锐角三角函数知识点与典型例题

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锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。

初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题

初三下学期锐角三角函数知识点总结及经典例题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

初三锐角三角函数知识点与典型例题

3 5
3 5 3 4
，那么 tanA 的值等于（ D.
4 3
）.
B.
4 5
C.
类型二 . 利用角度转化求值： 1．已知：如图， Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°． D 是 AC 边上一点， DE ⊥ AB 于 E 点． DE ∶ AE ＝ 1 ∶ 2．求： sin B、 cosB 、 tanB．
F
90 ， AC
C
6 ， D 为 AC 上一点，若
7. 如图 6 ，在等腰直角三角形
ABC 中，
C
tan DBA
1 5
，则
AD 的长为 ( )
A． C． 1
2
B D
．
2
．2 2
8. 如图 6 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °， AC =8，∠ A 度数及边 BC 、 AB 的长 .
A
AD =
的顶点为 O ，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边．
OA 上有
sin
4.（ 2009 ・庆阳中考）如图，菱形的面积 = cm ．
2
ABCD 的边长为 10cm， DE ⊥ AB ， sin A
3 5
，则这个菱形
5.（ 2009 ・齐齐哈尔中考）如图，径为
⊙ O 是 △ ABC 的外接圆， AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙ O 的半
（昌平） 1） . 计算： 2 cos 30
2 sin 45
tan 60 ．
（朝阳） 2）计算： tan 60
sin 45
2
2 cos 30 .
（ 2009 ・黄石中考）计算：
3 +(2 π － 1) －
－1
0

《锐角三角函数》知识点及练习3篇

《锐角三角函数》知识点及练习3篇知识框架知识概念1.Rt△ABC(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边2.特殊值的三角函数1.求出下图中sinD ，sinE 的值．2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（）A ．sinA ＝sinA ′B ．sinA ＝2sinA ′C ．2sinA ＝sinA ′D ．不能确定 3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 434．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247C BA5．计算：sin30°·sin 60°+sin45°6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12，则满足条件的点P 的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．不存在7．如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ．lCBA （第7题图）85F E D1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．2．在△ABC中，∠C＝90°，cosAc＝4，则a＝_______．3．如果a∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）A．12B．2C．1D．4．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=AB=tan∠ACD的值为（）A．B． C D6．已知α是锐角，且cosα=34，求sinα、tanα的值．7．若α为锐角，试证明：sintancosααα=．8．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），若tan∠DCE=12，求ab的值．9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=，试求cosA与tanA的值．b aE DCBACBAD1．计算：（1）计算：()013sin 452007tan 30-+-(2) 先化简，再求值:()2221x xx x+-÷+1，其中，tan 60x = ．2．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（）A ．（8105）m B ．21.6m C ．．85⎫+⎪⎪⎝⎭m3．已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan α4．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．5．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．E D CBA 第2题图第3题图。

锐角三角函数(全)

锐角三角函数（1）一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是︒30，为使出水口的高度为m 35，求需要准备多长的水管？探究：如图，ABC Rt ∆与C B A Rt '''∆中，︒='∠=∠90C C ，A A '∠=∠，探究AB BC 与B A C B ''''的关系结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值.※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦.记作A sin 如图，AB BC c a A A A ==∠∠=的斜边的对边sin 同理：ABAC c b B B B ==∠∠=的斜边的对边sin 二．例题与练习：1.例题：如图，在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，求A sin 和B sin 的值.2.练习：1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则αsin 的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53 D ．54 2.如图，在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，若5=AB ，4=AC ，则A sin 的值是（）A ．53 B ．54 C ．43 D ．34 3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=BC ，32sin =A ，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．34 D ．5 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且5=AB ，3=BC ．则BAC ∠sin = ；ADC ∠sin = .5．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于点D .已知5=AC ，2=BC ，那么ACD ∠sin 的值为（）AB ．23 CD--1--α三．在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值，※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦.记作A cos 如图，AB AC c b A A A ==∠∠=的斜边的邻边cos 同理：ABBC c a B B B ==∠∠=的斜边的邻边cos ※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作A tan如图，AC BC b a A A A ==∠∠=的邻边的对边tan 同理：BC AC a b B B B ==∠∠=的邻边的对边tan 四．例题与练习：例题：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=BC ，53sin =A ，求A c os ，B tan 的值.练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，8=AC ，43tan =A ，求A sin 、B cos 的值五．课后作业：1.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，则有（）A ．A a b tan ⋅=B ．A c b sin ⋅=C ．B c a cos ⋅=D ．A a c sin ⋅=2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果54cos =A ，那么B tan 的值为（） A ．53 B ．45 C ．43 D ．343．如图：P 是α∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则αcos =______.4.分别求出图中A ∠、B ∠的正弦值、余弦值和正切值（B 层）在ABC ∆中，a AB =，b AC=，α=∠A ，求ABC ∆的面积（用含有字母a ，b ，α的式子表示）--2—三角函数（2）一．探究：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C .⑴如图1，︒=∠30A ，求A sin 、A cos 、A tan 的值；⑵如图1，︒=∠60B ，求B sin 、B cos 、B tan 的值；⑶如图2，︒=∠45A ，求A sin 、A cos 、A tan 的值；二．结论：1.完成表格：2.⑴A ∠的正弦值随着A ∠的角度的增大而 .⑵A ∠的余弦值随着A ∠的角度的增大而 .⑶A ∠的正切值随着A ∠的角度的增大而 .三．例题与练习：例题1：求下列各式的值：⑴︒+︒60sin 60cos 22 ⑵︒-︒︒45tan 45sin 45cos例题2：⑴如图1, 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,6=AB ，3=BC ，求A ∠的度数.⑵如图2，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍,求α.练习：1.求下列各式的值：⑴ ︒︒-30cos 30sin 21 ⑵ ︒+︒-︒60sin 245tan 30tan 3 ⑶︒+︒+︒30tan 160sin 160cos2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,7=BC ，21=AC ，求A ∠、B ∠的度数.四．课堂检测：计算：︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 221.将B B sin 23cos 21+改写成下列形式的式子，其中错误的是（） A. B B sin 30cos cos 30sin ︒+︒ B. B B sin 60sin cos 30sin ︒+︒C. B B sin 30cos cos 60cos ︒+︒D. B B sin 30sin cos 60cos ︒+︒2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,3:=b a ，则A sin 的值是（） A. 21 B. 22 C. 23 D. 33 3.在ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且21sin =A ，23cos =B ，则ABC ∆的形状为（） A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.化简()2130tan -︒的结果为（） A.331- B.13- C. 133- D. 31- 5.已知03sin 2=-α，则锐角α的度数为 . 6.已知B ∠是锐角，若212sin =B ，则B tan 的值为 . 7. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,23sin =B ，则A cos 的值为 . 8.已知()2390sin =-︒α，则锐角α的度数为 . 9. 求下列各式的值：⑴︒+︒-︒+︒+︒30cos 60tan 45tan 60sin 230tan 22 ⑵︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4345sin 60cos 22210. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,3tan =A ，且cm AB 10=，求AC 、BC 的长.11.如图，一块为ABC ∆的空地，m AC 10=，m BC 30=，︒=∠150C ，现在这块空地上种植每平方米a 元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？（B 层）12.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A →C →B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶.已知km AC 10=，︒=∠30A ，︒=∠45B ，求开通隧道后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）锐角三角函数（3）一．例题与练习：例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）⑴︒20sin ⑵︒70cos ⑶2315sin '︒ ⑷8274cos '︒ ⑸83tan '︒ ⑹345280tan '''︒由⑴→⑷你能得到的猜想为，请利用下图验证你的猜想练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）⑴︒35sin ⑵︒55cos ⑶4237sin '︒ ⑷8221cos '︒ ⑸0236tan '︒ ⑹7175tan '︒例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角⑴6275.0sin =A ⑵6252.0cos =A ⑶8425.4tan =A练习：⑴0547.0sin =A ⑵1659.0cos =A ⑶8816.0tan =A⑷9816.0sin =A ⑸8607.0cos =A ⑹1890.0tan =A例题3：如图，要焊接一个高m 5.3，底角为︒32的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边AD 、BC 的长分别为cm 31.62和cm 24.35，它们之间的夹角B ∠为0435'︒，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）二．课堂检测：1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：⑴0325sin '︒= ； ⑵8162cos '︒= ； 0526tan '︒= .2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角⑴4723.0sin =A ，A ∠= ；⑵3812.0cos =A ，A ∠= ；⑶94.15tan =A ，A ∠= ；--5--三．课后练习：1．计算︒+︒30tan 360sin 2的值为（）A ．3B ．32C ．33D ．342．在ABC Rt ∆中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B ∠的正切值（）A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．保持不变D ．缩小4倍3．已知α为锐角，3tan =α，则αcos 等于（）A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 4．如果等腰三角形的底角为︒30，腰长为6cm ，那么这个三角形的面积为（） A ．4.52cm B ．392cm C ．3182cm D ．362cm5．ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，cm b 5=，cm a 12=，则B cos 等于（）A ．125B ．125cmC ．1312D ．1312cm 6.已知7415926.0cos =α，则α∠的度数为（）A ．︒40B ．︒41C ．︒42D ．︒437.已知5761.0cos =A ，则≈∠A ；若21.15tan =A ，则≈∠A ；若3562.0s i n =A ，则≈∠A ；8.某人沿倾斜角为︒25的斜坡前行了100m ，则他上升的最大高度为（精确到0.01m ） 9．计算：⑴ ︒︒-︒60sin 45sin 660cos 2 ⑵︒+︒︒-︒45tan 2160cos 30sin 45cos10. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是高，cm BC 10=，653'︒=∠B ，•求CD 、AC 、AB ．（精确到1cm ）（B 层）1.要求︒30tan 的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作ABC Rt ∆，使︒=∠90C ，斜边2=AB ，直角边1=AC ，那么3=BC ，︒=∠30ABC ，333130tan ===︒BC AC ，在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出︒15tan 的值，请简要写出你添加的辅助线和求出︒15tan 的值．2.如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A '的位置，若5=OB ，21tan =∠BOC ，求点A '的坐标--6--锐角三角函数（4）一．问题：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足︒≤≤︒7550α，现有一个长m 6的梯子，问：⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？⑵当梯子底端距离墙面m 4.2时，这个人是否能够安全使用这个梯子？二．解直角三角形：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，由⎩⎨⎧AB AC 得⎪⎩⎪⎨⎧∠∠BC A B 或由⎩⎨⎧∠AB A 得⎪⎩⎪⎨⎧∠BC AC B 三．例题与练习：例题1：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形.练习：如上图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，30=BC ，20=AC ，解这个直角三角形.例题2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠35B ，20=AC ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.练习：如上图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠72A ，14=AB ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.四．课堂检测：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ，若20=c ，210=b ，解这个直角三角形--7--五．课后作业：1．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ，根据下列条件解直角三角形.⑴33=a ，6=c ⑵36=a ，︒=∠30B ⑶10=c ，6=b2．在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，且︒=∠30B ，︒=∠45C⑴若5=AD ，求BC 的长 ⑵若BC =15，求AD 的长3．为了测量塔高，小龙在距塔的中心点B 50米的C 处，用测角器量得仰角为︒40，已知测角器的高度为1.52米，求塔高AB 的长.（精确到0.1米）4.如图所示，在离铁塔150米的A 处用测角仪测得塔顶仰角2126'︒=∠BAC ，已知仪器高5.1=AD 米，求铁塔高BE .（精确到0.1米）5．如图所示，从某海岛上的观察所A 测得海上某船只B 的俯角为818'︒=α，若观察所A 与海面的垂直高度50=AC 米，求船只B 到观察所的水平距离。

(完整word)锐角三角函数讲义

锐角三角函数第一课时：三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt △ABC 中,∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______,斜边)(cos =B ＝______; ③的邻边A A ∠=)(tan ＝______, )(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,若a ＝9，b ＝12，则c ＝______,sin A ＝______,cos A ＝______，tan A ＝______, sin B ＝______,cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知:如图，Rt △TNM 中,∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．对应练习:1、在Rt△ABC 中,a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．2、如图,△ABC 中，AB=25,BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247C BA3、已知α是锐角，且cos α=34,求sin α、tan α的值．4、在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =,4BC =，则tan A = ．5、在△ABC 中,∠C=90°，sinA=53,那么tanA 的值等于（）。

A ．35B 。

45C. 34D 。

436、在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA 3,c ＝4，则a ＝_______．7、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________,tanα=______ _．αyxP(2,3)OA知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）。

锐角三角函数基本概念讲义

第7讲锐角三角函数第一节知识要点锐角三角函数定义1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°①正弦 sin =A BC a A AB c∠==的对边斜边；②余弦 cos =A AC b A AB c ∠==的邻边斜边；sin B（3【例2】如图，Rt ABC ，1BC = ，22AC ，求A ∠的三角函数值（1）sin A （）A. 15B. 45C. 13D.23 （2）cos A （）A. 423B. 435C. 223D.23 （3）tan A （）A. 1B. 23C. 24D.12【例3】在ABC ∆中，AB AC =，且32AB BC =，求B ∠三角函数值（1）sin B （）A. 34B. 64C. 74D.54 （2）cos B （）A. 1B.43 C. 34 D. 12 （3）tan B （） A. 1 B. 73 C. 74 D.54【例4】如图，在等腰三角形ABC 中，13AB AC cm ==，24BC cm =，底边上的高为AD ，求B ∠的三角函数值（1）sin B （）A. 313B. 513C. 1213D.512 （2）cos B （）A. 313B. 513C. 1213D.512 （3）tan B （） A.313 B. 513 C. 1213 D.512【例5】如图，ABC ，90C ，12,15AC BC（1）求AB 的长（） A. 20 B. 341 C. 241 D.541 （2）求sin ,cos A A 的值（3）求22sin cos A A =________（4）比较sin A 与cos B 的大小【1】已知为锐角，且，求=( )A. B. C. D.【2】如图，在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【3】在中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：（1）；（2）;（3）；（4），其中正确的结论是_______________（只需填上正确结论的序号）（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

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锐角三角函数：
类型一：直角三角形求值
1．已知Rt △ABC 中，,12,43
tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=
∠4
3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠5
3
sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．
4.已知A ∠是锐角，17
8
sin =
A ，求A cos ，A tan 的值
类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )
Ａ．34 Ｂ．43
Ｃ．3
5
Ｄ．
45
A D E
C
B F
3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若
1
tan 5
DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2
C ．1
D ．22
4. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线 AD =
3
3
16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
D
A
B
C
图6
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 （2012•安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．
例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=
3
1
sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．
例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．
求：sin ∠ABC 的值．
对应训练
1．（2012•重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）
2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 （2012•内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（） A ．
12 B ．55 C ．1010
D ．25
5
对应练习：
1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.
特殊角的三角函数值
例1．求下列各式的值．.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2．
︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－
3
3
tan30°－tan45°= 0
30tan 2345sin 60cos 221
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= 计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒
-︒
=
在ABC ∆中，若0)2
2(sin 21cos 2
=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.
例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <
2
1
，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且0
30sin cos <A ，则（）
C
B
A
A. 0°< A < 60°
B. 30°< A < 60°
C. 60°< A < 90°
D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用
1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=
13
12
sin A 求此菱形的周长．
2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB
于D 点，求：
(1)∠BAD ；
(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，3
1
tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
解直角三角形：
类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：
例1．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．
例2．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B 、C 两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，
3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）
类型四. 坡度与坡角
例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）
A ．100m
B ．1003m
C ．150m
D ．503m
类型五. 方位角
1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈
)
综合：1已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=︒，以DC 为直径作半圆O ，交边AC 于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED C ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线；
（2）若BF FC =，3AE =，求O 的半径．
D O A
C
B
F E
2.（6分）如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆
经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知2∠A +∠B =90 ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若OA =6，BC =8，求BD 的长．
3. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若AD=8，tanC=3
4
，求⊙O 的半径。

4.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北
方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. （1）B 处距离灯塔P 有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200海里的O 处．已知圆形暗礁
区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险，并说明理由．
D 第18题图O
C
B
A
D
B
O
A
C。