工程力学(静力学与材料力学)第二篇第八章轴向拉伸与压缩
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第二章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩§2−1 轴向拉伸和压缩的概念F(图2−1)则为轴向拉伸，此时杆被2−1虚线)；若作用力F 压缩杆件(图(图2−2工程中许多构件，(图2−3)、各类(图2−4)等，这类结构的构2−1和图2−2。
§ 2−2 内力·截面法·轴力及轴力图一、横截面上的内力——轴力图2−5a 所示的杆件求解横截面m−m 的内力。
按截面法求解步骤有：可在此截面处假想将杆截断，保留左部分或右部分为脱离体，移去部分对保留部分的作用，用内力来代替，其合力F N ，如图2−5b 或图2−5c 所示。
对于留下部分Ⅰ来说，截面m −m 上的内力F N 就成为外力。
由于原直杆处于平衡状态，故截开后各部分仍应维持平衡。
根据保留部分的平衡条件得 mF N F N（a ）（b ） （c ）图2−5Ⅱ图2−1图2−2图2-4F F F F Fx==-=∑N N ,0,0 (2−1)式中，F N 为杆件任一截面m −m 上的内力，其作用线也与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心，故称这种内力为轴力，用符号F N 表示。
若取部分Ⅱ为脱离体，则由作用与反作用原理可知，部分Ⅱ截开面上的轴力与前述部分上的轴力数值相等而方向相反(图2−5b,c)。
同样也可以从脱离体的平衡条件来确定。
二、轴力图当杆受多个轴向外力作用时，如图2−7a ，求轴力时须分段进行，因为AB 段的轴力与BC 段的轴力不相同。
要求AB 段杆内某截面m −m 的轴力，则假想用一平面沿m −m 处将杆截开，设取左段为脱离体(图2−7b)，以F N Ⅰ代表该截面上的轴力。
于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 F F -=ⅠN负号表示的方向与所设的方向相反，即为压力。
要求B C 段杆内某截面n-n 的轴力，则在n −n 处将杆截开，仍取左段为脱离体（图2−7c ），以F N Ⅱ代表该截面上的轴力。
于是，根据平衡条件∑F x ＝0，有 02N Ⅱ=+-F F F由此得F F =N Ⅱ在多个力作用时，由于各段杆轴力的大小及正负号各异，所以为了形象地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”(图2−7d)。
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第8章-轴向拉伸与压缩
max
[
]
FN,max [ ]
A
变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆
常见强度问题类型
校核强度 已知杆外力、A与[]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[]，确定杆所需横截面面积
A
FN,max
[ ]
确定承载能力 已知杆A与[]，确定杆能承受的FN,max
[FN] A[ ]
44
例题
例 6-1 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[] = 120 MPa，夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引言 §2 轴力与轴力图 §3 拉压杆的应力 §4 材料拉压力学性能 §5 应力集中概念 §6 拉压强度条件 §7 胡克定律与拉压杆的变形 §8 简单拉压静不定问题 §9 连接部分的强度计算 §10 应变能概念
解：1. 问题分析 轴力分析应力分析根据强度条件确定直径
45
2. 轴力分析
Fy 0, F 2Fcos 0
得：FN
F
2cos
3. 应力计算
4FN πd 2
2F
πd 2cos
4. 确定直径 d
πd
2F
2cos
[
]
d
[
2F
]πcos
5.31102 m
取 d5.30 mm
46
例 6-2 已知 A1=A2=100 mm2, [t ]=200 MPa, [c ]=150 MPa
解：1. 轴力与横截面应力
FN F
工程力学第8章轴向拉伸与压缩
( FN A
)max
·截面设计
A
FN
·许用载荷确定 FN A
例：图示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为钢质。 钢的许用应力[σ]1 = 160MPa，铜的许用应力[σ]2 = 120MPa ， AB 段 横截面面积1000mm2，AB 段横截面面积是BC 段的两倍，。外力 F = 60kN ，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。
解：⑴ 求杆的轴力，作轴力图
AD 段：
Fx 0 :
解得：
FN1 2F 0
FN1 2F 120kN
DB段：
Fx 0 : FN2 2F F 0
解得：
FN2 F 60kN
BC 段：
Fx 0 : FN3 F 0
解得： FN3 F 60kN
解得： FN1 2F (拉)
FN2 F (压)
FN1 2F (拉) FN2 F (压)
确定载荷的最大许用值
1杆强度条件
FN1 2F At
F At 100106 200106 14.14kN
2
2
2杆强度条件
FN2 F Ac
一、材料的力学性能概述
1. 材料的力学性能
材料从受力开始到破坏过程中所表现出的在变形和 破坏等方面的特性。
2. 试验试件
拉伸试件 压缩试件
拉伸试件 压缩试件
圆形截面试件 l 10d l 5d 矩形截面试件 l 11.3 A l 5.65 A
圆形截面试件 h (1 3)d 方形截面试件
解得： FN2 50kN
CD 段：
材料力学-第8章 轴向拉伸与压缩
2
0
45
max
2
0
max
2
90
0
第8章 轴向拉伸与压缩
圣维南原理
圣维南原理 ——加力点附近区域的应力分布问题
第8章 轴向拉伸与压缩
圣维南原理
当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，杆件并 非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。在 这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都 适用。
拉伸与压缩时材料的力学性能
单向拉伸时材料的力学行为
第8章 轴向拉伸与压缩
拉伸与压缩时材料的力学性能
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成 标准试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使 试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记 录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称 为应力-应变曲线(stress-strain curve)。;
F1
F
C
x
0
C
F2 F2
FNB＝F2－F1 5kN
第8章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
FA
A FN B' B" B l
F1
l
B'
B'
3. 应用截面法求控制面上的轴 力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B"、C处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴力：
l
B'
FN C C
F2
C
F2
F
x
0
FNC＝F2 10kN
0
45
max
2
0
max
2
90
0
第8章 轴向拉伸与压缩
圣维南原理
圣维南原理 ——加力点附近区域的应力分布问题
第8章 轴向拉伸与压缩
圣维南原理
当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，杆件并 非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。在 这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都 适用。
拉伸与压缩时材料的力学性能
单向拉伸时材料的力学行为
第8章 轴向拉伸与压缩
拉伸与压缩时材料的力学性能
进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成 标准试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使 试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记 录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称 为应力-应变曲线(stress-strain curve)。;
F1
F
C
x
0
C
F2 F2
FNB＝F2－F1 5kN
第8章 轴向拉伸与压缩
轴力与轴力图
FA
A FN B' B" B l
F1
l
B'
B'
3. 应用截面法求控制面上的轴 力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B"、C处将杆截开，假设 横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴力：
l
B'
FN C C
F2
C
F2
F
x
0
FNC＝F2 10kN
材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩
c'
杆受压时同样分析，可得同样结果。 由式可知： 1. FN s ，A s； 2. s 与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。
说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际 情况。
上海交通大学
注意： 1. 公式仅适用于轴向拉压情况； 2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。
在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。
k
F
将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行 F 方向分解：
k
pa
pa
s0 s a pa cosa (1 + cos 2a ) 2 s0 t a pa sin a s 0 cosa sin a sin 2a 2
F
a k sa
a
可知：sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。
ta
pa
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得 FN4 = F4 = 10 kN (拉)
A F1 FN
1
B F2
2
C
3
D F4
FN1 = 5 kN 5 kN + B
1
F3 FN2 = –15 kN
2
FN3 = 10 kN 10 kN + C D x
3
A
三、 轴力图 –15 kN
在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。 可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。 横轴 x：杆横截面位置；纵轴 FN：杆横截面上的轴力。 正值轴力 (拉)绘在横轴 上方，负值轴力 (压)绘在横轴下方。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。
轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。
轴向拉伸与压缩
第二篇材料力学教学目标：掌握截面法求解轴力；会画轴力图；掌握拉伸变形求解；掌握拉伸、压缩相关强度计算。
重点、难点：轴向拉伸、压缩件的强度计算。
学时分配：8学时。
一构件的承载能力承载能力：为了保证工程结构在载荷的作用下正常工作，要求每个构件应有足够的承受载荷的能力，简称为承载能力。
承载能力的大小主要有以下三个方面来衡量：1. 足够的强度强度：是指构件抵抗破坏的能力。
构件能够承受载荷而不破坏，就认为满足了强度要求。
2. 足够的刚度刚度：是指构件抵抗变形的能力。
如果构件的变形被限制在允许的范围内，就认为满足刚度要求。
3.足够的稳定性稳定性：是指构件保持其原有平衡形式（状态）的能力。
为了保证构件正常工作，必须具备以上足够的强度，足够的刚度和足够的稳定性等三个基本要求。
二材料力学的任务任务：研究构件在外力的作用下的变形，受力和破坏的规律，在保证构件安全，经济的前提下，为构件选用合理的材料，确定合理的横截面形状和尺寸。
材料力学也是一门理论和实验相结合并重的科学，应该密切注意理论和实践的结合，这是学好材料力学的基础。
三杆件1.杆件：是指纵向（长度方向）尺寸远大于横向（垂直于长度方向）尺寸的构件。
直杆：如果构件的轴线（各截面形心的连线）是直线，切各横截面积相等，这种杆件成为等截面直杆，简称为直杆。
它是材料力学研究的基本对象。
2. 杆件变形的基本形式（1）轴向拉伸或轴向压缩。
杆件受沿轴线的拉力或压力的作用，杆件沿轴线伸长或缩短。
（2）剪切。
杆件受大小相等，指向相反且相距很近的两个垂直于杆件轴线方向外力的作用，杆件在二力间的横截面产生相对的滑动。
（3）扭转。
杆件受一对大小相等，转向相反，作用面与杆件轴线垂直的力偶作用，两力偶面之间各横截面将绕轴线产生相对的转动。
（4）弯曲。
杆件受垂直于轴线的横向力作用，杆件轴线由直线变为曲线。
第四章拉伸和压缩§4-1 拉伸和压缩的概念工程中有许多构件在工作的时候是受拉伸和压缩的，如图所示的吊车，在载荷G的作用下，AB杆和钢丝绳受到拉伸，而BC杆受到压缩。
工程力学C-第8章 轴向拉伸与压缩
低碳钢的强度指标与塑性指标：
强度指标： 塑性指标： 设试件拉断后的标距段长度为l1， 用百分比表示试件内残余变形（塑性 变形）为：
s —— 屈服极限； b —— 强度极限；
b e
p
b c a
d
s
e
f
P1
l1 l 100 % l
o
dg
f h
图
20% ~ 30% 典型的塑性材料。
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
1、低碳钢拉伸时的力学性能
低碳钢：含碳量<0.25%的结构钢
碳钢的分类
中碳钢: 含碳量 0.25~0.55%的结构钢 高碳钢: 含碳量 0.55~2.0%的结构钢
标准试件（圆形截面）
d0
l0
l0 10 d 0或l0 5d 0
矩形试件
l 11.3 A 或 l 5.65 A
（2）屈服阶段（bc段） 屈服阶段的特点：应力变化很 小，变形增加很快，卸载后变 形不能完全恢复。
b e
p
b c a
d
s
e
f
P1
s
—— 屈服阶段应力的最小 值，称为屈服极限； 低碳钢： s
o
dg
f h
图
屈服极限 —— 是衡量材料强度的重要指标；
240 MPa
§8-6 失效、许用应力与强度条件
1、失效与许用应力
失效 —— 构件不能正常工作。
FN A
根据分析计算所得的应力, 称为工作应力。
（a）静载荷
塑性材料所制成的构件对应力集中的敏感程度较小。 （b）动载荷:都必须要考虑应力集中的影响。 交变应力：随时间作周期性循环变化的应力。 交变应力的特点： 1、交变应力下构件的强度远小于静载荷作用下的强度极限 b ， 甚至小于屈服极限 s 。 2、在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏。
工程力学.轴向拉伸压缩 PPT课件
上海应用技术学院
4. 剪切强度条件
(合力)
由剪断试验测定剪断时的载荷Fb，
F
得材料的剪切极限切应力 t b ：
m
tb
Fb AS
考虑安全因数，得剪切许用切应力 [t ]：
24
m F (合力)
[t
]
tb
n
常用材料的剪切许用切应 力可查阅有关资料。
∴ 剪切强度条件
t
FS AS
[t ]
由剪切强度条件可进行三种类型的剪切强度计算。
F1
F2
l1
l2
l3
Dl Dl1 Dl2 Dl1 3.6 105 2.0 105 4.0 105 2.4 105 m 0.024mm
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§8–8 简单拉压静不定问题
13
一、静定与静不定问题
静定问题： 未知力数 ≤ 静力平衡方程数
静不定问题(超静定问题)： 未知力数 > 静力平衡方程数
钢与合金钢 铝合金
铜
铸铁 木(顺纹)
E(GPa) 200~220 70~72 100~120 80~160 8~12
0.25~0.33 0.26~0.34 0.33~0.35 0.23~0.27
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例9 变截面杆受力如图示。已知 F1= 50 kN， F2= 20 kN，l1 = 9 120 mm，l2 = l3 = 100 mm，A1 = A2 = 500 mm2， A3= 250 mm2， E = 200 GPa。 试求各段杆的变形及杆的总变形。
未知力数 – 静力平衡方程数 = 静不定问题的次数(阶数) 此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量，必须建立补充方 程，与静力平衡方程联立求解。
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FN,max lArg
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§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
圣维南原理 例题
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11
拉压杆横截面上的应力
1.试验观察
横线仍为直线
仍垂直于杆轴 横线间距增大
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12
2. 假设
第 2 章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
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拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引言
§2 轴力与轴力图
§3 拉压杆的应力与圣维南原理 §4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
§5 应力集中概念
斜撑杆
解：1. 问题分析
WBD VBD , 而 VBD l BD ABD , 故欲使WBD最小，
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应使 l BD ABD最小，而 l BD、ABD 均与q 有关
51
2. 斜撑杆受力分析
M A 0,
FN
Fx hcosq
FN,max Fl hcosq
3. q 最佳值的确定
s 0 12.5 MPa
50
s 50 s 0 cos 2 s 0cos 2 50
s 50 51.6 MPa s s t 50 0 sin 2 0 sin 100
2 2
t 50 61.6 MPa
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例 3-2 以加速度 a 向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最 大正应力。横截面面积为A, 材料密度为r。 解：1. 外力分析
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圣维南原理 杆端应力分布
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17
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
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杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
18
例 题
s s 0cos
2
t
s0
2
sin2
s max s 0 s 0 t max s 45 s 0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为s0
最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为s0/2
4. 正负符号规定 ：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 t ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与 该方向同向之切应力为正
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拉伸试验
试验装置
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24
拉伸试验与应力－应变图
F F / As l l / l
应力－应变图
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25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性
滑移线
低碳钢Q235
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26
滑移线
缩颈与断裂
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§6 许用应力与强度条件 §7 胡克定律与拉压杆的变形 §8 简单拉压静不定问题 §9 连接部分的强度计算
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2
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
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3
轴向拉压实例
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4
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
37
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数
交变应力与材料疲劳概念
应力集中对构件强度的影响
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38
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
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39
应力集中因数
s max K sn
smax－最大局部应力 sn －名义应力
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
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5
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
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6
轴 力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
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轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
ss sb
nb ns
- 塑性材料 - 脆性材料
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45
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
FN [s ] A max
s max
变截面变轴力拉压杆
FN,max [s ] A
等截面拉压杆
常见强度问题类型 校核强度 已知杆外力、A与[s]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[s]，确定杆所需横截面面积 FN,max A [s ] 确定承载能力 已知杆A与[s]，确定杆能承受的FN,max [FN ] A[s ]
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应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 smax＝sb 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当smax达到ss 后再增加载荷， s 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
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FN,max Fl Amin [s ] [s ]hcosq
VBD Aminl BD
Fl h 2Fl [s ]hcosq sinq [s ]sin2q
欲使VBD最小，应使 sin2q 1
结论： q opt 45
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例 6-4 图示立柱，承受轴 向载荷 F。立柱的材料密 度为r，许用应力为[s]。 为使各横截面的应力均 等于[ s ],试确定横截面 沿立柱轴线的变化规律.
s 2
FN2 F (压应力) A2 A2
4. 确定[F]
F 2F [s c ] [s t ] A1 A2 A1[s t ] F A2[s c ] 15.0 kN F 14.14 kN 2 故 [ F ]14.14 kN
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50
例 6-3 已知： l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [s ] 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值
[sc ]=150 MPa
试求：载荷F的许用值－许用载荷 [F]
解：1. 问题分析
轴力分析应力分析根据强度条件确定许用载荷
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2. 轴力分析
由
F
x
0,
F
y
0
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
3. 应力分析
s1
FN1 2F (拉应力) A1 A1
§6 许用应力与强度条件
失效与许用应力 轴向拉压强度条件 例题
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44
失效与许用应力
静荷失效
断裂与屈服，相应极限应力
s s - 塑性材料 su s b - 脆性材料
许用应力 构件工作应力的最大容许值 su [s ] n ≥ 1 安全因数
n
[s ] [s ]
y
得：FN F 2cos
3. 应力计算
4FN s 2 2F πd πd 2 cos
4. 确定直径 d
2F [s ] πd 2 cos
d 2F 5.31102 m [s ]πcos
取 d 5.30 mm
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例 6-2 已知：A1=A2=100 mm2，[st ]=200 MPa，
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
14
2. 斜截面应力计算
Fx 0, p
p
A F 0 cos
F cos s 0 cos A
s p cos s 0cos 2 s0 t p sin sin22Βιβλιοθήκη 单辉祖-材料力学教程 15
3. 最大应力分析
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
解：1. 轴力与横截面应力
FN F
FN F 50 103 N 12.5 MPa s0 A A 400 106 m2
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2. 斜截面 m-m 上的应力
34
材料压缩时的力学性能
低碳钢压缩
Et Ec
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(s s )t (s s )c
愈压愈扁
35
灰口铸铁压缩
sb)c= 3 ~ 4 (sb)t
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断口与轴线约成45o
36
温度对力学性能的影响
材料强度、弹性常数随温度变化的关系
中炭钢
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硬铝
F sn ( b d )
－板厚
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40
交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
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41
疲劳破坏
sb ss
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏
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§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
圣维南原理 例题
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11
拉压杆横截面上的应力
1.试验观察
横线仍为直线
仍垂直于杆轴 横线间距增大
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12
2. 假设
第 2 章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
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拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引言
§2 轴力与轴力图
§3 拉压杆的应力与圣维南原理 §4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
§5 应力集中概念
斜撑杆
解：1. 问题分析
WBD VBD , 而 VBD l BD ABD , 故欲使WBD最小，
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应使 l BD ABD最小，而 l BD、ABD 均与q 有关
51
2. 斜撑杆受力分析
M A 0,
FN
Fx hcosq
FN,max Fl hcosq
3. q 最佳值的确定
s 0 12.5 MPa
50
s 50 s 0 cos 2 s 0cos 2 50
s 50 51.6 MPa s s t 50 0 sin 2 0 sin 100
2 2
t 50 61.6 MPa
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例 3-2 以加速度 a 向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最 大正应力。横截面面积为A, 材料密度为r。 解：1. 外力分析
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圣维南原理 杆端应力分布
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17
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
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杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
18
例 题
s s 0cos
2
t
s0
2
sin2
s max s 0 s 0 t max s 45 s 0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为s0
最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为s0/2
4. 正负符号规定 ：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 t ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与 该方向同向之切应力为正
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拉伸试验
试验装置
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24
拉伸试验与应力－应变图
F F / As l l / l
应力－应变图
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25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性
滑移线
低碳钢Q235
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26
滑移线
缩颈与断裂
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§6 许用应力与强度条件 §7 胡克定律与拉压杆的变形 §8 简单拉压静不定问题 §9 连接部分的强度计算
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2
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
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3
轴向拉压实例
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4
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
37
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数
交变应力与材料疲劳概念
应力集中对构件强度的影响
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38
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
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39
应力集中因数
s max K sn
smax－最大局部应力 sn －名义应力
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
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5
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
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6
轴 力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
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轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
ss sb
nb ns
- 塑性材料 - 脆性材料
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45
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
FN [s ] A max
s max
变截面变轴力拉压杆
FN,max [s ] A
等截面拉压杆
常见强度问题类型 校核强度 已知杆外力、A与[s]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[s]，确定杆所需横截面面积 FN,max A [s ] 确定承载能力 已知杆A与[s]，确定杆能承受的FN,max [FN ] A[s ]
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应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 smax＝sb 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当smax达到ss 后再增加载荷， s 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
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FN,max Fl Amin [s ] [s ]hcosq
VBD Aminl BD
Fl h 2Fl [s ]hcosq sinq [s ]sin2q
欲使VBD最小，应使 sin2q 1
结论： q opt 45
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例 6-4 图示立柱，承受轴 向载荷 F。立柱的材料密 度为r，许用应力为[s]。 为使各横截面的应力均 等于[ s ],试确定横截面 沿立柱轴线的变化规律.
s 2
FN2 F (压应力) A2 A2
4. 确定[F]
F 2F [s c ] [s t ] A1 A2 A1[s t ] F A2[s c ] 15.0 kN F 14.14 kN 2 故 [ F ]14.14 kN
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50
例 6-3 已知： l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [s ] 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值
[sc ]=150 MPa
试求：载荷F的许用值－许用载荷 [F]
解：1. 问题分析
轴力分析应力分析根据强度条件确定许用载荷
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2. 轴力分析
由
F
x
0,
F
y
0
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
3. 应力分析
s1
FN1 2F (拉应力) A1 A1
§6 许用应力与强度条件
失效与许用应力 轴向拉压强度条件 例题
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44
失效与许用应力
静荷失效
断裂与屈服，相应极限应力
s s - 塑性材料 su s b - 脆性材料
许用应力 构件工作应力的最大容许值 su [s ] n ≥ 1 安全因数
n
[s ] [s ]
y
得：FN F 2cos
3. 应力计算
4FN s 2 2F πd πd 2 cos
4. 确定直径 d
2F [s ] πd 2 cos
d 2F 5.31102 m [s ]πcos
取 d 5.30 mm
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例 6-2 已知：A1=A2=100 mm2，[st ]=200 MPa，
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
14
2. 斜截面应力计算
Fx 0, p
p
A F 0 cos
F cos s 0 cos A
s p cos s 0cos 2 s0 t p sin sin22Βιβλιοθήκη 单辉祖-材料力学教程 15
3. 最大应力分析
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
解：1. 轴力与横截面应力
FN F
FN F 50 103 N 12.5 MPa s0 A A 400 106 m2
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2. 斜截面 m-m 上的应力
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材料压缩时的力学性能
低碳钢压缩
Et Ec
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(s s )t (s s )c
愈压愈扁
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灰口铸铁压缩
sb)c= 3 ~ 4 (sb)t
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断口与轴线约成45o
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温度对力学性能的影响
材料强度、弹性常数随温度变化的关系
中炭钢
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硬铝
F sn ( b d )
－板厚
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交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
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疲劳破坏
sb ss
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏