2015—2016学年高二培优材料-----圆锥曲线(2)

2015—2016学年高二培优材料-----圆锥曲线（2）-------------直线与圆锥曲线的综合应用(1) 题型1 直线与圆锥曲线位置关系【例1】给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为32，且经过点(0，1)．(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若过点P(0，m)(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．解：(1) 记椭圆C 的半焦距为c.由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.(2) 由(1)知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5.显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，(*)有且只有一组解． 由(*)得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 从而Δ＝(8km)2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0. 化简，得m 2＝1＋4k 2.①因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝ 3.即|m|k 2＋1＝ 3.②由①②，解得k 2＝2，m 2＝9. 因为m ＞0，所以m ＝3. 变式训练(2014·阜宁中学调研)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1、l 2，当直线l 1、l 2都与圆C 相切时，求P 点坐标．解：(1) 由题意知椭圆E 的焦点为(2，0)，即c ＝2，又由离心率为12得c a ＝12，∴ a ＝4，b＝a 2－c 2＝23，故椭圆E 的方程为x 216＋y212＝1.(2) 设P(x 0，y 0)，得l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，∵ k 1k 2＝12，依题意C(2，0)到l 1的距离为|2k 1＋y 0－k 1x 0|1＋k 21＝2，整理得[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0. ∴ k 1k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两实根．⎩⎪⎨⎪⎧（2－x 0）2－2≠0，Δ＝8[（2－x 0）2＋y 2－2]>0，k 1k 2＝y 20－2（2－x 0）2－2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 2012＝1，（2－x 0）2－2＝2（y 20－2）.解方程组可得P(－2，3)或P(－2，－3)或⎝⎛⎭⎫185，575或⎝⎛⎭⎫185，－575.题型2 根据直线与圆锥曲线的位置确定参数【例2】如图，已知椭圆E 的中心为O ，长轴的两个端点为A 、B ，右焦点为F ，且AF →＝7FB →，椭圆E 的右准线l 的方程为x ＝163.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若N 为准线l 上一点(在x 轴上方)，AN 与椭圆交于点M ，且AN →·MF →＝0，记AM →＝λMN →，求λ.解：(1) 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，半焦距为c ，由AF →＝7FB →，得a ＋c ＝7(a －c)，即3a ＝4c ，①由准线方程，得a 2c ＝163，②解①②得a ＝4，c ＝3.∴ b 2＝a 2－c 2＝7.∴ 所求椭圆E 的标准方程为x 216＋y 27＝1.(2) 设M 坐标为(x ，y)，由AN →·MF →＝0，即AM →·MF →＝0，得(x ＋4)(3－x)－y 2＝0，∴ y 2＝－x 2－x ＋12.又点M 满足x 216＋y 27＝1，消y 得9x 2＋16x －80＝0，解得x ＝209或x ＝－4(舍去)．将A 、M 、N 的横坐标代入AM →＝λMN →，得209＋4＝λ⎝⎛⎭⎫163－209，∴ λ＝2. (2014·沈阳模拟改)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4（1－k 2）×（－10）＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k2＞0，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－153＜k ＜－1. 题型3 弦长、弦中点问题【例3】 (2014·全国Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1) 求E 的方程；(2) 设过点A 的动直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1) 设F(c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ|＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ|＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t>0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.(2014·南京三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b.过点P 作两条互相垂直的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于另两点M 、N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；(3) 若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．解：(1) 由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4.所以椭圆方程为x 24＋3y24＝1.(2) 设l 1的方程为y ＋1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得 (1＋3k 2)x 2＋6k(k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0.因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2.当k ≠0时，用－1k 代替k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3. 将k ＝－1代入，得M(－2，0)，N(1，1)． 因为P(－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(3) (解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0. 若x 1＋x 2＝0，则N(－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.又因为x 21＋3y 21＝4， 所以解得x 1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1, 1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x. 若x 1－x 2＝0，则N(x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件．综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.(解法2)由(2)知，当k ≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3，化简得4k(k 2－4k －1)＝0，解得k ＝2±5.若k ＝2＋5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，52，N ⎝⎛⎭⎫－12，－52，此时直线MN 的方程为x ＝－12.若k ＝2－5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，－52，N ⎝⎛⎭⎫－12，52，此时直线MN 的方程为x ＝－12.当k ＝0时，M(1，－1)，N(－1，1)，满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0.综上，直线MN 的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0.高考对接1. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．答案：2解析：∵ 直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴ 4m 2＋n 2>2，∴ m 2＋n 2<4，∴ m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴ 点(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴ 过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个． 2. 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．答案：16解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴ |AB|＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.3. 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点．则cos ∠AFB ＝________．答案：－45解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1，x ＝4，不妨设A 点在x轴的上方，于是A 、B 两点的坐标分别为(4，4)，(1，－2)，又F(1，0)，可求得AB ＝35，AF ＝5，BF ＝2.在△ABF 中，由余弦定理cos ∠AFB ＝AF 2＋BF 2－AB 22×AF ×BF＝－45.4. 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k(x －2)与此抛物线相交于P 、Q 两点，则1|FP|＋1|FQ|＝________． 答案：12解析：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由题意可知，|PF|＝x 1＋2，|QF|＝x 2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4， 联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝x 1＋x 2＋42（x 1＋x 2）＋8＝12. 5. (2014·济南调研)在直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t ，1)是C 上的定点，A 、B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q(m ，n)在直线OM 上．(1) 求曲线C 的方程及t 的值．(2) 记d ＝|AB|1＋4m 2，求d 的最大值．解：(1) y 2＝2px(p ＞0)的准线x ＝－p2，∴ 1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝54，p ＝12， ∴ 抛物线C 的方程为y 2＝x.又点M(t ，1)在曲线C 上，∴ t ＝1. (2) 由(1)知，点M(1，1)，从而n ＝m ， 即点Q(m ，m)，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k(k ≠0)．且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，所以k·2m ＝1， 故直线AB 的方程为y －m ＝12m(x －m)，即x －2my ＋2m 2－m ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0， ∴ Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m.从而|AB|＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2＝2（1＋4m 2）（m －m 2），∴ d ＝|AB|1＋4m 2＝2m （1－m ）≤m ＋(1－m)＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立，又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2＞0.∴ d 的最大值为1. 小结1. 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．。