力的大小和方向余弦分别为
Fiy Fix Fiz cos(F R , i ) , cos(F R , j ) , cos(F R , k ) FR FR FR FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 ( Fiz ) 2
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
■ 汇交力系
F Fx F y Fz
Fx i Fy j Fz k
■ 汇交力系
二、汇交力系合成与平衡
合成—几何法
力多边形法则
■ 汇交力系
合成—解析法
FR F1 F2 Fn Fi
★力偶系
推 论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力偶 可在与其作用面平行的平面内移动。
★力偶系
★力偶系 ●力偶系及其合成
z
力偶系：由两个或两 个以上力偶组成的特
x
y 殊力系。
★力偶系
力偶系合成的结果 :
M
仍然是一个力偶，其 力偶矩矢量等于原力 偶系中所有力偶矩矢 量之和。即
n
M= M i
例 题
已知 : F , l1, l2 , . 求 : MO(F)
解：
MO (F) = M o (F x ) M o (F y ) =MO(F sin i) + MO (F cos j)
★力对点之矩与力对轴之矩
例 题
三角形分布载荷作用在水平梁 AB 上，如图所示。 最大载荷强度为 q m ， 梁长 l 。试求该力系的合 力
M ox M o ( F )x M x ( F )
M oy M o ( F )y M y ( F )
M oz M o ( F )z M z ( F )
M O [ M x ( F )] 2 [ M y ( F )] 2 [ M z ( F )] 2 M y (F ) M x (F ) cos M O , i cosM O , j MO MO
★力对点之矩与力对轴之矩
1、力对点之矩
力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。 1）矢积表达式
F ( Fx ,Fy ,Fz ) A(x,y,z) r=xi+yj+zk M o (F ) r F
力矩的大小 M O(F ) F d 2 AOAB
★力对点之矩与力对轴之矩
2）力对点之矩的解析式为 i j k M o (F ) r F x y z Fx Fy Fz = (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
都可以表示成 i ,j k 的形式
★力偶系
例题 2
已知: 结构受力如图所示,图中M, r 均为已知,
试:
且l=2r. 画出AB 和BDC 杆的受力图; 求A,C 二处的约束力.
★力偶系
例题 2
受力分析:
1. AB杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B二处分 别受有一个方向虽然未 知但可以判断出的力。
工程力学
第2章
力系的简化
第2章 力系的简化
■ 汇交力系 ■ 力偶系 ■ 空间任意力系的简化 ■ 讨论
■ 汇交力系
力 系
两个或两个以 上的力所构成的系 统称为力系,又称 力的集合.
■ 汇交力系
汇交力系
所有力的作用线 汇交于一点的力系称 为汇交力系
■ 汇交力系
一、力在直角坐标轴上的投影与分解
Fx F cos Fy F cos Fz F cos