江苏省无锡市江阴市2019年高三(下)暑假数学试卷(解析版)
2019年江苏高考数学真题及答案
2019年江苏高考数学真题及答案数学Ⅰ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数276y x x =+-的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲. 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.411.(e, 1)12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M fx =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x=-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得13x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩． 因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(13)3na b +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2，2π），由余弦定理，得AB=（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =所以X n >当且仅当AB 此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =所以X n >当且仅当AB 此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法． 综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
江苏省无锡市江阴市高级中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
（1)如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边,用正弦定理.
2.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（ ）
(2）求直线l关于点A(1，1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x－y－14＝0;（2）x＋2y－4＝0。
【解析】
【分析】
(1）先求出两直线的交点P（2，0），再求出 ，即得直线l2的方程；（2）直线l关于点A（1，1)对称的直线和直线l平行,所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0，求出m的值即得解。
12。古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来,人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， , ，点 满足 ．设点 所构成的曲线为 ，下列结论正确的是( ）
A。 的方程为
B. 在 上存在点 ，使得 到点 的距离为
【答案】(－3，－1］∪[7,9)
【解析】
由圆的方程知，圆心C(m，2），半径r＝2 ，
所以S△ABC＝ r2sin∠ACB＝20sin∠ACB，
所以当∠ACB＝ 时，S△ABC取得最大值20，
此时△ABC为等腰直角三角形，｜AB|＝ r＝4 ，
则点C到直线AB的距离为2 ,
所以2 ≤|PC｜〈2 ，
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参考公式: 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I_ 1 n x x i . n i 12 1 n 样本数据x 1, x 2, ^ ,x n 的方差s n i 1 柱体的体积V Sh ,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 1 锥体的体积V - Sh ,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.3 本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上A { 1,0,1,6},B 、填空题:已知集合已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为 F 图是一个算法流程图，则输出的 X i 2 x ，其中 {x|x 0,x R}，则 AI B 0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲S 的值是 ▲ 函数y 7 6x x 2的定义域是 ▲ 已知一组数据6，7，8，8，9，10,则该组数据的方差是 _▲ 从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 学中至少有1名女同学的概率是 ▲. 开始2名同 Y输出S7 .在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 2 占 1（b 0）经过点（3, 4）,贝y 该双 b 曲线的渐近线方程是结束8.已知数列{a n }（n N ）是等差数列，S n 是其前n 项和若a ?a 5 a * 0, S 9 27 , 则S 8的值是 ▲ 9 .如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是 E-BCD 的体积是 ▲ . 120, E 为CC i 的中点，则三棱锥 10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线yx 4（x 0）上的一个动点，则点 X P 到直线x+y=0的距离的最小值是^ 11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线 对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e , -1）（e 为自然 12.如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，一—uuu uuu ABCE 交于点0 •若AB AC 6 AO EC ，贝U 的值是厶 ACE 在边 AB 上, BE=2EA , AD 与uuu UULT14.设f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数, f(x)的周期为4, g(x)的周期为2，且f (x)是奇函数•k(x 2),0 x 11 ，其中k>0.若在区间(0，9］上，关于x 的,1x2 2方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k 的取值范围是▲二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c .2(1 )若 a=3c , b= 2 , cosB=，求 c 的值；3si nA cosB(2)右，求sin( B -)的值.a 2b 216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D , E 分别为BC , AC 的中点，AB=BC . 求证：(1) A 1B 1 // 平面 DEC 1；(2) BE 丄 C 1E .13.已知 ta n tan2，则 sin 237t的值是 ▲当 x (0,2］时，f (x)1 (x 1)2，g(x)17. (本小题满分14分)2 2x y如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：p 每1(a b 0)的焦点为F i (-、0), F2 (1, 0).过a b2 2 2F2作x轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2：(X 1) y 4a交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.& 5已知DF1=.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路I，湖上有桥AB(AB是圆0的直径).规划在公路I上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O 的距离均不小于.圆.O 的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD (C、D为垂足)，测得AB=10,AC =6, BD=12 (单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d (单位：百米)•求当d最小时，P、Q两点间的距离.打<r 1~r~1Lr)19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x)为 f (x )的导函数. (1 )若 a=b=c , f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a 电b=c ,且f (x )和f' (x)的零点均在集合｛3,1,3｝中，求f (x )的极小值;4(3) 若a 0,0 b, 1,c 1，且f ( x )的极大值为 M ，求证：M <2720. (本小满分 16分) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为 “M -数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝(n N *)满足：a 2a 4 a 5,a 3 4a 2 4a 1 0 ,求证 澈列｛a n ｝为“M—数列”;① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” c n ｝ (n N *)，对任意正整数k ,当k 奇时，都有C k 剟b k C k 1成 立，求m 的最大值.(2)已知数列｛b n ｝满足：d诗bS n bn—，其中 bn 1S n 为数列｛b n ｝的前n 项和.•若多做，则按数学I附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分)已知矩阵A(1 )求A2;(2)求矩阵A的特征值.B. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点A3,— ,B J,—，直线I的方程为sin - 3.4 2 4(1 )求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线I的距离.C. ［选修4-5:不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R，解不等式|x|+|2x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a1x a2x2L a n x n,n—4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求n的值；(2)设(1 ,3)n a b；3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)}B n (0,1),( n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n A n UB n UC..从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n 3)，求概率P(x n)(用n表示)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为D , E 分别为BC , AC 的中点， 所以 ED //AB.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB//A 1B 1, 所以 A 1B 1 //ED.又因为 ED //平面DEC 1, A 1B 1 平面DEC 1, 所以A 1B 1 //平面DEC 1.(2)因为AB=BC , E 为AC 的中点，所以 BE //AC.因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以 CC 1 /平面ABC. 又因为BE //平面ABC ，所以、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法5.532.23.54.[ 1,7] 8.16 9.10 10.4ii.(e, 1)数学I 参考答案.每小题5分, 6.上1013辽10共计70分. 7. y12. .314.3二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、分14分.余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满解：(1)因为a3c,b ,2,COS B由余弦定理COS Ba 2c 2b 22ac232 ，得3 初 c2("，即 c 2 12 3c c3所以c3 . ―si nA(2)因为 一 a由正弦定理-^―sin AcosB 2b ，旦，得sin BCOS B2b，所以 cosB 2sin B . b2从而cos B(2sin B)2，即 2 ocos B因为sinB0，所以COS B2sinB 2244 1 cos B ，故 cos B - 52苗因此sin BncosB □25fitCC1//BE.因为C1C// 平面A1ACC1, AC //平面A1ACC1, C1C A AC=C, 所以BE //平面A1ACC1. 因为C1E//平面A1ACC1，所以BE//C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力解：（1）设椭圆C 的焦距为2C . 因为 F 1（ - 1, 0）, F 2（1, 0）,所以 又因为DF1= 5 , AF2//X 轴，所以2因此 2a=DF 1 + DF 2=4，从而由 b 2=a 2-c 2，得 b 2=3. F IF 2=2， c=1. DF 2= DF2 2 1 F 1F 2a=2. .满分14分.5 2(2)22 因此，椭圆C 的标准方程为 2 y- 1. 3 （2 ）解法一: 2 y 3 因为AF 2 /x 轴，所以点A 的横坐标为 将x=1代入圆F 2的方程（x-1） 2+y 2=16 , 因为点A 在x 轴上方，所以A （1, 4）. 又 F 1（-1 , 0），所以直线 AF 1: y=2x+2.X 2由（1 ）知，椭圆C ：4 1，a=2， 1.解得y=± 4.2x 2 1)2y 216，得5x 26x 11 0，解得115 因此 B( 11代入511122x2，得 y12 V ，y由 2x 4又因为 53(x2y3.又F 2（1 , 0），所以直线BF 2： y 1)，得 7x26x 13 0，解得 xE 是线段 1代入yBF 2与椭圆的交点, 3—（x 1），得 4所以 x3.因此 2 1.E( 1, 解法二:34(x32)1).132C:— 42y_3BF 2=2a , EF 1 + EF 2=2a ，所以 EF 1=EB , //BF 1E=//B.F 2A=F 2B ，所以 //A=//B , //A= //BF 1E ,从而 EF 1//F2A. 由（1）知，椭圆 1.如图，连结 EF 1.因为 从而 因为 所以 因为AF 2//x 轴，所以EF1//X 轴.1y 2 ，得13x因为 F 1(-1 , 0)，由X 2 43又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y2因此E（ 1, 3）.218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：综上，当PB 丄AB ,点Q 位于点C 右侧，且CQ=3、、21时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3i 21.因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为17+3 21 (百米). 解法二：(1)如图，过0作0H 丄I ，垂足为H.以0为坐标原点，直线 0H 为y 轴，建立平面直角坐标系.（1 ）过A 作 AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，DE 因为PB 丄AB ,8 4所以 cos PBD sin ABE10 5“ BD 12所以PB -15.cos PBD 45因此道路PB 的长为15 （百米）\\：BE AC 6, AE CD 8.'（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上, 所以P 选在D 处不满足规划要求. 则线段BE 上的点（除B , E ）到点0的距离均小于圆0的半径, ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知AD 从而 cos BAD AD AB.AE 2 ED 210 ,0 ,所以/ BAD 为锐角.2AD AB所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3 ）先讨论点P 的位置.当/ OBP<90时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当/ OBP > 90时，对线段PB 上任意一点F , OF 俎B ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半 径，点P 符合规划要求.设P 为I 上一点，且PB AB ，由（1）知，此时 RD RB sin RBDRB cos EBA当/ OBP>90 时，在△ PPB 中，PB PB P B=15,315—9 ;5 15.由上可知，d > 15. 再讨论点Q 的位置.由（2 ）知，要使得QA > 15点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQQA 2 AC 2 -152 62 3 =21.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.F bf c I因为BD=12 , AC=6，所以0H=9，直线I的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为3, -3. 因为AB为圆0的直径，AB=10，所以圆0的方程为x2+y2=25.3从而A (4, 3), B (-4, -3),直线AB的斜率为一.44因为PB丄AB,所以直线PB的斜率为—,34 25直线PB的方程为y — x .3 3所以P (-13, 9), PB , ( 13 4)2(9 3)215.因此道路PB的长为15 (百米).(2)①若P在D处，取线段BD上一点E (-4, 0),则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求②若Q在D处，连结AD，由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),所以线段AD: y 3x46（ 4剟X 4）.15），因为0M , 322在线段AD上取点M（3,15.32425 , 4 .4所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3 )先讨论点P的位置.当/ OBP<90时，线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规划要求；当/ OBP> 90°,对线段PB上任意一点F, OF RB，即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径，点P 符合规划要求•设P 为I上一点，且RB AB，由(1)知，R B=15,此时P (- 13, 9);当/ OBP>90 时，在△ PRB 中，PB RB 15.由上可知，d> 15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得QA>15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q ( a, 9),由AQ (a 4)2(9 3)215(a 4)，得a=4 3 21，所以Q ( 4 3 21 , 9)，此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径•综上，当P (- 13, 9), Q ( 4 3、一习,9)时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ 4 3. 21 ( 13) 17 3 21 . 因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为 19 •本小题主要考查利用导数研究函数的性质， 能力.满分16分. 解： 因为 (2) 所以 17 3,21 (百米). 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 从而 (1)因为a b c ，所以f (x) f(4) 8，所以(4 a)3 8，解得 a 因为b c , 3 f (x) (x a)(x b) x (a 2b)x b) x ----------- .令 f'(x) 3 f'(x) 3(x 2a b(X a)(x b)(x c) (x 2 • a)3 • 2b(2a b)x ab , 0，得x b 或x 2a b3 都在集合｛ 3,1,3｝中，且a 因为a, b, 32a b , 所以 1,a 32 此时 f(x) (x 3)(x 3) , f' (x) 3(x 3)(x 1).3,b 3.32 .x 3 (b 1)x 2 bx ,令f'(x)0,得x 3或x 1.列表如下： 所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)2 (3)因为 a 0,c1，所以 f (x) x(x2f'(x) 3x 2(b 1)x b .因为 0 b 1，所以 4(b 1)212b则f'(X )有2个不同的零点，设为 X 1,X 2 %b 1 b 2 b 1由 f (x) 0，得 X 1, X 23 b)(x 1)(2 b 1)2列表如下:X 2•• b 2 b 1 3所以f (x)的极大值M f x 1 . 解法一：M f x-!x 3 (b 1)x ； bx-!整理得b n 1所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列.2 b 2 b 19b(b 1) 92 b 2 b 1 (b 1)b(b 1)2b 2 3b 127927b(b 1)2(b 1)2(b 1) 2(b(b 1)1)3272727b(b 1) 2 4 因此M 42722727解法二：3x2 2(b 1)x 1b专罟X i因为0 b 1，所以x i(0,1).2当 x (0,1)时，f(x) x(x b)(x 1) x(x 1).2令 g(x) x(x 1) ,x (0,1)，则 g'(x)1 3 x3 (x 1)-1令g'(x)0，得x — •列表如下:所以当x 1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X )max g - — 332744(0,1)时，f(x) g(x) ，因此 M —.2727 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分 所以当x 16分. 因此数列｛a n ｝为“ M —数列”. 1 2 2 (2) ①因 ----- --------- 所以b n S n b nb n11 2 2 由0 1,S 1 b 1得1 1 b 2 ，则 b 221 22b n b n 1S n b n2时, 由b n2(b n 1 b n )'b n 1 '解：(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ，所以a 1M0 q z 0.2 4 4 a ?a 4 a 5 a 〔 q aq由 ，，c ，得2 ，解得 a 3 4a 2 4q 0 qq 4aQ 4q 0 b n b nS n5 1，得 b n2 b n 1 b nb n 1加 2 b nb n 1 ，2b n .bn 1因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n = n n N ②由①知，b k =k , k N因为数列｛C n ｝为“ M 数列”设公比为q ，所以C 1=1 , q>0. 因为 c k 住k<C k+i ，所以 q k 1 k q k ，其中 k=1, 2, 3,…， 当k=1时，有q >1当k=2 , 3,…，m 时，有世lnq 此kk 1 Inx1 In x设f (x ) = (x 1)，则 f '(x) 2—xx0，得x=e.列表如下:经检验知q k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m >6分别取k=3, 6,得3马3,且q 5<6从而q 15> 243且q 15w 216 所以q 不存在•因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.数学I 附加题)21.【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答•若多做，则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分) 已知矩阵A (1 )求 A 2；(2)求矩阵A 的特征值.B. ［选修4-4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分) 在极坐标系中，已知两点 A 3,, B " 2,，直线I 的方程为 sin 3.42 4(1 )求A , B 两点间的距离；(2)求点B 到直线I 的距离. C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.m.令 f'(x)ln8 ln96 6—，所以3f(k)m a X f(3)捋取 q 33，当 k=1, 2,3, 4, 5时, ln kk*, lnq，即 k q ，22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a-i x a2x2L a n x n, n・・4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求门的值；(2)设(1 '、3)n a b-,3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n ｛(0,0),(1,0),(2,0), ,(n ,0)｝令M n A n U B n U C n •从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离(1 )当门=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n (n》3，求概率P (Xq)(用n表示).数学1(附加题)参考答案21.【选做题】A .［选修4乞：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分31解：(1)因为A22，3131所以A2222233 1 231 1 2115=23 2 221 2 2 ==106令f ( ) 0，解得A的特征值1 1, 2 4.B .［选修4Z :坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分解：(1)设极点为0•在△ OAB 中，A ( 3, ), B (,),4 2由余弦定理，得AB=,32( ;2)22 3 .2 cos(— -) . 5 .(2)因为直线l的方程为sin( ) 3 ,4则直线I过点(3'. 2,—)，倾斜角为-.2 4又BC，2,?)，所以点B到直线l的距离为(3.2 .2) sin(〒-)2.C .［选修4七：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1 解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x< —:31当0強W—时，原不等式可化为x+1 -x>2，即x< -，无解；21当x> —时，原不等式可化为x+2x - >2，解得x>1.10分.(2) f() 矩阵A的特征多项式4.10分.10分.21 综上，原不等式的解集为{x|x 3或X 1}.解法一：因为 a,b N ，所以 a C 5 3C 5 9C 5 76,b C 5 3C 5 9C 5 44 ,从而 a 2 3b 2 762 3 44232 •解法二：(1、、3)5 C ° C ；(3) C ；( .3)2 C ；( .,3)3c 5(,3)4c ；(、3)5c 0 c ； .3 c5c 、3)2 c ；(•一3)3 c ：(G )4 C 5C .3)5 •因为 a,b N *，所以(1 . 3)5 a b = 3 •因此 a 2 3b 2 (a b .3)(a b .3) (1 G)5 (1 .3) 5 ( 2)532 •23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能 力和推理论证能力.满分 10分.解：(1)当i n 1时，X 的所有可能取值是1,2,2八5 •77c 、 4 4 X 的概率分布为 P(X 1)2,P(X ■2) 2—C615 C6152 2f —2 2P(X 2) 亠,P(X -52C 615C 6 15(2)设A(a ,b)和B(c, d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑Xn 的情况.①若b d ，贝V AB n ，不存在X n 的取法；②若b0 ,d 1 ,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时 a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法；③若b 0,d 2，则 AB、(a c)2 4n 2 4,因为当n3 时，〔(n 1)24 n ,所以X n当且仅当AB ，n 2 4，此时a 0,c n或an, c 0，有2种取法；④若b1,d 2,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法.10分.解：(1)因为(1 x)n C 0 C ；x C ：x 2 L c !J x n , n 所以a 2c nn(n 1),a 3 2c 3n(n 1)( n 2)6a 4 C 4n(n 1)(n 2)(n 3)24因为a ；2a ?a 4,所以［n(n 1)(n2) 2]2n(n 1) n(n 1)(n 2)(n 3)6224 解得n 5 •(2)由( 1)知,n 5 •(1彳(1 322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分4，C 0 cl 3a b, 3 •3)3c 5(、.3)4C5(.3)5c ；(、3)2综上, P(X 因此, 当X n时，X的所有可能取值是n~1和、.n2•,厂1) £,p(x ,nL4) •C2n 4 C2n 4P(X n) 1 P(X , n2—1) P(X ,n2一4)，且6C2n 4。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)—数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）—数学（解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔全卷总分值160分，考试时间120分钟〕参考公式： 棱锥的体积13V Sh=，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、〔2018年江苏省5分〕集合{124}A =，，，{246}B =，，，那么A B =▲、【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2、〔2018年江苏省5分〕某学校高【一】高【二】高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取▲名学生、 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3、〔2018年江苏省5分〕设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-〔i 为虚数单位〕，那么a b +的值为▲、【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117i i 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。
4、〔2018年江苏省5分〕下图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是▲、【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+ 循环前0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年江苏卷 数学真题(解析版)
2019年江苏卷 数学真题（解析版）一、填空题：每小题5分，共计70分．1.已知集合A ={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A ∩B =_____.【答案】{1,6}. 【详解】由题知，.{1,6}AB =2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2 【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5【详解】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342x S S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=； 执行第四次，5,442x S S x =+==≥成立，输出 5.S =4.函数276y x x =+-_____.【答案】[－1,7]【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7].5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 【答案】53【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=， 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】710【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况， 所以所求的概率为6171010+=. 7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y = 【详解】由已知得222431b -=，解得b =b =， 因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4【详解】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r 的距离最小. 由2411y x '=-=-，得2(2)x =舍，32y =2,32)Q ， 则切点Q 到直线22gR r 22232411+=+，故答案为：4．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e,1)【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=， 当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1e x x ---=-，即00ln x x e =， 考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln1H x x=+，当1x>时，()()'0,H x H x>单调递增，注意到()H e e=，故00lnx x e=存在唯一的实数根x e=，此时1y=，故点A的坐标为(),1A e.12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA ，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB 于点F，由BE =2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭，得2213,22AB AC=即3,AB AC=故3ABAC=13.已知tan2π3tan4αα=-⎛⎫+⎪⎝⎭，则πsin24α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是_____.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 14.设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数.当(0,2]x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥ 又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k k k +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【详解】（1）因为23,2,cos 3a c b B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =. 所以33c =. （2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0）， F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2由b 2=a 2-c 2，得b 2=3. 因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二： 由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E--.18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【详解】解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-≤≤.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{－3,1,3}中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<≤=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【详解】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x =b 或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(－∞,－3) －3 (－3,1) 1 (1,+∞) + 0 – 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞+–+()f x↗ 极大值 ↘极小值 ↗所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k≤，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【详解】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【详解】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12 X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB ≤3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．2019年江苏卷 数学真题（原卷版）一、填空题：每小题5分，共计70分．1.已知集合A ={－1,0,1,6}，{}|0,B x x x R =>∈，则A ∩B =_____.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.4.函数276y x x =+-_____.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.8.已知数列{a n }*()n ∈N 是等差数列，S n 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)y x xx=+>上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅，则ABAC的值是_____.13.已知tan2π3tan4αα=-⎛⎫+⎪⎝⎭，则πsin24α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是_____.14.设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当(0,2]x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数()()()(),,,Rf x x a x b x c a b c=---∈，()f'x为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和()f'x的零点均在集合{－3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若0,01,1a b c=<≤=，且f（x）的极大值为M，求证:M≤427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n}满足：245132,440a a a a a a=-+=，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足:111221,n n nbS b b+==-，其中Sn为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n}(n∈N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有1k k kc b c+≤≤成立，求m的最大值．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布； （2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下： 所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB 0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年高考真题江苏卷数学试卷(详解版)(加密版)
2019 年高考真题江苏卷数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分）1.已知集合A = {−1,0,1,6}，B = {x|x > 0, x∈R}，则A∩ B = ．【答案】{1,6}【解析】A = {−1,0,1,6}，B = {x|x > 0, x∈ R}，∴A∩ B = {1,6}．2.已知复数(a + 2i)(1 + i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．【答案】2【解析】复数(a + 2i)(1+i)的实部是0，∵(a + 2i)(1+i)= a− 2 + (a + 2)i，∴a− 2 = 0，∴a = 2．3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．【答案】5【解析】执行第一次，S = S + x= 1 , x = 1 ⩾ 4不成立，继续循环，x = x + 1 = 2；2 2执行第二次，S = S + x= 3 , x = 2 ⩾ 4不成立，继续循环，x = x + 1 = 3；2 25执行第三次，S = S + x = 3, x = 3 ⩾ 4不成立，继续循环，x = x + 1 = 4；2 执行第四次，S = S + x= 5, x = 4 ⩾ 4成立，输出S = 5.24.函数y = √7 + 6x − x 2的定义域是．【答案】[−1,7]【解析】 y = √7 + 6x − x 2的定义域，7 + 6x − x 2 ⩾ 0， −(x − 7)(x + 1) ⩾ 0，∴−1 ⩽ x ⩽ 7，定义域为[−1,7]． 故答案为：[−1,7]．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．【答案】5 3【解析】 由题意，该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10= 8，6所以该组数据的方差是1[(6 − 8)2 + (7 − 8)2 + (8 − 8)2 + (8 − 8)2 + (9 − 8)2 +6(10 − 8)2] = 5.36.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为 （结果用数值表示）． 【答案】710【解析】 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n = C 2 = 10． 选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m = C 1C 1 + C 2 = 7，3 2 2则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p = m = 7．n 10故答案为： 7．107.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程b 2是．【答案】 y = ±√2x【解析】 双曲线x 2 − y 2= 1(b > 0)经过点(3,4)，b 2∴9 − 16= 1，b 2∴b 2 = 2， ∴双曲线方程x 2 −y 2 = 1，2∴渐近线方程y =±√2x ． 故答案为：y = ±√2x ．8.已知数列{a n }(n ∈ N ∗)是等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 5 + a 8 = 0，S 9 = 27，则S 8的值是 ．【答案】 16【解析】 数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，设公差为d ，a 2a 5 + a 8 = 0，S 9 = 27，(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0∴{ q (a 1+a 1+8d )= 27， 2解得a 1 = −5，d = 2，S 8 = 8(a 1+a 1+7d )2=8(−10+14)2= 16．9.如图，长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E − BCD 的体积是 ．【答案】 10【解析】 因为长方体ABCD − A 1B 1C 1D 1的体积为120，所以AB ⋅ BC ⋅ CC 1 = 120， 因为E 为CC 1的中点，所以 1，CE = 2 CC 1由长方体的性质知CC 1 ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E − BCD 的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E − BCD 的体积：V = 1 × 13 2 AB ⋅ BC ⋅ CE1 1 1 1= 3 × 2 AB ⋅ BC ⋅ 2 CC 1 = 12 × 120 = 10.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y = x + 距离的最小值是．4(x > 0)上的一个动点，则点P 到直线x + y = 0的 x【答案】 4【解析】 P 是曲线y = x +4 (x > 0)上的一个动点，x则点P 到直线x + y = 0的距离的最小值，设P (x 0 , x 0 + 4 )，x 0|x 0+x 0+ 4|2x 0+ 4P 到直线x + y = 0的距离d =x 0= x 0，设g (x ) = 2x + √2√24(x > 0)，xg ′(x ) = 2 −4x 2= 2x 2−4，x 2令g ′(x ) = 0，则x = √2，∴g (x )在(0, √2)单减，在(√2, +∞)上单增，∴g (x )min = g (√2) = 4√2， ∴d min = 4．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y = ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1)（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ．【答案】(e, 1)【解析】 点A 在曲线y = ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(−e, −1)，。
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5 分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6} ，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是3．（5 分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．5．（5 分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从 3 名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有 1 名女同学的概率是．27．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2﹣＝1（b>0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5 分）已知数列{ a n} （n∈N*）是等差数列，S n是其前n 项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8 的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．xOy 中， P 是曲线 y ＝ x+ （ x > 0）上的一个动点，则点 P 到直线x+y ＝0 的距离的最小值是11．（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y ＝lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（﹣ e ，﹣ 1）（e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上， BE ＝ 2EA ，AD 与 CE 交于其中 k > 0．若在区间（ 0， 9］上，关于 x 的方程 f （x ）＝ g （x ）有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤15．（14 分）在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ．（1）若 a ＝3c ，b ＝ ， cosB ＝ ，求 c 的值； （ 2）若＝ ，求 sin （ B+ ）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中， D ，E 分别为 BC ，AC 的中点， AB ＝ BC ．求证：（ 1） A 1B 1∥平面 DEC 1；12．（ 5 分）如图，在△ ABC 中， 点 O ．若 ? ＝ 6 ? ，则 的值是13．（5 分） ＝﹣ ，则 sin （2α+ ）的值是＝﹣ ，则 sin （2α+ ）的值是14．（ 5 分） f （x ）， g （ x ）是定义在 R 上的两个周期函数， f （ x ）的周期为 4， g （ x ）的周期为 2， 且 f （ x ）是奇函数．当 x ∈（0， 2］时， f （ x ）＝ ，g （ x ）＝已知22F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线 l ，在x 轴的上方， 1与圆 F 2：（x ﹣1）2+y2＝4a 2交于点A ，与椭圆 C 交于点 D ．连结AF 1并延长交圆 F 2于点B ，连结BF 2交椭圆 C 于点 E ，连结 DF 1．已知 DF 1＝ ．11（ 1）求椭圆 C 的标准方程；18．（ 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （ AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ， QA ，规划要求： 线段 PB ，QA 上的所有点到点 O 的距离均不．小．于．圆O 的半径．已知点A ，B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （ C ，D 为垂足），测得 AB ＝10，AC ＝ 6，BD ＝12（单 位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下， P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米） ，求当 d 最小时， P 、Q 两点间的距离．17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆＝ 1（ a >b > 0）的焦点为2）求点 E 的坐标．19．（ 16 分）设函数 f （x ）＝（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ）（ x ﹣ c ）， a ， b ， c ∈R ， f ′（ x ）为 f （x ）的导 函数．（1）若 a ＝b ＝c ，f （4）＝ 8，求 a 的值；（2）若 a ≠ b ， b ＝ c ，且 f （x ）和 f ′（ x ）的零点均在集合 { ﹣3，1，3}中，求 f （x ）的 极小值；（ 3）若 a ＝ 0， 0<b ≤1，c ＝1，且 f （x ）的极大值为 M ，求证： M ≤ ．20．（16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“ M ﹣数列”．（ 1）已知等比数列 {a n }（n ∈N *）满足： a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0，求证：数列 {a n } 为 “M ﹣数列”；*（2）已知数列 {b n }（n ∈N *）满足： b 1＝ 1， ＝项和．① 求数列 { b n } 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“ M ﹣数列” {c n } （ n ∈N * ），对任意正整数 k ，当k ≤m 时，都 有 c k ≤ b k ≤ c k+1 成立，求 m 的最大值．选做题】本题包括 A 、 B 、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.［ 选修4-2：矩阵与变换 ］（本小题满分 10 分） 21．（ 10 分）已知矩阵 A ＝（ 1）求 A 2；2）求矩阵 A 的特征值．B.［选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ］（本小题满分1）求 A ，B 两点间的距离；2）求点 B 到直线 l 的距离．，其中 S n 为数列 {b n }的前 n10 分）22．（ 10 分）在极坐标系中，已知两点 A （ 3， ），B （ ， ），直线 1 的方程为ρsinθ+）＝ 3．C.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分0 分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|>2．【必做题】第24题、第25题，每题10 分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10 分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n 的值；（2）设（1+ ）n＝a+b ，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集A n＝｛（0，0），（1，0），（2，0），⋯，（n，0）｝，B n＝｛（0，1），（n，1）｝，?n＝｛（0，2），（1，2），（2，2），⋯⋯，（n，2）｝，n∈N* ．令M n ＝A n∪ B n∪?n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离．（1）当n＝ 1 时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）．2019 年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵ A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R} ，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x>0，x∈R} ＝{1，6}．故答案为：{1，6} ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的 a 值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i 的实部为0，∴ a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x ≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S 的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0 求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是［﹣1，7］．故答案为：［﹣1，7］．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10 的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10 的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10 ）＝8，∴该组数据的方差为：2 2 2 2 2 2 2S ＝［（6﹣8）+（7﹣8）+（8﹣8）+（8﹣8）+（9﹣8）+（10﹣8）］＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数m＝+ ＝7，由此能求出选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10 ，选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数：m＝+ ＝7，∴选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b>0）经过点（3，4），∴ ，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{ a n} 的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8 的值．解答】解：设等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，解得∴＝6×（﹣5）+15× 2＝16．故答案为：16．点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD 1＝120，三棱锥E﹣BCD 的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC× DD 1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD ﹣A1B1C1D 1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB× BC×DD 1＝120，1∴三棱锥E﹣BCD 的体积：V E﹣BCD＝＝＝× AB×BC×DD 11＝10．点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．第8 页（共22页）10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0 的直线与曲线y＝x+ （x>0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线x+y＝0 的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+ （x> 0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣ 1 的直线与曲线y＝x+ （x> 0）切于（x0，），由，解得（x0> 0）．∴曲线y＝x+ （x> 0）上，点P（）到直线x+y＝0 的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在 A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0 即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴ ，则该曲线在点 A 处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A 点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合? ＝ 6 ? 得＝，进一步可得结果．【解解：设＝λ ＝（），答】＝+ ＝+μ ＝+ μ（）＝（ 1﹣μ） +μ ＝ +μ∴ ＝ ＝ ＝＝﹣+ ，6 ? ＝ 6 × （ ）×（﹣ + ）＝ （ + + ） ＝ + + ， ∵ ? ＝ + + ，＝ ，∴ ＝ 3 ，＝． 故答案为：点评】 13．【分析】 弦求sin解答】 ），本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．由已知求得 tan α，分类利用万能公式求得 sin2α，cos2α的值，展开两角和的正 2α+ ）的值． 解：由，得，解得 tan α＝ 2 或tan当 tan α＝ 2 时，sin2，cos2α＝∴ sin （ 2 α+）＝ ＝ ； 当 tanα＝时，sin2 α＝， cos2α＝ ， ， cos2α＝，∴ sin （ 2α+ ）＝综上， sin （ 2α+ ）的值是 ． 故答案为： ．点评】 本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式 的应用，是基础题．14．【分析】 由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．要使关于 x 的方程 f （x ）＝ g （ x ）有 8 个不同的实数根，则 f （x ）＝ ，x ∈（0，2]与 g （x ）＝ k （ x+2）， x ∈（ 0，1]的图象有 2 个不同 交点，由（ 1， 0）到直线 kx ﹣y+2k ＝0 的距离为 1，得 ，解得 k ＝ （k >0），∵两点（﹣ 2， 0），（ 1， 1）连线的斜率 k ＝ ， ∴ ≤ k <．即 k 的取值范围为 [ ， ）． 故答案为： [ ， ）．点评】 本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想解答】 解：作出函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象如图，5<x ≤6，7< x ≤ 8）仅有 2个实数根；方法，是中档题．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cosB＝＝＝，由此能求出 c 的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sinB＝cosB，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sinB＝，cosB＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+ ）的值．【解答】解：（1）∵在△ ABC 中，角A，B， C 的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cosB＝，∴由余弦定理得：解得c＝．sin2B+cos2B＝1，∴ sinB ＝，cosB＝，∴ sin（B+ ）＝cosB ＝．点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC 1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥ AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC 的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE ∥A1B1，∵DE? 平面DEC1，A1B1?平面DEC1，∴ A1B1∥平面DEC 1．∴由正弦定理得：，，∵＝∴ 2sinB＝cosB，解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴ BE⊥平面ACC1A1，∵C1E? 平面ACC 1A1，∴ BE⊥ C1E．点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥ BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出 D 的坐标，得到可求得点 E 的坐标．【解答】解：（1）如图，∵ F2A＝F2B，∴∠ F 2AB＝∠ F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴ AD＝F1D，则∠ DAF 1＝∠ DF1A，∴∠ DF 1A＝∠ F2BA，则F1D∥BF2，∵ c＝1，∴ b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF 1＝，∴ ，解得a＝2（a> 0）．∴椭圆 C 的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，）， F 1（﹣1，0），∴ ＝，则BF2：y＝，2联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．＝，写出BF2 的方程，与椭圆方程联立即解得x1＝﹣1或（舍）．即点 E 的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF 1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥ AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P 的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q 的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得 b 的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD 与圆O 交于M，连接AM ，AB 为圆O 的直径，可得AM⊥BM ，即有DM ＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以 C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D （﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP?k AB＝﹣1，即? ＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA?k AB＝﹣1，即? ＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17<﹣8<﹣，在此范围内，不能满足PB，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在 D 点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8 ）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3 ，当 d 最小时，PQ＝17+3 ．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．3319．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a），根据f（4）＝8，可得（4﹣a）＝8，解得a．222）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{ ﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3 ）2．利用导数研究其单调性可得x＝1 时，函数f（x）取得极小值．．x 1<x 2，可得 x ＝x 1 时， f （ x ）取得极大值为 M ，通过计算化简即可证 明结论．3解答】 解：（1）∵a ＝b ＝c ，∴f （x ）＝（ x ﹣a ）3，3∵f （4）＝ 8，∴（ 4﹣a ）3＝8， ∴ 4 ﹣ a ＝ 2，解得 a ＝ 2 ．2）a ≠b ，b ＝c ，设 f （ x ）＝（ x ﹣a ）（x ﹣b ） 2令 f （ x ）＝（ x ﹣a ）（x ﹣b ）2＝ 0，解得 x ＝a ，或 x ＝b ．f ′（ x ）＝（ x ﹣b ）2+2（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝（ x ﹣b ）（3x ﹣b ﹣2a ）．令f ′（x ）＝0，解得 x ＝b ，或 x ＝∵f （x ）和 f ′（ x ）的零点均在集合 A ＝{﹣3，1，3} 中，因此 a ＝3，b ＝﹣ 3， ＝1∈A ， 可得： f （x ）＝（ x ﹣3）（ x+3） 2 f ′（ x ）＝ 3[x ﹣（﹣ 3）]（x ﹣1）．可得 x ＝1 时，函数 f （x ）取得极小值， f （1）＝﹣ 2×42＝﹣ 32． （ 3）证明： a ＝0， 0<b ≤1，c ＝1，f （ x ）＝ x （ x ﹣ b ）（ x ﹣1）．2f ′（ x ）＝（ x ﹣b ）（x ﹣1）+x （x ﹣1）+x （x ﹣b ）＝ 3x ﹣（ 2b+2）x+b ．> 0．令 f ′2x ）＝ 3x 2﹣（ 2b+2）x+b ＝ 0．解得：＝ ∈ ，x 2＝若： a ＝﹣ 3， b ＝ 1，则 ＝ ＝﹣ ?A ，舍去．a ＝1，b ＝﹣ 3，则 ＝ ＝﹣ ?A ，舍去． a ＝﹣ 3，b ＝3，则＝＝﹣ 1? A ，舍去．．b ＝ 1，则 ＝ ＝ ?A ，舍去． b ＝3，则 ＝ ? A ，舍去． b ＝﹣ 3，则 ＝＝1∈A ，．a ＝ 3，a ＝ 1，a ＝ 3，2x ）＝ 3x 2﹣（ 2b+2） x+b ＝0．x 1+x 2＝， x 1x 2＝ ，可得 x ＝x 1时， f （x ）取得极大值为 M ，M ＝f （x 1）＝ x 1（x 1﹣ b ）（ x 1﹣1）＝（ x 1﹣b ）（ ﹣ x 1）＝（ x 1﹣ b ）（ ﹣x 1） ＝ ＝ ，∵﹣ 2b 2+2b ﹣ 2＝﹣ 2﹣ <0，∴M 在 x 1∈（0， ] 上单调递减， ∴ M ≤ ＝ ≤∴ M ≤ ．点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、 等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（ 1）设等比数列 {a n }的公比为 q ，然后根据 a 2a 4＝a 5，a 3﹣4a 2+4a 1＝0 列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出 b 2， b 3， b 4 猜想 b n ，然后用数学归纳法证明； （3）设{c n }的公比为 q ，将问题转化为 ，然后构造函数 f （ x ）＝， g （x ）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式 ，即可． 【解答】 解：（1）设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 由 a 2a 4＝a 5， a 3﹣4a 2+4a 1＝0，得∴，∴数列 { a n }首项为 1 且公比为正数△＝422b+1）2﹣12b ＝ 4b 2﹣4b+4＝4 +3≥3．解得： x 1＝∈ ，x 2＝．x 1<x 2，∵ f ′（ x 1）＝ ﹣（ 2b+2） x 1+b ＝ 0， 可得：＝[2b+2）x 1﹣b ］，＝ ［（2b ﹣ 1） ﹣2b 2x 1+b 2］即数列{a n}为“ M﹣数列”；（2）① ∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1 时，，∴ b2＝2，2当n＝2 时，，∴ b3＝3，当n＝3 时，，∴ b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1 时，b1＝1，满足b n＝n，（ii ）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1 时，由，得＝k+1，故n＝k+1 时结论成立，根据（i）（ii ）可知，b n＝n 对任意的n∈N*都成立．故数列{ b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n} 的公比为q，存在“ M﹣数列” {c n} （n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，k﹣1 k即q k 1≤k≤k对k≤m 恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m 有解，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3 时，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，?'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3 时，，则，，下面求解不等式，化简，得3lnm ﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81>0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243<0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m 的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．选做题】本题包括A、B、 C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[ 选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）21．【分析】（1）根据矩阵 A 直接求解A 2即可；2）矩阵 A 的特征多项式为f（λ）2＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0 即解答】解：（1）∵ A＝∴A2＝2）矩阵 A 的特征多项式为：f（λ）＝2＝λ﹣5λ+4，令 f （ λ）＝ 0，则由方程 λ2﹣ 5λ+4 ＝0，得λ＝1或 λ＝ 4，∴矩阵 A 的特征值为 1 或 4．【点评】 本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.［选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ］（本小题满分 10 分） 22．【分析】（1）设极点为 O ，则由余弦定理可得，解出 AB ；（ 2）根据直线 l 的方程和点 B 的坐标可直接计算 B 到直线 l 的距离． 【解答】 解：（ 1）设极点为 O ，则在△ OAB 中，由余弦定理，得2 2 2AB2＝OA 2+OB 2﹣ 2OA ，∴ AB ＝＝ ；（2）由直线 1 的方程 ρsin （θ+ ）＝3，知 直线 l 过（ 3 ， ），倾斜角为 ， 又 B （ ， ），∴点 B 到直线 l 的距离为 ．【点评】 本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.［选修 4-5：不等式选讲 ］（本小题满分 0 分）23．【分析】 对 |x|+|2x ﹣ 1|去绝对值，然后分别解不等式即可．，或∴ x > 1 或 x ∈?或 x <﹣ ，∴不等式的解集为 { x|x <﹣ 或 x > 1} ．点评】 本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．第 20 页（共 22 页）解答】 解： |x|+|2x ﹣ 1|＝∵|x|+|2x ﹣1|>2，或【必做题】第24题、第25题，每题10 分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N *，求得（1﹣）5＝a﹣b ，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C +C x+C x2+⋯+C x n，n≥4，可得a2＝ C ＝，a3＝C ＝，a4＝C ＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2? ? ，解得n＝5；（2）方法一、（1+ ）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b ，由于a，b∈N* ，可得a＝C +3C +9C ＝1+30+45 ＝76，b＝ C +3C +9C ＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+ ）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+ b ，（1﹣）5＝C +C （﹣）+C （﹣）2+C （5＝C ﹣ C +C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a，b∈N* ，可得（1﹣）5＝a﹣b ，可得 a ﹣3b ＝（1+ ）?（1﹣）＝（1﹣3）＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X>n），所以只需考虑X>n 的情况，分别讨论b，d 的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，X 的概率分布为P（X＝1）＝；P（X＝）＝P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X>n），所以只需考虑X>n 的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X>n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X> n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X> n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X> n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X>n，X 的所有值是或，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。
2019年江苏省无锡市江阴璜塘综合高级中学高三数学理联考试题含解析
2019年江苏省无锡市江阴璜塘综合高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则（）A、0B、2C、4D、8参考答案：C略2. 已知函数，当时，函数在上均为增函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．参考答案：A试题分析：由，函数在上均为增函数，恒成立，,设，则，又设，则满足线性约束条件，画出可行域如图所示，由图象可知在点取最大值为，在点取最小值.则的取值范围是，故答案选A．考点：利用导数研究函数的性质，简单的线性规划3. 若曲线和上分别存在点A 和点B，使得是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A设，则，又由，由题意，所以，所以，因为，所以，所以，令，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数的最小值为，又因为，所以实数的取值范围是，故选A．4. 已知集合，则（）A. (-1,3)B.C.D.参考答案：C略5. 某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，若从他口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于4元的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n=，再求出其面值之和不少于4元包含的基本事件个数，由此能示出从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n==15，其面值之和不少于4元包含的基本事件个数m==8，∴从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6. 集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（?R B）等于（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵B={x|x＜﹣1}，∴?R B={x|x≥﹣1}，又A={x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（?R B）={x|﹣1≤x≤3}．故选：D．7. 规定[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=，若方程f （x）=ax+1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．参考答案：B8. 已知全集，若集合，则( )A． B． C． D．参考答案：9. 棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的八个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AB、A1D1的中点，则经过E、F的平面截球O所得的截面的面积的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：A略10. 已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，边角，过作，且，则 .参考答案：试题分析：依题意，，由余弦定理得，，由三角形的面积公式得12. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=5，则△AOF的面积为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|?|y1|+|OF|?|y2|=|OF|?|y1﹣y2|=×1×5=．故答案为：．13. 在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若a2+b2=2018c2，则= ．参考答案：2017【考点】正弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入得到关系式，记作①，利用正弦定理化简，整理即可得出所求式子结果．【解答】解：在△ABC中，∵a2+b2=2018c2，∴cosC==，即2abcosC=2017c2，①由正弦定理=2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入①得：2?2RsinA?2RsinBcosC=2017?4R2sin2C，即2sinAsinBcosC=2017sin2C=2017（1﹣cos2C），则=2017．故答案为：2017．【点评】此题考查了余弦定理，正弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．14. 函数的定义域是 ___________ ;参考答案：15. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C16. 已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为▲.参考答案：3317. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为cm3．参考答案：12π略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2019年江苏省高三（下）暑假数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=．2．若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是．3．已知=（3，4），=（﹣1，2m），=（m，﹣4），满足，则m=．4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．5．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．6．不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，则实数a的取值范围是．7．已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是．8．设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为．9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．10．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距F2=2∠为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MFMF2F1，则该椭圆的离心率等于．11．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l：x+y﹣6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：∠BAC=60°，则点A的横坐标x0的取值范围是．12．设α为锐角，若cos（）=，则sin（α﹣）=．13．已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，则M的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M 为棱PD的中点，MA=MC．（1）求证：PB∥平面AMC；（2）求证：平面PBD⊥平面AMC．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．19．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx；（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1、x2，求k 的取值范围．20．已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．2．若（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是．【考点】复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简，由虚部等于0，求出a 值．【解答】解：∵==是实数，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．3．已知=（3，4），=（﹣1，2m），=（m，﹣4），满足，则m=．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据平面向量的坐标运算，利用两向量垂直，数量积为0，求出m的值．【解答】解：∵=（3，4），=（﹣1，2m），=（m，﹣4），∴+=（2，2m+4）；又∵，∴2m+（﹣4）×（2m+4）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．【考点】正弦定理．【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：25．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a 的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）6．不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，则实数a的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用．【分析】直线y=kx+1与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．【解答】解：直线y=kx+1恒过（0，1）点的直线系，曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心（a，0），半径为：），直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：所以，﹣1≤a≤3故答案为：﹣1≤a≤3．7．已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点⇒f（x2）+f（k﹣x）=0只有一解⇔f（x2）=f（x﹣k）只有一解⇒x2=x﹣k有唯一解⇒△=1﹣4k=0，问题得解．【解答】解：∵函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，∴只有一个x的值，使f（x2）+f（k﹣x）=0，∵函数f（x）是奇函数，∴只有一个x的值，使f（x2）=f（x﹣k），又函数f（x）是R上的单调函数，∴只有一个x的值，使x2=x﹣k，即方程x2﹣x+k=0有且只有一个解，∴△=1﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．8．设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．【考点】向量的模．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y 轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．10．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距F2=2∠为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MFMF2F1，则该椭圆的离心率等于．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．11．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l：x+y﹣6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：∠BAC=60°，则点A 的横坐标x0的取值范围是．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x0的取值范围．【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ 为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x0，6﹣x0），则∵M（1，1），∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2=16∴x0=1或5∴点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]12．设α为锐角，若cos（）=，则sin（α﹣）=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据题意求得sin（α+）=，再根据sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]，再利用两角差的正弦公式计算求得结果．【解答】解：∵α为锐角，cos（）=为正数，∴α+是锐角，sin（α+）=，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=，故答案为：．13．已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为．【考点】基本不等式．【分析】依题意，由正实数x，y满足x+y+3=xy，可求得x+y≥6，由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵正实数x，y满足x+y+3=xy，而xy≤，∴x+y+3≤，∴（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，∴x+y≥6或x+y≤﹣2（舍去），∴x+y≥6．又正实数x，y有（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，∴a≤x+y+恒成立，∴a≤，令x+y=t（t≥6，）g（t）=t+，由双钩函数的性质得g（t）在[6，+∞）上单调递增，∴=g（t）min=g（6）=6+=．∴a≤．故答案为：（﹣∞，]．14．已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，则M的最小值为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】f′（x）=2x+b，由题设，x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，从而（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，进而c，由此利用导数性质能求出M的最小值为．【解答】解：f′（x）=2x+b，由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c，于是c≥1，且c=|b|=|b|，当c＞|b|时，有M==，令t=，则﹣1＜t＜1，，而函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域是（﹣）；因此，当c＞|b|时，M的取值集合为[）；当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2，此时f（c）﹣f（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而f（c）﹣f（b）≤（c2﹣b2）恒成立；综上所述，M的最小值为．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，O为菱形ABCD对角线的交点，M 为棱PD的中点，MA=MC．（1）求证：PB∥平面AMC；（2）求证：平面PBD⊥平面AMC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明OM∥PB，从而可得线面平行；（2）先证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面AMC．【解答】证明：（1）连结OM，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以OM∥PB，…又OM⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，所以PB∥平面AMC；（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，且O为AC的中点，又MA=MC，故AC⊥OM，…而OM∩BDO，OM，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，…又AC⊂平面AMC，所以平面PBD⊥平面AMC．…17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，∴AB=2Rsin，OH=Rcos，OE=DE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=2R2（sin cos﹣sin2）=，（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=2Rsin，OH=Rcos，oe=AB=Rcos，OE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=R2（2sin cos﹣2sin2）=R2（sinθ+cosθ﹣1）=R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+=即θ=时，S=（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．max=（﹣1）R2．答：当A在弧MN的四等分点处时，S18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线方程为x=4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y﹣2a=0，利用点到直线的距离公式可得：右焦点F到直线l的距离为，化为a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，及其a2=c2+b2，解出即可．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，与椭圆方程联立可得P，即可得出k PA；方法二：由（1）知，F（1，0），直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x ﹣2），联立直线得出交点代入椭圆方程即可得出．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆方程可得根与系数的关系，利用B，F，P三点共线k BP=k BF，解出即可．【解答】解：（1）由题意知，直线l的方程为y=2（x﹣a），即2x﹣y ﹣2a=0，∴右焦点F到直线l的距离为，∴a﹣c=1，又椭圆C的右准线为x=4，即，∴，将此代入上式解得a=2，c=1，∴b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）方法一：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，联立方程组，解得或（舍），即，∴直线l的斜率．方法二：由（1）知，F（1，0），∴直线BF的方程为，由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．方法三：由题A（2，0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程组，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，，∴，，当B，F，P三点共线时有，k BP=k BF，即，解得或，又由题意知，＜0得k＞0或，∴．19．已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx；（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1、x2，求k 的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；带绝对值的函数；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）这个方程为绝对值方程，可以利用绝对值的代数意义去绝对值符号，再分情况解一元二次方程即可，最后方程的解集为两种情况的并集．（Ⅱ）先根据绝对值的代数意义，把函数f（x）化为分段函数，根据函数在（0，1）上的解析式为一次函数，可判断，当x∈（0，1]时，f（x）为单调函数，所以与x轴的交点至多有一个，即f（x）=0在（0，1]上至多一个解．而当方程f（x）=0的两个解若都在（1，2）上，则x1x2=﹣，与两根都属于（1，2）矛盾，所以判断方程f（x）=0在（0，2）上的两个解x1、x2，一个在（0，1]，一个在（1，2）再根据两种情况的解析式求出k值，解出范围，最后，两种情况求出的k的范围取交集．【解答】（I）解：当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0．①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0，解得x=．②当x2﹣1＜0时，即﹣1＜x＜1，方程化为1+2x=0，解得x=﹣，由①②得，方程f（x）=0的解为或x=（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为f（x）=，所以f（x）在（0，1]是单调递函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，若x1，x2∈（1，2），则x1x2=﹣∈（1，2）．由f（x1）=0，得k=﹣，所以k≤﹣1；由f（x2）=0，得k=＜k＜﹣1．故当﹣＜k＜﹣1时，f（x）=0在（0，2）上有两个解．20．已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f （x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．。