数值分析分章复习(第七章非线性方程求根)
数值分析第
数值分析第7章答案第七章非线性方程求根一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程()0f x = (7.1)的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为()(*)()mf x x xg x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若00()()0f a f x <,则令10,10a ab x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ⊂,11001()2b a b a -=-.再令1111()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区间套1100...[,][,]...[,]n n n n a b a b a b --⊂⊂⊂⊂且110011*,0,1,2,...,()...()22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1lim()0,lim lim ()*2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+= 因此,1()2n n n x a b =+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计11|*|()2n n x x b a +-≤- (7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ϕ= (7.3)若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ϕ=;反之亦然.称*x 为函数()x ϕ的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ϕ的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为1(),0,1,2...k k x x k ϕ+== (7.4)函数()x ϕ称为迭代函数.如果对任意1(),0,1,2...k k x x k ϕ+==,由式(7.4)产生的序列{}k x 有极限 lim *k k x x →∞= 则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ϕ≤≤2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ϕϕ-≤- (7.5) 则()x ϕ在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意0[,]x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列{}k x 收敛.到()x ϕ的不动点,并有误差估计式1|*|||1k k k Lx x x x L --≤-- (7.6)和 1|*|||1kk k k L x x x x L --≤-- (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ϕ的不动点,'()x ϕ在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ϕ<,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ϕ=的根*x ,如果迭代误差*k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式1(0)k k e C C e +→≠常数 (7.8)则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果()()K x ϕ在所求根*x 的邻近连续,并且(1)()'(*)''(*)...(*)0(*)0p p x x x x ϕϕϕϕ-====≠ (7.9)则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有()11lim(*)!p k p k ke x e p ϕ+→∞= (7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为21(),()()20,1,2,...k k k k k k k k k k ky x z y y x x x z y x k ϕϕ+==-=--+= (7.11)此法也可写成如下不动点迭代式12(),0,1,2,...(())()(())2()k k x x k x x x x x x x ψϕψϕϕϕ+==-=--+ (7.12) 定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中()x ψ的不动点,则*x 是()x ϕ的不动点;设''()x ϕ存在,'(*)1x ϕ≠,则*x 是()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为其迭代函数为1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-= (7.13)()()'()f x x x f x ϕ=-牛顿迭代法的收敛速度 当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证明,'(*)0f x ≠,''(*)''(*)0'(*)f x x f x ϕ=≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且12''(*)lim2'(*)k k k e f x e f x +→∞=(7.14) 重根情形的牛顿迭代法 当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数()()'()f x x x f x ϕ=-在*x 处的导数1'(*)10x m ϕ=-≠,且|'(*)|1x ϕ<.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若*x 的重数m 知道,则迭代式1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x mk f x +==-= (7.15)求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数()()'()f x x f x μ=的单重零点,此时迭代式1()()'()'()['()]()''()0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-=--= (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法 如下迭代法10(),0,1,2,...'()k k k f x x x k f x +=-=称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的'()k f x 用()f x 在1k x -,k x处的一阶差商来代替,即可得弦截法111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=--- (7.17)定理7.6假设()f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ∆-≤内具有二阶连续导数,且对任意x ∈∆有'()0f x ≠,又初值01,x x ∈∆,,则当邻域∆充分小时,弦截法(7.17)将按阶1.618p =≈收敛到*x .这里p 是方程210λλ--=的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0f x =的根.若已知()0f x =的三个近似根k x ,1k x -,2k x -用过1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当()f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为 1.839 1.84p =≈.二、知识结构图10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.表7-1k ka kb kx ()k f x 的符号0 1 2 31 1 1.25 1.252 1.5 1.51.3751.51.25 1.375 1.3125+ - + -610x e -≤≤⨯≤≤≤≤≥∈-3-39910-6k k k+101此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2似值.1 若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.k x ---<k 迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|x1lim lim x x x x x e e e e →+∞→-∞∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].2'k k x x x x x x e e e e e e e ϕϕϕ-----∈∈≤≤≤∀∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.表7-24 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ϕ≈=--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例 考虑求解方程2的迭代公式2x =4+,k=0,1,2,...3(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,(,).|'sin |1(,)x x x ϕϕϕ∈-∞+∞≤<-∞+∞∀∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且3322(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.表7-3此时5x 已满足误差要求，即5* 3.347529903x x ≈=（3）由于'(*)0.1363231290x ϕ≈≠，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有1lim'(*)k k k e x e ϕ+→∞=。
非线性方程求根word版
第7章 非线性方程求根本章主要内容：1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法.重点、难点一、区间二分法区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。
基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b] ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。
区间二分法的计算步骤如下： 1.计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）；确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2(ba f + 取21b a x +=3.判断： 若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =*；若 0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈*；令[]],[,111b a x a =若 0)(1<x f ，则有根区间为[]b x x ,1∈*；令 []],[,111b a b x =4. 如果│b-a │<ε（ε为误差限），则方程的根为2ba x +=*；否则转向步骤2，继续二分有根区间[a 1,b 1]，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即│b n -a n │<ε二分次数的确定：如果给定误差限ε，则需要二分的次数可由公式12ln ln )ln(---≥εa b n 确定应二分的次数。
例1 用区间二分法求方程0353=+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001）【思路】参见上述区间二分法的计算步骤解 ∵f(1.8)=-0.168＜0, f(1.9)=0.359＞0 ∴f(x)在区间[1.8 ，1.9]内有一个根。
由公式 644.512ln 001.0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥εa b n取n=6， 计算结果列表如下：则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x *≈ x = 1.8328125区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。
数值分析第七章非线性方程的数值解法
数值分析第七章非线性方程的数值解法在数值分析中，非线性方程和非线性方程组的求解是非常重要的问题。
线性方程是指变量之间的关系是线性的，而非线性方程则指变量之间的关
系是非线性的。
非线性方程的数值解法是通过迭代的方式逼近方程的解。
非线性方程的求解可以分为两类：一元非线性方程和多元非线性方程组。
接下来，我们将对这两类方程的数值解法进行介绍。
对于一元非线性方程的数值解法，最常用的方法是二分法、牛顿法和
割线法。
二分法是一种直观易懂的方法，其基本思想是通过迭代将方程的解所
在的区间逐渐缩小，最终找到方程的解。
二分法的缺点是收敛速度较慢。
牛顿法是一种迭代法，其基本思想是通过选择适当的初始值，构造出
一个切线方程，然后将切线方程与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
牛顿法的优点是收敛速度较快，但其缺点是初始
值的选择对结果影响很大，容易陷入局部极值。
割线法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过选择两个初始值，构造
出一条割线，然后将割线与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直
到满足精度要求。
割线法的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
对于多元非线性方程组的数值解法，最常用的方法是牛顿法和拟牛顿法。
牛顿法的思想同样是通过构造切线方程来进行迭代，但在多元方程组中，切线方程变为雅可比矩阵。
牛顿法的优点是收敛速度快，但同样受初
始值的选择影响较大。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过逼近Hessian矩阵来进行迭代，从而避免了计算雅可比矩阵的繁琐过程。
拟牛顿法的收敛性和稳定性较好，但算法复杂度相对较高。
数值分析第7章答案
第七章非线性方程求根一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程(7.1) 的根是指求（实数或复数），使得.称为方程(7.1)的根,也称为函数的零点.若可以分解为其中m 为正整数,满足,则是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m>1时,称为m 重根.若充分光滑,是方程(7.1)的m 重根,则有(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若在[a,b]上连续且,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设在[a,b]上连续,,则在(a,b)内有根.再设在(a,b)内仅有一个根.令,计算和.若则,结束计算;若,则令,得新的有根区间;若,则令,得新的有根区间.,.再令计算,同上法得出新的有根区间,如此反复进行,可得一有根区间套且110011*,0,1,2,...,()...()22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-.故因此,可作为的近似根,且有误差估计 (7.2) 2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 (7.3)若要求满足则;反之亦然.称为函数的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (7.4)函数称为迭代函数.如果对任意,由式(7.4)产生的序列有极限 则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设满足以下两个条件: 1.对任意有2.存在正常数,使对任意,都有 (7.5) 则在上存在惟一的不动点.定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设满足定理7.1中的两个条件,则对任意,由(7.4)式得到的迭代序列收敛.到的不动点,并有误差估计式 (7.6) 和 (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设为的不动点,在的某个邻域连续,且,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程的根,如果迭代误差当时成产下列渐近关系式(7.8)则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果在所求根的邻近连续,并且 (7.9)则该迭代过程在点的邻近是收敛的,并有(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为 (7.11) 此法也可写成如下不动点迭代式(7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设为式(7.12)中的不动点,则是的不动点;设存在,,则是的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为 其迭代函数为 (7.13)牛顿迭代法的收敛速度 当时,容易证明,,,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且(7.14)重根情形的牛顿迭代法 当是的m 重根时,迭代函数在处的导数,且.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若的重数m 知道,则迭代式 (7.15)求重根二阶收敛.当m 未知时,一定是函数的单重零点,此时迭代式1()()'()'()['()]()''()0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-=--= (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法 如下迭代法 称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的用在,处的一阶差商来代替,即可得弦截法 (7.17)定理7.6假设在其零点的邻域内具有二阶连续导数,且对任意有,又初值,,则当邻域充分小时,弦截法(7.17)将按阶收敛到.这里p 是方程的正根. 5.抛物线法弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根.若已知的三个近似根,,用过的抛物线方程的根近似代替的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.当在的邻近有三阶连续导数,,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为.二、知识结构图10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.3243 1.3243 2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.13438 1.3282 1.3282 1.3282 1.32631.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263 1.3253+ - + - + + - - + +610x e -≤≤⨯≤≤≤≤≥∈-3-39910-6k k k+101此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2似值.1若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.k x ---<k 迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|x1lim lim x x x x x e e e e →+∞→-∞∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].2'k k x x x x x x e e e e e e e ϕϕϕ-----∈∈≤≤≤∀∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.473cos 3120cos c k x x x ϕ--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 例 考虑求解方程2的迭代公式2x =4+,k=0,1,2,...3(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,(,).|'sin |1(,)x x x ϕϕϕ∈-∞+∞≤<-∞+∞∀∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且3322(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.此时已满足误差要求，即（3）由于，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有。
第七章 非线性方程求根
§7.1 二分法 §7.2 迭代法及其收敛性 §7.3 迭代法的加速方法 §7.4 Newton迭代法 §7.5 弦截法与抛物线法 §7.6 解非线性方程组的Newton迭代法
§7.1 二分法(图示)(返回)
§7.2 迭代法及其收敛性(返回)
不动点迭代 压缩映像原理 局部收敛性 收敛阶
y (x)
x
x* x2
x1
x0 x
x* x0 x1
x2
Aitken加速法图示
y y (x)
yx
x x1 x* x1 x0 x2
二分法图示
y
y f (x)
a0 O x* b2 b1
b0
Hale Waihona Puke xNewton迭代法的几何解释
y y f (x)
x* x2
x x1 x0
Newton迭代法算例
不动点迭代(图示)(返回)
压缩映像原理(返回)(例题)
局部收敛性(返回)(例题)
收敛阶(返回)
§7.3 迭代法的加速方法(返回)
Aitken加速法 Steffensen加速法
Aitken加速法(图示)
Steffensen加速法
§7.4 Newton迭代法(返回)
Newton迭代法及其收敛性 简化Newton法 Newton下山法 重根情形的Newton迭代法
Newton迭代法及其收敛性(算例)
简化Newton法
Newton下山法
重根情形的Newton迭代法
§7.5 弦截法与抛物线法(返回)
§7.6 解非线性方程组的 Newton迭代法(返回)
压缩映像原理例题
局部收敛性例题
不动点迭代图示
第七章 非线性方程求根方法
f ( x) g ( x) x f ( x)
7.3 牛顿迭代法和割线法
局部收敛性 设方程 x = g(x)有根x，且在 x* 的某个领域 S = {x | x [x* - d, x* + d]}
内存在一阶连续导数，则
当|g’(x*) |<1时，迭代格式xk+1 = g(xk)局部收敛 当|g’(x*) |>1时，迭代格式xk+1 = g(xk)发散
2.666667 2.645833 2.645751 2.645751
2.625000 2.687500 2.656250 2.640625 2.648438 2.644531 2.646484 2.645508 2.645996
2.645751 2.645751
几何意义
f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
xk 1 g ( xk )
可得序列 {xk}: x0, x1, x2, x3, …… 如果g(x)是连续函数 且当k→∞时,序列{xk}有极限x*,则x*是方程f(x)=0的根 迭代序列{xk}收敛，则迭代法收敛；反之，则发散
7.2 简单迭代法 用迭代法求下列方程在区间[2, 4]的根。
收敛
对任意xb迭代格式xk1产生的迭代序列都收敛于方程xgx在区间ab上的唯一实根x定理21定理2172简单迭代法73牛顿迭代法和割线法局部收敛性设方程x1时迭代格式xk11时迭代格式xk1发散73牛顿迭代法和割线法牛顿迭代法的局部收敛性73牛顿迭代法和割线法2x迭代公式为73牛顿迭代法和割线法例
第七章
Lk xk x* x1 x0 1 L
证明过程(P100-101)如下:
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根一、实验目的：1.掌握求解非线性方程的常用方法；2.了解非线性方程求根问题的数值解法；3.熟悉使用数值分析软件进行非线性方程求根的实现。
二、实验原理：非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
非线性方程求根的常用方法包括二分法、割线法和牛顿法等。
其中，二分法是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解；割线法是通过使用割线来逼近方程的解；牛顿法则是通过使用切线来逼近方程的解。
对于给定的非线性方程，可以根据实际情况选择合适的方法进行求根。
三、实验内容：1.编写求解非线性方程的函数，包括二分法、割线法和牛顿法；2.使用编写的函数求解给定的非线性方程，比较各个方法的收敛速度和精确程度；3.根据实际情况分析和选择合适的方法进行求根。
四、实验步骤：1.针对给定的非线性方程，编写二分法的函数实现：（1）首先确定方程的解存在的区间；（2）根据方程的解存在的区间，使用二分法逐步缩小区间范围；（3）根据设定的精度要求，不断循环迭代，直至满足要求或达到迭代次数限制；2.针对给定的非线性方程，编写割线法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据割线的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；3.针对给定的非线性方程，编写牛顿法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据牛顿法的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；4.根据给定的非线性方程，分别使用二分法、割线法和牛顿法进行求解，并比较各个方法的收敛速度和精确程度；5.分析实际情况，选择合适的方法进行求解。
五、实验结果：4.通过比较，发现割线法和牛顿法的收敛速度较快，精确程度较高，因此选择割线法进行求解。
六、实验总结：通过本次实验，我掌握了求解非线性方程的常用方法，并使用数值分析软件实现了二分法、割线法和牛顿法。
第七章 非线性方程求根
迭代的概念及简单迭代法
给 定 实 数 域 上 光 滑 的 实 值 函 数 ( x ) 及 初 值 x 0 ，定 义 数 列
x n 1 ( x n ) ， n 0 ,1, ） 则 数 列 x n （ n 0 ,1, ） 称 为 （ ，
迭 代 函 数 (x) 的 迭 代 序 列 。 如 果 数 列 x n （ n 0 ,1, ） 满 足 lim x n x ， 则 x 是 方
定 义 3 ：给 定 非 线 性 方 程 f ( x ) 0 ，设 由 其 转 化 方 程
x (x) 而 得 的 迭 代 格 式
*
x n 1 ( x n ) 收 敛 到 方 程 的 根 x ，如 果 存 在 常 数 p 和 不 等 于 零 的 常 数 C 使 得 迭 代 误 差 e n x n x 满 足 lim
f ( a ( k 1) h ) 0 ， 计 算 停 止 。 若
f ( a k h ) f ( a ( k 1) h ) 0 ， 为 在 有 根 区 间 只 有 化
一 个 根 的 情 形 。若 f ( a k h ) f ( a ( k 1) h ) 0 ，令
( x 1 ) ( x 2 ) L x 1 x 2 ，其 中 L 是 与 x1 和 x 2 无 关 的 正 常 数 ，称 为
Lip s c h itz 常 数 （ 简 称 利 氏 常 数 ） ； （ 3） 利 氏 常 数 L 1 ； 则 迭 代 过 程 xn 1 ( xn ) 对 于 任 意 初 值 x0 [ a , b ] 均 收 敛 于 方 程
到计算停止。
7．3．3 迭代的加速
• 迭代加速的本质：使利氏常数尽量趋 于零。 • 1. 松弛法
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第七章非线性方程求根
要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断
（2） 迭代公式收敛阶概念
（3） Newton 迭代公式及收敛性左理
复习题：
1、建立一个迭代公式il •算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产
l/o = 5
数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ）
注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0•习
(2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1
2\J X + 5 2
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“
2、对于方程—x = 2 »
解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2
显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0
当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0
可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根
(2)取<p{x} = e^-2 容易验证：（I ）当xe ［-L9,-ll 时，恒有卩（力€［-19-1］,
(II)当 X €[T9-1]时，恒有 0Cr) = 0"<S<l
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛
(3)记/(x) = 0 J-2
牛顿迭代法形式：和“”-错;
(1) 证明在区间［」・9, .1］内有唯一实根
(2) (3) 无+1-0*-2的收敛性如何？ 扯 e （-L9,-l ）
写出求解该实根的牛顿迭代公式
讨论迭代格式
严-X-2
兀屛=兀------ 汗七―
e" -1
.心=一1・9
3、为求x^-x--\=0/£ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的
迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性
X-
解：记
⑴ 迭代式为£. = 1+2,这里记9?U)= I+4
注意到/(1・3)/(1・5)<1・并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q.
xe[L3J.5]
所以区间［1.3J.5］为有根区间
2 0([l・3J・5])c[l・3J•习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I<p\x} 1< —
<I
依据不动点迭代法收敛世理，知该迭代公式收敛
⑵ 迭代式为兀4=(l + x；)・这里0(0 = (1 + /)了同(1)中讨论，得结
论：该迭代公式收敛
4、对于方程人0'-1 = 0在0.5附近的根。
(1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。
(2)给出求解该实根的牛顿迭代公式
解：(1)加一1=0《9 A =—
e'
I X ・=£
构造迭代式：｛ 2 ,即取迭代函数0(羽=严
I/O
首先，容易验证区间［O.IJ］是方程的一个有根区间
^[OJJDc[0.1,1],并且当%e[0J,l]时，恒有I0(x)l<y V1
依据不动点迭代法收敛过理，知该迭代公式收敛设/€［0.tl］是其根的
精确值, 因为= HO,故收敛为线性收敛，即收敛阶p = l
⑵记 f (X)= xe' -1
牛顿迭代法形式：
(£+1)严
1兀=
// I
5、应用牛顿法于方程/（x ） = l -一 =0,导出求V&的迭代公式
解：牛顿迭代法形式，-册
3佔£
2a
如果C/V1・可取兀=1，如果«>1-可取Xy =a
6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0
（1） 证明在区间（1, 8）有一个单根■并大致估计单根的取值范
围.
（2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式
解：（1）记f （x ） = x-}nx-2，显然/（X ）处处可微
/(1) = -1<0 , lim /(x) = 4<sc
・K
所以，在区间（1, 8）内至少存在一个实根
另外，由于 /V ） = l-->0 ,X€（l,g ） X
所以，在区间（1, 00）内有且仅有一个实根
/(3) = l-ln3vO, /(4) = 2-ln4>0
可见根xe （3,4）
⑵牛顿迭代法形式―”-鵠
1-4
即：兀+|=兀--才 2a
HP ： <
即：和’一41戸
考虑取如=4
7、据理证明X =1是方程x"-x'-2%-+3x = 1的一个二重根,
井构造计算F的具有平方收敛阶的Newton迭代
解：记/(X)=十一x'-2x2+3兀-1
因为/(1) = 0, r(l)=O,厂⑴HO
所以X = 1是方程/(X)= 0的一个二重根
注意到，当a是/(X)= 0的m重根0«>2)时,
牛顿迭代法求解/(X)= 0仅是线性收敛的
fM
事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是(p(x} = x-冲
f (-V)
由住是/(X)= 0 的川重根，令/(x) = (x-ay”g(x), g(a)工0,
Cr-a)gCv)
则<p{x) = x- .
mg(x) + (x-a)g(X)
容易验证J 0(a) = 1——
,因w>l,0(a)H(X且0(尤)<1, 故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。
求方程也重根的牛顿迭代法形式：兀+1 =兀-川孕丄
7 (X”)
2(€ - 兀；- 2»・；+3 兀-1)
4xH+3
该迭代至少为平方收敛
8、求方程疋-2x-5 = 0在区间［23］内根的近似值有如下变形
X = yj2x + 5
（1）试判泄对任意初始近似值兀€[2,3]简单迭代法X" =0（忑）的收敛性;
（2）写出求解该实根的Ncwion迭代格式，并考虑迭代初值的选取
解：（1）记0（戈）=範7¥?,容易验证0（[2.3]）c23]
并且I(p\x} 1< < 1
27
所以俠劝作为区间[2,3] 1:的压缩映射，存在一个不动点/ €[2J]
并且对于色0 €[2,3],迭代式Xz=（pg）均收敛到/
⑵牛顿迭代法形式—厂刖
x；+Xn+5
取如=3 （注：满足/（兀）/"（兀）＞0）
9、为数值求得方程x^-x-4 = 0的正根可建立如下迭代格式
7Z-1 »
试利用迭代法的收敛理论证明对于0忑）＞0 r该迭代序列收敛.且满足.lim兀,=x
/Ifno
解：记(p{x} = 4^ + x^ x>0
显然g）卜希Th I
所以，对于V兀＞0,迭代式兀女）均收敛到X
10、对于非线性方程12-3x+2cosx = 0
(1) 证明方程存在唯一实根
2
(2) 证明对于任意的心e R ,迭代式
= 4 + ±cosx,产生的序列"*｝收敛到方程的根
(3) 构造求解该方程根的Newton迭代式
解：（1〉记/（X）= 12-3x + 2cosx
显然/(X)连续可微，又lim /(%) = +O0, lim /(x) = y
.【TY X-X
所以根据连续函数零点存在定理可知3X €（YO ,+S ）・成立/（/） = 0 另外，/\x ） = -3-2sinx<0,可见函数于d ）严格单调递减
故满足/（%） = 0的点/唯一 •即方程存在唯一实根
2
(2)记0(x) = 4 +亍COSX
所以，对于g 迭代式戈知1=0（母）产生的序列｛无｝均收敛到方程的根/
（3）牛顿迭代法形式：耳利=兀-护丄
/ （兀）
EP ：兀”严£ + 12一3・J+2COS 兀
2 “
3 + 2sin ・j 因为0(x)=
2・ —sin X 3
_ 12 + 2(cos 兀 +斗 sinx…) 3 + 2sinx…。