“合情推理”教学设计

浙江省金华市义乌中学骆琳珺一、教学内容与内容解析1．内容：归纳推理的含义，会利用归纳进行一些简单的推理.2．内容解析：（1）本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时。

推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。

《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将推理与证明的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用。

推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。

在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.。

培养和提高学生演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。

证明通常包括逻辑证明和实验、实践的证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用他们，以培养言之有理，论证有据的习惯。

学习这一章，要突出体现数学的人文价值和实际应用价值。

本节课所要学习的归纳推理便是合情推理的一种。

归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，前提是其结论的必要条件。

首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。

其次，归纳推理的结论超过了前提所判定的范围，因此在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，重在合乎情理。

(2)本节的内容属于数学思维方法的范畴，在教学过程中教师的立意是把归纳推理作为一个重要的数学思维的过程，让学生了解归纳推理的含义，着重学会用归纳的方法进行数学推理和猜想。

事实上，研究归纳推理的真实目的，就是把几个事实中蕴含的共性，通过变形、语言转换、多角度观察等手段，观察归纳出“共性”，进而提出猜想，并达到利用归纳推理来达到发现新事实，获得新结论的目的。

因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学发现的过程的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．归纳推理，为人类能够发现新事实、获得新结论，做出科学发现的重要手段，这是人们应该具备的一种基本素养．二、教学目标与目标解析1．目标：（1）了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理.（2）通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用。

从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，归纳推理不仅是一个概念，更是一个数学发现的过程。

（3）通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.2．目标解析：教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点也是难点。

我们要建立一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

借助学生已有生活常识，形成推理的直观认识；让学生通过欣赏歌德巴赫猜想产生的过程，对归纳推理有初步认识，体验数学的一种基本思维过程，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。

教学目标（2）是学生初学时不易达到的目标，教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例，让学生体会观察“几个事实”时应该关注的要点，如何观察更能发现“几个事实”中的“共性”。

波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．”通过本节课要让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．三、教学问题诊断分析1．如何发现“几个事实”的“共性”，也就是“如何去观察，才能发现规律”。

学生可以很顺利地得到几个事实，但是如何去观察，这是学生学习时遇到的第一个教学问题。

也是本节课的教学难点之一。

教学时，应通过实例，帮助学生总结出观察一定要有目标，数、式变形；语言的转化以及多角度的观察等都是有效的途径，并用具体问题让学生练习进行体会。

2．在充分体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后，学生充分感受到数学美和发现规律的喜悦，能够自主总结出归纳推理的一般步骤，但是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性，从而忽略检验的步骤。

所以本节课设计了费马猜想的产生及推翻过程，让学生充分体会检验的必要性，体会数学发展的螺旋上升过程。

3．归纳推理的作用：对于归纳推理的作用，不能片面认为“万能”的，也不能由于归纳结论的或然性而否定其在科学中的发现作用，所以通过例题的设置、同学的分析和讨论、教师的必要讲解，要让学生对归纳推理有一个全方位的立体的认识。

四、教学支持条件1．在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解归纳推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括。

2．数学史上有一些著名的猜想是运用归纳推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会归纳推理的过程，感受归纳推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用，还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。

五、教学过程设计（一）创设情景，引出课题1.耳熟能详的《狼来了》的故事蕴含的推理；介绍四幅图的大致内容，说明推理在现实生活中是到处存在的。

（设计意图：自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。

创造和谐积极的学习气氛。

进而利用章头引言向学生简要介绍本章的主要内容及学生学完后应达到的目标。

）2.以讲故事的形式展现歌德巴赫猜想。

（设计意图：一是吸引学生的注意；二是分解了哥德巴赫猜想中的难点；三是从这故事中提示了归纳推理的主要内涵。

）（二）抽象思维，形成概念1.归纳推理的思维过程：几个事实→一种观察→一般观点→从头核对→提出猜想。

（由歌德巴赫猜想的过程归纳出来）2.归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论（简称归纳）。

（部分推出整体，个别推出一般）3.学生分小组讨论：将学生划分为两大部分，一部分讨论生活中运用归纳推理例子，一部分讨论学科学习中使用归纳推理的例子。

学生举例之后教师总结。

（设计意图：分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。

）（三）初步应用，巩固概念1.利用两道国家公务员行政能力测试试题的解决及一个拼图游戏，让学生初步运用归纳推理。

（1）.观察规律13，15，18，22，（? ）答案：BA.25B.27C.30D.34（2）下面?处应是什么样的图形? 答案：C（3）观察拼图得猜想：1+3+5+7+…+(2n-1)=n2（设计意图：前两题分别通过对数、形的观察，可以归纳出下一个结果。

拼图游戏让学生从图形语言、文字语言、数学语言相互转化中观察到共性，发现规律。

）2.例1：(1)已知数列{a n}的第一项a1=1，且a n+1=(n=1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式。

（提醒：观察项与序号的对应关系）(2)由(1)知a n =，若S n =++…+(n=1,2,3,…),试归纳出{S n}这个数列的通项公式。

（设计意图：①如果不能得出观察结果，可以多列出几项；②观察要根据题意，既要有明确的目标；③为了有利于观察，有时需要做适当的变形以更突出共性。

）例2：足球有12块黑皮子，20块白皮子，黑皮是五边形，白皮是六边形，我终于数清它有60个顶点，可棱数始终没数清楚。

“复杂的多面体有许多面、顶点和棱”，这是多面体给人们最初的印象，那么面数、顶点数、棱数有没有什么关系呢？如果有关系就可以帮助弄清楚棱数了。

师生活动：学生数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.（发现欧拉公式）（设计意图：通过两个例题，让学生体会归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用。

通过第二题让学生感受归纳推理起到了能够提供研究方向的作用，培养学生进行归纳推理的能力。

）（四）感受猜想完善思维1.练习⑴观察：sin230°+ sin290°+ sin2150°=，sin25°+ sin265°+ sin2125°=由上面两式结构规律，你可以归纳猜想⑵已知两个圆①x2+y2=1与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程;两个圆③(x-2)2+(y-3)2=2与④(x-1)2+(y+1)2=2则由③式减去④式可得上述两圆的对称轴方程;两个圆⑤(x+5)2+(y-3)2=7与⑥(x-2)2+y2=7则由⑤式减去⑥式可得上述两圆的对称轴方程;由上面命题的结构规律，可以归纳猜想一个更一般的命题为。

⑶合作学习对自然数n,f(n)=n2-n+11，计算f(0),f(1),f(2)，…，f(7)的值,同时作出归纳推理，你有什么猜想？（学生互相讨论）（设计意图：合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。

同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。

鼓励学生多角度的观察，大胆的猜测和探究，培养学生的观察能力，同时感受归纳推理出来的有的结论是错误的）2.介绍费马猜想：已知2+1=5, 2+1=17, 2+1=257, 2+1=65537都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？半个世纪后欧拉发现2+1=4294967297=647×6700417. 说明了什么？后来人们又发现2+1, 2+1, 2+1都是合数，你们又能得到什么样的结论？（设计意图：让学生在解决问题的过程中发现归纳推理需要检验过程，从而自我修正归纳推理的一般步骤。

教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，让学生知道大数学家的归纳推理猜想也可能是错的，让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力；同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。