2016年江苏省高考数学第三轮复习：高考数学考前基础练习(及答案)(10)(精品资料)
2016年江苏数学高考试卷含答案和解析
2016年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题.每小题5分。
满分70分）1．（5分）已知集合A=｛﹣1。
2。
3。
6｝.B={x｜﹣2＜x＜3}。
则A∩B=______．2．（5分）复数z=(1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______．3．(5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分)已知一组数据4。
7.4.8。
5。
1.5。
4。
5。
5.则该组数据的方差是______．5．(5分）函数y=的定义域是______．6．(5分）如图是一个算法的流程图。
则输出的a的值是______．7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5。
6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．(5分）已知{a n｝是等差数列.S n是其前n项和。
若a1+a22=﹣3.S5=10.则a9的值是______．9．（5分）定义在区间［0.3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．10．（5分）如图。
在平面直角坐标系xOy中。
F是椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点。
直线y=与椭圆交于B。
C两点.且∠BFC=90°。
则该椭圆的离心率是______．11．(5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数。
在区间[﹣1。
1）上。
f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f(）。
则f(5a）的值是______．12．（5分）已知实数x。
y满足。
则x2+y2的取值范围是______．13．(5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点。
E.F是AD上的两个三等分点。
•=4.•=﹣1.则•的值是______．14．（5分）在锐角三角形ABC中。
若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答题（共6小题.满分90分）15．（14分）在△ABC中。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(四)数列 文
(四)数 列1．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 2．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n k ＝1 1T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1. 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n a 2＋a 2n 2 ＝2d 2n (n ＋1)．所以∑n k ＝1 1T k ＝12d 2∑nk ＝1 1k k ＋1＝12d 2∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 4．已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a n b n ，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1)解 因为a n ＝23(－13)n －1＝－2(－13)n ， S n ＝23[1－－13n ]1－－13＝12[1－(－13)n ]， 所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－－13n －2－13n ＋2＝12. (2)解 若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ， 即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，又由2S 1＝a 1＋2,2S 2＝2a 2＋4，得a 1＝2，a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3)证明 由(2)得c n ＝n ＋1n ， 对于给定的n ∈N *，若存在k ，t ≠n ，且t ，k ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t， 即1＋1n ＝(1＋1k )·(1＋1t )，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n k ＋1k －n， 则k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，∴对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和22n n c +＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n使得2+12.n n n n c c c =+5．已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)．(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n . 解 (1)令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，所以a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1. 由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12， 即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ，① 当n ≥2时，S n －1＋1＝(n 2＋1)a n －1，②①②得，a n ＝n＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1， 所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列， 所以a n ＝13(n ＋2)． 代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n 6.。
新(江苏专用)高考数学三轮增分练(四)数列文
(四)数 列1．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 2．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n k ＝1 1T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1. 因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n a 2＋a 2n 2 ＝2d 2n (n ＋1)．所以∑n k ＝1 1T k ＝12d 2∑nk ＝1 1k k ＋1＝12d 2∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列． ∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1n －n＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 4．已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a n b n ，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1)解 因为a n ＝23(－13)n －1＝－2(－13)n ， S n ＝23[1－－13n ]1－－13＝12[1－(－13)n ]， 所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－－13n －－13n ＋2＝12. (2)解 若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ， 即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，又由2S 1＝a 1＋2,2S 2＝2a 2＋4，得a 1＝2，a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3)证明 由(2)得c n ＝n ＋1n ， 对于给定的n ∈N *，若存在k ，t ≠n ，且t ，k ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t， 即1＋1n ＝(1＋1k )·(1＋1t )，即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n k ＋k －n ，则k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，∴对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和22n n c +＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n使得2+12.n n n n c c c =+5．已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)．(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n . 解 (1)令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，所以a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1. 由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12， 即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ，① 当n ≥2时，S n －1＋1＝(n 2＋1)a n －1，②①②得，a n ＝n＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1， 所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列， 所以a n ＝13(n ＋2)． 代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n 6.。
2016江苏高考数学试题答案解析和解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．那么这组数据的平均数为：3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．|z||z|=|3+4i|==5．故答案为：4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．．故答案为：．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．解：向量，+n=，解得7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．解；∵28．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．，==9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：则新圆锥和圆柱的体积和为：，解得：故答案为：10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2 ．d=≤时，圆的半径最大为11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．．．=．{={项的和为．故答案为：．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．．故答案为：13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为 ．答=+：++++++．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．﹣2×2×3×BC=sinC==cosC==sin2C=2sinCcosC=2×16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．y=，利用导数，确定单调性，即可求出当y=，得，y=，∴y′=﹣=（（，，则=0t=10，）时，g′（，t=10=15t=10千米．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．=，=3a=，即有椭圆方程为+y，==，，y+﹣，|PC|=，可得=19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．）+b（﹣）（时，时，﹣．）∪（∈（﹣）在（﹣∞，﹣，+∞）上单调递增，在（﹣，）∪（﹣，+∞）时，f′（）时，（﹣，﹣）+b（﹣）（时，时，，，+∞），）∪（））∪（20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．）证明：∵=2，，，依次构成等比数列；，则（﹣＜，﹣，，t≠0）[＞）在（﹣三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC 于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．=2，即，即A=【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．ρsin（θ﹣）．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．”“x＜，或即原不等式的解集为{x|x≥x=x≥x≥x≥时，原不等式化为，或【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．，＞≤，结合函数）上的单，∴=，=，得，，得=∴cos＜，=，所成两面角的余弦值为）∵=λ==，则===＜，=，＞≤，即λ=＜，的最大值为）上是减函数，此时直线又∵BP==，∴BQ=BP=26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．=6+2++=6+2++=13==6+2++=13+2+++1=k+2++1= +，结论成立；+2=k+2+++，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立；+2=k+2++2= +，结论成立．。
专题2.4 数列-2016年高考数学三轮考点总动员(江苏版)(原卷版)
第二篇 易错考点大清查专题4 数列1.求数列通项忽视检验首项致错在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前n 项和公式，都应该检验首项是否适合 例1【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：).0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值; （2）若21=λ，求n S . 【举一反三】【江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试】(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t 为常数)．⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．2.求解等差数列有关问题时，忽略0d =或1q =造成错误用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略0d =或1q =而造成求解不全导致错误. 例2【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】 (本小题满分16分)已知数列{a n )的各项都为自然数，前n 项和为S n ，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n ＝(1＋λ)a n －λ恒成立．(1) 求λ值，使得数列{a n )为等差数列，并求数列{a n )的通项公式；(2) 若数列{a n }为等比数列，此时存在正整数k ，当1≤k<j 时，有∑ji ＝ka i ＝2 016，求k. 【举一反三】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.3.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误错位相减法求和是等比数列求和的基本思想，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的式了中等比数列的项数导致求和出错.例3．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
江苏省南京市2016届高考考前综合训练数学试题(终稿)含答案
南京市2016届高考考前综合题一、填空题1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的个数是 ． ①若α⊥β，l ⊥β，则l 不一定平行α；②若α⊥β，γ⊥β，则γ∥α；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α； ④若l 与α，β所成角相等，则α∥β． 【答案】1．2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝6，S 2＋S 3＝60,则S 4的值为 ． 【答案】90．【提示】由题知a 1＝6，2a 1＋2a 2＋a 3＝60，设等比数列{a n }的公比为q ,代入化简得q 2＋2q －8＝0，q ＝2或者q ＝－4(舍)，所以S 4＝90．（如果用求和公式则需要讨论q ＝1，q ≠1）【说明】本题考查了等比数列的项与和关系，通项公式，求和公式，考查了基本量的运算，合理选择运算方法．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }满足a n ＋2－a n ＝d (d 为常数，且d ≠0，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，且a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4成等差数列，则S 20等于 . 【答案】120.【提示】由题得2a 2a 3＝a 1a 2＋a 3a 4，则2×2(d ＋1)＝2＋(d ＋1)(d ＋2)．又d ≠0，得d ＝1，所以数列{a n }奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，于是S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×1＋10×92×1＋10×2＋10×92×1＝120．【说明】本题考查等差数列的基本量运算，考查了简单的隔项成等差数列的求和问题.4．已知函数f (x )＝2 |x |＋cos x －π，则不等式(x －2)f (x )＞0的解集是 ________ . 【答案】(－π2，π2)∪(2，＋∞)．【提示】注意到函数f (x )为偶函数，且f (－π2)＝f (π2)＝0．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋cos x －π，此时f ′(x )＝2－sin x ＞0恒成立，于是f (x )在[0，＋∞)上单调递增，根据f (x )为偶函数可知，f (x )在(－∞，0]上单调递减．由(x －2)f (x )＞0得⎩⎨⎧x －2＞0，f (x )＞0，或者⎩⎨⎧x －2＜0，f (x )＜0，即x ＞2或－π2＜x ＜π2．【说明】本题考查函数的基本性质以及简单的分类讨论．该题没有直接指明函数的奇偶性及单调性，需要能根据给定的解析式发现其性质，助于解决问题．5．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为_______．【答案】±3．【提示】方法一：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y ＝kx －r ，联立直线与圆方程解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1) r k 2＋1)，又点C 坐标为(r k ，0)，由OC ＝BC ，得(rk )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1) r k 2＋1]2，解得k ＝±3．方法二：设∠B =θ，在△ABD 中，AB =2r cos θ．在△AOC 中，AC =rcos θ，在△BOC 中，BC =r 2 cos θ．由AB = AC +BC ，得2r cos θ＝r cos θ+r2 cos θ．因为θ∈(0，π2)，解得cos θ＝32，故θ＝π6，得∠BCx=π3，所以k ＝3．由对称性，得k ＝± 3.【说明】考查坐标法处理直线与圆的位置关系．6．已知斜率为3的直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点．若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_________． 【答案】63． 【提示】直线l 方程为y ＝3(x －c )，设O 关于l 的对称点为P (m ，n )，则⎩⎨⎧nm 3＝－1n 2＝ 3(m 2－c )，解得m ＝32c ，由题意知32c ＝a 2c ，由e ＝63．【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆离心率的计算．7．如图，边长为1的正三角形ABC 中，P 是线段BC 上的动点，Q 是AB 延长线上的动点，且满足|BQ →|＝2|BP →|，则PA →·PQ →的最小值为_________． 【答案】－2532．【提示】设BP →＝λBC →，λ∈[0，1]，则BQ →＝2λAB →，则PA →＝BA →－BP →＝BA →－λBC →，PQ →＝BQ →－BP →＝－2λBA →－λBC →．因此PA →·PQ →＝2λ2－52λ＝2(λ－58)2－2532，因此PA →·PQ→最小值为－2532．【说明】本题考查平面向量数量积的最值问题，也可通过坐标法解决．8．如图，凸四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4．设四边形ABCD 面积为S ，则S 的最大值为________．【答案】8 3【提示】S ＝S △ABD ＋ S △BCD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝4sin A ＋12sin C ，即S4＝sin A＋3sin C ①；由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ，代入化简得2＝3cos C －cos A ②．①②两式平方相加得：(S4)2＋4＝10－6cos(A ＋C )≤16（当cos(A ＋C )＝－1，即A ＋C ＝π时取“＝”），解得S ≤83．【说明】本题考查三角形面积公式，余弦定理，两角和差公式及三角函数最值．本题的背景是“四条边长ABCD一定的凸四边形，当其四点共圆时面积最大”9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】(1，2]．【提示】f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．【说明】本题考查函数迭代运算、函数的零点以及数形结合思想．一般的函数的零点问题要有意识的借助于函数的图像解决问题．10．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ≤5c ，3a ＋4b ≤5c ，则a ＋3b c 的最小值为____________． 【答案】275．【提示】由题意得⎩⎨⎧ac ＋2bc ≤5， 3c a ＋4c b≤5，，设x ＝b c ，y ＝ac ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤5，4x ＋3y ≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧y ≤5－2x ，y ≥3x 5x －4，45＜x ＜52．作出平面区域得： 设a ＋3bc ＝t ，即t ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x5x －4相切时，t 最小．将直线y ＝－3x ＋t 与曲线y ＝3x 5x －4联立方程组，消去y 整理得15x 2－(5t ＋9)x ＋4t ＝0，△＝(5t ＋9)2－240t ＝0得t ＝275或t ＝35(舍)，于是t 最小为275． 【说明】一般的含多个变量的不等式组问题要注意先减元再利用解决线性规划问题的方法求解．11．已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数a 的最小值是______． 【答案】3＋10．【提示】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－4x ，x ＜0，，作出函数f (x )的图象得：作平行于x 轴的直线l 与f (x )图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M ，N ，如图所示，则a的最小值即为线段MN 长的最大值．设直线l 的方程为y ＝t ，可得MN ＝3＋1＋t ＋4－t ＝3＋(1＋t ＋4－t )2＝3＋5＋2(1＋t )(4－t )≤3＋5＋1＋t ＋4－t ＝3＋10所以，a 的最小值是3＋10【说明】本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a 的最小值即为线段MN 长的最大值． 二、解答题12．三角形ABC 中，A ＝45○，BC ＝2． （1）若cos C ＝513，求三角形ABC 的面积S ；（2）求AB →·AC →的最大值．【解答】（1）因为cos C ＝513，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1213．由正弦定理得c ＝a sin A ·sin C ＝22sin C ＝24213．又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝17226，所以S ＝12ac sin B ＝408169．（2）AB →·AC →＝bc cos A ＝22bc ．因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以4＝b 2＋c 2－2bc ．因为b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，所以4＋2bc ≥2bc ，所以bc ≤4＋22， 所以AB →·AC →≤2＋22，即AB →·AC →的最大值为2＋22．【说明】考查三角形面积公式，正弦定理，平面向量的数量积，基本不等式．13．三角形ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin A 的值；（2）若C ＝45○＋B ，求sin A 的值．【解答】（1）由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝95a 2，即b ＝355a ，由正弦定理得：sin B ＝355sin A ，因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，所以sin A ＝55．（2）因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝35，而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(2B ＋45○)＝ 22(sin2B ＋cos2B )，又sin2B ＝2sin B cos B ＝2425，cos2B ＝1－2sin 2B ＝725，所以sin A ＝31250．【说明】考查正余弦定理，两角和差公式及二倍角公式．另外第（1）问还可以利用正弦定理将边的关系“c＝2a ”转化为角的关系“sin C ＝2sin A ”来解决．D 14．如图，矩形ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直. 在△ABF 中，O 为AB 的中点，AF ＝8，BF ＝6，OF ＝5.（1）求证：AF ⊥平面BCF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面ADF .【解答】（1）取BF 中点E ，连结OE . 因为O 为AB 中点，所以OE ＝4，EF ＝3，由OE 2＋EF 2＝25＝OF 2可得：EF ⊥OE ．又OE ∥AF ，从而BF ⊥AF . 由矩形ABCD 可知：BC ⊥AB ，又平面ABCD 所在的平面与平面ABF 互相垂直，平面ABCD ∩平面ABF ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ABF ．而AF ⊂平面ABF ，故BC ⊥AF .又BF ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面BCF . （2）连结ME .由（1）知：ME ∥BC ，而BC ∥AD ，故ME ∥AD . 又ME /⊂平面DAF ，DA ⊂平面DAF ，所以ME ∥平面DAF .同理可证：OE ∥平面DAF . 而OE ∩ME=E ，所以平面OME ∥平面DAF . 又MO ⊂平面OME ，所以OM ∥平面DAF .【说明】本题第二问也可以使用线线平行来证明线面平行.15．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ，并求此时四面体PDEF 的体积.【解答】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC .又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ，而DE ∩PO ＝O ，所以BC ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG .则FG 为△P AD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ，又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形，因此BF ∥EG .又BF /⊂平面PDE ，EG ⊂平面PDE ,所以BF ∥平面PDE .由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ，而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE .于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PD E ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等，所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.【说明】第一问考查空间中线线垂直的证明方法；第二问属于探究性问题，本问注意与三模立体几何题第二问区别开来.本题应先找到点的位置再进行论证，最终证明得到线面平行.最后考查棱锥的体积公式.Ａ ＢＥＣＤＰＯ16．如图，有一位于A 处的观测站，某时刻发现其北偏东45°且与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶. 20分钟后又测得该船位于观测站A 北偏东45°＋θ（其中tan θ＝15，0°＜θ＜45°），且与观测站A 相距513海里的C 处.（1） 求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2） 在离观测站A 的正南方15海里的E 处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟. 如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由.【解答】（1）由题意：AB ＝202，AC ＝513，∠BAC ＝θ， 因为tan θ＝15，0°＜θ＜45°，所以cos θ=52626，由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝125，即BC ＝5 5. 因为航行时间为20分钟，所以该船的行驶速度为v ＝155海里/小时. （2）由（1）知，在△ABC 中，cos B ＝31010，则sin B ＝1010.设BC 延长线交AE 于点F ，则∠AFB ＝45°－B ，∠ACF ＝θ＋B . 在△AFC 中，由正弦定理可得：AC sin ∠AFB ＝ AFsin ∠ACF. 解得：AF ＝20海里.过点E 作EG 垂直BF 于点G ， 在△EFG 中，sin ∠AFB ＝55，EF ＝5，所以EG ＝ 5.显然，5＜3，故货船会进入警戒区.则货船进入警戒区的时间为232－5155＝4755小时，而4755＜16，所以货船可以在规定时间之内离开警戒区域. 【说明】考查正、余弦定理的运用，求解直线与圆的弦长问题，考查学生解决实际问题的能力．本题第二问也可以通过建立平面直角坐标系来解决直线与圆的位置关系问题.17．某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r 米.如果制造底面的材料费用为a 元/平方米，制造侧面的材料费用为b 元/平方米，其中ba ＞1，设计时材料的厚度忽略不计.（1）试将制造每个容器的成本y （单位：元）表示成底面半径r （单位：米）的函数； （2）若要求底面半径r 满足1≤r ≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？ 【解答】（1）设每个容器的高为h 米，则圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π，即r 2h ＝1. 所以，制造成本y ＝2πrhb ＋πr 2a ＝(2rb ＋r 2a )π（r ＞0）.南A E南FA E（2）y '＝2π(ar －br 2)，令y '＝0，则有r ＝3b a. 列表得：（i ）当3b a ≥3，即ba≥27，则函数y 在[1,3]上单调递减， 所以当r ＝3时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3米. （ii ）当1＜3b a ＜3，即1＜ba＜27，则函数y 在[1,3ba]上单调递减，在[3ba,3]上单调递增， 所以当r ＝3ba 时，y 取得最小值，此时底面半径应设计成3b a米. 综上，当b a ≥27时，应将底面半径设计成3米；当1＜ba ＜27时，应将底面半径设计成3ba米. 【说明】考查圆柱体的体积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力.18．已知椭圆x 24＋y 23＝1，左顶点为A ，右准线与x 轴的交点为B ，点P 为椭圆右准线上且在第一象限内的点，直线AP 交椭圆于点Q ，连接BQ ．（1）当AP →＝2AQ →时，求证：直线BQ 与椭圆只有一个公共点；（2）过点P 与直线BQ 垂直的直线l 在y 轴上的截距为t ，当t 最大时，求直线AP 的方程．【解答】（1）由题意知，右准线方程为x ＝4．设P (4，m )，因为AP →＝2AQ →，即Q 为AP 中点，因为A (—2，0)，所以点Q (1，m 2)，代入椭圆方程得14＋13(m 2)2＝1，解得m ＝±3（负值舍去），所以Q (1，32)． 又B (4，0)，所以直线BQ 方程为y ＝－12(x －4)，联立直线与椭圆方程得⎩⎨⎧y ＝－12(x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 2－2x＋1＝0，该方程有两个相等的实根，所以直线与椭圆只有一个公共点．（2）AP 方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，则点P 坐标为(4，6k )，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2―12＝0．设方程两根为x 1，x 2，由题意知x 1＝―2，因为x 1x 2＝16k 2―123＋4k 2，因此x 2＝―8k 2＋6 3＋4k 2，代入直线方程得y 2＝12k 3＋4k 2，即Q (―8k 2＋6 3＋4k 2，12k 3＋4k 2)，则直线BQ 的斜率为k BQ ＝－2k4k 2＋1，则直线l 的斜率为4k 2＋12k ，所以直线l 的方程为y －6k ＝4k 2＋12k (x ―4)．令x ＝0，得y ＝－(2k ＋2k )≤－22k·2k ＝－4（当且仅当k ＝1时取“＝”号），此时直线AP 方程为y ＝x ＋2．【说明】考查直线与椭圆的位置关系及解几中的最值问题．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上顶点A (0，2)，右焦点F (1，0)，椭圆上任一点到点F 的距离与到定直线l ：x ＝m 的距离之比为常数k ． （1）求常数m ，k 的值；（2）过点F 的直线交椭圆于点S ，T 两点，P 为直线l 上一动点．①若PF ⊥ST ，求证：直线OP 平分线段ST ；②设直线PS ，PF ，PT 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 2，k 3成等差数列．【解答】（1）由题意知b ＝2，c ＝1，则a ＝5，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1．设M (x ，y )为椭圆上任一点，由题意知(x －1)2＋y 2|x －m |＝k ，整理得(x —1)2＋y 2＝k 2(x —m )2．又y 2＝4—4x 25，代入上式整理得 (15—k 2)x 2＋2(mk 2—1)x ＋5—k 2m 2＝0．由题意知上式恒成立，则⎩⎨⎧15—k 2＝0，2(mk 2—1)＝0， 5—k 2m 2＝0，解得k ＝55，m ＝5．（2）①当ST 斜率不存在时，由PF ⊥ST ，得P 为直线l 与x 轴的交点，此时线段ST 被直线OP 平分； 当ST 斜率为0时，不合题意；当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)，联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x —1) x 25＋y 24＝1，消去y ，得(4＋5k 2)x 2—10k 2x ＋5k 2—20＝0．设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－20 4＋5k 2，且△＞0．设线段ST 中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝5k 2 4＋5k 2，y 0＝ k (x 0—1)＝－4k 4＋5k 2，所以ST 中点为(5k 24＋5k 2，－4k 4＋5k 2)．因为PF ⊥ST ，所以直线PF 方程为y ＝－1k (x —1)，所以点P 坐标为(5，—4k )，则直线OP 方程为y ＝－ 45k x ，而y 0＝－45k x 0，即(x 0，y 0)在直线OP 上，即直线OP 平分线段ST ． 综上，直线OP 平分线段ST ．（2）当ST 斜率不存在时，易得S (1，455)，T (1，－455)．设P (5，t )，则k 1＝t －4554，k 2＝t4，k 3＝t ＋4554，则k 1＋k 3＝t —4554＋t ＋4554＝t2＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．当ST 斜率存在时，设直线ST 方程为y ＝k (x —1)（同第（1）问）．设P (5，t )，则k 1＝t —y 15—x 1＝t —k (x 1—1)5—x 1＝k ＋t —4k 5—x 1，k 2＝t 4，k 3＝t —y 25—x 2＝t —k (x 2—1)5—x 2＝k ＋t —4k 5—x 2，则k 1＋k 3＝k ＋t —4k 5—x 1＋k ＋t —4k5—x 2＝2k ＋(t —4k )(10—x 1—x 2)(5—x 1)( 5—x 2)＝2k ＋(t —4k )[10—(x 1＋x 2)]25—5(x 1＋x 2)＋x 1x 2．由（1）知x 1＋x 2＝10k 2 4＋5k 2，x 1x 2＝5k 2—204＋5k 2，代入上式得k 1＋k 3＝2k ＋(t —4k )[10— 10k 24＋5k 2]25—510k 2 4＋5k 2＋5k 2—20 4＋5k 2＝2k ＋(t —4k )(40＋40k 2)80＋80k 2＝2k ＋t —4k 2＝t 2，又k 2＝t4，所以k 1＋k 3＝2k 2，即k 1，k 2，k 3成等差数列．综上：k 1，k 2，k 3成等差数列．【说明】考查直线与椭圆的位置关系，解析几何中的恒成立问题及分类讨论思想．20．已知函数f (x )＝2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ，其中k ，t 为实数，记区间[－2，2]为I ． （1）若函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，求k ，t 的值；（2）已知k ≥1，如果存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，求k 的取值范围； （3）已知－103＜k ＜－3，若对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，求t 的最小值．（e 2≈7.39）【解答】（1）f ′(x )＝6x 2－6(k ＋1)x ＋6k ＝6(x －1)(x －k )，因为函数f (x )的图像与x 轴相切于点(2，0)，于是f (2)＝0，f ′(2)＝0， 即2－k ＝0，16－12(k ＋1)＋12k ＋t ＝0，解得k ＝2，t ＝－4．（2）当k ≥2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减， 于是存在x 0＝1，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值； 当k ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，故f (x )在I 上单调递增， 故不存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值；当1＜k ＜2时，f (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，k )上单调递减，在(k ，2)上单调递增， 于是若存在x 0∈(－2，2)，使得f (x 0)为f (x )在I 上的最大值，则必有f (1)≥f (2)， 即k ≥53，又1＜k ＜2，于是53≤k ＜2；综上，k ≥53．（3）对于任意x ∈I ，都有f (x )≥6(x －2)e x ，即对于任意x ∈I ，都有2x 3－3(k ＋1)x 2＋6kx ＋t ≥6(x －2)e x 即t ≥6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx设g (x )＝6(x －2)e x －2x 3＋3(k ＋1)x 2－6kx ，x ∈[－2，2]， 则g ′(x )＝6(x －1)( e x －x ＋k )，令h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]，则h ′(x )＝e x －1，于是h (x )在(－2，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，又h (－2)＝1e 2＋2＋k ＜1e 2＋2－3＝1e 2－1＜0，于是当x ∈[－2，0]时h (x )＜0恒成立，又h (1)＝e －1＋k ＜e －1－3＝e －4＜0，h (2)＝e 2－2＋k ＞e 2－2－103＝e 2－163＞0，因此h (x )＝e x －x ＋k ，x ∈[－2，2]存在唯一的零点x 0∈(1，2)，于是g (x )在(－2，1)上单调递增，在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，2)上单调递增， 所以g (x )max ＝max{ g (1)，g (2)}．又g (1)－g (2)＝(1－6e －3k )－(－4)＝5－6e －3k ＜5－6e －3(－103)＝15－6e ＜0，于是g (1)＜g (2)，所以g (x )max ＝g (2)＝－4，即t ≥－4，因此t 的最小值是－4．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过给定的k 的范围比较相关量的大小．21．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝ln x ． （1）求证：g (x )＜x2；（2）设h (x )＝f (x )＋bg (x )(b ∈R )．①若a 2＋b ＝0，且当x ＞0时h (x )＞0恒成立，求a 的取值范围；②若h (x )在(0，＋∞)上存在零点，且a ＋b ≥－2，求b 的取值范围． 【解答】（1）设h (x )＝x 2－g (x )＝x2－ln x则h ′(x )＝x －22x ，于是f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (2)＝1－ln2＞0，从而h (x )＞0恒成立，即g (x )＜x2．（2）h (x )＝f (x )＋bg (x )＝x 2＋ax ＋b ln x①因为a 2＋b ＝0，所以h (x )＝x 2＋ax －a 2ln x ，h ′(x )＝(x ＋a )(2x －a )x，当a ＝0时，h (x )＝x 2＞0恒成立；当a ＞0时，h (x )在(0，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (a 2)＞0， 即34a 2－a 2ln a 2＞0，解得0＜a ＜2e 34． 当a ＜0时，h (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，于是h (x )min ＝h (－a )＞0，即－a 2ln(－a )＞0，解得－1＜a ＜0．综上，－1＜a ＜2 e 34．②因为h (x )在(0，＋∞)上存在零点，所以x 2＋ax ＋b ln x ＝0在(0，＋∞)上有解，即a ＝－x －b ln x x在(0，＋∞)上有解． 又因为a ＋b ≥－2，即a ≥－b －2，所以－x －b ln x x≥－b －2在(0，＋∞)上有解． 由（1）可知ln x ＜x 2＜x ，因此b ≥x 2－2x x －ln x， 设F (x )＝x 2－2x x －ln x ，则F ′(x )＝(x －1)(x －2ln x ＋2) (x －ln x )2， 因为ln x ＜x 2，所以x －2ln x ＋2＞0，于是F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以F (x )min ＝F (1)＝－1，故b ≥－1．【说明】本题考查导数的应用，第二问中涉及恒成立问题及存在性问题，一般说来首选方法是参变分离，遇到不能分离的应考虑构建新的函数解决问题．注意比较第二问中解决问题的方法选择．22．定义：从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n }的一个子数列.设数列{a n }是一个公差不为零的等差数列；（1）已知a 4＝6，自然数k 1，k 2，…，k t ，…满足4＜k 1＜k 2＜…＜k t ＜…，①若a 2＝2，且a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是等比数列，求k 2的值；②若a 2＝4，求证：数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是等比数列.（2）已知存在自然数k 1，k 2，…，k t ，…，其中k 1＜k 2＜…＜k t ＜…．若a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，若a k 2a k 1＝m (m 为正整数)，求k t 的表达式.(答案用k 1，k 2，m ，t 表示). 【解答】（1）①设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝2，a 4＝6，所以2d ＝4，d ＝2，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －2，设无穷等比数列公比为q ，q ＝a 4a 2＝3，所以a k 2＝2×33＝2k 2－2，故k 2＝28. ②假设数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…是无穷等比数列.则a 2，a 4，a k 1成等比，a 4，a k 1，a k 2成等比,所以a 42＝a 2×a k 1得 a k 1＝9, a k 12＝a 4×a k 2得a k 2＝272.因为2d ＝a 4－a 2＝1，d ＝1，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n ＋2，所以a k 2＝k 2＋2＝272，k 2＝232/∈N * 这与k 2为自然数矛盾.所以数列a 2，a 4，a k 1，a k 2，…，a kt ，…不是无穷等比数列.（2）方法1 因为a k 2－a k 1＝(k 2－k 1)d ＝(m －1)a k 1，所以d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1． 又a k 1，a k 2，a k 3，…，a kt ，…是{a n }的一个等比子数列，a kt ＝a k 1m t-1＝a k 1＋(k t －k 1)d ，将d ＝(m －1)a k 1k 2-k 1代入，得m t-1＝1＋(m －1)（k t －k 1）k 2-k 1，解得k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1． 方法2 因为a k 1，a k 2，a k 3成等比数列，所以a k 3＝a k 22a k 1＝a 1＋(k 2－1)d a 1＋(k 1－1)d ×a k 2＝[1＋(k 2－k 1)d a 1＋(k 1－1)d]×a k 2＝a k 2＋(k 2－k 1)d a k 1×a k 2，则(k 3－k 2)d ＝(k 2－k 1)d ×a k 2a k 1，因为d 不为零，a k 2a k 1是正整数m ，所以k 3－k 2＝(k 2－k 1)m ，同理可得k 4－k 3＝(k 3－k 2)m ，…，k t －k t －1＝(k t －1－k t －2)m (t ≥3)，所以{k t －k t －1}(t ≥2)是等比数列，则k t －k t －1＝(k 2－k 1)×m t －2(t ≥2)，累加得k t －k 1＝(k 2－k 1)×1－m t －11－m ，所以k t =(k 2-k 1)×1-m t -11-m ＋k 1(t ≥2)，易知当t ＝1时，此式也成立，于是k t =(k 2-k 1)×1－m t -11－m＋k 1． 【说明】本题主要探究了无穷等差数列中能有无穷等比子数列的条件问题，考查了等差数列等比数列的概念及基本量运算，通项公式的求法，反证法等等.考查了运算能力，推理论证能力和化归思想.23．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n .（1）写出S i （i ＝1，2，3，4，5，6）构成的集合A .（2）若q 为正整数，问是否存在正整数k ，使得T k ，T 3k 同时为（1）中集合A 的元素？若存在，求出所有符合条件的{b n }的通项公式，若不存在，请说明理由.（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式.【解答】（1）由a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，设{a n }公差为d ，d 大于零，得a 2＝1，a 3＝32，d ＝ 12，a 1＝12，S n ＝n 2＋n 4，所以A ＝{12，32，3，5，152，212} （2）因为{b n }是等比数列，b n ＞0，q ∈N *当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k ＝3，所以T 3k ＝32，T k ＝12，所以kb 1＝12，b 1＝12k ，b n ＝12k. 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q． 因为 q ∈N *，q ≠1，所以q ≥2，则T 3k T k＝1＋q k ＋q 2k ≥1＋2＋4＝7， 所以⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152，或⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212，或⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212， 当⎩⎪⎨⎪⎧T k ＝12，T 3k ＝5时，1＋q k ＋q 2k ＝10，解得q k ＝－1±372/∈N *． 当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝152时，1＋q k ＋q 2k ＝15，解得q k ＝－1±572/∈N *．当⎩⎨⎧T k ＝12，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝21，解得q k ＝4或－5(舍)．由q ＝2，k ＝2，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=16，所以b n ＝16×2n －1． 由q ＝4，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1=12，所以b n ＝12×4n －1=4n －2． 当⎩⎨⎧T k ＝32，T 3k ＝212时，1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3(舍)， 所以q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q，得b 1＝32，所以b n ＝3×2n －2． 综上，b n ＝12k (k ∈N *)或b n ＝16×2n －1或b n ＝4n －2或b n ＝3×2n －2． （3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或4k －1，k ∈N *． 当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝(4k －1)k ；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，所以当n 为奇数时，k ＝n ＋12，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，k ＝n 2，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12(n 为奇数)，2n 2＋n 2(n 为偶数)， 【说明】本题是数列与方程的综合问题.本题考查了等差数列等比数列的基本量运算，方程整解问题.考查了运算能力，推理论证能力，分类讨论思想.附加题1．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是平行四边形，AD ＝BD ＝2，AB ＝22，SD ⊥平面ABCD .SD ＝2，点E 是SD 上的点，且 DE →＝λDS →（0≤λ≤1）.（1）求证：对任意的0≤λ≤1，都有SC →·EA →≥AC →·BE →；（2）若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．【解答】（1）因为AD ＝BD ＝2，AB ＝22，所以AD ⊥DB .故以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系o －xyz ，则D （0,0,0），A （2,0,0），B （0,2,0），C （－2,2,0），S （0,0,2），E （0,0,2λ）.所以SC →＝（－2,2,－2），EA →＝（2,0,－2λ），AC →＝（－4,2, 0），BE →＝（0,－2,2λ），则有SC →·EA →－AC →·BE →＝－4＋4λ－(－4＋0)＝4λ≥0，即SC →·EA →≥AC →·BE →．（2）设平面ACE 的一个法向量为n ＝（x ,y ,z ），所以EA →·n ＝0，即2x －2λz ＝0.同理AC →·n ＝0，即－4x ＋2y ＝0．取z ＝1，则x ＝λ，y ＝2λ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝（λ,2λ,1）．显然平面ADE 的一个法向量为m ＝（0,1,0），由二面角C －AE －D 的大小为60°知｜cos ＜n , m ＞|＝12，解得λ＝1111． 【说明】考查空间向量的基本运算以及在立体几何中的应用，本题主要是用空间向量来研究二面角的大小．特别注意交待空间直角坐标系的建立过程和法向量的求解过程.2．已知2件次品和a 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a 件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为310． （1）求实数a 的值；（2）若每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值．【解答】(1)记“前两次检测都没有检测出次品”为事件A ，P (A )＝a (a －1)(a ＋2)(a ＋1)＝310得a ＝3或－27(舍)． （2）X 的可能取值为200，300，400．P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝6A 23A 35=35． 所以X 的分布列为X200 300 400 P 110 310 35E (X )＝200×110＋300×310＋400×【说明】本题要注意“检测后不放回”与“检测后放回”之间的区别，正确求出相应的排列数组合数是学好分布列的基础和前提．3．已知数列T ： a 1，a 2，…，a n (n ∈N *，n ≥4)中的任意一项均在集合{－1，0，1}中，且对 i ∈N *，1≤i ≤n －1，有|a i ＋1－a i |＝1．（1）当n ＝4时，求数列T 的个数；（2）若a 1＝0，且a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，求数列T 的个数．【解答】（1）当n ＝4时，符合条件的数列为：0，1 ，0，－1； 0，1，0，1； 0，－1，0，－1；0，－1，0，1；1，0，－1，0；1，0，1，0；－1，0，1，0；－1，0，－1，0．共8个．（2）①当n ＝4k (k ∈N *)时，由a 1＝0，得a 3＝a 5＝…＝a 4k －1＝0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中的每一个任取±1．又a 1＋a 2＋…＋a n ≥0，所以a 2，a 4，…，a 4k 中1的个数不小于－1的个数．所以数列T 的个数为：C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k ＝12( C 02k ＋C 12k ＋…＋C k －12k ＋C k 2k ＋C k ＋12k ＋…＋C 2k 2k )＋12C k 2k ＝12(22k ＋C k 2k )． ②当n ＝4k ＋1(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，同①，可知数列T 的个数为 12(22k ＋C k 2k )． ③当n ＝4k ＋2(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋1＝0，则数列T 的个数为 C k ＋12k ＋1＋C k ＋22k ＋1＋…＋C 2k ＋12k ＋1＝22k ．④当n ＝4k ＋3(k ∈N *)时，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 4k ＋3＝0，同③，可知数列T 的个数为 22k ．综上，当n ＝4k 或n ＝4k ＋1，k ∈N *时，数列T 的个数为12(22k ＋C k 2k )． 当n ＝4k ＋2或n ＝4k ＋3，k ∈N *时，数列T 的个数为 22k ．【说明】本题考查组合计数．要能从已知条件中发现数列T 所满足的特性，再利用相关的特性求出数列的个数．。
2016年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版
2016年全国高等学校招生考试数学试题江苏卷参考公式圆柱的体积公式：=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.V 圆柱圆锥的体积公式： Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.V圆锥131、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合 则________________. {1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<=A B I 2.复数 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.(12i)(3i),z =+-3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的焦距是________________. 22173x y -=4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________.5.函数y 的定义域是.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=—3，S 5=10，则a 9的值是.9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆22221()x y a b a b +=＞＞02b y =交于B ，C 两点，且 ,则该椭圆的离心率是.90BFC ∠=o11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[−1,1)上， 其中 若，则f （5a ）的值,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩.a ∈R 59()()22f f -=是.12. 已知实数x ，y 满足，则x 2+y 2的取值范围是 .240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，，4=∙ ，则 的值是.1BF CF ⋅=-u u u r u u u r BE CE ⋅u u u r u u u r14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在中，AC =6，ABC △4πcos .54B C ==，（1）求AB 的长；（2）求的值.πcos(6A -)16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且，11B D A F⊥.1111A C A B ⊥求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下1111P A B C D -部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱1111ABCD A B C D -1O O锥的高的四倍.1PO (1)若则仓库的容积是多少？16m,2m,AB PO ==(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当为多少时，仓库1PO 的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :及其上一点A (2，4)221214600x y x y +--+=(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3)设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,求实数t 的取值范围。
江苏省2016届高考数学最后冲刺卷三 含答案
江苏省2016届高考数学最后冲刺卷三一、填空题:本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为____15___． 2．已知π()3sin(2)6f x x =-，若存在(0,π)α∈,使()()f x f x αα+=-对一切实数x 恒成立，则α= π2．3．已知A = { （x,y) ｜ x2 y2 ≤4 ｝,B = ｛ （x ，y ） | (x a ）2 (y a ）2≤2a2，a0 }，则A ∩B 表示区域的面积的取值范围是____()π2,0_______．4．方程|e 1|10x ax -++=有两个不同的解,则实数a 的取值范围是__ a ＜e-______．5．如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形（点A ∉平面ABC ），则下列命题中正确的是 ①②③ ．①动点A在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面ADE;③三棱锥AFED 的体积有最大值．6．在△ABC 中,(3)0AB AC CB -⋅=,则角A 的最大值为 π6．7．已知函数)(x f y =是奇函数,当0<x 时，2()()f x x ax a =+∈R ，且6)2(=f ,则a =5 ．8．若x ，y 满足约束条件21,2,2,x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩目标函数*2()z kx y k =+∈N 仅在点（1，1）处取得最小值，则k 的值为_____1__．9．已知△ABC 中,3(错误!＋错误!）·错误!＝4错误!2,则错误!＝7 .10．已知等差数列｛an}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13,且a1,a2,a5成等比数列，则a1的取值范围为 （1， ＋∞) ． 11．在△ABC 中，若AB ＝1,3,||||AC AB AC BC =+=，则错误!＝错误! ．12．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3,4,5，则该三棱锥P ABC -的体积为11.13．已知O 是△ABC 的外心，AB = 2a,AC = 错误!，∠BAC = 120，若错误! = x 错误!＋y 错误!，则x ＋y 的最小值是 2 ． 14．若关于x 的不等式（组)()2*272209921n n x x n +-<∈+N ≤对任意恒成立，则所有这样的解x 构成的集合是2{1,}9-．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2016年江苏省高考数学第三轮复习考前基础练习及答案（10）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.是成等比数列的 条件。
2.已知32x y +=，则327x y +的最小值为
3. 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为
4. 已知椭圆19
82
2=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ． 5. 二次函数2()f x ax bx c =--（a 、b 、c R ∈），若a 、b 、c 成等比数列且(0)1f =，
则函数()f x 的最大值为 .
6. 若关于x 的不等式1x a -<的解集为()1,3，则实数a 的值为
7. 已知命题：“在等差数列{}n a 中，若244()102=++a a a ，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．
8. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 .
9. ABC ∆中，︒=120A ，5=AB ，7=BC ，则=C
B sin sin ． 10. 公差不为零的等差数列}{n a 中，02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且
==8677,b b a b 则
11. 已知1cos21sin cos ααα-=，1tan()3βα-=-，
则tan(2)βα-等于 ． 12. 在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC = ，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA = ，
()1,5PQ = ，则BC =
13. 设α、β、γ为平面，给出下列条件： ①a 、b 为异面直线，βα⊂⊂b a ,； a ∥β，b ∥α；②α内不共线的三点到β的距离相等；③γβγα⊥⊥,，则其中能
使α∥β成立的条件的个数是
14. 设1a = ，2b = ，3c = ，且0a b ⋅= ，则(2)a b c + 的最小值为
1、既不充分也不必要；2.、6；3、-20；4、445或-；5、54
；6、2；7、18； 8、7；9、
5
3；10、16；11、-1；12、()6,21-；13、1；14、317- 二、解答题：本大题共2小题，共计30分，
15．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知22sin 3
A =． （1）求22tan sin 22
B C A ++的值； （2）若2a =，△ABC 的面积为2，求b 的值．
解：（Ⅰ）∵△ABC 是锐角三角形，22sin 3
A = ， ∴1cos 3A =．………1分 ∴2
2222cos 2tan sin sin 222
sin 2A
B C A A A ++=+ ……………3分 1cos 17(1cos )1cos 23
A A A +=+-=-． ……………5分 （Ⅱ）∵2ABC S ∆=，又1122sin 2223ABC S bc A bc ∆=
=⋅=，∴3bc =． ……………7分
将2a =，1cos 3
A =，3c b =代入余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，………8分
可得42
690b b -+=，解得3b =． ……………10分
16．已知各项均为正数的数列{n a }满足221120n n n n a a a a ++--=（*∈N n ），且23+a 是42,a a 的等差中项.
（1）求数列{n a }的通项公式n a ；
（2）若n b =n a n n n b b b S a +⋅⋅⋅++=212
1,log ，求使S 12+⋅+n n n >50成立的正整数n 的
最小值.
解：（Ⅰ）∵221120n n n n a a a a ++--=，∴11()(2)0n n n n a a a a +++-=,
∵数列{n a }的各项均为正数，
∴10n n a a ++>，∴120n n a a +-=，
即12n n a a +=（*
∈N n ），所以数列{n a }是以2为公比的等比数列. ∵23+a 是42,a a 的等差中项，∴24324a a a +=+，
∴1112884a a a +=+，∴12a =，∴数列{n a }的通项公式2n n a =.………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及n b =12log n n a a 得，2n n b n =-⋅， ……………………………8分
∵12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，∴23422232422n n S n =--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅ ○
1 ∴2345122223242(1)22n n n S n n +=--⋅-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ②
②-○
1得，234512222222n n n S n +=+++++⋅⋅⋅+-⋅ =112(12)2(1)2212
n n n n n ++--⋅=-⋅--……………………………10分 要使12
+⋅+n n n S >50成立，只需22!-+n >50成立，即12+n >50，5≥n ∴使n S 12
+⋅+n n >50成立的正整数n 的最小值为5. …………12分。