浙江省湖州市2017届高三上学期期末考试数学试题(word版)

湖州市2016学年第一学期期末调研卷高三数学选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设i 是虚数单位，复数i 21-的虚部是（ ）A. -2B. 2C. i 2-D. i 2 2.函数x e y =（e 是自然对数的底数）在点)1,0(处的切线方程是（ ）A. 1-=x yB. 1+=x yC. 1--=x yD. 1+-=x y3.已知53)2sin(-=+απ，),2(ππα∈，则=αtan （ ） A. 43 B. 43- C. 34- D. 344.已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面（ ）A. 若α//m ，β//m ，则βα//B. 若α⊥m ，β//m ，则βα//C. 若α⊥m ，α//n ，则n m //D. 若α⊥m ，α⊥n ，则n m // 5.函数)sin (cos sin x x x y -=，R x ∈的值域是（ ）A. ]23,21[-B. ]221,221[+-C. ]21,23[-D. ]221,221[+--- 6.已知}{n a 是等比数列，则“42a a <”是“}{n a 是单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 有公共焦点F 且交于B A ,两点，若直线AB 过焦点F ，则该双曲线的离心率是（ ）A.2 B. 21+ C. 22 D. 22+8.在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A. 121B. -74C. 74D. -121 9.已知实数c b a ,,满足132222=++c b a ，则b a 2+的最大值是（ ）A.3 B. 2 C. 5 D. 310.已知)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时， ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤+=1|3|110)1(log )(21x x x x x f ，，，则函数21)(+=x f y 的所有零点之和是（ ） A. 21- B. 12- C. 25- D. 52-非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}3,2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则=B A ______，=A C U ________. 12.设等差数列}{n a 的公差是d ，前n 项和是n S ，若9151==a a ，，则公差=d _______，=n S _______.13.若实数y x ,满足⎩⎨⎧≥+-≤--02063y x y x ，则y x +2的最大值是________.14.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是________（单位：3cm ），表面积是_________（单位：2cm ）. 15.E D C B A ,,,,等5名同学坐成一排照相，要求学生B A ,不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有______种（用数字作答）16.已知ABC ∆的面积是4，120=∠BAC ，点P 满足3=，过点P 作边AC AB ,所在直线的垂线，垂足分别是N M ,，则=⋅PN PM _______.17.甲、乙两人被随机分配到C B A ,,三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望)(X E =_________，方差=)(X D ________.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别是c b a ,,.已知43sin sin =C A ，ac b =2.（1）求角B 的值；（2）若3=b ，求ABC ∆的周长.19.（本题满分15分）在三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆是正三角形，且AB A A =1，顶点1A 在底面ABC 上的射影是ABC ∆的中心. （1）求证：BC AA ⊥1；（2）求直线B A 1与平面11B BCC 所成角的大小.20.（本题满分15分）已知2≥a ，函数)}1(,min{)(3+-=x a x x x F ，其中⎩⎨⎧>≤=q p q qp p q p ,,},min{.（1）若2=a ，求)(x F 的单调递减区间；（2）求函数)(x F 在]1,1[-上的最大值.21.（本题满分15分）已知椭圆12:22=+y x C 和圆1:22=+y x O ，过点)1)(0,(>m m A 作两条互相垂直的直线21,l l ，1l 与圆O 相切于点P ，2l 与椭圆相交于不同的两点N M ,.（1）若2=m ，求直线1l 的方程； （2）求m 的取值范围； （3）求OMN ∆面积的最大值.22.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足521=a ，nn n a a a -=+321，*∈N n . （1）求2a ； （2）求}1{na 的通项公式； （3）设}{n a 的前n 项的和为n S ，求证：1321))32(1(56<≤-n n S .2016学年第一学期期末调研卷高三数学（参考答案与评分要求）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.A2.B3.C4.D5.D6.B7.B8.D9.A 10.B 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11. {}2,3,{}4,5,6,7 12. 2,2n 13. 1414.,8 15. 60 16. 17. 23，49三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(Ⅰ)由2b ac =得，2sin sin sin B A C =，-----------------------------------------------------2分已知3sin sin 4A C =，所以23sin 4B =，----------------------------------------------5分那么，sin B =，-----------------------------------------------------6分 三角形ABC 为锐角三角形，因此，3B π=. -------------------------------------------------7分(Ⅱ)已知b =2232cos3a c ac π=+- -----------------------------------------------------9分22a c ac =+-2()3a c ac =+--------------------------------------------11分所以a c +=------------------------------------------------------13分所以三角形ABC 周长为分19．(Ⅰ)证明：设O 为ABC ∆的中心，连接AO .所以BC AO ⊥，------------3分又1AO BC ⊥，所以BC ⊥面1A AO ， 因此，1BC A A ⊥.----------------------------------7分(Ⅱ)取BC ，11B C 的中点E ，F ，连接AE ，1A F ，EF .由(Ⅰ)知BC ⊥面1A AEF ，从而面1A AEF ⊥面11C CBB ，-----------------10分在面1A AEF 内作1AG EF ⊥，垂直为G ，连接GB . 则1A BG ∠是直线1A B 与平面11B BCC 所成的角.---------------------------------12分设12A A =，在平行四边形1A AEF中，1AO=1AG ，12A B =，所以，111sin AG A BG A B ∠==.--------------------------------------------14分 因此，直线1A B 与平面11B BCC 所成的角为4π.----------------------------------15分20．（Ⅰ）若2a =，()()()322112x x x x x x --+=+--()()212x x =+-，-------2分()()3,221,2x x x F x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，-------------------------------------------3分当2x ≤时，()3F x x x =-，()2313F x x x x ⎛'=-=+⎝⎭⎝⎭， 由()0F x '<得，x <<，------------------------------------------------------6分 另，2x >时，()22F x x =+单调递增，所以，()F x的单调递减区间是⎛⎝⎭；-----------------------7分 （Ⅱ）()()()3211x x a x x x x a --+=+------------------------------------------------------9分当11x -≤≤时，10x +≥， 因为2a ≥，故20x x a --≤，那么，()310x x a x --+≤，--------------------------------------------12分即()3F x x x =-，-------------------------------------------------13分所以()()maxmax (1),,,1F x F F F F ⎧⎫⎛⎪⎪=- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭max ,999⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭------------------------------------------15分21．设直线1l 的方程是x ny m =+----------------------------------------------------------------1分（Ⅰ）若m =，直线1l的方程是x ny =因为1l 与圆O1=，解得，1n =±，------------------------------4分所以直线1l的方程是y x =y x =-+--------------------------5分（Ⅱ）由已知，直线2l 的方程是()y n x m =--，将()y n x m =--代入2212x y +=化简得， ()22222124220n x mn x m n +-+-=--------------------------------------8分由()()24222168121m n nm n∆=-+-=()2228120n m n +->----①1=，得221m n =+．------②由①②解得，23322m <<------------------------------------------------10分所以1m <<（或1m <<．（Ⅲ）设()()1122,,,M x y N x y ，OMN ∆面积1212S mn x x =-=分=令22212m n t n=+，则S =---------------------------------------------------14分由1m <<221m n =+，得01t <<， 所以，当12t =时，max 2S =．-----------------------------------------------------------15分22．（I ）由条件可知2413a =．------------------------------------------------------------------ 3分 （II ）由123n n n a a a +=-得：1131122n n a a +=⋅-，---------------------------------------------5分 即1131112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-----------------------------------------------------------------------6分 所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列． 因此，1312nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．-------------------------------------------------------7分 （III ）由（II ）可得111122533331222n n nnn a --⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----------------9分所以112222255353n n S -⎛⎫⎛⎫≥+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62153n⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此，62153nn S ⎛⎫⎛⎫≥- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立．--------------------------------------------11分 另一方面112333122nn n na ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，---------------------------------------------------13分 3412324222513333nn n S a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭246882216599313n -⎛⎫=+-⋅≤⎪⎝⎭，3n ≥, -----------------------------------14分又1221513S =<，246216513S =<，因此，2113n S <．-------------------------------------15分。