差分方程x_n_1_x_n_e_r_n_1_x_n_k_正解的渐近性

差分方程x n +1=

x n e r n (1-x n -k )

正解的渐近性

刘玉记

(岳阳师院数学系,岳阳,414000)

摘 要

本文研究时滞Log istic 方程

x n +1=x n e r n

(1-x

n-k

)

,n =0,1,2, (*)

其中r n 是非负实数列, (0,1],k 为非负整数,获得了保证方程(*)的每一正解趋于1的一些充分条件,推

广和改进了文[1]的结果.

关键词 全局吸引性,Logistic 方程,充分条件主题分类 AMS(1991) 39A10,39A11中图分类号:O 175

1 引言和主要结果

本文考虑Logistic 方程

x n+1=x n e r n

(1-x n-k )

n =0,1,2, (1)

其中{r n }是非负实数列, [0,1],k 是非负整数.当 =1,r n !r 时,文[1]证明了当r (k +1)?1时,(1)的每一正解x n 满足lim x n =1.

本文我们证明下面的定理.定理1 设

#?

n=0

-n r n <

?,0? <1

(2) lim sup

#n i =n-k

-k-2-i

r i <1+

12

-1

(1+1k +1)?2

(3)则(1)的每一正解x n 满足lim x n =1.

(4)

定理2 设

#?

n=k

r n =

?, =1(5)lim sup

#n

i=n -k

r i <

32+12(k +1)

(6)

则(1)的每一正解x n 满足(4)式.

推论1 设

#?

n=k r n =

?,lim sup r n <2,则

第17卷第3期2000年9月 经 济 数 学MATHE MATICS ECONOMICS

Vo1 17 No.3

Sep.2000

湖南省教委科研基金资助:99C12

收稿日期:1998-1-09

x n+1=x n e r n

(1-x n )

(7)

的每一正解x n 满足(4)式.

定理的证明依赖于第2节给出的引理.显然,我们的结果改进了文[1]的结果.方程(1)的初始条件

x i =a i %0,i =-k,-k +1, ,0,a 0>0,

(8)

易知(1)与(8)有唯一正解x n .这里说x n 是(1)的解指的是数列{x n }(n %-k ),x n 满足(1)式.本文约定j ?i -1时,#j

i

r n =

0,由于(1)有实际背景,因此,本文结果对差分方程理论及实际

应用均有一定意义.

2 引 理

引理1 设f (x )=ux -vx 2,u >0,v >0,则存在0

max 0?x ?1

f (x )?max {u -v,r }.证明 u %2v 时,则f &(x )=u -2vx %0(x [0,1])故f (x )?f (1)=u -v.当u <2v 时,f (x )?f (u

2v )=u 24v

令ln x n =y n ,(1)式化为

y n+1-2y n =r n (1-e y n-k )

(9)引理2 设y n 是(9)的振动解,y N 2>0是任一极大项,N 2>2k +1,满足

y n+1- y n ?cr n ,n ?N 2

(10)

则存在实数 [N 2-k -1,N 2-k ],使得当n ?N 2-1时

y n+1- y n ?cr n N 2-n [#N 2-k-1

i =n-k

N 2-k-1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )](11)

证明 由于y N 2是极大项,故y N 2-1?y N 2%y N 2+1,从而 y N 1-1? y N 2?y N 2% y N 2% y N 2+1,于是

0?y N 2- y N 2-1=r N 2-1(1-e y N 2-1-k )

从而y N 2-k-1?0,同理y N 2-k %0.由中值定理,存在 [N 2-k -1,N 2-k ],使得

y N 2-k-1+(y N 2-k - y N 2-k-1( -N 2+k +1)=0(12)

由(10)式,当n ?N 2-k -1时

y N 2-k-1- N 2

-k-n-1

y n ?c

#

N 2

-k-2

i=n

r i N 2

-k-2-i

而结合(12)式立得

-

N 2-k-n

y n ?(y N 2-k - y N 2-

k -1)( -N 2+k +1)+c

#

N 2

-k-2

i=n

N 2-k-1-i

r i

从而n ?N 2-1时

- N 2-n

y n-k

?-cr N 2-k-1(N 2-k - )+c

#

N 2

-k-1

i=n -k

N 2

-k -1-i

r i

又由(9)式,y n+1- y n ?-r n y n-k ,结合前一式立得(11)式

?67?第3期

刘玉记:差分方程x n +1=x n e r n (1-x n-k )

正解的渐近性

引理3 设y n 满足引理2中条件,又存在实数a 1>0使得

#n

i=n-k

-k-2-i

r i ?a 1(n %M )(13)

则存在实数0

,使得

y N 2?c max {a 1-12(1+1k +1

) -1

,r }

(14)

证明分两种情形讨论.

情形1 d =#

N 2

-1

n=N 2

-k

r n +r N 2-k-1(N 2-k - )?1.由(10)及(11)式

y N 2= k

y N 2-k +

#

N 2

-1

i=N 2

-k

N 2-i -1

(y i+1- y i )

= k (y N 2-k - y N 2-k-1(N 2-k - )+

#

N 2

-1

n=N 2

-k

(y n+1- y n )

N 2-1-n

?

k

cr N 2-k-1

[

#

N 2

-k-1

i=N 2

-2k-1

N 2-k-1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )](N 2-k - )

+c

#

N 2

-1n=N 2

-k

N 2

-1-n

r n

N 2

-k-n+k [

#

N 2

-k-1

i=n -k

N 2-k -1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )]

=c -1

r N 2-k-1[

#

N 2

-k-1

i=N 2

-2k-1

N 2-k-1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - ](N 2-k - )

+c

#

N 2

-1

N =N 2

-k

-1

r n [

#

N 2

-k-1

i =n-k

N 2-k-1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )]

=c[r N 2-k -1

#

N 2

-k-1

i=N 2

-2k-1

N 2

-k-2-i

r i - -1r 2

N 2-k-1(N 2-k - )](N 2-k - )

+c[

#

N 2

-1N =N 2

-k

r n ([

#

N 2

-k-1

i=n-k

N 2-k-1-i

r i - -1

r N 2-k-1(N 2-

k - ))]

?c[r N 2-K-1a 1- -1r 2

-N 2-k-1(N 2-k - )](N k -k - )+

c[

#

N 2

-1

n=N 2

-k

r n (a 1-

#

n

n=N 2

-k

N 2

-k-2-i

r i - -1

r N 2-k-1(N 2-k - ))]

=a 1cd -c[ -1r 2

N 2

-k-1(N 2-k - )2

+

#

N 2

-1

n =N 2

-k

r n

#

n

i=N 2

-k

N 2-k-2-i

r i

+ -1

r N 2-k-1(N 2-k - )

#

N 2

-1

i=N 2

-k

r i ]

因i %N 2-k ,所以N 2-k -2-i ?k -k -1=-1<0,从而有

y N 2?a 1cd -c[

r 2N 2-k-1(N 2-k - )2

+

#

N 2

-1

i =N 2

-k

r n

#

n

i =N 2

-k

r i

+r N 2-k-1(N 2-k - )

#

N 2

-1

i=N 2

-k

r i )

-1

?68? 经

济数学 第17卷

由#N 2

-1

i =N 2-k r n #n

i =N 2-k r i =12(#N 2

-1

n=N 2-k r n )2+12#N 2

-1

N=N 2

-k r 2n 及#m

n=1

r 2

n %1m (#m

n=1

r n )可知,

y N 2

?a 1cd -12c -1

[(#N 2

-1

n=N 2

-k

r n +r N 2-k -1(N 2-

k - )]2+

(

#

N 2

-1

n=N 2

-k

r n )2

+

r 2N 2-k-1(N 2-

k - )2

+(

#

N 2

-1

n=N 2

-k

r n )2

+

#

N 2

-1

n=N 2

-k

r 2n ]

?c[a 1d -12d 2 -1-12(#N 2

-1

n =N 2-k

r 2n +r 2

N 2-k-1(N 2-k - )2]?c[a 1d -12

-1d 2

-121k +1(#N 2

-1

n=N 2-k r n +r N 2-k-1(N 2-

k - ))2]

=c(a 1d -12(1+1k +1) -1d 2

)由引理1立得,存在0

) -1

,使(14)式成立.

情形2 d >1.由于d =#

N 2

-1

n =N 2

-k-1

r n +r N 2-

k -1(N 2-k - -1)>1,而N 2-k - -1<

0,故存在

N 3 [N 2-k ,N 2],使得

#N 2

-1

n=N

3

r n

?1,

#

N 2

-1

n=N 3

-1

r n >1

这样就存在 (N 3-1,N 3),使得

#N 2

-1

n=N

3

r n +

r N 3-1(N 3- )=1

(15) -1

(#N 2

-1

n =N

3

r n +

r N 3-1(N 3- ))%1

(16)

我们断言

y N 2? k

y N 2-k +

#

N 3

-2

n=N 2

-k

N 2

-1-n

(y n+1- y n )+ N 2

-N

3

( -N 3+1)(y N 3- y N 3-1)

+ N 2

-N

3

(N 3- )(y N 3- y N 3-1)+

#

N 2

-1

n=N

3

N 2-1-n

(y n+1- y n )

(17)

事实上,若N 2-k +2?N 3?N 2-1,则(1)式显然成立.而结合N 3 [N 2-k ,N 2],只需说明N 3=N 2,N 2-k,N 2-k +1时,(17)成立.

N 3=N 2时,(17)式右边化为

k

y N 2-k +

#

N 2

-1

n=N 2

-k

N 2-1-n (y n+1- y n )+ N 2-N 2(y N 2- y N 2-1)

=y N 2- y N 2-1+

#

N 2

-1

n=N 2

-k

N 2

-1-n

(y n+1- y n )+ k

y N 2-k .

?

69?第3期

刘玉记:差分方程x n +1=x n e r n (1-x n-k )

正解的渐近性

又当k %2时,(17)成立.当k =1时,(17)式右边化为 y N 2-1+y N 2- y N 2-1,(17)成立.当k =0时(17)式右端化为y N 2- y N 2-1+y N 2.由于y N 2是极大项,y N 2- y N 2-1%0,故(17)成立.

N 3=N 2-k 时,(17)右边化为

k

y N 2-k +

#

N 2

-1

n=N 2

-k

N 2-1-n (y n+1- y n )+ k

(y N 2-k - y N 2-k-1).

当k %1时,化为y N 2+ k

(y N 2-k - y N 2-k-1).由于y N 2是极大项,y N 2-k-1

?0,y N 2-

k

%0,(17)

成立.而k =0时,化为y N 2+y N 2- y N 2-1.由y N 2是极大项立知(17)成立.

N 3=N 2-k +1时,(17)右边化为

k

y N 2-k +

#

N 2

-1

n=N 2

-k+1

N 2-1-n (y n+1- y n )+ k -1(y N 2-k+1- y N 2-k )

当k %2时,化为 k

y N 2-k +y N 2- k-2 y N 2-k+1+ k -1

(y N

2

-k+1-

y N 2-K ,(17)成立,而k =1时,

化为 y N 2-1+y N 2- y N 2-1,(17)式成立,k =0不可能(因N 3 [N 2-k ,N 2]).从而(17)有

y N 2? k

(y N 2-k - y N 2-k-1)(N 2-k - )+

#

N 2

-2

n=N 2

-k

N 2-1-n

(y n+1- y n ) + N 2

-N

3

( -N 3+1)(y N 3- y N 3-1)+ N 2

-N 3

(n 3- )(y N 3- N 3

-1) +

#N 2

-1

n=N

3

N 2

-1-n

(y n+1- y n )

?c[ k

r N 2-K-1(N 2-k - )+

#

N 3

-2

n=N 2

-k

N 2-1-n r n +( -N 3+1) N 2-N 3

r N 3-1]

+c[

#

N 2

-1

n=N

3

N 2

-1-n

r n

N 2

-k -n+k (

#

N 2

-k-1

i=n -k

N 2

-k-1-i

r i +r N 2-k-1(N 2-k - ))]

+c N 2

-N

3

(N 3- )

r N 3-1

N 2

-k-N 3

+k+1[

#

N 2

-k-1

i=N 3

-k-1

!2

-k-1-i

r i -r N 2-

k-1(

N 2-k - )]

=c[ k

r N 2-k-1(N 2-k - )+

#

N 3

-2

n=N 2

-k

N 2-1-n r n +( -N 3+1) N 2-N

3r N 3

-1] +c

-1

#N 2

-1n=N

3

r n [#

N 2

-k-1

i=n -k

N 2-k-1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )]

+c -1

(N 3- )r N 3-1[#

N 2

-K-1

I =N 3

-k-1

N 2-k -1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-K - )]

现在应用(16)式,并整理得

y N 2?c{

-1

#N 2

-1

n=N

3

r n [#

N 2

-k-1

i=n -k

N 2-k-1-i r i -r N 2-k-1(N 2-k - )]}

+c{[ k

r N 2-k-1(N 2-k - )+

#

N 3

-2

n=N 2

-k

N 1-1-n

r n +( -N 3+1)r N 3-1](

[

-1

#N 2

-1

n=N

3

r n +

-1

r N 3-1(N 3- )]}

?70? 经

济数学 第17卷

+c -1

(N 3- )r N 3-1[

#

N 2

-K-1

i=N 3

-k-1

N 2-k -1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )]

=c{

-1

#N 2

-1

n=N

3

r n [#

N 2

-k-1

i=n-k

N 2

-k-1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-

k - )]

+ k

r N 2-k -1(N 2-k - )+

#

N 3

-1

n=N 2

-k

N 2

-n-1

r n +( -N 3)r N 3-1

+ -1

(N 3- )r N 3-1[#

N 2

-k-1

i=N 3

-k-1

N 2-k -1-i

r i -r N 2-k-1(N 2-k - )

+ k

r N 2-k -1(N 2-k - )+

#

N 3

-1

n=N 2

-k

N 2-1-n

r n +( -N 3)r N 3-1]}

注意 k

?1, N 2

-1-i

? N 2

-k -1-i

上式得出

y N 2?c

-1

#N 2

-1

n=N

3

r n [#N 3

-1

i=n -k

N 2

-k-1-i

r i -(N 3- )r N 3-1]

+c -1

(N 3- )r N 3-1[

#

N 3

-1

i=N 3

-1-k

N 2-k-1-i

r i -(N 3- )N 3-1]

=c

#N 2

-1

n=N

3

r n [#

N 3

-1

i=n -k

N 2

-k -2-i

r i - -1

r N 3-1(N 3- )]

+c(N 3- )r N 3-1[

#

N 3

-1

i=N 3

-k-1

N 2-k-2-i r i - -1

(N 3- )r N 3-1]?c

#N 2

-1

n=N

3

r n [a 1-#n

i=N

3

N 2

-k-2-i

r i - -1(N 3- )r N 3-1]

+c(N 3- )r N 3-1[a 1- -1

(N 3- )r N 3-1]

=c(a 1-

#N 2

-1

n=N

3

r n #n

i=N

3

N 2-k-2-i

r i - -1

(N 3- )r N 3-1

#N 2

-1

n =N

3

r n - -1

(N 3- )2r 2N 3-1)

?c(a 1-12 -1(#N 2

-1

n=N 3r n )2-12 -1#N 2

-1

n=N 3r 2n - -1

(N 3- )r N 3-1#N 2

-1

n=N

3

r n - -1

(N 3- )2r 2N 3

-1)=c(a 1-12 -1(#N 2

-1

n=N 3r n +(N 3- )(r N 3-1)2-12 -1(#N 2

-1

n=N

3r 2n +(N 3- )2r 2N 3-1)))

=c(a 1-12 -1-12 -1((N 3- )2r 2N 3-1+(#N 2

-1

n=N

3

r 2

n )))

?c(a 1-12 -1-12 -11N 2-N 3+1(#N 2

-1

n=N

3

r n +(N 3- )r 2N 3-1)2

)

?c(a 1-

12(1+1k +1

) -1

.综合情形1与情形2,存在0

) -1

使得

?

71?第3期

刘玉记:差分方程x n +1=x n e r n (1-x n-k )

正解的渐近性

y N 2?cmax {a 1-

12(1+1k +1

) -1

,r }3 定理证明

定理1的证明:

设x n 是(1)有任一正解,令ln x n =y n ,(1)化为 y n+1- y n =r n (1-e y n-k )

(19)

我们证明在条件(2)(3)(8)下,(19)的每一解y n 满足lim n )?

y n =0.情形1 y n 是最终正解.

y n+1-y n

?0

从而y n 最终单调减少,而y n 最终正,故y *=lim y n %0,若y *>0,则存在N,当n %N 时

y n >y *

2

>0,n %N 对(19)式

y n+1- y n ?-r n y n-k

(20)

对(20)式求和,

y n+1-

n+1-N-k

y N+k ?-

#

n

i=N+k

y

*

2 n-i

r i =-

n+1

2

#

n

i=N+k

-i

r i

由条件(3),令n )?,得y *?0,矛盾.lim y n =0.

情形2 y n 最终为负时,-y n 最终为正.

-y n+1-(-y n )?-y n+1- (-y n )=r n (e y n-k -1)?0

-y n 单调减少,y

*

=lim (-y n )%0,若y

*

>0,则r n =y n+1- y n

1-e y

n-l limsup r n =y *( -1)

1-e *

<0

与r n 是非负数列矛盾,故lim y n =0.

情形3 若y n 是振动解.这时,由条件(2),存在?>0使得

1<#+??1+12 -1(1+1

k +1

)

#=limsup

#n

i=N-k

-k-2-i

r i

且存在N ,当n >N 时

#n

i=n -k

-k-2-i

r i ?#+?(21)

先证y n 有上界,由x n 是(1)的正解,故

x n+1=x n e r n (1-x n-k )?x n e r

n

设ln x n =y n ,化为

y n+1- y n ?r n .

现令y n *+

k+1

是y n 的任一极大项,则0?y n *+

k

?y n *+k+1%y n *+k+2,由于

?72? 经

济数学 第17卷

y n *+k+1-

y n *+k =r n *+k (1-e y n *

y n *+k+1-y n *+k

?y n *+k+1- y n *+

k

知y n *?0.同理,y n *+1%0.从n *到n *+k 求和得

y n

*

+k +1- k+1

y n

*

?

#n *

+k

i =n

*

n *

+k-i

r i

y n *+

k+1

? k+1y n *

+

#

n *

+k

i=n

*

-i

r i

? k+2

(#+?)(由(21)式).

故y n 有上界.再证y n 有下界.由y n 有上界,设y n ?M(M 是常数),故由(19)式

y n+1- y n %r n (1-e M )

设y n *+

k +1

是y n 的任一极小项,则0%y n *+k %y n *+

k+1

?y n *+k+2.又由

y n *+k+1- y n *+k =r n *+k (1-e y n *)

0%y n *+

k +1-

y n *+

k

%y n *+k+1- y n *+

k

故y n *%0.同理,y n *+1?0.对y n+1- y n %r n (1-e M ).从n *到n *+k 求和得

y n

*

+k+1- k+1

y n

*

%(1-e M

)

#

n *

+k

i=n *

n *

+k-i

r i %(1-e M ) k+2

(#+?)

由于y n *+

k+1

是任一极小项,故y n 有下界.从而y n 有界.现令:

u =limsup y n , v =liminf y n

(22)

易知:-?N ,当n >N 1时,

?1=v -%

y n+1- y n ?r n (1-e ?

1)(23)y n+1- y n %r n (1-e ?2)

(24)

由于y n 振动,可选单增整数列{n i }n i >N

*

+2k +1,y n i >0,y n *>y n *-1,lim i )?

y n i =u 由(23)及条件(2),经引理3

y n i ?(1-e ?1)max {#+?-12

-1

(1+1k +1),r }

由于#+?-12 -1(1-1k +1

)<1,r <1,故y n i ?1-e ?1.令i )?,得u ?1-e ?

1.又令%

)0,得

u ?1-e v

(25)

同理,考虑-y n 时,可得

v %1-e u (26)

若v ?0,则v <0,由(25)(26)式知:1-e v %ln (1-v ),f (v)=1-e v -ln (1-v)%0,v <0,又有f &(v)=-e v

+11-v =1-(1-v )e v

1-v

,令g (v)=1-(1-v)e v ,g (0)=0,g &(v)=e v

-(1-v)e v =ve v

<0,故g (v )>0,(v <0),于是f &(v)>0,从而f (v)是严格单增函数,则当v <0时,f (v)<0,即

?

73?第3期

刘玉记:差分方程x n +1=x n e r n (1-x n-k )

正解的渐近性

1-e v -ln (1-v )<0这与前一式矛盾,故v =0,从而推出u =0,证毕.

定理2的证明与定理1的证明相似,略.

注:运用与本文相类似方法,可以得出差分方程x n+1=x n

f (x n-k ,n)的正解的渐近性,限于篇幅,略.

参 考 文 献

[1] Kocic V.Lj.and Ladas G.,Global attracti vity in nonli near delay difference eq uations,Pr oc.Amer.Math.Soc ,115

(1992),1083-1088.[2] Zhang B.G.and Gopalsmy K.,Global attractivi ty in delay log i stic equati on with variable parameters,Ma th.Pr oc,

Camb.phil.Soc ,107(1990),579-590.

GLOBAL ATTRACTIVITY IN LOGISTIC EQUATION

Liu Yuji

(Yue y an g Tea che r s College,Yueyang,414000)

Abstract This paper s tudies the global attractivity of positive solution of logistic equation

x n+1=x n e r n

(1-x n-k )

,n=0,1,2,3, (*)

where r n is a sequence of nonegative real number. (0,1].k %0is integer,Follow theorems are proved.

Th1.If 0< <1and

limsup m,n

#n

i=n-k

m-k-2-i

r i <1+

12

-1

(1+1k+1)?2

#?

i=1

-i

r i

Then every positive solution of (*)tends to 1ans n )?.

Th2If =1and limsup #n

i=n-k

r i <

32+

12(k+1)

#?

i=1

r i =?

Then every positive solution of (*)tends to 1as n )?..Keywords Global Attractivity,Logistic equation..

?74? 经

济数学 第17卷