2018年上海市松江区高考数学一模试卷

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2018-2019学年上海市松江区高三一模试卷

松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2018.12考生注意：1. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2. 答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 设集合{}|1A x x =>，|03x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = .2. 若复数z 满足()3443i z i -=+，则||z = .3. 已知函数()y f x =的图像与函数()0,1x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，且点()4,2P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = .4. 已知等差数列{}n a 的前10和为30，则14710a a a a +++= .5. 若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为 . 6. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 .7. 若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为 . 8. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()226c a b =-+，3C π=。

则△ABC的面积= . 9. 若函数()()|lg 10sin 0|x x f x xx ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有对. 10. 已知A ，B ，C 是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是 .11. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题：①线段AB 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ②A 、B 两点间的距离为()()221212x x y y -+-； ③向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是 .（请写出所有真命题的序号）12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和()()114f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立，若当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，则当[]100,100x ∈-时，函数()f x 的值域为 . 二、选择题（本大题满分20分）13. 过点()0,1且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）220x y -+= （D ）210x y --= 14. 若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b >⎧⎨>⎩的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15. 将函数()2sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4x x π∈，则12x x 的最大值为（）（A ）9 （B ）375（C ）3 （D ）1 16. 对于平面上一点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){}|,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（）（A ）36 （B ）3633- （C ）36π+ （D ）3633π-+三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知向量()3sin ,1a x =，()cos ,1b x =-. （1）若∥a b ，求tan 2x 的值；（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数()f x 的最小正周期及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数()221x f x a =-+（常数a R ∈）（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]2,3x ∈，都有()2xmf x ≥成立，求m 的最大值.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%。

上海市松江区高考数学一模试卷解析版

（i，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）}，在 M 中任取两个元素、，则
率为______．三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0 分） 17. 如图，圆锥的底面半径 OA=2，高 PO=6，点 C 是底面直径 AB
所对弧的中点，点 D 是母线 PA 的中点．（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）求异面直线 CD 与 AB 所成角的大小．（结果用反三角函数表示）
10. 若关于 x、y 的二元一次方程组
无解，则实数 m=______．
11. 已则实数 m=______．
12. 已知函数 y=f（x）存在反函数 y=f-1（x），若函数 y=f（x）+2x 的图象经过点（1，6 ），则函数 y=f-1（x）+log2x 的图象必经过点______．
的概
18. 已知函数
．
（1）求 f（x）的最大值；
（2）在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 f（A）=0，b、a、c
成等差数列，且 • =2，求边 a 的长．
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19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就
11.【答案】
【解析】解：向量
，
，
则 -2 =（1-2m，8），
又
∥，
则-3（1-2m）-8m=0，
解得 m=- ．
故答案为：- ．
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出 m 的值．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．
12.【答案】（4，3）
【解析】解：y=f（x）+2x 图象经过点（1，6），得 6=f（1）+2，f（1）=4，故 f（x）反函数经过（4，1）点，所以 y=f-1（4）+log24=1+2=3，故答案为：（4，3）根据反函数的性质，先求出 f（x）上（1，4）对应的点（4，1），代入求出 y 即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．

(最新整理)2018高三“一模”数学试题汇编(函数)

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2018上海各区高三“一模”数学试题分类(函数）一、填空题： 1．若全集，集合，则U R ={}02A x x x =≤≥或U C A = 2．设集合，,则{2,3,4,12}A ={}0,1,2,3B =A B = 3．已知集合，，若，则{}1,2,5A ={}2,B a ={}1,2,3,5A B = a =4．已知全集，集合，集合，则U N ={}1,2,3,4A ={}3,4,5B =()U C A B = 5．设全集，集合，，则U Z ={}1,2M ={}2,1,0,1,2P =--()U P C M = 6．已知函数，，若，则实数{}2,3A ={}1,2,B a =A B ⊆a =7．已知集合,，则{}03A x x =<<{}24B x x =≥A B = 8．已知集合,，若，则实数{}1,2,A m ={}3,4B ={}3A B = m =9．函数的定义域是()lg(2)f x x =-10．函数的定义域为()f x =11．若行列式，则 124012x -=x =12．不等式的解为 10x x-<13．不等式的解集是 11x<14．不等式的解集是 211x x +>+15．不等式的解集是 2433(1)12(2x x x --->16．不等式的解集为 111x ≥-17．已知是定义在上的奇函数，则()f x R (1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数的反函数为，则()21f x x =-1()f x -1(5)f -=19．若函数的反函数的图像经过点，则 ()f x x α=11(,)24a =20．方程的解222log (2)log (3)log 12x x -+-=x =21．已知函数的反函数为，则,则实数2()log ()f x x a =+1()y f x -=1(2)1f -=a =22．已知函数是奇函数，当时,，且，则()y f x =0x <()2x f x ax =-(2)2f =a =23．已知函数，是函数的反函数，若的图像()1log a f x x =+1()y f x -=()y f x =1()y f x -= 过点，则实数的值是(2,4)a 24．已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，()f x R 4[2,4]x ∈43()log ()2f x x =- 则 1(2f =25．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，()y f x =R [0,)+∞(1)(4)f a f +≤ 则实数的取值范围是a 26．已知，函数在区间上有最小值,且有最大值为13a >()lg(1)f x x a =-+[0,31]a -0，则实数的取值范围是lg(1)a +a 27．若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 1(1)(1)31n na n +--⋅<++n a 28．若不等式对满足的任意实数恒成立，则实数的最大值222()x y cx y x -≤-0x y >>,x y c 为29．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是()21f x x x a =--a 30．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩a 31．定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()f x ()g x R 真命题的是（写出所有真命题的序号)①若、都是奇函数，则函数为奇函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ②若、都是偶函数，则函数为偶函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ③若、都是增函数,则函数为增函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ④若、都是减函数，则函数为减函数。

2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)

2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。

2018年上海市各区高考数学一模试卷及答案解析(全集)

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A={1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，可得S n+1即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B={1，3} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=3．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣15．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80．=C5r（2x）5﹣r，【解答】解：设求的项为T r+1今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：807．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3] ．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为10．【解答】解：根据题意，等比数列为{a n}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和S n==（3n﹣1），若S n＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，故答案为：π．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为2．【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），∵直线OM与ON的斜率之积为2，∴•=2，所以2x1x2﹣y1y2=0，①，∵动点P满足，∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2），则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2=4（2x12﹣y12）﹣（2x22﹣y22）﹣4（2x1x2﹣y1y2）=4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2），把①代入上式得：2x2﹣y2=12，即﹣=1，所以点P是双曲线﹣=1上的点，因为即﹣=1的两个焦点为：F1（﹣3，0）、F2（3，0），所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．故答案为：2．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，故选：B．14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．33【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，∴x2 =0，且+arcsin（cosx1）﹣=0，x32+arcsin（cosx3）﹣=0，x1=﹣x3，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32=0+1+1=2．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）∵AB=2，AD=1，A1A=1．∴在等腰△ACD1中，∴cos∠CD1A===，…（4分）∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）（2）…（4分）==．…（3分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．【解答】解：（1）由，∴2ccosC+acosB+bcosA=0，由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinC≠0，∴，∴；（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+ab﹣6b2=0，∴a=2b；由知，，∴，∴b=2．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p ∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，=2p（n+1）﹣p+2，则a n+1∴a n﹣a n=2p=2，+1∴p=1，a n=3+（n﹣1）2=2n+1，（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，∴q=3，，当n=2k，k∈N*时，T n=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）==；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，=，∴．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：k AB+k AC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：l AE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）t=x+1∈（1，2），g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．，故，解得．另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，故解得．（3）如果f（D）=D，则f n（D）=D，与题干矛盾．因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1，则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．考虑到p∈D\D1，即，因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D\{p}）=f（D）\{f（p）}=D1\{f（p）}⊊D1这样就有了f（D1）⊊D1．接着令D n=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．+12018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=．2．（4分）计算=．3．（4分）方程的根是．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为（用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是（结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N*，其中{b n}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k 的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n}，使得当x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，2x+1∈[a n，a n+2），并求x∈[a n，a n+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析+1式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．2018年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M={0，1，2} ．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（4分）计算=．【解答】解：===，故答案为：．3．（4分）方程的根是10．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴lgx=1，∴x=10．故答案为：10．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=．【解答】解：∵是纯虚数，。

上海市松江区2017-2018学年高三一模数学(文)试题 Word版含解析

上海市松江区2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足|=0，则z的值为__________．2．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=__________．3．在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=__________．4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=__________．5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为__________（结果用反三角函数表示）．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是__________．7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=__________．8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则φ=__________．9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于__________．10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为__________．11．函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为__________．12．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是__________．13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是__________．14．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是( )A．5 B．6 C．7 D．817．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A．B．C．D．18．已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是( )A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．20．已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．（1）若f（x）为偶函数，求b的值；（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．22．（16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．23．（18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．（1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域；（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．上海市松江区2015届高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足|=0，则z的值为±2i．考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的乘除运算．专题：矩阵和变换．分析：由已知得z2+4=0，由此能求出z=±2i．．解答：解：∵=0，∴z2+4=0，解得z=±2i．故答案为：±2i．点评：本题考查复数的求法，是基础题，解题时要注意二阶行列式性质的合理运用．2．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．解答：解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．点评：本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．3．在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=90．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，由此能求出结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，∴，解得a1=3，d=3，∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90．故答案为：90．点评：本题考查数列的若干项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．解答：解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题．分析：依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．解答：解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．点评：本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=20．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可．解答：解：第一次运行得：S=5，a=4，满足a≥4，则继续运行第二次运行得：S=20，a=3，不满足a≥4，则停止运行输出S=20故答案为：20点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，属于基础题．8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则φ=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据函数的周期为π，结合周期公式可得ω=2．得到函数的表达式后，根据函数y=f （x+φ）是偶函数，由偶函数的定义结合正弦的诱导公式化简整理，即可得到实数φ的值．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，∴ω==2，函数表达式为：f（x）=sin（2x+），又∵y=f（x）图象向左平移φ个单位长度所得图象为y=sin[2（x+φ）+）]关于y轴对称，∴2φ+=+kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以取k=0，得φ=，故答案为：．点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的图象左移φ个单位后得到偶函数的图象，求φ的值．着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质和正弦的诱导公式等知识，属于基本知识的考查．9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：可求得抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可求得b2及双曲线﹣=1的右焦点坐标，利用点到直线间的距离公式即可．解答：解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），依题意，4+b2=9，∴b2=5．∴双曲线的方程为：﹣=1，∴其渐近线方程为：y=±x，∴双曲线的一个焦点F（3，0）到其渐近线的距离等于d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的简单性质，求得b2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可．解答：解：5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，P==．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为[kπ﹣]（k∈Z）．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简可得解析式f（x）=sin（2x﹣）+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z即可解得函数f（x）的单调递增区间．解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，∴可解得函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为：[kπ﹣]（k∈Z），故答案为：[kπ﹣]（k∈Z）．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．12．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是[，]．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=+．运动点P，可得A、P、B三点共线时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值．由此即可得到函数f（x）的值域．解答：解：Rt△PCF中，PF==同理可得，Rt△PAB中，PA=∴PA+PF=+∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值=当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值+1∴≤PA+PF≤+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．故答案为：[，]．点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题．13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是（，2）．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：由题意中f（x﹣2）=f（2+x），可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，又由函数为偶函数，则可得f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解则log a4＜3，log a8＞3，解得：＜a＜2，即a的取值范围是（，2）；故答案为（，2）．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题．14．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为7．考点：等比数列．专题：等差数列与等比数列．分析：设公比为q，由已知得a1=q﹣3，从而（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）=﹣=（a12q n﹣1﹣1）=•[q n﹣7﹣1]≤0，由此求出n≤7．解答：解：设公比为q∵a1＜a4=a1q3=1∴0＜a1＜1 1＜q3，q＞1，①∴a1=q﹣3，②∴（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）=（a1+a2+…+a t）﹣（++…+）（后一个首项，公比）=﹣=（a12q n﹣1﹣1），代入②，得•[q n﹣7﹣1]≤0∵＞0∴q t﹣7﹣1≤0q t﹣7≤1∴t﹣7≤0解得t≤7故答案为：7．点评：本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵“q＜p＜0”，∴0＜＜1，则||＜1成立，即充分性成立，若当q=2，p=﹣1时，满足||＜1，但q＜p＜0不成立，即必要性不成立，故“q＜p＜0”是“||＜1”充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．解答：解：展开式的通项为T r+1=3n﹣r（﹣2）r C n r x2n﹣令2n﹣=0，据题意此方程有解∴n=，当r=6时，n最小为7．故选C．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．17．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．解答：解：∵，∴，∴∴∴故选B．点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．18．已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是( )A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：先把满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S1与S2的关系．解答：解：满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆；其面积为：π当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，﹣1≤y＜0时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当﹣1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为：5综上得：S1与S2的关系是S1＜S2，故选A．点评：本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，根据A为锐角求出A的度数即可；（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，根据b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）∵b=2asinB，∴由正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵a＜b＜c，∴A为锐角，则A=；（2）∵a=2，b=2，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=12+c2﹣2×2×c×，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2（舍去）或c=4，则S=bcsinA=×2×4×=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．（1）若f（x）为偶函数，求b的值；（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）因为f（x）为偶函数，得到对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），求出b；（2）记h（x）=|x+b|=，讨论a值得到b的范围．解答：解：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），即a|x+b|=a|﹣x+b|，所以|x+b|=|﹣x+b|得b=0．（2）记h（x）=|x+b|=，①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，∴﹣b≤2，b≥﹣2②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数但h（x）在区间[﹣b，+∞）上是增函数，故不可能∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥﹣2点评：本题考查了函数奇偶性的运用以及讨论思想的运用，属于中档题．21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=×8=，底面半径为r=×4=；从而求时间；（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，从而得V=π×42×H′=π；从而求高．解答：解：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=×8=，底面半径为r=×4=；V=πr2H=π×（）2×=π≈39.71；V÷0.02≈1986（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒．（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，V=π×42×H′=π；H′=≈2.4；锥形沙堆的高度约为2.4cm．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．22．（16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）{a n}为常数列，a1=1，可求a n=1，代入f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）可求f（4）的值；（2）根据题意可求a n=2n﹣1（n∈N*），f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，两端同时2倍，配凑二项式（1+2）n，问题即可解决；（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，利用倒序相加法求得，最终转化为（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，从而求得d=2，问题解决．解答：解：（1）∵{a n}为常数列，∴a n=1（n∈N*）．∴f（4）=C41+C42+C43+C44=15．（2）∵{a n}为公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．∴f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，∴1+2f（n）=1+2C n1+22C n2+23C n3+…+2n C n n=（1+2）n=3n，故．（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，设公差为d，则f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n﹣1C n n﹣1+a n C n n，且f（n）=a n C n n+a n﹣1C n n﹣1+…+a k C n k+…+a2C n2+a1C n1，相加得2f（n）=2a n+（a1+a n﹣1）（C n1+C n2+…+C n k+…+C n n﹣1），∴==1+（n﹣1）d+[2+（n﹣2）d]（2n﹣1﹣1）．∴f（n）﹣1=（d﹣2）+[2+（n﹣2）d]2n﹣1=（n﹣1）2n对n∈N*恒成立，即（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，∴d=2．故{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，它的通项公式为a n=2n ﹣1．点评：本题重点考查二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求f（n），难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．23．（18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．（1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域；（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．考点：曲线与方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得（x﹣1）2≤4，y2≤4，由此能求出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域．（2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，从而得到﹣1≤x≤2，﹣2，由此得到曲线M为有界曲线，并能求出求出其界域．（3）由已知得：=a，×=a，从而得到|x|，，进而得到|y|≤，由此能求出曲线C界域．解答：解：（1）∵曲线（x﹣1）2+y2=4，∴（x﹣1）2≤4，y2≤4，∴﹣1≤x≤3，﹣2≤y≤2，∴界域为{（x，y）||x|≤3，|y|≤2}．（2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，化简，得：y2=，∴﹣1≤x≤2，﹣2，∴界域为{（x，y）||x|≤2，|y|}．（3）由已知得：=a，×==a，∴（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，∴|x|，，令t=，，，当t=2，即时，等号成立．若0＜a≤2，1﹣[1﹣a，1+a]，时，，∴|y|≤，若a＞2，1﹣＜0，，∴x=0时，=a﹣1，∴|y|≤，∴曲线C界域为：①0＜a≤2时，{（x，y）|x|≤，|y|≤}．②a＞2时，{（x，y）||x|，|y|≤}．点评：本题考查曲线的界域的求法，考查曲线是否为有界曲线的判断与界域的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。

若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。

若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。

从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。

若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A）（B）（C）（D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

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2018年上海市松江区高考数学一模试卷■填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）2. （4 分）已知集合A={x|0v x v3} , B={x| x2>4}，则A H B _________3. （4分）已知｛a n｝为等差数列，S n为其前n项和•若a i+a g=18, a4=7,则S io=4. （4分）已知函数f （x）=log2 （x+a）的反函数为y=fT （x），且厂1（2）=1,则实数a ______ .5. （4分）已知角a的终边与单位圆x2+y2=1交于.V .，则COS2 a等于6. （4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果结束7. （5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间［0，2 n上交点的个数是_______ .8. （5分）设直线ax- y+3=0与圆（x- 1）2+ （y-2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2二，则a= ______ .9. （5分）在厶ABC中，/ A=90°，△ ABC的面积为1，若* ；=卜:訂=4「，则…汕lim,rtf 82n>T.5‘的最小值为_______ .10. (5分)已知函数f (x) =x|2x-a| - 1有三个零点，则实数a的取值范围为_______ .11. ( 5分)定义F(並3=( 乙，已知函数f (x)、g(x)的定义域都是R,b a^b则下列四个命题中为真命题的是________ (写出所有真命题的序号)①若f (x)、g (x)都是奇函数，则函数F (f (x), g (x))为奇函数；②若f (x)、g (x)都是偶函数，则函数F (f (x), g (x))为偶函数；③若f (x)、g (x)都是增函数，则函数F (f (x)，g (x))为增函数；④若f (x)、g (x)都是减函数，则函数F (f (x)，g (x))为减函数.12. (5分)已知数列｛a n｝的通项公式为a n=2q n+q (q v0，n € N*)，若对任意m，n€ N*都有—-■- : •，贝U实数q的取值范围为a n &二■选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. (5分)若2- i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根(其中i为虚数单位，p，q€ R),则q的值为( )A.- 5B. 5C. - 3D. 314. (5分)已知f (x)是R上的偶函数，贝U “X X2=0”是“f(X1)- f (X2) =0”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15. (5分)若存在x€ [0,+x)使$ 2<1成立，则实数m的取值范围是( )A. (-X, 1)B. (- 1, +x)C. (-X,- 1]D. [ 1, +x)16. (5分)已知曲线C1：|y| - x=2与曲线C2：xX y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数入的取值范围是( )A. (-^,- 1] U [0, 1)B. (- 1, 1]C. [ - 1, 1)D. [ - 1, 0] U( 1,+x)三■解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. (14分)在厶 ABC中，AB=6, AC=3「，’:18.(1)求BC边的长；(2)求厶ABC的面积.18. (14分)已知函数-. - (X M0,常数a€ R).(1)讨论函数f (X)的奇偶性，并说明理由；(2)当a>0时，研究函数f (x)在x€( 0，+X)内的单调性.19. (14分)松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t (单位：分钟)满足2<t< 20,经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10< t<20时电车为满载状态，载客量为400人，当2<t V 10时，载客量会减少，减少的人数与(10- t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p (t).(1)求p (t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为;(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？2 2 f~20. (16分)已知椭圆E: J=1 (a>b>0)经过点.，，其左焦点为八山，过F点的直线I交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M .(1)求椭圆E的方程；(2)过点F且与I垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为'，3求直线I的方程；(3)设二 =|亍，兀：I .了，求证：Zh为定值.21. (18分)已知有穷数列｛an｝共有m项(m>2, m€ N*), < n W m - 1 , n € N*).(1) 若m=5,斫1, 35=3,试写出一个满足条件的数列｛a n｝；(2) 若m=64，a1=2，求证：数列｛a n｝为递增数列的充要条件是(3) 若31=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由.且| 3n +1 —3n| =n ( 1 a64=2018；2018年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一 ■填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1- （3 4分）计算：I'=一…一-【解答】解：—丄二=亠厶=[,口f co$□一丄 n ->co ^2- 』n故答案为：_,32. (4 分)已知集合 A={x|0v x v 3} , B={x| x 2>4}，则 A G B= {x|2<x <3} 【解答】解：由已知得：B=(x|x <- 2或x >2}，T A={ x| 0<x < 3}，••• A H B={x| 0<x < 3} n { x|x <- 2 或 x >2}={x| 2< x < 3}为所求. 故答案为：{x| 2< x < 3}. 则 5 ：：，00 故答案为：100.3 （4分）已知｛a n ｝为等差数列，S n 为其前n 项和.若印+隹=18,比=7,则S io = 100【解答】解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,v a i +a g =18, a 4=7,4 (4 分)已知函数 f (x ) =log 2 (x+a )的反函数为 y=f -1 (x ),且 f -1 (2) =1, 则实数a= 3 .【解答】解：函数f (x ) =log 2 (x+a )的反函数为y=f 1 (x ),且f 1 (2) =1, 则：2= U …2a 1+8d=18 a|+3d=7解得d=2, a i =1.解得：a=3. 故答案为：3.5. （4分）已知角a 的终边与单位圆x 2+y=1交于：■!；—. v .,则C0S2 a 等于 z1 .【解答】解：•••角a 的终边与单位圆x 2+y 2=1交于:?:, 可得：r=1, cos a=,2cos2 a =2c0a - 1=2 X — — 1 =—.4 2 故答案为：-I .26. （4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值是 2.【解答】解：x=8>0，执行循环体，x=x-3=5- 3=2>0,继续执行循环体，—d1x=x- 3=2 — 3=— 1 <0，满足条件，退出循环体，故输出 y=0.5 =（=）-仁2. 故答案为：2x 为8时，则其输出的结果7. (5分)函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象在区间［0, 2 n 上交点的个数是 4 .【解答】解：由于函数y=sin2x 与y=cosx 有交点，则:sin2x=cosx整理得：sinx= 或 cosx=02所以：在［o , 2n 范围内，x= —",匕 6 乂 J 故答案为：4.8. (5分)设直线ax- y+3=0与圆(x - 1) 2+ (y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为2「，则a= 0.【解答】解：由于圆(x - 1) 2+ (y -2) 2=4的圆心C (1, 2),半径等于2，且圆截直线所得的弦AB 的长为2「，故圆心到直线ax - y+3=0的距离为「=1，即 I — =1 ，解得a=0, 故答案为0.9. ( 5分)在厶ABC 中，/ A=90°, △ ABC 的面积为1 ,的最小值为 "【解答】解：如图，建立直角坐标系，设 B (10x , 0), C (0, 10y ),则 M (5x , 5y ), N (2x , 8y ),由题意△ ABC 的面积为1,可得50xy=1,'N=10x 2 +40y 2>2 .「门xy=「，当且仅当x=2y= 时取等号. 5 10 故答案为：15d —* —* —* —* —*若*',【1=4'；,则冷•山若 r=r.‘，*I =4T ',10. （5分）已知函数f（x）=x|2x- a| - 1有三个零点，则实数a的取值范围为（2 匚，+x）.【解答】解：函数f （x）=x| 2x- a| - 1有三个零点，就是x| 2x- a| =1，即| 2x- a| =丄有三个解，f令y=| 2x- a|，y—，可知y=x a-2x TyJ，y'=【=-2,解得x=L，x=-H （舍去），此时切点坐标（二，「）, X y Z Z Z代入y=a-2x可得，a=_.：、」.：=2 ':，函数f （x）=x| 2x- a| - 1有三个零点, 则实数a的取值范围为（2二，+x）.，画出两个函数的图象,题. 故答案为:12. （5分）已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =2q n +q （q v 0, n € N *），若对任意m , n € N *都有:■ 「则实数q 的取值范围为—',0）.【解答】解：由an=2q n +q （q v 0, n € N *），因为agq v 0,且对任意n € N *, _l€（百，6）故 a n v 0,特别地2q 2+q v 0,于是q € （-吉,0）,此时对任意n € N*, a.^ 0. 当—q v 0 时，a 2n =|q|2n +q > q , a 2n -1=- 2| q| 2n 「1+q v q ,由指数函数的单调性知，｛a n ｝的最大值为a 2=2q 2+q ，最小值为a 1 =3q ,11. （5 分）定义 F （a s b ）二则下列四个命题中为真命题的是电P ，已知函数f （X ）、g （x ）的定义域都是R,b a^b ②③④（写出所有真命题的序号）①若f （X ）、 (x ) 都是奇函数, 则函数 (f （X ），(X)) 为奇函数; ②若f （X ）、（X ）都是偶函数, 则函数 (f （X ），(X)) 为偶函数; ③若f （X ）、（X ）则函数 ④若f （X ）、（X ）【解答】解：都是增函数，都是减函数， a Kbb n>b'则函数则函数 (f (f b)二若f （ X ）、g （X ）都是奇函数,与y=x 3,故①是假命题；（X ）、（x ）都是偶函数, 则函数（X ），（X ）, (X)) (X)) F (f (X ), g (x))不(f （X ）, (X)) 为增函数; 为减函数.定是奇函数，如y=x为偶函数，故②是真命题;若f （X ）、（X ）都是增函数, 则函数 (f （X ）, (X)) 为增函数，故③是真命题;若f （X ）、（X ）都是减函数, 则函数 (f （X ）, (X)) 为减函数，故④是真命由题意，丄的最大值及最小值分别为二=厂和—=——•a 】 3 勺 2q+l 由 m » 及一< 6,解得--< qv 0.3 6 2q+l4 综上所述，q 的取值范围为(-1, 0),4 故答案为：(-1 , 0).4二■选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. (5分)若2- i 是关于x 的方程x 2+px+q=0的一个根(其中i 为虚数单位，p , q € R ),则q 的值为( )A .- 5 B. 5 C. - 3 D . 3【解答】解：••• 2 - i 是关于x 的实系数方程/+px+q=0的一个根， ••• 2+i 是关于x 的实系数方程x 2+px+q=0的另一个根，则 q= (2- i ) (2+i ) =|2 - i|2=5. 故选：B.14. (5分)已知f (x )是R 上的偶函数，贝U “X X 2=0”是f(x i )- f (X 2)=0”的 ( ) A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解答】解：：f (x )是R 上的偶函数， • “X X 2=0”? “f(x i )- f (X 2)=0”,“f(x i) - f (X 2)=0”？ “X X 2=0”或 “X X 2”，• “X X 2=0”是“f(x i )- f (X 2)=0”的充分而不必要条件. 故选：A .【解答】解：存在x € [0, +x ）使E成立，9'15. (5分)若存在x € [0,+x)使乙2<1成立，则实数m 的取值范围是(A . (-X, 1) B. (- 1, +x) C . ( — X,— 1] D . [ 1, +x)...2依—2x?m< 1 ,••• 2x?m> 2x?x- 1 ,.m>x —2X••• x€ [0, +x）2x> 1,m> x —^》一1 .2X.实数m的取值范围是（-1, +x）.故选：B.16. （5分）已知曲线C1：|y| —x=2与曲线G： kX y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数入的取值范围是（）A. （-X,—1] u [0, 1）B. （—1, 1]C. [ —1, 1）D. [ —1, 0] U（1, +x）【解答】解：由x=| y| —2可得，y》0时，x=y- 2;y<0 时，x=—y —2,.函数x=| y| —2的图象与方程y2+ X x4的曲线必相交于（0,± 2）, 所以为了使曲线G： |y| —x=2与曲线C2：X x+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y—2代入方程y2+ X x4,整理可得（1 + X y2—4 X+4 X— 4=0,当X= 1时，y=2满足题意，•••曲线C1 ：| y| —x=2与曲线C2：X x+y2=4恰好有两个不同的公共点，•••△> 0, 2是方程的根，•••'」；「<0,即-1< < 1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数X的取值范围是[-1, 1）.故选：C.三■解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. (14分)在厶ABC中，AB=6, AC=3「，’ I「「二-18.(1)求BC边的长；(2)求厶ABC的面积.【解答】解：(1)…丁一J |」I 一工-18,由于：AB=6, AC=3 匚,所以：BC?=A B2+A C2 - 2AB?ACcosA解得：BC=3.〒.(2)在厶ABC 中，BA=6, AC=3 匚,BC=3.〒, 则：cosA="」'=-；2AB*AC 2所以：sinA=,2jf—则：；打一"'.丁w ・-「18. (14分)已知函数［一一亠―」(X M0,常数a€ R).X(1)讨论函数f (X)的奇偶性，并说明理由；(2)当a>0时，研究函数f (x)在x€( 0, +X)内的单调性.【解答】解：(1)当a=0时，函数f (X) =1 (X M0) 满足 f (- X) =f ( X), 此时f (x)为偶函数；当a M0 时，函数 f (a) =0, f (- a) =2,不满足 f (- X) =f (X),也不满足 f (- X) =- f (X), 此时f (x)为非奇非偶函数；(2)当a>0 时，若x€(0, a),则.1 ,. 为减函数；x x若x€(a , +x), 则•二，•・：为增函数；x x故f (乂)在(0 , a)上为减函数，在(a , +x)上为增函数；19. (14分)松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t (单位：分钟)满足2<t< 20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10< t<20时电车为满载状态，载客量为400人，当2<t V 10时，载客量会减少，减少的人数与(10- t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p (t)(1)求p (t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：(1)由题意知，p( t) J 400-k(10-t)2, 2< t<10 (k为常数)，400, 10<t<20••• p (2) =400- k (10-2) 2=272，A k=2.•p (t)」40Q-k(10-t) J 2<t<10•p (6) =400- 2 (10-6) 2=368;(2)由，:，可得-(-12 t2+180t-300), 2<t<KQ= 1 ，丄(-60t+900L 10<t<20t当2< t V 10 时，Q=180—( 12t+乎)一一丨_ i,当且仅当t=5时等号成立；当10< t <20 时，Q=- 60+' W -60+90=30，当t=10时等号成立.•当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元.2 21厂20. (16分)已知椭圆E: —■二=1 (a>b>0)经过点「，其左焦点为子L 2丁―；，过F点的直线I交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M .(1) 求椭圆E的方程；(2) 过点F且与I垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为…，求直线I 的方程;(3) 设…求证：入+&为定值.【解答】解：(1)由题意可得：c="则a 2=b 2+c 2=b 2+3, 将..代入椭圆方程： -------- -- ，解得：b 2=1, a 2=4, 2 b 2+3 4b z2 “•••椭圆的E 的方程：亍 -;(2)设直线 I ： y=k (x+诉)，A (x i , y i ), B ((X , y ?), C (x °, y ),贝 U D (X i , -y i ),r2 2联立 J +灯二4，整理得：(1+4k 2) x 2+8T5k 2x+12k 2- 4=0, y=k(x+V3) •- X 1 +X 2= ---- , X 1 x 2 = --- l+4k^ l+4k2化成-二同理I CD =4d+叮2 ,k 1+k 2 2 2 •四边形 ACBD 的面积S丄X |AB| CD _严1十* 厂旦,2(k 2+4)(l+4k 2) 3• 2k 4- 5k 2+2=0，解得：k 2=2, k 2=] , • k=± 匚或 k=± -，由 k >0,.°. k=「或 k= •,•直线 AB 的方程为 x -「]y+ '=0 或：x - y+、；fi1=0; (3). .. ■ , .I ：-',—",得禺=入(--；-X1), X2=& (- ■: - X2),I ,将k 转kl+4k zl+4k zkf 为定值，定值为-8.21. (18分)已知有穷数列｛&｝共有m 项(m >2, m € N *),< n W m - 1 , n € N *).(1) 若m=5, a i =1, a 5=3,试写出一个满足条件的数列｛a n ｝; (2) 若m=64, a 1=2,求证：数列｛a n ｝为递增数列的充要条件是(3) 若a 1=0,则a m 所有可能的取值共有多少个？请说明理由. 【解答】解：(1)有穷数列｛a n ｝共有m 项(m > 2, m € N *),< n W m - 1 , n € N *).m=5, a 1=1, a 5=3,则满足条件的数列｛a n ｝有：1, 2, 4, 7, 3和1, 0, 2, - 1, 证明：(2)必要性若｛a n ｝为递增数列，由题意得：a 2 — a 1=1, a 3 — a 2 =2,…，a 64 — a 63=63, ••• a 64-a h 「— ^=2016, -a 1=2,. • a 64=2018. 充分性由题意 | a n +1 - a n | = n , 1W n W 63, n € N *, a 2 - a 1 W 1, a 3 - a 2W 2,…，a 64 - a 63W 63, 二 a 64- a 1 W 2016,.°. a 64W 2018, ••• a s4=2018,• a n +1 - a n =n , 1W n W 63, n € N , • ｛a n ｝是增数列，A i + 尢=V3+i22^! K 2+V3 (x t + XjX 2+V3 & ] + 七)+ 32X12k 2-4,2 l+4k zSV3k 2 :? J l+4k z =-8,综上，数列｛an ｝为递增数列的充要条件是a 64=2018.解：(3)由题意得 a 2- a i =± 1, a s - a 2=±2,…，a m - a m -1=±( m - 1), 假设 a m =b i +b 2+b 3+・・+b m -1，其中,b j € { - i , i} , (j € N *, 1< i <m - 1), 则(a m )min =- 1 - 2——(m - 1)二-血D .若a n 中有k 项.，• ，！.，…，.取负值，S L宜 fSe S k贝U 有 a m = ( a m ) max -( b + 和 +b +°°+b )， (* )S ■■ S n哲>E S i丄座 J £•••a m 的所有可能值与(a m ) max 的差必为偶数，下面用数学归纳法证明an 可以取到-「丫」与」1之间相差2的所有整数，2 2 由(* )知，只需从1, 2, 3，…，m - 1中任取一项或若干项相加，可以得到 2 从1到厂：厂|的所有整数值即可,2当m=2时，成立，当m=3时，从1, 2中任取一项或两项相加，可以得到从 1 , 2, 3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k (k >3, k € N *)结论成立，即从1, 2, 3,…，k - 1中任取一项或若干项相加，可以得到从 1至1的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1, 2, 3,…，k - 1中任取一项或若干项相加，可以得到从1至1的所有整数值，用k 取代1, 2, 3,…，k - 1中的k ，可2 得「•-,用k 取代1, 2, 3,…，k - 1中的k - 2,可得：'— 将1, 2, 3,…，k - 1, k 全部相加，可得「故命题成立，2• a m 所有可能的取值共有_ ■' ■'•个.且 | a n +1 — a n | =n (1a 64=2018;且 | a n +1 - a n =n (13.。