2018届高三数学(理)二轮复习巩固作业15 直线与圆
2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)
专题13 直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表. 代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号(4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一 直线及其方程例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 【答案】B【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－ba ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1 (∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立 ，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二 两直线的位置关系例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0【答案】C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.考点三 圆的方程例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：。
2018届高三数学理二轮复习课时作业：第一部分 专题五 第一讲 直线与圆 含解析 精品
[限时规范训练]单独成册一、选择题1．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为() A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0C．x＋y－5＝0D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0解析：当l过原点时，适合题意．当l不过原点时，其斜率为正值，故选B.答案：B2．(2017·银川模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A. 2B.82 3C. 3D.83 3解析：由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，∴l1与l2间的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823，故选B.答案：B3．直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定答案：B4．(2017·湖北七市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相交或相切解析：依题意得，直线l的方程是y＝tan 150°(x－1)＝－33(x－1)，即x＋3y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．答案：B5．(2017·青岛模拟)已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．答案：C6．(2017·开封模拟)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A. 2B. 3C．1 D．3解析：由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.答案：A7．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0解析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D.答案：D8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B .O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)． 答案：C 二、填空题9．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． 解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意可得⎩⎨⎧|2a |5＝455，(－a )2＋(5)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，r 2＝9，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝910．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________． 解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1，∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33. 答案：±3311．点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________． 解析：圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1. ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝(k ＋1)2＋32＝(k ＋1)2＋9≥3. ∴|PC |min ＝3.∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2. 答案：212．(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)， 因为A (－12,0)，B (0,6)，所以P A →＝(－12－x ，－50－x 2)或P A →＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)， 因为P A →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算， 所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20， 即2x ＋5≤50－x 2.当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2， 解得－52≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．法二：设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )． ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在上．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1， 又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]． 答案：[－52，1]三、解答题13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解析：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，Δ＝56－16a －4a 2>0.由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.14．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆被直线x －3y ＋4＝0截得的弦长为2 3. (1)求圆O 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，且点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析：(1)设x 2＋y 2＝r 2，圆心(0,0)到直线x －3y ＋4＝0的距离d ＝2，又因为截得的弦长为23，所以r ＝(3)2＋22＝7，圆O 的方程为x 2＋y 2＝7. (2)设斜率为2的直线l 的方程为y ＝2x ＋b ， 与圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝7，y ＝2x ＋b ，得5x 2＋4bx ＋b 2－7＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝140－4b 2>0，x 1＋x 2＝－4b 5，x 1x 2＝b 2－75.已知点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，所以DA →·DB →<0，即DA →·DB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝5x 1x 2＋(2b ＋1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝2b 25－4b 5－6<0，解得－3<b <5，满足Δ>0.所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围为(－3,5)．15．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解析：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
2018届高三数学二轮复习选择填空精练 直线与圆
直线与圆1．(2017届江西师范大学附属中学三模)已知直线l 1：(m －4)x －(2m ＋4)y ＋2m －4＝0与l 2：(m －1)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，则“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 m ＝－2时，可得l 1：－6x －8＝0，l 2：－3x ＋1＝0，当l 1∥l 2时，可得(m －4)(m ＋2)＋(2m ＋4)(m －1)＝0，解得m ＝2或m ＝－2，∴m ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件，故选B.2．(2017届辽宁省部分重点中学模拟)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝2x ＋3的距离为( ) A.55 B. 5 C. 2D ．2 2 答案 A解析 由题设圆心C (－1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2×(－1)－0＋3|1＋4＝55，故选A. 3．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2答案 D解析 由l 1⊥l 2，得a (3－a )－2＝0，即a ＝1或a ＝2，故选D.4．(2017·重庆市二诊)设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( )A ．±3B ．±6C ．±3D ．±9答案 B解析 由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则|OA |＝|OB |＝2，所以点O 到AB 的距离为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |2＝3，解得a ＝±6，故选B. 5．(2017届湖南师大附中月考)与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条答案 B解析 直线过原点时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；直线不过原点时，设其方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，所以符合题意的直线共3条，故选B.6．(2017·辽宁省鞍山市第一中学模拟)圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的和为( )A ．18B ．6 2C ．5 2D ．4 2答案 C解析 因为圆心C (2,2)，r ＝32，所以圆心到直线x ＋y －8＝0的距离d ＝42＝22， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为32＋22＝52，圆上的点到直线的距离的最小值为0，故选C.7．(2017届广东省东莞市二模)已知过原点的直线l 1与直线l 2：x ＋3y ＋1＝0垂直，圆C 的方程为x 2＋y 2－2ax －2ay ＝1－2a 2 (a >0)，若直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，则当△CMN 的面积最大时，圆心C 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫52，52B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，12D ．(1,1)答案 A 解析 由题意得l 1：y ＝3x ，⊙C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1，所以△CMN 的面积为12sin ∠MCN ， 当∠MCN ＝π2时，△CMN 的面积最大， 此时C 到l 1的距离d ＝22＝|3a －a |10⇒a ＝52， 即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，52，故选A. 8．(2017·广东省韶关市模拟)过直线y ＝x ＋1上的点P 作圆C ：(x －1)2＋(y －6)2＝2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x ＋1对称时，|PC |等于( )A ．3B ．2 2C ．1＋ 2D ．2答案 B解析 由题设可知当CP ⊥l ：y ＝x ＋1时，两条切线l 1，l 2关于直线l ：y ＝x ＋1对称，此时|CP |即为点C (1,6)到直线l ：y ＝x ＋1的距离，即d ＝|1－6＋1|1＋1＝42＝22，故选B. 9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤34，2 B.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2] 答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k P A ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象得k ≤34或k ≥2，故选B.10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0关于直线l 对称，则l 被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 由题意，直线l 过圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心M (1,2)，则问题转化为过点M 的直线l 被圆x 2＋y 2＝9所截得的最短弦长，即直线l 垂直于OM 时，被圆x 2＋y 2＝9所截得的弦长最短，|OM |＝5，则弦长为29－5＝4，故选C.11．(2017届三湘名校教育联盟联考)直线l ：x ＋4y ＝2与圆C ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α，β，则cos α＋cos β等于( )A ．1817B ．－1217C ．－417D ．417 答案 D解析 可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程与圆方程联立消去y 可得17x 2－4x －12＝0，则x 1＋x 2＝417，又cos α＋cos β＝x 1r ＋x 2r ＝x 1＋x 2r ＝417.故选D. 12．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP→＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C.5D ．2答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255， 即圆C 的半径为255， ∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45. 设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ. 两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 故选A.13．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是________．答案 －33解析 圆心C 的坐标为(－2,0)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则圆心到直线l 的距离d ≤r ，即|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33，所以实数k 的最小值为－33. 14．(2017·安徽省江南十校联考)过定点P (2，－1)作动圆C ：x 2＋y 2－2ay ＋a 2－2＝0的一条切线，切点为T ，则线段PT 长的最小值是________．答案 2解析 因为圆x 2＋(y －a )2＝2的圆心坐标和半径分别为C (0，a )，r ＝2，则|PC |＝(a ＋1)2＋4，r ＝2，切线长|PT |＝(a ＋1)2＋4－2＝(a ＋1)2＋2，故当a ＝－1时，|PT |min ＝(－1＋1)2＋2＝ 2. 15．(2017·黑龙江省哈尔滨市第六中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的取值范围为__________．答案 [3，2)解析 由题知，圆心(1,1)，半径为1，要使AB 的长度最小，则∠ACB 最小，即∠PCB 最小，即PC 最小，由点到直线的距离公式可得点C 到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3＋4＋3|5＝2，则∠PCB ＝60°，∠ACB ＝120°，即|AB |＝3，当P 在直线3x ＋4y ＋3＝0上无限远时，∠ACB 趋近180°，此时|AB |趋近直径2. 故|AB |的取值范围为[3，2)．16．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中：①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3； ④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和，由题意，得圆C 1的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心坐标为(0,0)，所以两个圆的圆心距为(2cos θ－0)2＋(2sin θ－0)2＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2.又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C 1和圆C 2始终外切；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，此时圆C 1的方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝1，故圆C 1的圆心为(3，1)，设其被l 所截弦为CD ，过圆心C 1做C 1P 垂直于CD ，则由圆的性质，得点P 是弦CD 的中点，所以圆心到直线l 的距离为|(3)2－1－1|(3)2＋12＝12.又因为圆C 1的半径为1，所以其所截弦CD 的长为2 12－⎝⎛⎭⎫122＝3，所以③正确；对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和，因为C 1的直径为2，C 2的直径也为2，故|PQ |的最大值为2＋2＝4.所以④正确．故正确命题的序号为①③④.。
2018届高三数学一轮复习模拟试题精选：直线与圆 含答案
直线与圆一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点()b a M , 关于x 轴、y 轴的对称点分别为N 、P ，则=PN ( )A ． 0B ．22b a +C ． 222b a +D ． a 2【答案】C2．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是( )A ． 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C ．⎡⎢⎣⎦D ． 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】A3．点P （2，5）关于直线x 轴的对称点的坐标是( )A ．（5，2）B ．（－2，5）C ．（2，－5）D ．（－5，－2）【答案】C4．“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A5．当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合【答案】B6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4 BCD【答案】D7．直线220210x y m x y x -+=+--=与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．31m -<<B ．42m -<<C ．01m <<D ．1m <【答案】C8．若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12:70:50l x y l x y +-=+-=和上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A ．2 3 B ．3 3 C ．3 2 D ．4 2【答案】C9．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是( )A ． 33± B ． 21±C ． 1±D ． 3±【答案】A10．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为( ) A ．-1 B ．1C ． 3D ． -3【答案】B11．设动圆M 与y 轴相切且与圆C :0222=-+x y x 相外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．24y x =B ．24y x =- C ．24y x =或0(0)y x =< D ．24y x =或0y =【答案】C12．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则直线AB 的的方程是( ) A ．30x y += B ． 3+0x y = C ． 30x y -= D ． 350y x -=【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．过点 )0,1(-A 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程为 【答案】012=++y x14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，则圆C 的方程为 ．【答案】226210x y x y +--+=（22(3)(1)9x y -+-=）15．已知两个点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型直线”,给出下列直线：①y=x+1; ②43y x=；③y=2；④y=2x+1.其中为“B 型直线”的是 .（填上所有正确结论的序号） 【答案】①③16．过点P （1,2）引直线使A （2，3），B （4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程 【答案】460x y +-=或3270x y +-=三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y x =-上，半径为22的圆C 与直线x y =相切于坐标原点O ． (Ⅰ）求圆C 的方程;(Ⅱ）若直线0:=+-a y x l 与圆C 相交，求实数a 的取值范围. 【答案】Ⅰ）依题设可知圆心C 在直线x y -=上 于是设圆心),(n n C -，（0>n ） 则2222)22()(=+-=n n OC ，解得2=n∴圆C 的方程为8)2()2(22=-++y x (Ⅱ）若直线0:=+-a y x l 与圆C 相交， 则圆心)2,2(-C 到直线l 的距离22<d即22222<+--=ad ，得44<-a444<-<-∴a 即80<<a18．已知方程04222=+--+m y x y x .(Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围； (Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；(Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 【答案】（Ⅰ）04222=+--+m y x y xD=-2，E=-4，F=mF E D 422-+=20-m 40>， 5<m(Ⅱ）⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x y x 24-=代入得081652=++-m y y51621=+y y ，5821my y +=∵OM ⊥ON 得出：02121=+y y x x ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m(Ⅲ）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a 半径554=r 圆的方程516)58()54(22=-+-y x 。
2018年高考数学(理科)二轮复习 专题限时集训11 直线与圆 Word版含答案
专题限时集训(十一) 直线与圆(对应学生用书第99页)(限时：40分钟)1．(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4D [设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.]2．(2017·陕西教学质量检测(一))圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.]3．(2017·福建厦门4月联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )【导学号：07804083】A ．0B ．1C ．2D ．3B [方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.]4．(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋ 3 2＝2.当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充分必要条件，故选C.]5．(2017·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，125A [因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋ y －3 2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋ 2a －3 2≤3.由a 2＋ 2a －3 2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋ 2a －3 2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]6．(2017·武汉4月模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]C [由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝ 5－1 2＋ t －4 2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.]7．(2017·石家庄一模)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( ) A.12 B ．32C.34D ．34 D [因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )1＋2b2≤122·12·[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 24a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.]8．(2017·安徽淮北一模)已知直线l 1与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于不同的A ，B 两点，对平面内任意的点Q 都有QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →.设P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，则PA →·PB →的最小值为( )【导学号：07804084】A ．21B ．9C ．5D ．0C [由QC →＝λQA →＋(1－λ)QB →可知，A ，B ，C 三点共线，即弦AB 为圆C 的直径．又因为P 为直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0上的动点，且PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2－CB →2＝PC →2－4，故PA →·PB →的最小值为PC →2－4的最小值．又因为圆心C (1,2)到直线l 2：3x ＋4y ＋4＝0的距离为3＋8＋45＝3，故|PC →|min ＝3，所以PA →·PB →的最小值为9－4＝5.故选C.]二、填空题9．(2017·湖南五市十校联考)已知直线l ：mx ＋y ＋3＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝2相交，弦长为2，则m ＝________.33 [由已知可得圆心(－1,0)到直线的距离d ＝|3－m |m 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|3－m |m 2＋12＋1＝2， 解得m ＝33.] 10．(2016·承德二模)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．－43或－34 [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0. 又因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.]11．(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．10 [法一：(几何性质法)设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：(待定系数法)因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E2－D 2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.。
高三数学-2018届高三数学专项训练(2018)《直线与圆》精品
B 向北
20．（本小题满分
12 分）．已
25 的圆心为 M 1 ，圆 ( x
2
4)
2
y
1的圆心为 M 2 ，一
动圆与这两个圆都外切 .
（ 1）求动圆圆心 P 的轨迹方程；
（ 2）若过点 M 2 的直线与（ 1）中所求轨迹有两个交点 A 、 B ，求 | AM 1 | | BM 1 |的取值范围 .
12 分
故所求轨迹方程为 x2 － y2 =1（x≥2）。 4 12
………… 4 分
（ 2）当过 M2 的直线倾斜角不等于
时，设其斜率为 k，
2
直线方程为 y=k(x-4)
与双曲线 3x 2-y 2-12=0 联立，消去 y 化简得
(3-k 2)x 2+8k 2x-16k 2-12=0
………… 6 分
21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，在 上求一点 C ，使 ACB 取得最大值．
y 轴的正半轴上给定 A 、 B 两点，在 x 轴正半轴
22．（本小题满分 14 分）如图，已知：射线 OA 为 y kx (k 0, x 0) ，射线 OB 为 y kx (x 0) ，动 点 P( x, y) 在 AOX 的内部， PM OA 于 M ， PN OB 于 N ，四边形 ONPM 的面积恰为 k .
x， 22
500
这是斜率为
3 ，随 a 变化的一族直线。
2
当直线与可行域相交且截距
a 最大时，
2
200
（200 ，100 ）
x 2 y 400 x 200
目标函数 f 取得最大值。由
得
，
O
250
400
x
【高三数学试题精选】2018届高考数学直线和圆复习题018
2018届高考数学直线和圆复习题018
5
高三数学练习题—直线和圆
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．直线关于x轴对称的直线方程为（）
A． B． c． D．
2．（05年高考江西卷）“a=b”是“直线”的（）
A．充分不必要条B．必要不充分条
c．充分必要条D．既不充分又不必要条
3．直线x－secα=0的倾斜角变化范围是（）
A． B．
c． D．
4．（05年高考浙江卷）设集合A＝{(x，)|x，，1－x－是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是（）
5．若三直线x－2+3=0，3x+4－21=0，2x+3－=0交于一点，则的值等于（）
A．13B．14c．15D．16
6．把直线绕原点按逆时针方向旋转，使它与圆相切，
则直线旋转的最小正角是（）
A． B． c． D．
7．（05年高考北京卷）从原点向圆 x2＋2－12＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）
A．π B．2π c．4π D．6π
8．已知圆的弦长为时，则a=（）
A． B． c． D．。
高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程
高三数学第二轮专题复习系列(7)--直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念与公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以与两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式与两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉与，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法与配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
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作业(十五) 直线与圆(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知直线 3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1 B ．54 C ．3D ．4解析：选B ∵323＝1m ≠－13，∴m ＝2，两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－323＋1＝54.2．曲线y ＝(x ＋a )e x在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 因为y ＝(x ＋a )e x，所以y ′＝(1＋x ＋a )e x，所以曲线y ＝(x ＋a )e x在x ＝0处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝1＋a ，又切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，故1＋a ＝1，解得a ＝0.3．已知直线l 过圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心，且与直线x －3y ＋1＝0平行，则直线l 的方程是( )A ．x －3y －2＝0B ．x ＋3y －2＝0 C.3x －y －2＝0D.3x ＋y －2＝0解析：选A 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)．直线x －3y ＋1＝0的斜率为33，且直线l 与该直线平行，故直线l 的斜率为33，直线l 的方程为y ＝33(x －2)，即x －3y －2＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，同时满足－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故－a2>0，则该圆的圆心在第四象限．5．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：选D 法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0，a 2＋ 4＋b 2＝r 2，a 2＋ 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.法二：利用圆心在直线2x －y －7＝0上来检验，只有D 符合，即(x －2)2＋(y ＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合题意，故选D.6．已知A ，B 为圆C ：(x －m )2＋(y －n )2＝9(m ，n ∈R)上两个不同的点，C 为圆心，且满足|CA uur ＋CB uu u r|＝25，则|AB |＝( )A ．2 5B ．4 C. 5 D ．2解析：选B ∵C 为圆心，A ，B 在圆上，∴取AB 的中点为O ，连接CO ，有CO ⊥AB ，且CA uur ＋CB uu u r ＝2CO uu u r ，∴|CO uu u r|＝5，又圆C 的半径R ＝3，∴|AB |＝2R 2－|CO uu u r |2＝2×9－5＝4.7．已知两圆x 2＋y 2＝16和(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由题意可知，切线、圆心的连线围成直角三角形，则(0－4)2＋(0＋3)2＝r 2＋16，解得r ＝3.8．(2017·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心C (1,1)，半径为2.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0.综上，直线l的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.9．(2018届高三·绥化三校联考)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以 －2a －0 2＋ 0－b 2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.10．圆x 2＋y 2＝4与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |(O 为坐标原点)成等比数列，则PA uur ·PB uu u r的取值范围为( )A ．[－1,0)B ．[－2,0)C ．(－3，0]D ．(－1,0]解析：选B 由题意知，不妨设A (－2,0)，B (2,0)，P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，得 x ＋2 2＋y 2· x －2 2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2，故PA uur ·PB uu u r＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，得y 2<1.所以PA ―→·PB ―→的取值范围为[－2,0)．11．已知A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，P 为圆C ：x 2＋y 2＝2x 上的任意一点，则△ABP 面积的最大值为( )A.33＋32B. 3 C ．2D.23＋23解析：选A 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，因为A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－332＝3， 直线AB 的方程为3x ＋y ＝33， 所以圆心到直线AB 的距离d ＝|3－33|2＝ 3. 又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为3＋1， 故(S △ABP )max ＝12×(3＋1)×3＝33＋32.12．已知点A (－5,0)，B (－1，－3)，若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰有两点M ，N ，使得△MAB 和△NAB 的面积均为5，则r 的取值范围是( )A ．(2，5)B ．(2,5)C ．(1，5)D ．(1,5)解析：选 D 由题意可得|AB |＝ －1＋5 2＋ －3－0 2＝5，根据△MAB 和△NAB的面积均为5可得M ，N 到直线AB 的距离均为2，由于AB 的方程为y －0－3－0＝x ＋5－1＋5，即3x＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB 的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5.故r 的取值范围是(1,5)．二、填空题13．已知点P (1，a )是圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0内的一点，过点P 的最短弦所在直线的方程是x ＋2y －3＝0，则a ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0的圆心为C (3,2)，由于过点P 的最短弦与CP 垂直，且过点P 的最短弦所在直线的方程是x ＋2y －3＝0，故k CP ＝a －21－3＝2，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝215．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0可得MN 的方程为y ＝x ，再由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x可得M (0,0)，N (1,1)或M (1,1)，N (0,0)，所以|MN |＝2，由圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心B (－1,2)到直线MN ：y ＝x 的距离d ＝|－1－2|2＝32，所以△BMN 的面积为12×2×32＝32.答案：3216．(2018届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线l ：(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线l 的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2| m ＋1 2＋ n ＋12＝1，即|m ＋n |＝m ＋1 2＋ n ＋1 2，两边平方并整理得，m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞) 三、解答题17．已知圆C 经过M (3，－3)，N (－2,2)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3. (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l ∥MN ，l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)由题意知直线MN 的斜率为－1，则线段MN 的垂直平分线的方程是y ＋12＝x －12，即y ＝x －1，所以圆心C 的坐标可设为(a ，a －1)， 又圆C 在y 轴上截得的线段长为43， 所以(a －3)2＋(a ＋2)2＝12＋a 2，解得a ＝1，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 设A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x －1 2＋y 2＝13消去y ，得2x 2－(2＋2m )x ＋m 2－12＝0， 由Δ>0，得m 2－2m －25<0，x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，又由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1， 所以m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1， 即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0， 整理得m 2－m －12＝0， 解得m ＝4或m ＝－3，经验证符合Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.18．已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到E (3，－6)的距离之比均为1∶2. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，－2)，过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于A ，B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值．解：(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )， 由题意得x 2＋y 2x －3 2＋ y ＋6 2＝12， 所以曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)证明：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，点P (1，－2)， 故可设PA ：y ＋2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝k x －1 ， x ＋1 2＋ y －2 2＝20，得(1＋k 2)x 2＋2(1－k 2－4k )x ＋k 2＋8k －3＝0， 因为点P 的横坐标1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2＋8k －31＋k 2， 同理，x B ＝k 2－8k －31＋k2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －1 －2－k x A －1 ＋2x B －x A＝2k －k x B ＋x A x B －x A ＝－12，故直线AB 的斜率为定值－12.19．(2017·郑州第一次质量预测)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即x －26 2＋ y －1 2x －2 2＋ y －12＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25. 轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线14x ＋8y －31＝0对称．(1)求圆C 2的方程；(2)设P 为平面上的点，满足下列条件：过点P 存在无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2(l 1，l 2的斜率存在且不为0)，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)设圆C 2的圆心为(m ，n )，因为直线14x ＋8y －31＝0的斜率为k ＝－74，所以由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5，所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.所以这样的点P 只可能是点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，两点都满足条件．。